Aplicación de la Teoría de Credibilidad en Seguros de Riesgos del Trabajo. Yerling Ramírez Morera

Transcripción

1 Aplicación de la Teoría de Credibilidad en Seguros de Riesgos del Trabajo Yerling Ramírez Morera

2 Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias. Escuela de Matemáticas. Área de Ciencias Actuariales. Proyecto Final de Graduación para optar por la Licenciatura en Ciencias Actuariales. Aplicación de la Teoría de Credibilidad en el Seguro de Riesgos del Trabajo. Proyecto elaborado por: Yerling Ramírez Morera A03425 Director: MSc. Rodrigo Arias López Julio, 2012 ii

3 Proyecto final de graduación presentado el día 12 de julio del 2012 en la Biblioteca Carlos Monge de la Universidad de Costa Rica para optar por el grado de Licenciatura en Ciencias Actuariales, ante el siguiente tribunal Dr. Javier Trejos Zelaya Presidente del Tribunal Dr. Pedro Méndez Hernández Director de la Escuela de Matemática M.Sc. Rodrigo Arias López Director del Proyecto Dr. José A. Ramírez González Lector M.Sc. Oscar Roldán Santamaría Lector iii

4 iv

5 DEDICATORIA A Dios por darme la fortaleza, sabiduría y salud para realizar todos los proyectos que he tenido en mi vida. A mi hijo, por su ayuda y comprensión en todo este proceso. A mis padres por su apoyo incondicional en los retos de mi vida. v

6 vi CAPÍTULO 0. DEDICATORIA

7 AGRADECIMIENTO A mi director de proyecto, Rodrigo Arias López, porque con su apoyo y guía hizo posible la culminación de este proceso, sus conocimientos y el deseo de compartirlos con sus estudiantes han sido un pilar en mi proceso de formación. A todo el personal del Instituto Nacional de Seguros, que de una u otra manera me ayudaron a obtener la información necesaria para la realización de este trabajo. A todo el personal de la Universidad de Costa Rica que de alguna manera formaron parte de este proceso y con su servicial apoyo me permitieron completar todo trámite necesario para la culminación de este trabajo. A mis amigos y todos los ángeles que me acompañaron en este proceso, porque han sido un apoyo necesario para la finalización de este proyecto. vii

8 CAPÍTULO 0. AGRADECIMIENTO Ficha Bibliográfica Ramírez Morera, Yerling. Aplicación de la Teoría de Credibilidad en los Seguros de Riesgos del Trabajo. Proyecto de graduación para optar por el grado de Licenciatura en Ciencias Actuariales. Universidad de Costa Rica. San José, Costa Rica Págs xviii y 154. Director: MSc. Rodrigo Arias López. Palabras claves: Credibilidad, Teoría de Credibilidad, Bülhmann, Bülhmann-Straub, Hechemeister, Jewell, Credibilidad Parcial, Credibilidad Total, Seguro de Riesgos del Trabajo. viii

9 ÍNDICE GENERAL Dedicatoria V Agradecimiento VII Resumen XV 1. Descripción del Proyecto Objetivo General Objetivos Específicos Marco Teórico Antecedentes Modelos de Credibilidad Credibilidad Total o Completa Credibilidad Parcial ix

10 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL Credibilidad Exacta Credibilidad de distribución libre Modelos de Regresión Modelos Jerárquicos Marco Metodológico Diseño de la investigación Unidad de análisis Limitaciones del proyecto Métodos de recolección de información Aplicaciones Planteamiento del Problema Aplicación de los modelos de Credibilidad Características de la cartera de estudio Implementación de los modelos Conclusiones 127 x

11 ÍNDICE DE CUADROS 2.1. Composición de cartera en Modelos de Credibilidad Clásica Composición de cartera - Modelo Jerárquico de Jewell Pesos naturales por riesgo y año de estudio Tarifas empíricas de la muestra Estimadores de Credibilidad. Modelo Bühlmann Estimadores de Credibilidad. Modelo Bühlmann-Straub Estimadores de Credibilidad. Modelo de Hachemeister Estimadores de Credibilidad. Modelo de Jewell - 3 Subcarteras Estimadores de Credibilidad. Modelo de Jewell - 3 Subcarteras xi

12 ÍNDICE DE CUADROS ÍNDICE DE CUADROS xii

13 ÍNDICE DE FIGURAS 4.1. Tarifas Empíricas - Grupos Tarifas Empíricas - Grupos Estimadores Individuales y de Credibilidad - Hachemeister Estimadores Individuales y de Credibilidad - Hachemeister Estimadores Individuales y de Credibilidad - Hachemeister Estimadores Individuales y de Credibilidad - Hachemeister xiii

14 xiv ÍNDICE DE FIGURAS

15 Resumen El objetivo de este proyecto es investigar los Modelos de Credibilidad y aplicarlos a las tarifas de riesgo de una muestra de Riesgos del Trabajo, a fin de determinar la tarifa que mejor se ajuste a la experiencia de cada riesgo considerado, sin dejar de lado la pertenencia a un colectivo común. Si bien existen varias formas de clasificar a la Teoría de Credibilidad, en este trabajo se enfatiza en la rama denominada Credibilidad Europea, dentro de la cual explícitamente se detallan los modelos de Bühlmann, Bühlmann- Straub, Hachemeister y Jewell. Los modelos de Bühlmann y Bühlmann-Straub se conocen como los modelos de distribución libre; se consideran el punto de partida de la Teoría de Credibilidad Moderna y el objetivo de ambos modelos es estimar la prima de riesgo individual, seleccionando para ello la mejor prima lineal y utilizando el criterio de mínimos cuadrados en esta selección. xv

16 xvi CAPÍTULO 0. RESUMEN La principal crítica que se le señala al modelo de Bühlmann es el supuesto de homogeneidad en el tiempo y entre pólizas, con lo cual se ignora la información que representa para el asegurado el impacto que tiene una póliza debido a su volumen y la tendencia del riesgo. Esto se trata de corregir con el Modelo de Bühlmann-Straub, al incorporar observaciones ponderadas. Por su parte Jewell propone un modelo en el cual se pueda realizar el estudio de la cartera dividiendo la misma en subgrupos de riesgos homogéneos, donde cada póliza tiene asociados dos parámetros de riesgo, uno en el nivel de pólizas y otro en el nivel de las subcarteras. Como en el modelo de Bühlmann-Straub, las observaciones esperadas son homogéneas en el tiempo, pero la varianza depende de los pesos asignados. Tampoco resuelve el problema de la tendencia de los parámetros. Finalmente, el modelo de Hachemeister, quien planteó la necesidad de establecer estimaciones para las tendencias que presentaban los datos observados. Por lo cual propuso utilizar un estimador que fuera una ponderación entre el estimador individual para cada riesgo y el estimador para el conjunto de la cartera, utilizando para ello un modelo de regresión lineal, aunque el planteamiento se extiende a todo tipo de regresión. Al aplicar los cuatro modelos antes descritos a la muestra de Riesgos del Trabajo se obtienen resultados interesantes. Los primeros tres modelos, aunque parecen realizar una estimación muy cercana a las tarifas empíricas, no consideran tendencia, por tanto no se seleccionan como mejor método de ajuste. Por su parte el modelo propuesto por Hachemeister es el que se determina como mejor estimador para algunas de las tarifas de Riesgos del Trabajo,

17 xvii entre los modelos estudiados, precisamente por contemplar la tendencia natural de las observaciones. Aunque en el análisis se aclara que el modelo que parece ajustarse a la experiencia estadística debería ser uno que incluya no solo la tendencia sino también la jerarquización de la cartera. Sin embargo, esta posibilidad no se contempló como objeto de estudio en el presente proyecto.

18 xviii CAPÍTULO 0. RESUMEN

19 CAPÍTULO 1 Descripción del Proyecto La Teoría de Credibilidad permite el cálculo de primas de riesgo individuales, apegadas a un estudio tanto de la información propia de cada asegurado o póliza, como del colectivo al que pertenece (actividad de riesgo). El objetivo es determinar el factor de credibilidad λ, 0 λ 1, tal que: π = λm + (1 λ)m donde: m es la media de riesgo individual, M es la media de riesgo colectiva y π es la prima de credibilidad del riesgo individual. 1

20 2 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO Fueron las grandes empresas con seguros de compensación laboral las que promovieron el desarrollo de la Teoría de Crediblidad, al solicitar a sus aseguradoras una prima ajustada, que cubriera el riesgo de la actividad específica, pero que incorporara la buena siniestralidad que la empresa propia había mantenido en el periodo utilizado para el cálculo de la prima cobrada. Esta misma iniciativa es la que nos motiva para aplicar la Teoría de Credibilidad en Riesgos del Trabajo, pues aunque este seguro se caracteriza por ser solidario, al cubrir los pagos de reclamos con las primas recaudadas de todas las actividades de riesgo, podría mejorar el cálculo de la prima de riesgo de cada actividad cubierta en el seguro, incorporando en el mismo la buena o mala siniestralidad de cada grupo de riesgo, propiciando así un cálculo apegado a la técnica. Por lo tanto, una vez explicados los alcances de los modelos investigados, se busca aplicarlos a una muestra de actividades o grupos de riesgo del Seguro de Riesgos del Trabajo, y determinar el modelo que ajusta de manera equilibrada la tarifa futura respecto a las existentes en cada actividad, considerando tanto la experiencia propia en cada uno como del colectivo al que pertenece, utilizando el criterio de varianza mínima. Con este enfoque el nombre del presente proyecto es: Aplicación de la Teoría de Credibilidad en Seguros de Riesgos del Trabajo y los objetivos identificados en el desarrollo de la investigación son los siguientes:

21 1.1. Objetivo General 1.1. OBJETIVO GENERAL 3 Investigar y aplicar cuatro modelos de Credibilidad en la tarifación de Riesgos del Trabajo Objetivos Específicos Investigar en libros y revistas científicas los Modelos de Credibilidad. Profundizar en la investigación de los Modelos de Credibilidad de Bühlmann, Bühlmann-Straub, Hachemeister y Jewell. Determinar el modelo de Credibilidad que estima de manera mas justa las tarifas de la muestra.

22 4 CAPÍTULO 1. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO

23 CAPÍTULO 2 Marco Teórico Antecedentes del Proyecto Seguro de Riesgos del Trabajo El Seguro de Riesgos del Trabajo, con el que se busca dar protección a los trabajadores por aquellos accidentes o enfermedades derivadas del ejercicio de su trabajo, es en realidad una protección amparada en la Seguridad Social, como queda expresado por la Organización Internacional del Trabajo (OIT) en un comunicado del 2011: 5

24 6 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. Una sociedad que brinda seguridad a sus ciudadanos, no sólo los protege de la guerra y de la enfermedad, sino también de la inseguridad relacionada con el hecho de ganarse la vida a través del trabajo. Los sistemas de seguridad social prevén unos ingresos básicos en caso de desempleo, enfermedad y accidente laboral, vejez y jubilación, invalidez, responsabilidades familiares tales como el embarazo y el cuidado de los hijos y la pérdida del sostén de la familia. Estas prestaciones no sólo son importantes para los trabajadores y sus familias, sino también para sus comunidades en general. Al proporcionar asistencia médica, seguridad de los medios de vida y servicios sociales, la seguridad social ayuda a la mejora de la productividad y contribuye a la dignidad y a la plena realización de los individuos [1]. En términos generales, se puede decir que el Riesgo de Trabajo nació con la actividad laboral y se tienen pruebas documentales [1] de que desde tiempos antiguos ya se trataba el tema ya que con el trabajo los seres humanos satisfacen sus necesidades básicas, pero igualmente se exponen a accidentes y enfermedades derivadas de la actividad realizada. Pese a varios intentos y pequeñas agupaciones que el ser humano intentó constituir en defensa de los derechos laborales, no es hasta el Siglo XVIII que en materia de Derecho Laboral se logran adoptar medidas enfocadas a proteger al trabajador de los riesgos derivados de las enfermedades laborales en los reglamentos de algunas empresas de profesionales. Sin embargo, la protección real y sistemática de los trabajadores no se inicia sino a mitad del Siglo XIX; con la creación de legislaciones sobre accidentes de trabajo [19]. Es precisamente en 1919 que se crea la OIT, con el claro objetivo de pro-

25 2.1. ANTECEDENTES 7 teger a nivel internacional a todos los trabajadores. Este organismo trabaja por la defensa de los derechos y las obligaciones en materia laboral, tanto de los patronos como de la clase trabajadora. Las convenciones dictadas por la Conferencia de la Organización Internacional del Trabajo han ejercido una mayor influencia a nivel mundial para tratar toda clase de discusiones laborales, pero especialmente han fortalecido y unificado el tema de accidentes y enfermedades, enfocándose en la prevención de los mismos, la higiene laboral y la seguridad social. Más tarde, se empieza a crear normativa a nivel continental y regional mediante los organismos internacionales regionalizados y que dirigen de igual manera sus esfuerzos en materia laboral a crear normas de protección y regulación de los riesgos del trabajo; un ejemplo es en el caso latinoamericano, en donde se encuentra la Organización de Estados Americanos, que regula dentro de sus estatutos la necesaria protección a los derechos del trabajador [1]. En Costa Rica, como ocurrió en el mundo, la lucha por el reconocimiento de los Riesgos del Trabajo, se inició por medio de una agrupación de artesanos (1868), misma que se constituye con el objetivo de crear un medio de amparo para cubrir las secuelas de accidentes y enfermedades inherentes de esta clase trabajadora. Esta asociación trabajaba a través de una caja de ahorros, que era generada por medio del aporte económico de cada uno de los integrantes de la misma, y con ella se inicia el camino de la Seguridad Social en Costa Rica. Pero no es hasta inicios del siglo XX, que en nuestro país se dan los primeros

26 8 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. intentos formales legislativos para generar una protección verdadera a la clase trabajadora, frente a los riesgos laborales a los que está expuesto todo trabajador. Así en 1907 se presentó al Congreso un proyecto de Ley de Accidentes de Trabajo constituido por 16 artículos, no obstante la misma no prosperó hasta 1924, luego de la creación del Banco de Seguros (posteriormente llamado Instituto Nacional de Seguros), encargado de la administración de todo lo concerniente a la reparación de accidentes y la administración del régimen de riesgos de trabajo. Así las cosas, amparado en la Ley N 53 sobre Accidentes de Trabajo, el INS creó el Departamento Obrero, como encargado de administrar esta ley, el cual posteriormente se llamó Departamento de Riesgos del Trabajo. Mucho después, en el año de 1943, se promulga el Código de Trabajo, y se incorpora dentro de él la Ley sobre Riesgos del Trabajo [22], que más tarde derogaría la ley 53 y pasaría a formar parte, como un título más, del actual Código de Trabajo. La Asamblea Legislativa aprueba en el año 1982 la Ley 6727, que modifica el Título IV del Código de Trabajo, que integra lo siguiente: Se amplía el concepto de Riesgos del Trabajo (Artículo 195). El seguro de Riesgos del Trabajo se declara obligatorio, universal y forzoso (Artículo 201). Aparece el concepto de Salud Ocupacional, ligado a promover y man-

27 2.1. ANTECEDENTES 9 tener el más alto nivel de bienestar físico, mental y social del trabajador (Artículo 273). En consonancia con la Constitución Política de Costa Rica (Artículo 66), se asigna un conjunto de responsabilidades al patrono, respecto al seguro, al riesgo y la prevención (Artículos 214, 215 y 284). Al trabajador se le otorgan beneficios (Artículos 218 y 221) pero también obligaciones, según lo establecen los artículos 285 y 286 del citado Código. Este seguro le permite al patrono protegerse de las consecuencias econímicas por la eventual ocurrencia de accidentes y enfermedades laborales a que están expuestos los trabajadores en el desempeño de su trabajo, que están bajo su responsabilidad. El precio del seguro contiene al menos tres elementos relevantes: es equitativo, pues se cobra de acuerdo al riesgo a que se expone el patrono; es solidario, pues con la contribución de todos se pagan los infortunios del trabajo que ocurran a los trabajadores; es suficiente, ya que se cobra a cada asegurado el monto que, al ser agregado a las sumas pagadas por los demás, permite financiar los costos de los accidentes [12]. Por otra parte, para los asegurados, este seguro garantiza asistencia médicoquirúrgica, hospitalaria, farmacéutica y de rehabilitación. También se conceden beneficios por muerte y por incapacidad temporal y permanente. El modelo de tarifación actual tiene como objeto la obtención de tarifas

28 10 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. equitativas para cada grupo de riesgo, mediante la utilización de datos estadísticos consolidados de los grupos de clases homogéneas (50 grupos de riesgo) [14]. Además el modelo actual de tarifación está fundamentado en un sistema de reparto de capitales de cobertura, el cual consiste en fijar un equilibrio anual entre el valor actual de las prestaciones generadas por accidentes ocurridos en el año y las primas del mismo año [24]. Considerando que históricamente los patronos, quienes por ley tienen la responsabilidad de velar por el bienestar y seguridad de sus empleados, apelaron a que la prima que debían pagar incorporara en su cálculo la buena siniestralidad que con esfuerzo y prevención habían logrado, este es precisamente el motivo de aplicar la Teoría de Credibilidad al seguro de Riesgos del Trabajo, pues con estos métodos será posible determinar primas ajustadas para cada riesgo. Para esto se ha tomado una muestra de 20 grupos de riesgo entre los 50 grupos utilizados por la aseguradora para atender la demanda del mercado. Estos datos fueron transformados con factores constantes, a fin de no revelar información declarada confidencial conforme al artículo 12 de la Ley N 12. Esto significa que las tarifas de riesgo sin credibilidd no corresponden a las reales del seguro; sin embargo, el análisis con las tarifas de credibilidad tiene validez. La tendencia actual en la tarifación de seguros le da cada vez mayor importancia a las características particulares de cada riesgo, por lo que resulta

29 2.1. ANTECEDENTES 11 imperantivo aplicar las técnicas que permitan agregar la experiencia siniestral de los riesgos individuales, con el objetivo de adecuar las primas a las características particulares de cada riesgo, que a priori no son conocidas, y que se intentan estimar mediante métodos bayesianos, incorporando la información resultante del histórico particular de cada riesgo. En un seguro que se expone en la competencia, la fijación de las primas se convierte en una tarea primordial para toda aseguradora. Cuanto mayor conocimiento se tenga sobre el riesgo a cubrir, más exacto será el cálculo de la prima del seguro, que a su vez le permitirá a la aseguradora ofrecer primas competitivas sin incrementar el riesgo de insuficiencia, lo cual concluirá finalmente en una cartera equilibrada con clientes satisfechos.

30 12 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO Modelos de Credibilidad El término Credibilidad se introdujo por primera vez en seguros en Estados Unidos a principios del Siglo XX, antes de la primera Guerra Mundial, en relación con los sistemas de ajuste de primas en seguros de compensación obrera o seguro de accidentes, motivado por la presión que algunas empresas, con numerosos empleados y baja siniestralidad, ejercieron sobre las compañías aseguradoras, para que les reconocieran la baja siniestralidad presentada y la elevada tasa de actividad en los importes de las primas a pagar [6]. Una definición formal de Teoría de Credibilidad no se encuentra propiamente dada por los expertos en el tema, sin embargo podemos enunciar algunas de las definiciones más utilizadas en este campo: Definición 2.1. La Teoría de Credibilidad es una colección de ideas concernientes al ajuste sistemático de las primas de seguros a medida que se obtiene la experiencia de reclamos [10]. Por otro lado, Norberg [17] la define como: Definición 2.2. La Teoría de Credibilidad investiga ciertos principios y métodos para ajustar las primas a medida que la experiencia de los reclamos es obtenida. Entonces podemos decir que la Teoría de Credibilidad es un compendio de métodos matemáticos-actuariales que permiten al asegurador ajustar de modo sistemático las primas de los seguros en función de la experiencia de siniestralidad.

31 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 13 Bajo este análisis destacan dos conceptos clásicos: el de riesgo individual (pólizas) y riesgo colectivo (cartera de seguros), y se resuelve de modo riguroso el problema de cómo analizar la información obtenida de estas dos fuentes para llegar a la prima de seguros y obtener una tarifa justa. Para ello se agrupan las pólizas referentes a un mismo riesgo con una serie de características comunes del colectivo, al cual le corresponde como tal una prima colectiva. Pero además, se consideran las características propias de cada póliza, que a su vez la diferencia de las demás; estas características individuales son de difícil cuantificación, pero no se pueden descartar al momento de calcular las primas de riesgo individuales. Para Whitney [26], el problema fundamental consiste en la obtención de un criterio que permitiera dar, a cada uno de los dos tipos de experiencia, su peso adecuado en la determinación de la prima a pagar por cada asegurado. Para ello propone que la prima de riesgo se calcule con la siguiente combinación lineal convexa. Definición 2.3. La tarifa de credibilidad P para la póliza se define como: P = Z X + (1 Z) C (2.1) donde: X : experiencia individual (tarifa de la póliza). C : información que se dispone sobre el colectivo (tarifa colectiva).

32 14 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. Z : factor de ponderación denominado factor de credibilidad, y mide la confianza o la importancia que se da a la experiencia individual en el cálculo de la prima a pagar, 0 Z 1. Es decir, la prima descrita (P ), no es más que una media ponderada entre los valores extremos X y C e intuitivamente el factor de credibilidad Z debería satisfacer lo siguiente: Ser una función del tiempo de vigencia de la póliza, n, por tanto Z Z(n). Ser una función creciente en n, de modo que se aproxime a 1 cuando n tienda a infinito, mientras que tienda a cero cuando n tienda a cero. De esta manera, el valor de n = 0 representaría que no se dispone de experiencia para el asegurado (es decir se hablaría de un contrato nuevo), y la prima a cobrar en este caso sería C, lo mismo que la prima basada en la información del colectivo. En la medida en que aumenta n, y por tanto se dispone de más datos, la información individual tiene mayor peso. Es decir la experiencia de siniestralidad del asegurado o de la póliza tendría más creencia, sería más creíble. El caso extremo, n tendiendo a infinito, debería proporcionar como X el valor de la prima, esto es que la prima estuviera basada exclusivamente en la experiencia individual, dado que hay abundante información. El factor de credibilidad Z debería presentar un comportamiento inverso respecto al valor esperado de la varianza teórica, S 2 = E[V ar(x)], de modo que cuanto mayor sea la varianza del individuo menor peso se

33 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 15 da a su experiencia individual y mayor a la del colectivo. Esto es lógico, puesto que si la cartera no es heterogénea, entonces la prima basada en el colectivo sería el mejor estimador de la prima individual. Por otro lado, mayor heterogeneidad de la cartera debería dar lugar a un mayor peso a la información del asegurado o póliza. Si bien las contribuciones que ha tenido la Teoría de Credibilidad han sido claras y extensas, los diferentes autores que se han involucrado en su estudio, han partido de diferentes puntos de vista para su desarrollo, esto ha sido un obstáculo en el intento de clasificar teóricamente dicha teoría. Por ejemplo, Hickman [10] clasifica los aportes a la Teoría de Credibilidad con base en la consideración de los parámetros del proceso de reclamos en los modelos. Así este autor denominó Teoría de Credibilidad Clásica cuando dichos parámetros son considerados como constantes (no estocásticos) que deben ser estimadas usando únicamente los datos propios del seguro. Por otro parte, clasifica como Teoría de Credibilidad Bayesiana o Moderna aquellos modelos cuyos parámetros en el proceso de reclamos son considerados como variables aleatorias generadas por un proceso estocástico que no puede ser completamente conocido. Como Hickman, existen clasificaciones hechas por otros autores como Longley & Cook [15], Taylor [21], entre otros. Para el desarrollo de nuestros modelos, utilizaremos la clasificación propuesta por Norberg [18], quien indica que la Teoría de Credibilidad se divide en dos ramas conocidas como Teoría de Credibilidad de las Fluctuaciones Limitadas y Teoría de Credibilidad de la Máxima Precisión, aunque otros autores

34 16 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. las denominan: Teoría de Credibilidad Americana y Teoría de Credibilidad Europea, respectivamente [18]. La utilización de estos últimos términos para clasificar los modelos de credibilidad no es compartida por muchos autores, pues ambos enfoques fueron propuestos por americanos, sin embargo la segunda fue más desarrollada por actuarios suizos. En estas dos ramas de clasificación de la Teoría de Credibilidad se encuentran las contribuciones iniciales de la misma, así como las que se detallan en este trabajo, como se observa a continuación. Teoría de Credibilidad Americana: Credibilidad Total. Credibilidad Parcial. Teoría de Credibilidad Europea: Credibilidad Exacta. Credibilidad de Distribución Libre. Como se puede observar, a lo largo del tiempo se ha venido desarrollando modelos que buscan optimizar la prima pura de un seguro. En las siguientes secciones se trata de explicar de la forma más detallada posible cada uno de los modelos indicados en la clasificación expuesta.

35 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD Credibilidad Total o Completa Suponga que S representa el riesgo para una aseguradora correspondiente a una póliza o conjunto de ellas con ciertas características particulares, y por un periodo dado. Sean S 1,, S m los montos de los reclamos pagados a esta póliza durante m periodos consecutivos, y sea S = (S 1 + S S m )/m el promedio de estos reclamos. Para el ejemplo que se desea explicar, interesa estudiar el comportamiento de S a lo largo del tiempo para un conjunto de pólizas en particular, pues se desea determinar si la prima que se cobra a cada uno de ellas es la adecuada. Si las variables S 1,, S m son independientes, idénticamente distribuidas y con esperanza finita, entonces la ley de los grandes números garantiza que la media muestral S converge a la constante desconocida E[S], conforme el número de términos crece a infinito. Ante este planteamiento surge la incógnita qué tan grande debe ser m para que S esté razonablemente cercano a E[S]? Como una respuesta viable Mowbray [16] propone el siguiente criterio. Definición 2.4. Sea S una variable aleatoria Sean k (0, 1) y p (0, 1) dos números fijos. Se dice que S tiene credibilidad completa (k, p) si P ( S E[S] ke[s] ) p. Es decir, se supone que la prima pura estimada es estable si existe una probabilidad alta (p) de que la diferencia entre la prima verdadera y la estimada no es más que un límite pequeño elegido (k), en la práctica, generalmente se toma k = 0,05 y p = 0,9 [16].

36 18 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. Asumiendo normalidad sobre S se tiene: E[ S] = E[S] y V ar( S) = V ar(s) m ; además por el teorema del límite central, se obtiene de la Definición 2.4 P ( S E[S] ke[s]) = P ( S E[S] V ar(s)/m ( ke[s] = P Z V ar(s)/m ) ke[s] V ar(s)/m ) ke[s] V ar(s)/m ( ) ( ) ke[s] ke[s] = Φ Φ V ar(s)/m V ar(s)/m ( ) ( ( )) ke[s] ke[s] = Φ 1 Φ V ar(s)/m V ar(s)/m = 2Φ ( k me[s] V ar(s) ) 1 p. Según la definición 2.4, esta probabilidad debe ser mayor o igual a p, obteniendo: Φ ( k ) me[s] 1 + p V ar(s) 2 = Φ(u 1+p ). 2 El objetivo es, dado p y k, encontrar el valor de m más pequeño que cumpla con la desigualdad anterior. Para ello se considera que se obtiene la igualdad de esta ecuación. Sea u q Φ(u q ) = q. Entonces el q-cuantil de la distribución normal, es decir, k me[s] V ar(s) u (1+p)/2.

37 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 19 Despejando m se obtiene: m u2 (1+p)/2 V ar(s) k 2 E 2 [S] (2.2) = 1082 V ar(s) E 2 [S], (2.3) en donde la última expresión es aproximada y se han usado los valores k = 0,05 y p = 0,9, y por lo tanto u (1+p)/2 = u 0,95 = 1,6449. Los términos E[S] y V ar[s] pueden ahora ser estimados a través de la media y varianza muestral, respectivamente, usando la información que se tenga a disposición al momento de hacer el análisis. Substituyendo estos valores en la fórmula se puede conocer una aproximación del número de periodos m del historial para que S tenga credibilidad completa en (0,05, 0,9) Observe que cuando p crece, entonces el número de periodos de observación m también crece. Por otro lado, si el parámetro k crece, es decir, si se pide que la distancia entre S y E[S] tenga mayor amplitud, entonces m decrece. Finalmente se observa que la condición aproximada para la credibilidad completa obtenida mediante la ecuación 2.2, que a su vez se puede expresar de la siguiente manera: V ar( S) k2 E 2 [S]. u 2 (1+p)/ Credibilidad Parcial En lugar del estimador S para E[S], Whitney [25] propone la combinación lineal convexa S = Z S + (1 Z)E[S]

38 20 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. en donde Z (0, 1) es llamado factor de credibilidad. Mediante una expresión como la propuesta se le otorga credibilidad parcial a la media muestral S, y la credibilidad complementaria se le otorga a la media teórica E[S]. El problema es determinar el valor de Z. Se pretende que el estimador, S no diste demasiado de E[S]. La condición de la definición 2.4 se reduce a P ( Z( S E[S] ) ke[s]) p. Observe que esta expresión hace referencia únicamente al primer sumando del estimador propuesto. Reescribimos la expresión anterior de la siguiente forma: P ( ( S E[S]) ke[s] ) p. Z Esta es la misma condición para la credibilidad completa solo que en lugar del parámetro k se tiene ahora k/z, es decir, la credibilidad completa (k, p) para Z S +(1 Z)E[S] es equivalente a la credibilidad completa (k/z, p) para S. Nuevamente bajo la hipótesis de normalidad para S y con los valores de k y p mencionados anteriormente se tiene la aproximación m Z2 u 2 (1+p)/2 k 2 V ar(s) E 2 [S] = (1082)Z 2 V ar(s) E 2 [S]. (2.4) De donde se obtiene Z = ke[s] m u (1+p)/2 V ar(s) = m E[S]. (2.5) 32,89 V ar(s)

39 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 21 Este valor de Z excede el valor de uno para valores suficientemente grandes de m, por lo tanto se define el factor de credibilidad como { ke[s] } m Z = mín, 1. (2.6) u (1+p)/2 V ar(s) Credibilidad Exacta También conocida como Credibilidad Bayesiana y corresponde a otra forma de incorporar el historial de reclamos de un grupo de asegurados en el cálculo de las primas. Desde esta perspectiva se considera que θ es una variable aleatoria para la cual se asume una distribución de probabilidad h(θ) llamada distribución a priori. Esta distribución refleja cierta información subjetiva o cuantitativa que el observador pueda tener sobre el parámetro θ. La distribución conjunta (f) de una muestra aleatoria x 1,, x m y el parámetro θ (bajo la hipótesis de independencia)es: f(x 1,, x m, θ) = f(x 1,, x m θ)h(θ) = m f(x i θ)h(θ). i=1 La distribución marginal de la muestra es entonces: m f(x 1,, x m ) = f(x i θ)h(θ)dθ. θ i=1

40 22 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. con f(x i θ) una distribución de probabilidad dada, de donde se busca estimar el parámetro. Conociendo estas funciones puede ahora calcularse la distribución condicional de θ dada la muestra (x 1,, x m ) como sigue: g(θ x 1,, x m ) = f(x 1,, x m, θ)h(θ) f(x 1,, x m ) m i=1 = f(x i θ)h(θ) m i=1 f(x i θ)h(θ)dθ. (2.7) θ De esta forma la distribución h(θ) representa cierta información que el observador conoce del parámetro θ antes de tomar la muestra, y la distribución a posteriori g(θ x 1,, x m ) es la distribución modificada a la luz de la muestra aleatoria. Teniendo ahora esta distribución a posteriori para θ, se pueden proponer varias formas de estimar este parámetro, una de ellas es simplemente tomar la esperanza de esta distribución, es decir, un estimador Bayesiano para θ es ˆθ = E(θ x 1,, x m ) = θg(θ x 1,, x m )dθ. Para una mejor comprensión se expone el siguiente ejemplo. Ejemplo Suponga que x 1,, x m es una muestra aleatoria de la distribución Bernoulli(p), y suponga además que el parámetro p tiene una distribución

41 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 23 Beta(a, b), con a y b conocidos. Como el soporte de la distribución Beta es el intervalo [0, 1], tal distribución es factible para el parámetro p. La densidad conjunta de la muestra y el parámetro es f(x 1,, x m, p) = f(x 1,, x m p)h(p) = p m x (1 p) m m x 1 B(a, b) pa 1 (1 p) b 1 1 = pa+m x 1 (1 p) m m x+b 1. B(a, b) Integrando respecto a p se obtiene la densidad marginal de la muestra, f(x 1,, x m ) = = 1 1 p a+m x 1 (1 p) m m x+b 1 dp B(a, b) 0 B(a + m x, m m x + b). B(a, b) Por lo tanto, la densidad a posteriori para p es g(p x 1,, x m ) = 1 B(a + m x, m m x + b) pa+m x 1 (1 p) m m x+b 1. Esta es la densidad Beta(a + m x, m m x + b), y su esperanza puede usarse como un estimador Bayesiano para p, es decir,

42 24 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. ˆp = = a + m x m + a + b m m + a + b x + ( 1 ) m a m + a + b a + b. (2.8) Credibilidad de distribución libre Los modelos de credibilidad denominados de distribución libre, se conocen así por cuanto no es necesario hacer ninguna hipótesis ni sobre la función de distribución que explica los riesgos individuales, ni sobre la distribución a priori de los parámetros de riesgo. Por lo que clasificaremos en este grupo los conocidos modelos clásicos de credibilidad, a saber, el Modelo de Bühlmann y el Modelo de Bühlmann- Straub, los cuales se consideran como el punto de partida de la Teoría de Credibilidad Moderna. El objetivo de ambos modelos es estimar la prima de riesgo individual, es decir, correspondiente a un asegurado o grupo de asegurados que conforman una póliza en una cartera de seguros, seleccionando para ello la mejor prima lineal y utilizando el método de mínimos cuadrados. Para una mejor descripción se considerará la cartera de seguros que aparece en el Cuadro 2.1, en la cual se observan los siguientes elementos: 1. X ji : variable aleatoria que representa el riesgo del asegurado o póliza j en el año i, puede ser la cantidad reclamada, el número de reclama-

43 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 25 ciones, tarifa experimental, etc. 2. La tabla describe la evolución de k asegurados o contratos de seguro (pólizas) con características comunes durante n años. 3. Las columnas representan los riesgos. 4. Las filas representan el tiempo, en años u otra unidad de medida. 5. La función de distribución de las X ji depende de un parámetro desconocido φ ij, denominado parámetro de riesgo. Cuadro 2.1: Composición de cartera en Modelos de Credibilidad Clásica Grupos de riesgo Años j = 1 j = 2 j = k φ 1 φ 2 φ k 1 X 11 X 21 X k1 2 X 12 X 22 X k n X 1n X 2n X kn Se asumen las siguientes hipótesis [13]: 1. Homogeneidad en el tiempo, esto es φ ij = φ j. Es decir, todas las variables aleatorias pertenecientes a la misma columna tienen la misma distribución de probabilidad. 2. Los parámetros φ j son variables aleatorias independientes y con la misma distribución π(φ).

44 26 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 3. Independencia de riesgos. Es decir, las columnas son independientes entre sí. 4. Dado el valor de φ j las variables aleatorias dentro de la columna j son independientes. Resumiendo, las variables destacadas de los modelos de distribución libre son [6]: φ j : representa el parámetro de riesgo para la póliza j ésima. Se trata de una variable estructural que describe las características de riesgo de la póliza j ésima, con j = 1, 2,..., k, siendo k el número total de pólizas en la cartera. En la ciencia actuarial es costumbre considerar a dicho parámetro desconocido y aleatorio. X ji : representa la experiencia de reclamaciones para la póliza j ésima en el periodo i ésimo, donde j = 1, 2,...k y i = 1, 2,..., n, siendo n el número de periódos observados para cada póliza. Es también una variable aleatoria, pero con realizaciones observables. En ocasiones se suele interpretar como el monto promedio de las indemnizaciones por siniestro. Por lo tanto, la póliza j ésima es descrita por el vector: (φ j, X j1, X j2,..., X jn ) = (φ j, X ) j. Además para el desarrollo de los modelos que se explicarán, se usa la siguiente notación: µ(φ j ) = E[X ji φ j ],

45 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 27 como la prima de riesgo para la póliza j, dado φ j m = E[µ(φ j )] = E[X ji ], para representar el valor esperado de todas las primas de riesgo, es decir, la prima colectiva. Finalmente, a = V ar[µ(φ j )], sería la varianza de las primas de riesgo, el cual es un indicador de la heterogeneidad de la cartera Modelo de Bühlmann El objetivo de este modelo consiste en calcular la prima lineal ajustada a la experiencia de cada riesgo, con base en el criterio de mínimos cuadrados, aplicado a una función lineal que solo depende de la experiencia de reclamaciones y cuya calidad de ajuste se mide según la desviación cuadrática esperada. Sin embargo, una de las principales críticas que recibe este modelo es su rigidez, al considerar independencia dentro y entre las pólizas, y la homegeneidad en el tiempo con observaciones no ponderadas, pues ignora la información que representa para el asegurado el impacto que tiene una póliza debido a su volumen, siendo apto cuando se trabaja con datos sin tendencia. A. Hipótesis del modelo [3].

46 28 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. Las pólizas j = 1, 2,..., k, es decir, los pares (φ 1, X1), (φ 2, X2),, (φ k, Xk) son independientes e idénticamente distribuidas. Es decir, se presenta independencia entre los riesgos (pólizas) y dentro los mismos, o bien, en un análisis da igual coger una póliza que otra. Para cada póliza j = 1, 2,..., k, para un φ j dado, las variables condicionadas: x j1 φ j, x j2 φ j,..., x jn φ j son independientes y están idénticamente distribuidas. Con esta hipótesis no solo se ratifica la independencia dentro de cada riesgo, sino también la homogeneidad en el tiempo, es decir, se asume que un individuo no mejora ni empeora a medida que va pasando el tiempo. a) E[X ji φ j ] = µ(φ j ) j {1, 2,..., k}. b) Cov[ X j φ j ] = σ 2 (φ j ) I j {1, 2,..., k}, donde: I es la matriz identidad, de dimensión (k, k), σ 2 (φ j ) = V ar[x ij φ j ], y X ij es un vector de dimensión (k, 1). B. Notación requerida [4]. Para un desarrollo fluido del modelo propuesto por Bülhmann, se recuerda que: i. µ(φ j ) = E [X ji φ j ]. Prima de riesgo individual para una póliza conc-

47 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 29 reta (j), es decir, la esperanza condicionada a un parámetro de riesgo fijo. ii. m = E [X ji ] = E [µ(φ j )]. Media esperada de reclamaciones para el conjunto de la cartera, es decir, prima de riesgo colectiva o bien, valor esperado de todas las primas de riesgo individuales. iii. a = V ar [E (X ji φ j )]. Mide la dispersión existente entre las primas de riesgo individuales. Es un indicador de la heterogeneidad de la cartera. iv. S 2 = E [V ar [X ji φ j ]] = E [σ 2 (φ j )]. Valor esperado de la dispersión total de los datos de reclamaciones de la cartera. De lo anterior resulta: v. Cov [X js, X jt ] = a + δ st S 2 Donde δ st es el símbolo de Kronecker, es decir 1 si s = t δ st = 0 si s t vi. Cov [µ(φ j ), X ji ] = a. Para probar V y VI usamos la proposición siguiente: Proposición 2.1. Si X e Y son variables aleatorias con distribución

48 30 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. conjunta dependiente de la variable aleatoria θ se verifica [23]: E (X) = E [E (X θ)], Cov(X, Y ) = E [Cov (X, Y θ)] + Cov [E (X θ), E (Y θ)]. (2.9) Demostración. Para probar la primera igualdad, lo haremos con el caso discreto E[E(X θ)] = θ = θ = θ = θ = x = x E[X Θ = θ]p [Θ = θ] xp [X = x Θ = θ]p [Θ = θ] x P [X = x, Θ = θ] x P [Θ = θ] P [Θ = θ] x xp [X = x, Θ = θ] x x θ xp [X = x] P [X = x, Θ = θ] = E[X].

49 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 31 Para la segunda: Cov (X, Y ) = E [[X E(X)][Y E(Y )]] = E[[X E(X θ) + E(X θ) E(X)] [Y E(Y θ) + E(Y θ) E(Y )]] = E [[X E(X θ)][y E(Y θ)]] + E [[X E(X θ)][e(y θ) E(Y )]] + E [[E(X θ) E(X)][Y E(Y θ)]] + E [[E(X θ E(X))][E(Y θ) E(Y )]] = E [Cov(X, Y Θ)] + Cov [E(X θ), E(Y θ)]. Si tomamos X = Y, en el resultado anterior, obtenemos: V ar[x] = E[V ar(x θ)] + V ar[e(x θ)]. (2.10) Volviendo al caso que queremos probar, el resultado V: Cov [X js, X jt ] = a + δ st S 2. Para el caso s t, aplicamos la fórmula 2.9 y la segunda hipótesis del modelo, es decir que, X js φj y X jt φj son independientes, obtenemos:

50 32 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. Cov [X js, X jt ] = E[Cov[X js, X jt φ j ]] + Cov[µ(φ j ), µ(φ j )] = 0 + V ar[µ(φ j )] = a. Por otra parte, el caso s = t, aplicamos la fórmula 2.10 y obtenemos: Cov [X js, X jt ] = V ar[x js ] = E[V ar[x js φ j ]] + V ar[e[x js φ j ]] = S 2 + a. Y así comprobamos que, Cov [X js, X jt ] = a + δ st S 2. Para VI: Cov[µ(φ j ), X js ] = a. Aplicamos nuevamente la fórmula 2.9: Cov [µ(φ j ), X jt ] = E[Cov[µ(φ j ), X jt φ j ]] + Cov[E[µ(φ j ) φ j ], E[X jt ]] = 0 + Cov[µ(φ j ), µ(φ j )] = V ar[µ(φ j )] = a. C. Prima de riesgo individual.

51 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 33 Retomando el modelo de estudio, el objetivo de Bülhmann consiste en calcular la prima de riesgo individual mas ajustada a la experiencia individual, µ(φ j ), bajo el criterio de mínimos cuadrados. Para ello intentó aproximarla mediante una función [2]: h(x j1, x j2,..., x jn ) que sólo depende de los datos observados. Para esto se debe calcular la mínima esperanza del cuadrado de la desviación de la prima de riesgo individual,es decir, se debe determinar h que minimice: l[h] = E [ {µ(φ j ) h(x j1, x j2,..., x jn )} 2] llegando a la conclusión que la función óptima h, usando el criterio anterior, es: h(x j1, x j2,..., x jn ) = E[µ(φ j ) x j1, x j2,..., x jn ] la cual se conoce como estimador posterior de Bayes para µ(φ j ). Sin embargo, el desarrollo matemático de estas funciones se consideró casi imposible en ese momento, al ser desconocidas tanto la función de distribución de X como del parámetro de riesgo. Para solventar parte de este problema, Bülhmann [3] propuso seleccionar la mejor entre la clase restringida de funciones lineales de la forma: c j0 + k c ji X ji. i=1 Para comprobar su teoría Bülhmann estableció el siguiente Lema:

52 34 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. Lema 2.1. Si dados c j0, c j1, c j2,..., c jn tales que se cumple: [ E µ(φ j ) c j0 n i=1 ] 2 c ji X ji E [ µ(φ j ) c j0 n i=1 ] 2 c ji X ji para c j0, c j1, c j2,..., c jn arbitrario, entonces: c j0 + k c ji X ji i=1 es la mejor aproximación lineal para E [µ(φ j ) x j1, x j2,..., x jn ]. Demostración. Desarrollando el lado izquierdo de la expresión: [ E µ(φ j ) c j0 n i=1 ] 2 c ji X ji = = E[[µ(φ j ) E [µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ] n +E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ] (c j0 + c ji X ji )] 2 ] i=1 = E [ [µ(φ j ) E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ]] 2] [ +E E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ] (c j0 + ] 2 n c ji X ji ) 2 E [µ(φ j ) E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ]] [ ] n E E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ] (c j0 + c ji X ji ). i=1 i=1

53 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 35 Pero como: E [µ(φ j )] = E [ E [µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ] ]. Entonces, E [ µ(φ j ) E [µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ] ] = 0. Por lo tanto, [ E µ(φ j ) c j0 n i=1 ] 2 c ji X ji = = E [ [µ(φ j ) E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ]] 2] [ +E [E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ] (c j0 + ] n c ji X ji )] 2. i=1 En la igualdad anterior, el primer sumando no depende de los coeficientes c j1, c j2,, c jn, por lo tanto la parte izquierda y derecha de la igualdad están minimizadas por los mismos coeficientes c j1, c j2,, c jn, con lo cual se demuesta que si: c j0 + n c ji X ji i=1

54 36 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. es la aproximación lineal para µ(φ j ) que más se ajusta a la experiencia conocida, también lo será para E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ]. En resumen, al determinar los valores c j0, c j1, c j2,, c jn que minimizan la función: [ l [c j0, c j1, c j2,, c jn ] = E µ(φ j ) c j0 n i=1 ] 2 c ji X ji (2.11) estamos encontrando la mejor aproximación lineal para E[µ(φ j ) x j1, x j2,, x jn ], esto según el criterio de la máxima precisión mínimo-cuadrática. El estimador que resulte del desarrollo explicado se denomina estimador de credibilidad y se reconoce con la notación µ(φ j ). Para determinar este estimador, como se mencionó anteriormente, debemos minimizar la función (2.11), por lo que derivamos dicha función respecto a los n + 1 coeficientes que tenemos e igualamos a cero

55 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 37 [ [ l = E 2 µ(φ j ) c j0 c j0 [ [ l = E 2 µ(φ j ) c j0 c js ] ] n c ji X ji ( 1) = 0 i=1 ] ] n c ji X ji ( X js ) = 0. i=1 Así, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: [ ] n E µ(φ j ) c j0 c ji X ji = 0 i=1 [ [ ]] n E X js µ(φ j ) c j0 c ji X ji = 0 i=1 (2.12) De este sistema, si multiplicamos la primera ecuación por E[X js ] y se lo restamos a la segunda, para s = 1, 2,, n queda: E [ X js [ µ(φ j ) c j0 ]] n c ji X ji i=1 E [X js ] E [µ(φ j ) c j0 n i=1 c jix ji ] = 0 (2.13) Utilizando la propiedad de que la esperanza de una suma es la suma de esperanzas, desarrollamos (2.13) y obtenemos:

56 38 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. [ ] n 0 = E X js µ(φ j ) X js c j0 c ji X ji X js i=1 [ n ] E[X js ] E[µ(φ j )] + c j0 E[X js ] + E[X js ] E c ji X ji [ n ] = E[X js µ(φ j )] c j0 E[X js ] E c ji X ji X js [ n ] E[X js ] E[µ(φ j )] + c j0 E[X js ] + E[X js ] E c ji X ji i=1 [ ] n = E[X js µ(φ j )] E[X js ] E[µ(φ j )] E X js c ji X ji i=1 [ n +E[X js ] E i=1 = Cov[µ(φ j ), X js ] c ji X ji ] i=1 i=1 n c ji Cov[X js, X ji ] = 0. (2.14) i=1 Para así concluir, con s = 1, 2,, n, Cov[µ(φ j ), X js ] = n c ji Cov[X js, X ji ]. (2.15) i=1 Pero sustituyendo los valores de las covarianzas, obtenidas en la sección anterior, vemos que el resulado final de esta igualdad sería:

57 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 39 Cov[µ(φ j ), X js ] = O sea, por VI: a = n c ji Cov[X js, X ji ]. i=1 n c ji (a + δ ji S 2 ) i=1 = a = a n n c ji + S 2 c ji δ ji i=1 i=1 n c ji + S 2 c js. (2.16) i=1 Ahora bien, si en la primera ecuación del sistema (2.12) hacemos reajustes por tratarse de una esperanza de una suma, obtenemos: E[µ(φ j )] c j0 n c ji E[X ji ] = 0. (2.17) i=1 Pero además sabemos que m = E[µ(φ j )] = E[X ji ] (por la segunda hipótesis del modelo), entonces de (2.17) m c j0 n c ji m = 0 i=1 llegando a la igualdad: m = c j0 + m n c ji. (2.18) i=1

58 40 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. Por tanto, con los resultados (2.16) y (2.18), el sistema de ecuaciones original (2.12) se puede rescribir como: c j0 + m S 2 c js + a n c ji = m (2.19) i=1 n c ji = a, para s = 1, 2,, n. (2.20) i=1 Este sistema de ecuaciones es simétrico respecto a los coeficientes c j1, c j2,, c jn, es decir: c j1 = c j2 = = c jn = c. Haciendo la respectiva sustitución en el sistema de ecuaciones, resulta: c j0 + m n c = m (2.21) S 2 c + a n c = a, para s = 1, 2,, n. (2.22) De esta última ecuación depejamos c, para obtener: c = a S 2 + a n. (2.23) Redefinimos una nueva variable como Z, de la siguiente manera:

59 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD 41 Z = a n S 2 + a n. (2.24) Reescribiendo la ecuación (2.23) con esta nueva variable, obtenemos: c = a S 2 + a n = Z n. (2.25) Por su parte de la ecuación (2.21) se depeja c j0 para tener: c j0 = m (1 n c) [ = m 1 n Z ] n = m [1 Z]. (2.26) Por lo tanto, los coeficientes c j0, c j1, c j2,, c jn que minimizan la función (2.11) son: c j0 = m [1 Z] c j1 = c j2 = = c jn = c = Z n. Siendo el estimador ajustado de credibilidad:

60 42 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. n µ(φ j ) = c j0 + c ji X ji i=0 = c j0 + c Es decir, n X ji. i=0 µ(φ j ) = [1 Z] m + Z X j (2.27) donde: Z = a n S 2 + a n X j = n i=1 X ji n. Propiedades de estimador ajustado de credibilidad - µ(φ j ) 1. Asegura que los ingresos por primas y los pagos se equilibren conjuntamente en promedio. E [ µ(φ j )] = [1 Z] E[m] + Z E[ X j ] n E[X ji ] = [1 Z] m + Z n i=0 = [1 Z] m + Z n n m = [1 Z] m + Z m = m.

61 2.2. MODELOS DE CREDIBILIDAD µ(φ j ) se aproxima a la prima pura verdadera de cada riesgo, cuando n crece, por cuanto para un parámetro de riesgo dado φ j, la media X j se aproxima a m cuando n tiende a infinito, Z se aproxima a la unidad 3. Para la obtención de µ(φ j ) no se ha tomado hipótesis sobre el tipo de función de distribución que gobierna el riesgo individual, o de la función de distribución estructural a priori de los parámetros de riesgo. D. Variables estructurales. Se denominan variables estructurales, precisamentes a las primeras tres hipótesis de las que se parte en este modelo, pero que pese a ser desconocidas, son necesarias para el cálculo del estimador ajustado de credibilidad, µ(φ j ). Aunque la teoría desarrollada por Bühlmann no contempla el cálculo de estos parámetros, se utilizan las definiciones que para dicho fin desarrolló Norberg [18]. Los parámetros a los que nos referimos son: m = E[X js ] = E[µ(φ j )], a = V ar[e[x js φ j ]] = V ar[µ(φ j )], S 2 = E[V ar[x js ]] = E[σ 2 (φ j )]. Estimación Media Poblacional (m): Intuitivamente nos referimos al valor medio observado:

62 44 CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. m = X = 1 k k j=1 X j = 1 k k j=1 n i=1 X ji n. (2.28) Estimación de S 2 = E[σ 2 (φ j )]: Representa el valor esperado de la dispersión total de los datos en el tiempo. Siendo lógico utilizar el valor medio de las k varianzas individuales empirícas: Ŝ 2 = 1 k k j=1 ŝ 2 j = 1 n 1 ŝ 2 j n (X ji X j ) 2 (2.29) i=1 donde ŝ 2 j es la varianza individual empírica del j ésimo riesgo. Estimación de a = V ar[µ(φ j )]: Representa la variación de la prima pura verdadera individual entre los riesgos en la población; se puede estimar con la varianza empírica de la prima pura observada, es decir: â = 1 k 1 k j=1 ( Xj X ) 2 1 n Ŝ2 (2.30) el factor 1 n Ŝ2 corresponde a un ajuste que se hace al estadístico en aras de que sea insesgado, con el propósito de considerar la variación accidental dentro del riesgo de un periodo a otro que puede existir, y reflejarse en el estimador µ(φ j ).