TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONES

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1 DEPARAMENO DE CIENCIA Y ECNOLOGÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Sáenz Peñ 35 (B876BXD Bernl Buenos Aires Argentin EORÍA DE LAS ELECOMUNICACIONES DEECCIÓN DE SEÑALES BINARIAS EN PRESENCIA DE RUIDO BLANCO GAUSSIANO Un vez que los símbolos digitles son trnsformdos en señles eléctrics, pueden ser trnsmitidos trvés del cnl. Durnte un intervlo de tiempo un sistem binrio trnsmitirá un de dos forms de ond, indicds por s ( y s (. L señl trnsmitid durnte el intervlo (, se puede representr como: s i s( ( s( t t pr el binrio pr el binrio Por ejemplo, un puede ser representdo por un tensión eléctric V que se mntiene constnte durnte un tiempo, y un por un tensión V que tmbién se mntiene constnte por igul durción de tiempo. Est señl puede ser trnsmitid directmente (trnsmisión en bnd bse o bien puede ser usd pr modulr un portdor. L señl recibid está fectd por el ruido y por lo tnto existe un ciert probbilidd de que el receptor comet un error l decidir si se trnsmitió un o un. L señl recibid por el receptor, r( se puede representr por: r( si( + n( i, ; t donde n( es el ruido blnco gussino ditivo, de medi cero y vrinz, que interfiere sobre l señl que fue trnsmitid. rtremos de encontrr qué crcterístics debe tener nuestro receptor pr que pued hcer un detección lo más fiel posible del bit que fue trnsmitido. El trnsmisor sbe que fue trnsmitido un ó un, pero debido l efecto del ruido ess señles eléctrics que representn l y l fueron deformds y eso puede confundir l detector l hor de dicernir qué señl se trnsmitió. Supongmos entonces que un secuenci binri consiste en señles de niveles +V y -V, o se, un secuenci de pulsos positivos y negtivos letorios. Relmente no interes conservr l form de l señl en el receptor, sino que lo que interes sber es si en el intervlo de bit se trnsmitió +V o V. Pero, como se dijo ntes, con el ruido presente, el receptor ciertmente nunc v detectr exctmente ±V. Supongmos que el ruido es Gussino. Debido l simetrí de l función de densidd de probbilidd que lo represent, l probbilidd de hcer umentr el vlor de l muestr de señl tomd es igul l probbilidd de hcerl disminuir. Entonces, como primer proximción, es bstnte rzonble diseñr un detector que tome un muestr cd segundos, y, si el vlor es positivo sumir que trnsmitió +V, mientrs que si el vlor es negtivo sumir que se trnsmitió V. Por supuesto, es posible que en el instnte del muestreo l tensión de ruido pued tener un mgnitud myor que V y de polridd opuest l del bit trnsmitido en ese momento. En tl cso se producirá un error en l detección. En l Figur se puede ver este efecto. Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

2 Figur. Efecto del ruido en un señl digitl binri de mplitud V y durción. Podemos reducir l probbilidd de error procesndo l señl recibid junto con el ruido, de mner tl de encontrr un instnte de muestreo decudo en donde l tensión de símbolo se enftizd frente l tensión de ruido. Además, intuitivmente se ve que es necesrio gregr lgo delnte del muestredor, y que con un esquem como el que hemos plntedo como primer proximción indudblemente se está desperdicindo todo el tiempo de bit. Es decir, pr qué trnsmitir un bit con un durción si finlmente se lo está mirndo en un solo instnte? No serí mejor que el receptor hg un observción de todo el bit pr recién luego concluir si fue un ó fue un? endremos que pensr en un esquem que proveche todo el tiempo de bit. Entonces plntemos lo siguiente. L señl trnsmitid s((representd por uno de sus dos estdos ±V, junto con el ruido Gussino n(, se l hce psr por un integrdor y luego sí es muestred. Esto se puede hcer con un mplificdor opercionl con un resistenci de entrd R y un cpcitor de relimentción C, como se muestr en l Figur. Por lo tnto, l slid del integrdor produce un señl que es l integrl del pulso envido, multiplicd por un constnte /RC τ. Al finl de cd tiempo de bit, un llve en prlelo con el cpcitor se cierr pr descrgrlo y sí comenzr l siguiente integrción desde cero. A l slid del integrdor y justo l instnte de tomr l muestr, tenemos: v [ s t + n t ] dt s t dt + ( ( ( ( n( t dt τ τ τ ( L muestr de tensión correspondiente sólo l señl es: V s( Vdt τ ( τ o bien con el signo opuesto cundo l entrd del integrdor es V. L muestr de tensión correspondiente l ruido es: n ( n( dt τ (3 Cbe destcr que n( es un proceso letorio, mientrs que n o ( es un vrible letori. L vrinz (potenci medi de n ( se expres como: N (4 τ Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

3 Además n ( tiene un fdp que es Gussin. El vlor N / es l densidd espectrl del ruido l entrd del integrdor. No demostrremos quí l obtención de l últim ecución, pero l mism surge de plnter que: Gno ( f Gni ( f H( f (5 donde H(f es l función de trnsferenci del integrdor, G ni (f es l densidd espectrl de ruido l entrd del integrdor y G no (f es l densidd espectrl de ruido l slid del integrdor. Figur. Esquem propuesto inicilmente pr mejorr l relción senl ruido, en el instnte de muestreo, de l señl recibid. L slid del integrdor es v ( s ( + n (. L señl de slid s ( es un rmp pr cd intervlo de tiempo. Al finl de l rmp, o se, l instnte del muestreo, l señl s ( tiene un vlor que es +V/τ o V/τ, dependiendo de si el bit trnsmitido fue ó, respectivmente. Mientrs que el ruido, en el instnte del muestreo, tiene un vlor letorio n (. Ambs situciones se muestrn en l Figur 3. Finlmente, el voltje totl l momento del muestreo es: v s ( + n ( (6 ( Figur 3. Señl l slid del integrdor (, y ruido l slid del integrdor (b. Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino 3

4 Nturlmente, buscmos que l tensión correspondiente l señl se myor que l tensión de ruido pr mejorr l performnce de nuestro detector. Por lo tnto un figur de mérito pr este cso es l relción señl ruido. Relcionndo mbs potencis en el instnte de muestreo nos qued el siguiente resultdo: [ s( ] τ V τ V V [ n ( ] N τ N N N V τ (7 Nótese que l relción señl ruido ument con el incremento de l durción de bit y que depende de V que es l energí normlizd de l señl. Es decir que pr mejorr l relción señl ruido se puede umentr el tiempo de bit (trnsmitiendo menos bits por segundo, o se, más lentmente, o bien umentr l tensión V de l señl. Este último cso implic trnsmitir con myor potenci, con lo cul se necesitrí un equipo trnsmisor más grnde, fuentes de limentción más grndes, quizás disipdores más grndes, etc., umentndo el costo y el tmño del sistem. L primer lterntiv, como se dijo, implic trnsmitir menor velocidd. Esto puede verse, por ejemplo, en un comunicción ví modem (unque en este cso no es bndbse sino un señl moduld, el ejemplo vle. Un modem que cumple con l norm de comunicción V.9 deberí conectrse normlmente 56 Kbps. Sin embrgo esto csi nunc ocurre, pues l líne telefónic tiene un ruido myor l esperdo y pr mntener l relción señl ruido en un nivel ceptble el modem trnsmite más lentmente. Otro ejemplo lo muestrn los stélites que se envín l espcio (por ejemplo l NASA o l Agenci Espcil Europe pr tomr fotogrfís, hcer estudios, mediciones, etc. en diversos plnets. Debido l grn distnci que sepr l stélite de l nten terrestre, l relción señl ruido es relmente muy bj como consecuenci de l tenución de l señl trnsmitid. Por lo tnto, pr mntener un relción señl ruido rzonble en el receptor l lterntiv es umentr. L conclusión es que l velocidd de trnsmisión es muy bj. Hemos visto entonces, que, pr el ejemplo nterior de trnsmisión binri bipolr, el filtro que nos mejor l relción señl ruido es un integrdor. Esto h sido pr este ejemplo. En los párrfos siguientes trtremos de ver si es éste el mejor filtro que podemos poner o existe uno mejor, y demás generlizr l situción y trtrl no sólo pr l señl bipolr que se plnteó sino pr culquier señl binri. En l Figur 4 se muestrn los dos psos que se involucrn en l detección de un señl. El primer pso consiste en convertir l señl recibid r( s i ( + n( en un número rel z(. Est operción se reliz por medio de un filtro linel seguido de un muestredor. Al finl de l durción de símbolo l slid del bloque (después de l llve de muestreo d como resultdo l muestr z(. mbién puede demostrrse que un proceso Gussino que ps por un filtro linel produce como slid otro proceso Gussino. Entonces, l slid del bloque d como resultdo: z( i ( + n ( i, (8 donde i ( es l componente de señl de z( proveniente de s i (, y n ( es l componente de ruido proveniente de n(. Pr brevir l notción podemos escribir z i + n. L componente de ruido, n, es un vrible letori Gussin de medi cero. Por lo tnto, z( tmbién es un vrible letori Gussin pero con medi o ( y son dos números reles, obtenidos l slid del muestredor, dependiendo de cuál de los dos símbolos binrios fue envido, (s ( o s (. Si no existiese el ruido, z( serí un número rel con dos vlores posibles. L función de densidd de probbilidd (fdp del ruido letorio Gussino n puede expresrse como: 4 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

5 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino 5 exp ( π n n p (9 donde es l vrinz del ruido. Ls funciones de densidd de probbilidd condicionl, p(z s y p(z s se pueden expresr como: exp ( π z s z p ( exp ( π z s z p ( Figur 4. Esquem básico de detección de un señl binri. Ests fdp condicionles se ven en l Figur 5. L fdp de l derech, p(z s ilustr l función de densidd de probbilidd de l slid del detector, z(, ddo que s ( fue trnsmitido. De mner similr, l curv de l izquierd ilustr p(z s, l función de densidd de probbilidd de z( ddo que se h trnsmitido s (. El eje de ls bciss represent el rngo completo de vlores posibles de z( que se pueden obtener l slid del bloque de l Figur 4. Se ve entonces, que, si no existiese el ruido, z( tendrí sólo dos vlores posibles, y, dependiendo de l señl trnsmitid. Pero, debido l efecto del ruido, z( es en relidd un número que se mueve en un entorno de y, (un vez más, según l señl binri trnsmitid, con un distribución Gussin. Figur 5. Funciones de densidd de probbilidd condicionl.

6 El segundo pso en el proceso de detección consiste en hcer un comprción estdístic. Esto se represent en el bloque de l Figur 4. Se compr z( contr un vlor umbrl γ pr de es mner estimr cuál vlor fue trnsmitido, si s ( o s (. Si z( es myor que γ se decide por un señl, cso contrrio se decide por l opuest. Un vez que l señl recibid r( es convertid en un número z(, y no import más l verdder form de l señl. ods ls forms de ond que sen trnsformds l mismo vlor de z( son idéntics desde el punto de vist de l detección. Veremos más delnte que un cierto tipo de filtro, llmdo filtro dptdo, ubicdo en el bloque, mpe ls señles de igul energí en el mismo punto z(. Por lo tnto, lo que import en el proceso de detección no es l form de ond de l señl sino su energí. Por eso, el nálisis pr el proceso de detección en bnd bse es igul que pr el cso de psbnd (se verá con bundnte detlle en un cpítulo posterior. El pso finl en el bloque es tomr un decisión prtir de l siguiente comprción: H > z( γ < H ( donde H y H son ls dos posibles hipótesis binris. Elegir H es equivlente decidir que s ( se h envido, y elegir H es equivlente decidir que s ( fue envido. L desiguldd en l relción nterior indic que si z( > γ entonces se elige H. De lo contrrio, se elige H. Pr el cso de l iguldd l decisión es rbitrri y se just l detector de mner tl que elij un de ls dos hipótesis l zr, como si tirr un moned. Est comprción es similr l que se hizo en el ejemplo l comienzo del texto. Allí, un vez tomd l muestr, se l comprb con cero: si el número er positivo se decidí por un binrio, cso contrrio se decidí por un binrio. Estructur de un receptor de máxim verosimilitud Qué vlor debe tener γ? Hst hor no hemos dicho nd cerc de qué vlor debe tener pr que se un nivel umbrl propido. Un criterio pr elegir γ se bs en l minimizción de l probbilidd de error. Es decir, se busc un vlor tl de γ como pr que el detector se equivoque lo menos posible en su tom de decisiones. Este vlor óptimo de γ que hce mínim l probbilidd de error lo llmremos γ. Pr hllr tl vlor prtimos de l siguiente relción, llmd test de relción de verosimilitud: p( z s p( z s H > P( s < H P( s (3 donde P(s y P(s son ls probbiliddes priori de que s ( y s (, respectivmente, sen trnsmitidos, y H y H son ls dos posibles hipótesis. Según l regl de l ecución (3, pr minimizr l probbilidd de error, debemos elegir l hipótesis H si l relción de verosimilitudes es myor que l relción entre ls probbiliddes priori. Cso contrrio se elige l hipótesis H. Est ecución (3 surge de l teorí de l probbilidd condicionl. Si P(s P(s y si ls funciones de densidd de probbilidd p(z s i, (i, son simétrics l ecución (3 qued, luego de dividir ( sobre (: 6 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

7 H > + z( < H γ (4 donde es l componente de señl de z( cundo s ( es trnsmitido, y es l componente de z( cundo s ( es trnsmitido. El nivel umbrl γ es el umbrl óptimo que minimiz l probbilidd de tomr un decisión incorrect. Est estrtegi es conocid como criterio del mínimo error. Pr señles igulmente probbles, el umbrl óptimo γ ps trvés de l intersección de ls funciones de densidd de probbilidd, como se ve en l Figur 5. De est mner, siempre se elige l hipótesis que present l máxim verosimilitud (máxim probbilidd. Dicho en términos de ls funciones de densidd de probbilidd condicionl, el detector elige, por ejemplo, s ( si: p( z s > p( z s (5 en cso contrrio, el detector elige s (. Un detector que minimiz l probbilidd de error (pr el cso en que mbs señles son igulmente probbles es conocido con el nombre de detector de máxim verosimilitud. Un vez más, volviendo nuestro ejemplo del comienzo del texto, y pr el cso prticulr del circuito integrdor que se h usdo, serí V/τ, serí V/τ y γ serí. Obvimente, si ls probbiliddes priori no son igules (mbs igul,5, entonces γ se desplz hci l izquierd o hci l derech. Si en lugr de un trnsmisión binri fuese un trnsmisión M-ri, deberí hber M funciones de densidd de probbilidd representndo ls M señles. L decisión de máxim verosimilitud debe ser hech entonces según el máximo vlor de probbilidd de tods ls fdp. Probbilidd de error Pr el cso de un trnsmisión binri, hy dos mners por ls cules se puede producir un error. Un error e v ocurrir cundo se envíe un señl s ( y el ruido del cnl resulte tl que el vlor z( se menor que el umbrl γ (un vez más l Figur 5 sirve de yud. Dich probbilidd se puede expresr como: ( z s γ P( H s p P ( e s dz (6 En plbrs esto es, l probbilidd de que se produzc un error, sbiendo que se trnsmitió s, o, l probbilidd de elegir l hipótesis H sbiendo que se trnsmitió s. Esto se ilustr en l Figur 5 como el áre sombred l izquierd de γ. De mner similr, ocurre un error cundo s ( es envido y debido l ruido del cnl el vlor de z( result myor que el umbrl γ. Esto se expres como: ( e s ( P H s p( z s γ P dz (7 L probbilidd de error es l sum de ls probbiliddes de tods ls mners en que un error puede ocurrir. Pr el cso binrio, podemos expresr l probbilidd de error de bit P B de l siguiente mner: Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino 7

8 P P( e, (8 B s i i Combinndo ls ecuciones (6 (8, tenemos: o equivlentemente, P B P e s P( s + P( e s P( (9 ( s P B P H s P( s + P( H s P( ( ( s (Ls ecuciones (9 y ( surgen del teorem de Byes. Es decir, ddo que fue trnsmitido s (, ocurre un error si se elige l hipótesis H ; o ddo que se trnsmitió s (, ocurre un error si fue elegid l hipótesis H. Pr el cso en que ls probbiliddes priori sen igules, o se, P(s P(s ½, P B P( H s + P( H s ( y por l simetrí de ls funciones de densidd de probbilidd: P B P H s P( H ( ( s L probbilidd de error de bit, P B, es numéricmente igul l áre debjo de l curv fdp que está del ldo incorrecto del umbrl. Por lo tnto, se puede clculr P B integrndo P(z s entre los límites - y γ ó tmbién integrndo p(z s entre los límites γ y : γ P B p z s dz (3 ( Si reemplzmos p(z s por su equivlente distribución Gussin, tenemos: z P B exp dz (4 γ π y como y sbemos, u (z- / tenemos: o es l vrinz del ruido l slid del correldor. Hciendo du dz Por lo tnto, dz du En l ecución (4 l vrible de integrción es z, que vrí entre γ e. Pero γ es ( + /. Por lo tnto, el límite de integrción inferior, en función de u es: + z u + γ 8 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

9 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino 9 u u u + + Entonces, reemplzndo u en l ecución (4 nos qued: u u B Q du u P / ( exp π (5 donde Q(x se llm función complementri de error o función de co-error. Q(x se define como x du u x Q exp ( π (6 L vrible de integrción es u, siendo el límite inferior u x y el límite superior u. Q(x no puede ser evlud en form cerrd y sus vlores se presentn en form de tbls. Si se observ bien, Q(x no es otr cos que P(X x pr un fdp Gussin normlizd (es decir, con medi cero y vrinz. De quí se ve que pr minimizr l probbilidd de error, x debe ser lo más grnde posible (o se, lo más l derech posible debjo de l curv de Guss. Pr el ejemplo visto l comienzo de est exposición hbímos visto que l slid del filtro integrdor, en el instnte de muestreo, obtenímos los siguientes vlores de y : τ τ V V y er: τ τ N N eniendo en cuent esto entonces, el cálculo de l probbilidd de error de bit nos conduce : Q P B + τ τ τ N V V Q P B

10 P B Q V N τ τ P B Q V N / Hst quí hemos optimizdo el vlor del umbrl γ hciendo mínim l probbilidd de error P B y hllndo un expresión pr el cálculo de dich probbilidd de error. Ahor veremos cómo debe ser el filtro que, l slid del muestredor, mximiz l relción señl ruido, y cómo puede usárselo pr que mximice el rgumento de l función Q(x fin de que l probbilidd de error se mínim (es decir, mínim no en función del umbrl de detección γ sino en función del vlor z( que entreg el filtro en el instnte de muestreo. Filtro dptdo Un filtro dptdo es un filtro linel, diseñdo pr que pued dr, su slid, l máxim relción señl ruido pr un determind form de ond del símbolo trnsmitido. Supongmos que un señl conocid s( más RBGA n( se present l entrd de un filtro linel e invrinte en el tiempo, seguido éste por un muestredor, como se muestr en l Figur 4. En el tiempo t l slid z( del receptor consiste en un componente de señl i y un componente de ruido n. L vrinz del ruido de slid (potenci medi de ruido se denot por, de mner que l relción entre l potenci de l señl y l potenci medi de ruido, (S/N en el tiempo t, l slid del receptor del bloque es: S N i (7 Lo que queremos hcer hor es encontrr qué crcterístic debe tener nuestro filtro. Cuál debe ser su función de trnsferenci. Pr ello, debemos hllr l función H (f que mximice l ecución (7. Podemos expresr l señl (, l slid del filtro, en términos de l función de trnsferenci H(f (ntes de su optimizción y de l trnsformd de Fourier de l señl de entrd: jπft ( H( f S( f e df (8 donde S(f es l trnsformd de Fourier de l señl de entrd s(. Si l densidd espectrl del ruido de entrd es N / wtts/hertz, podemos expresr l potenci de ruido l slid como: Recordr que (9 surge de plnter: N H f ( df (9 G no ( f df G ( f H( f df ni y demás G ni ( f N Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

11 Combinndo ecuciones, podemos expresr l relción señl ruido como sigue: S N N H( f S( f e / jπf H( f df df (3 Ahor tenemos que hllr un vlor tl H(f H (f pr el cul l relción señl ruido (S/N se hce máxim. Pr ello usremos l desiguldd de Schwrz que expres lo siguiente: f x f( x dx f( x dx f( x ( dx (3 El término de l izquierd es menor o igul l término de l derech. L iguldd se cumple cundo f( x kf ( x, donde k es un constnte rbitrri y el sterisco indic complejo conjugdo. Si identificmos H(f con f (x y S(fe jπf con f (x, podemos escribir: H( f S( f e jπf df H( f df S( f df (3 luego S N N S( f df (33 o S mx N E N N E (34 donde E es l energí de l señl s i (: E S( f df (35 De est mner vemos que el máximo pr (S/N depende de l energí de l señl y no de l form de ond que se use. Y pr que se cumpl l iguldd en l ecución (34 debemos hcer: jπf H( f ks ( f e H( f (36 o bien, plicndo l ntitrnsformd de Fourier, podemos hllr l respuest impulsiv del filtro: podemos escribir pr h(: jπf { ks ( f e } h( I (37 ks( t h ( (38 pr culquier otro vlor Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

12 O se, l respuest impulsiv de este filtro que tiene su slid l máxim relción señl ruido, es l imgen invertid de l señl s(, retrdd en un tiempo que es l durción de símbolo. En l Figur 6 se puede ver un ejemplo de composición de h(. Figur 6. Respuest impulsiv de un filtro dptdo. El término filtro dptdo tmbién es usdo con el nombre de producto integrdor o correldor. L propiedd básic del filtro dptdo es: su respuest impulsiv es un versión retrdd y rotd sobre el eje de ls bciss, de l señl de entrd o form de ond. Por lo tnto, si l señl de entrd es s(, l imgen o espejo es s(-, y l vez est últim retrdd es s(-. L slid z( del filtro (es decir, señl más ruido, puede escribirse en el dominio del tiempo como l convolución entre l señl recibid r( y l respuest impulsiv del filtro: t z( r( h( r( τ h( t τ dτ (39 Sustituyendo l (38 en l (39 y tomndo rbitrrimente k obtenemos: z( t r( τ s t r( τ s [ ( t τ ] ( t + τ dτ dτ (4 Finlmente, cundo ctú el muestredor que se encuentr continución del filtro z( se convierte en z( r( τ s( τ dτ (4 L operción descript por l ecución (4 es l integrción del producto entre l señl recibid r( y un réplic de l form de ond trnsmitid s( sobre el intervlo de un tiempo de símbolo. Est operción se l conoce como correlción entre r( y s(. Aplicción del filtro dptdo Anteriormente, l determinr el umbrl de decisión óptimo hemos visto que pr tl cso l probbilidd de error es P B Q[( - / ]. El hecho de encontrr un umbrl óptimo no es suficiente pr optimizr el proceso de detección. Pr minimizr P B necesitmos elegir un filtro tl que mximice el rgumento de Q(x. Es decir, un filtro que mximice ( - /, o equivlentemente que mximice ( (4 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

13 donde ( - es l diferenci de ls componentes de señl l slid del filtro en el tiempo t, y el cudrdo de est diferenci es l potenci instntáne de l diferenci de señles. Hemos visto que un filtro dptdo es quel que mximiz l relción señl ruido l slid del mismo. Consideremos un filtro que está dptdo l diferenci de ls señles de entrd, o se, dptdo s (-s (. L relción de potencis instntánes entre l señl y el ruido, l slid del filtro y en el instnte, se puede expresr como: S N ( Ed N (43 donde N / es l densidd espectrl de potenci del ruido y E d es l energí de l diferenci entre ls señles s ( y s ( l entrd del filtro: E d [ s s ( t ] ( dt (44 es: Finlmente, usndo l función complementri de error, l probbilidd de error de bit Ed P B Q (45 N Aquí se ve que si ument E d entonces disminuye l probbilidd de error, como se puede deducir intuitivmente. De igul mner, l probbilidd de error disminuye si disminuye l potenci de ruido, representd por el vlor de N. Figur 7. Equivlenci entre ( filtro dptdo y (b correldor. Por lo tnto, del nálisis hecho en este prtdo, concluimos que el filtro que se us previo l muestreo de l señl en un esquem de detección binri, es un filtro dptdo l diferenci entre ls señles s ( y s ( o su equivlente implementdo con un correldor. Ambos csos se muestrn en l Figur 7. Probbilidd de error en sistems binrios Señlizción unipolr. Un señl unipolr se puede representr mtemáticmente como: Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino 3

14 s( A s ( t t pr el binrio pr el binrio (46 donde A > es l mplitud de l señl s (. Supongmos que est señl unipolr, más ruido blnco Gussino, se present l entrd de un filtro dptdo, con tiempo de muestreo t. El correldor pr detectr este tipo de señl se muestr en l Figur 8. El correldor multiplic e integr l señl que lleg, r(, con l diferenci de ls señles prototipo, [s ( s (] A, y luego del tiempo compr el vlor obtenido z( con el vlor umbrl γ. El vlor del umbrl óptimo en este cso es γ ( + / (½A. Si l slid del correldor es myor que γ entonces se declr que se recibió s (; cso contrrio se declr s (. Figur 8. Señl unipolr y esquem de detección. Aplicndo l (44 l energí de l diferenci entre señles es A. Entonces, l probbilidd de error de bit pr este esquem unipolr es Ed A Eb P B Q Q Q (47 N N N donde l energí medi por bit es E b A /. Señlizción bipolr. Un form de ond bipolr se puede expresr mtemáticmente como: s ( + A s ( A t t pr el binrio pr el binrio (48 Cundo ls señles son como lo describe l (48 se llmn señles ntipodles y se puede ver en l Figur 9(. L detección de l señl se puede hcer medinte dos correldores como se ve en l Figur 9(b. Un correldor multiplic e integr l señl r( con el prototipo de señl s ( y el segundo correldor multiplic e integr r( con s (. Un correldor entreg un slid z ( y el otro un slid z (. El punto z( en el espcio de decisión está formdo por: 4 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

15 z( z( z( Pr señles ntipodles result ser -, por lo tnto el umbrl de decisión óptimo es γ. De est mner, si el test estdístico z( es positivo se decide por s (; cso contrrio se decide por s (. Figur 9. Señl bipolr y esquem de detección. L energí de l diferenci entre señles es E d (A, por lo tnto, l probbilidd de error de bit pr este esquem bipolr es: donde l energí medi por bit es E b A. A E b P B Q Q (49 N N Comprndo mbos esquems, con el bipolr se puede tener un relción E b /N 3 db inferior l esquem unipolr y sin embrgo tener l mism probbilidd de error de bit. Cd esquem de señlizción tiene su propi performnce de error de bit que se describe medinte un curv tipo cscd como l que se muestr en l Figur. Normlmente se hbl de BER, ts de error de bit (Bit Error Rte en Inglés. Propieddes del filtro dptdo El filtro dptdo present cierts propieddes interesntes, que pueden resultr útiles de plicr (quizás pr comprender mejor lgunos otros tems y que describiremos continución. Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino 5

16 Figur. Performnce de error de bit pr señlizción unipolr y bipolr.. El espectro de l señl de slid de un filtro dptdo, que tiene como entrd su señl dptd, es proporcionl (slvo un fctor de retrdo l densidd espectrl de energí de l señl de entrd. Si S o (f es l trnsformd de Fourier de l slid del filtro, s o (, entonces, S ( f H o o * ( f S( f S ( f S( f exp( jπf S( f exp( jπf (5 Como S o (f es el espectro de l señl de slid, y el cudrdo del módulo de S(f es l densidd espectrl de energí de s(, l propiedd qued demostrd.. L señl de slid de un filtro dptdo es proporcionl un versión desplzd de l función de utocorrelción de l señl de entrd l cul el filtro está dptdo. Est propiedd surge de l nterior, teniendo en cuent que l función de utocorrelción y l densidd espectrl de energí formn un pr trnsformdo. Por lo tnto, plicndo l trnsformd invers de Fourier l últim expresión de l (5, se puede expresr l slid el filtro dptdo como: ( t s ( R (5 o x tiene: donde R x (τ es l función de utocorrelción de l señl s(. Nótese que pr t se s ( R ( E (5 o x 6 Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino

17 donde E es l energí de l señl. Esto es, en usenci de ruido, el máximo vlor obtenido l slid de un filtro dptdo, en el tiempo t, es proporcionl l energí de l señl. 3. L relción señl ruido l slid de un filtro dptdo depende sólo de l relción entre l energí de l señl y l densidd espectrl de potenci del ruido blnco l entrd del filtro. L potenci medi de ruido, l slid del filtro óptimo es: E N { n ( } H( f df eniendo en cuent l iguldd expresd por l (36 y hciendo rbitrrimente k, l nterior ecución qued: E N { n ( } N S( f df E (53 eniendo en cuent l propiedd (máximo vlor de energí de l señl, en el tiempo t, el máximo vlor de SNR (siempre son potencis normlizds... l slid del filtro es: ( E E SNR O,mx (54 N E / N Aquí se ve que l SNR l slid del filtro no depende de l form de ond de l señl de entrd. Detección de señles binris en presenci de ruido blnco Gussino 7

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