Introducción a los Sistemas Digitales

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1 Tema Sistema Estructura y comportamiento Señal analógica y señal digital Señal binaria Sistemas de numeración Representación de números enteros Signo-magnitud Complemento a dos Codificación Códigos numéricos Códigos alfanuméricos Detección de errores

2 Tema Sistema 2

3 Tema Estructura y Comportamiento Un sistema físico establece una relación causal entre excitaciones (señales de entrada) y respuestas a tales excitaciones (señales de salida) Alfabeto de entrada. Conjunto de valores posibles de las señales de entrada = { σ, σ 2,... σn} Alfabeto de salida. Comportamiento Entrada/Salida. Realidad Análisis Síntesis Conjunto de valores posibles de las señales de salida Comportamiento entrada - salida {,,... } Ω = ω ω ω 2 m Conjunto de relaciones que el sistema establece entre las señales de entrada y las de salida Puede ser punto de partida en el diseño del sistema, ó punto final en el análisis 3

4 Tema Para facilitar la resolución de sistemas digitales de gran complejidad, podemos establecer tres niveles jerárquicos: a) Nivel de arquitectura También llamado nivel de sistema. Es el nivel más alto, y se caracteriza por la administración global del sistema. Permite descomponer un sistema complejo en varios subsistemas menos complejos b) Nivel lógico Nivel intermedio. Se preocupa por detalles del sistema, proponiendo una solución desde consideraciones lógicas, sin tener en cuenta el problema de la fabricación física de los dispositivos lógicos que utiliza c) Nivel físico Nivel inferior. Se preocupa de los detalles necesarios para fabricar o montar el sistema. La asignatura de Sistemas Electrónicos Digitales trata del estudio de los circuitos digitales en el Nivel lógico. 4

5 Tema Señal analógica y señal digital Señal analógica a) Señal analógica. Consiste en representar la información de forma que admita cualquier valor dentro del rango definido para la señal, en cualquier instante de tiempo Señal analógica muestreada b) Señal analógica muestreada. Consiste en representar la información de forma que admita cualquier valor dentro del rango definido para la señal, en unos instantes de tiempo determinados Señal digital c) Señal digital. Consiste en representar la información de forma que admita un conjunto de valores discretos, en unos instantes de tiempo determinados. 5

6 Tema Señal binaria V V cc Lógico V H V L Lógico t t t 2 t 3 Señal binaria Consiste en representar la información mediante dos únicos valores que generalmente se asimilan al y al t Circuito digital Se caracteriza por utilizar señales binarias 6

7 Tema Diseño lógico Consiste en la construcción de circuitos digitales utilizando como elementos base, las puertas lógicas Puerta lógica Circuito electrónico, de comportamiento específico, que permite ejecutar operaciones lógicas específicas para unas señales de entrada, produciendo como resultado unas señales de salida. Las puertas lógicas están disponibles comercialmente empaquetadas en circuitos integrados (CI) La teoría de diseño lógico de circuitos digitales se conoce como teoría de conmutación y su base teórico-matemática es el álgebra de conmutación o álgebra de Boole Los sistemas digitales se dividen en sistemas combinacionales y sistemas secuenciales 7

8 Tema Sistema combinacional La salida en un instante de tiempo t sólo depende del valor de la entrada en dicho instante t Z(t) = G(x(t)) El sistema NO tiene memoria, por lo que realmente Z = G(x) Sistema secuencial La salida en un instante de tiempo t depende del valor de la entrada en dicho instante t y de las entradas previas Z(t) = G (x(t),s(t)) s(t+) = G 2 (x(t),s(t)) Donde: G Función de Salida. G 2 Función de Transición de Estados. s(t) Estado del sistema en el instante t 8

9 Tema Sistemas de numeración 9

10 Tema Alfabeto Los elementos de un alfabeto A pueden ser representados mediante combinaciones de símbolos pertenecientes a un conjunto B tal que B << A. Una codificación del alfabeto A es una aplicación uno a uno : ϕ : A B n donde los elementos de A se representan por n-eplas de símbolos pertenecientes a B. Representación numérica en base B Es una codificación de Z N = {,,..., N-}, en el conjunto de símbolos B={x, x, x 2,..., x B- } utilizando un alfabeto A = {s, s, s 2,..., s K }, donde cualquier natural X tiene asociada una palabra en A X Z N s j=[x n-,x n-2,...,x,x ] / x i B, s j A

11 Tema Valor numérico Dado el elemento X representado por la palabra [x n-, x n-2,..., x, x ], su valor numérico viene dado por: n- n-2 [x n-,x n-2,...,x,x ] = xn-b +xn-2b xb +xb Orden lexicográfico Dados dos X = [x n-, x n-2,..., x, x ], Y = [y n-, y n-2,..., y, y ] representados en una determinada base, se establece la siguiente regla de orden: X < Y existe un índice j / x j<y j y además x k=y k k>j

12 Tema Propiedades de los sistemas de numeración a) La representación de cada X es única b) A cada elemento de B se denomina dígito c) El número de elementos de B se denomina base del sistema B d) El dígito de mayor valor es B - e) A cada elemento del alfabeto se le denomina palabra f) El número de palabras de un alfabeto viene dado por B n donde: B n número de dígitos de la base B longitud de palabra de los elementos del alfabeto 2

13 Tema Sistema Binario B = {,} B = 2 Cada uno de los dígitos recibe el nombre de bit El bit más a la izquierda del número, se denomina bit más significativo y el bit más a la derecha del número, se denomina bit menos significativo Ejp. Bit más significativo Bit menos significativo Sistema Octal B = {,,2,3,4,5,6,7} B = 8 Sistema Hexadecimal B = {,,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} B = 6 3

14 4 Tema F 7 5 E 6 4 D 5 3 C 4 2 B 3 A Hexadecimal Octal Binario Decimal

15 Tema Representación de números enteros 5

16 Tema Representación signo-magnitud Para el caso binario, dado un tamaño de palabra de n bits, podemos representar el siguiente rango de números sin signo n x 2 - La representación signo-magnitud consiste en añadir un bit adicional (bit de signo), que tendrá el valor para los números positivos y el valor para los números negativos Para un tamaño de palabra de n bits, podemos representar el siguiente rango de números signados en formato signo-magnitud n- n- -(2 - ) x (2 - ) 6

17 Tema n Bin. Dec. Rango n Bin. Dec. Rango x 2 - x x x 3 x x (2 2- -) x (2 2- -) - x -(2 3- -) x (2 3- -) -3 x 3 Sin signo Signo-magnitud 7

18 Tema Representación complemento-a-dos La representación complemento-a-dos de un número con signo consiste en: a) Los números con el bit más significativo con valor, serán considerados como positivos b) Los números con el bit más significativo con valor, serán considerados como negativos c) Para un tamaño de palabra de n bits, podemos representar el siguiente rango de números signados en formato complemento-a-dos: -(2 n- ) x (2 n- -) 8

19 Tema Dado un número, el cálculo de su opuesto, se efectúa en 2 etapas (método ): ) Se obtiene el complementario del número 2) Se suma al resultado obtenido en el paso Dado un número, el cálculo de su opuesto, se efectúa en 2 etapas (método 2): ) Se busca el primer bit con valor partiendo del bit menos significativo (bit diferenciador) 2) Se complementan todos los bits a la izquierda del bit diferenciador 9

20 Tema Operandos Resultado Acarreo Operando Resultado Suma binaria Operación complementación 2

21 Tema n Bin. Dec. Rango (2 2- ) x (2 2- -) -2 x (2 3- ) x (2 3- -) -4 x (2 4- ) x (2 4- -) -8 x 7 2

22 Tema Codificación 22

23 Tema Códigos numéricos Código BCD Dado un número sin signo en base N = d n- d n-2...d d se convierte a BCD estándar representando en binario de 4 bits cada uno de sus dígitos d i d n-... d i... d n- n- n- n- i i i i b b b b... b b b b... b b b b Código Exceso Dado un número sin signo en base N = d n- d n-2...d d se convierte a E3 estándar representando en binario de 4 bits cada uno de sus dígitos d i más tres Presenta como ventaja al código BCD que genera automáticamente el acarreo cuando se suman dos dígitos 23

24 Tema Código Gray Fórmula de generación recursiva: ref G n+= {G n,g n } donde G = {,} n Es un código reflejado, no posicional Presenta la propiedad de que dos números consecutivos, representados en este código, sólo difieren en bit 24

25 Tema BCD E3 GRAY

26 Tema Códigos de caracteres Son adecuados para almacenar información no numérica Asignan una palabra binaria de longitud fija, para representar la menor unidad de información alfanumérica, esto es, para cada carácter gráfico a) Código ASCII. (American Standard Code for Information Interchange). Utiliza un tamaño de palabra binaria de 8 bits, siendo siempre el bit más significativo, por lo que puede representar 28 caracteres distintos b) Código EBCDIC. Desarrollado por IBM. Utiliza un tamaño de palabra binaria de 8 bits, por lo que puede representar 256 caracteres distintos 26

27 Tema Detección de errores Todos los sistemas digitales, debido a diversos factores, tienen errores ocasionalmente. Hay diversos métodos de codificar datos, de forma que puedan ser detectados errores en la transmisión de dichos datos. Uno de los posibles métodos es el de control de paridad. Dada una palabra de n bits, X=[x n-,x n-2,...,x,x ] definimos su función de paridad, P(X) como: P(X) = x n- +x n x +x (módulo 2) Si P(X) = X tiene paridad par Si P(X) = X tiene paridad impar 27

28 Tema Ejp: P() = = (módulo 2) P() = = (módulo 2) La función P(X) puede ser implementada mediante la operación XOR. Es claro que un error que provoque la variación de un sólo bit en una palabra transmitida, provocará un cambio de paridad en dicha palabra. 28

29 Tema Para detectar este tipo de errores se añade un bit adicional p llamado, bit de paridad, que tendrá el valor adecuado, de forma que todas las palabras del sistema tengan una paridad fija (ya sea paridad par ó paridad impar) Para el caso de paridad par: p = x n- +x n x +x (módulo 2) Para el caso de paridad impar: p = x n- +x n x +x + (módulo 2) 29

30 Tema Para detectar los errores de paridad se utiliza la función de verificación de paridad, e(x) definida como: e(x) = x n- +x n x +x +p (módulo 2) Para el caso de paridad par: Si e(x) = dato correcto Si e(x) = dato incorrecto Para el caso de paridad impar: Si e(x) = dato incorrecto Si e(x) = dato correcto 3

31 Tema X Subsistema propenso a errores X Función de paridad de bits n P P Función de paridad de bits (n+) e Generador de paridad Verificador de paridad 3

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