D.I.I.C.C Arquitectura de Sistemas Computacionales

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1 CAPITULO 6.- ÁLGEBRA DE BOOLE INTRODUCCIÓN. En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias) Así el álgebra de Boole nos permite manipular relaciones proposicionales y cantidades binarias. Aplicada a las técnicas digitales se utiliza para la descripción y diseño de circuitos más económicos. Las expresiones booleanas serán una representación de la función que realiza un circuito digital. En estas expresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas (AND, OR NOT) para construir expresiones matemáticas en las cuales estos operadores manejan variables booleanas (lo que quiere decir variables binarias). El estudio de los sistemas numéricos nos ha permitido visualizar que el sistema binario tiene una implementación natural mediante algún dispositivo electrónico como por ejemplo, un interruptor que habilita o deshabilita una variable eléctrica como son Voltaje e Intensidad de corriente. El estudio de los códigos nos entregó una forma compacta para la representación de números y símbolos alfanuméricos de uso habitual en nuestro lenguaje. En lo que sigue, estudiaremos la base técnica en la cual se sustenta el funcionamiento de los diferentes circuitos electrónicos digitales, los cuales permiten desarrollar funciones específicas. 6.1 ÁLGEBRA DE BOOLE. Un conjunto R sobre el cual se han definido operaciones binarias (+, *), se llama álgebra de Boole, si cumple los postulados: Postulado 1: La multiplicación y la suma son conmutativas. i) a+b=b+a ii) a b=b a Postulado 2: R contiene elementos neutros, 0 y 1, con respecto a la + y a la *, tal que: i) a+0=a ii) a 1=a Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 1

2 Postulado 3: Cada operación es distributiva respecto a la otra, es decir: a, b, c R se verifica que: i) a+b c = (a+b) (a+c) ii) a (b+c) = a b + a c Postulado 4: Cada operación tiene elemento inverso, es decir: a R a R tal que: i) a+a =1 ii) a a =0 Un álgebra de boole satisface el principio de dualidad: "Todo teorema deducible de los 4 postulados de un álgebra Booleana sigue siendo válido si se intercambian los símbolos + y *, los elementos 0 y 1 entre si." En consecuencia basta demostrar uno de los enunciados para posteriormente deducir el otro por dualidad. Ejemplo 1: Demostrar que a R a+a=a. Dem: (a+a) = (a+a) 1 /por postulado 2 = (a+a)(a+a ) /por postulado 4 = a+(a a ) /por postulado 3 = a+0 /por postulado 4 = a /por postulado 2 Ejemplo 2: Demostrar que a R a 0=0. Dem: (a 0) = (a 0)+0 /por postulado 2 = a 0+a a /por postulado 4 = a (a +0) /por postulado 3 = a a /por postulado 2 = 0 /por postulado 4 Ejemplo 3: Demostrar que a,b R a+a b=a Dem: a+a b = a 1+a b /por postulado 2 = a (1+b) /por postulado 3 = a 1 /por demostración anterior = a /por postulado 2 Ejercicios. Demostrar: a) a a = a b) a+1 = 1 c) a (a+b) = a d) a (a +b) = a b Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 2

3 6.1.1 Teoremas del Álgebra de Boole 1. Regla del cero y la unidad a) X + 0 = X b) X + 1 = 1 c) X 1 = X d) X 0 = 0 2. Idempotencia o potencias iguales a) X + X = X b) X X = X 3. Complementación a) + x = 1 x b) X * X = 0 4. Involución 5. Conmutatividad a) conmutatividad del + X + Y = Y + X b) conmutatividad del X Y = Y X 6. Asociatividad a) asociatividad del + X + (Y + Z) = (X + Y) + Z b) asociatividad del X (Y Z) = (X Y) Z 7. Distribuitividad a) distribuitividad del + X + (Y Z) = (X + Y) (X + Z) b) distribuitividad del X (Y + Z) = (X Y) + (X Z) 8. Leyes de absorción a) X (X + Y)= X b) X ( + Y)= X Y c) (X + Y)= Y d) (X + Y) (X + )= X e) X + X Y = X f) X + Y = X + Y g) + X Y = + Y h) X Y + X = X Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 3

4 9. Teoremas de DeMorgan a) b) c) d) 10. Teoremas generalizados de DeMorgan a) b) Dualidad Los postulados y teoremas presentados anteriormente están representados en pares. La razón es que cada teorema posee lo que llamamos un dual. El dual de una expresión se obtiene intercambiando las ocurrencias de OR por AND, 0 por 1 y viceversa.. Si un teorema es valido, también lo será su dual, En efecto siguiendo el dual de la demostración del teorema, se obtiene la demostración del dual del teorema. Por ejemplo dado el postulado 0+0 = 0 se obtiene el dual haciendo 1 1 = FUNCIONES BOOLEANAS. Sea R = {a,b,c,...} un álgebra Booleana, definimos: Constante: Un valor dado que puede tomar un elemento de R, como por ejemplo 0 y 1. Variable: Un símbolo que representa un elemento de R. Función: Combinación finita de elementos de R a través de los operadores y +. Nº de variables de una función: Es el número de elementos distintos que aparecen en una función, considerándose que una variable y su complemento son una única variable. a+b 2 variables x+x 1 variable Ejercicios: Simplificar: a) f(x,y) = (x+y) + ( x+ y) y = (x+y) + x y+ y y = (x+y) + x y = x+y+x + y =1 Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 4

5 b) f(w,x,y,z) = x + x y z + x y z + w x + w x + x y = x + x y z + x +x y = x + yz + x+y = x+y+y z = x+y Formas Canónicas Definiciones: Literal: se refiere a una variable o a su complemento (por ej. A, X, ) Termino Producto (POS): Es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un AND (por ej. A B, C A, Y Z ) Termino Suma (SOP): Es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un OR (por ej. A+B, C+A, +Y+Z ) Termino Normal: Término producto o termino suma en el que un literal no aparece más de una vez Termino Canónico: Término en el que se encuentra exactamente uno de cada uno de los literales de la función. Si el término canónico es un producto, se denominará mintermino ( (m) ). Si es una suma se denominará maxtermino ( (M ) ). Forma Normal de una función: Es la que está constituida por términos normales. Puede estar en la forma suma de términos productos o productos de términos sumas. Forma Canónica de una función: Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos que aparecen una sola vez Forma canónica de funciones booleanas La importancia de la forma canónica estriba en el hecho de ser UNICA. Como se mostró anteriormente una función puede tener infinidad de representaciones, pero solo una representación en forma canónica. Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 5

6 Existen dos formas canónicas de una función: Suma De Productos o Producto de Sumas. (También de una manera mas formal Suma de minterminos o Producto de maxterminos) Para obtener algebraicamente la forma canónica de una función se puede utilizar los teoremas de expansión canónica: Teorema 1: Para obtener la forma canónica de una función suma de productos se multiplicará por un termino de la forma (X + ) donde falte un literal para que el termino sea canónico. Teorema 2: Para obtener la forma canónica de una función producto de sumas se sumará un termino de la forma X donde falte un literal para que el termino sea canónico Forma canónica suma de productos (SOP): Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos productos (minterminos) sumados que aparecen una sola vez. Por ejemplo: F ( X, Y, Z) = XYZ + XY Z + XYZ + XY Z + XYZ Para simplificar la escritura en forma de suma canónica de productos, se utiliza una notación especial. A cada mintermino se le asocia un número binario de n bits resultantes de considerar como 0 las variables complementadas y como 1 las variables no complementadas. Así por ejemplo el mintermino Z corresponde a combinación X=0, Y=0, Z=1 que representa el numero binario 001, cuyo valor decimal es 1. A este mintermino lo identificaremos entonces como m 1. De esta forma, la función: F ( X, Y, Z) = XYZ + XY Z + XYZ + XY Z + XYZ se puede expresar como: F(X,Y,Z) = sumatoria de los minterminos 1,4,5,6,7 m(1, 4,5,6,7) que quiere decir la Forma canónica producto de sumas (POS): Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos sumas (maxterminos) multiplicados que aparecen una sola vez. Por ejemplo: F ( X, Y, Z) = ( X + Y + Z)( X + Y + Z)( X + Y + Z) Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 6

7 Análogamente al caso anterior, podemos simplificar la expresión de la función, indicando los maxterminos. Sin embargo, en este caso se hace al contrario de antes. A cada maxtermino se le asocia un número binario de n bits resultantes de considerar como 1 las variables complementadas y como 0 las variables no complementadas. Así por ejemplo el maxtermino + Y + Z corresponde a combinación X=1, Y=0, Z=0 que representa el numero binario 100, cuyo valor decimal es 4. A este maxtermino lo identificaremos entonces como M 4. De esta forma, la función: F ( X, Y, Z) = ( X + Y + Z)( X + Y + Z)( X + Y + Z) Se puede expresar como: F(X,YZ) = producto de los maxterminos 0,2,3 M(0,2,3) que quiere decir el En resumen, cada mintermino se asocia con la combinación de entrada para la que la función produciría un 1, y cada maxtérmino con la combinación para la que produciría un 0. En la tabla de la derecha se muestran los minterminos y los maxterminos asociados con cada combinación en una tabla de verdad de 3 variables. De acuerdo con esta tabla para determinar el término producto o suma se hace lo siguiente: para los minterminos cada variable no complementada se asocia con un 1 y cada variable complementada se asocia con 0. Para los maxtérminos la regla es la inversa. Valor decimal X Y Z Mintermino Maxtermino X Y Z =m X +Y +Z =M 0 X Y Z =m 1 X +Y +Z =M 1 X Y Z =m 2 X +Y +Z =M 2 X Y Z =m 3 X +Y +Z =M 3 X Y Z =m 4 X +Y +Z =M 4 X Y Z =m 5 X +Y +Z =M 5 X Y Z =m 6 X +Y +Z =M X Y Z =m 7 X +Y +Z =M 7 Ejemplo 1. Exprese la siguiente función como una suma de minterminos: Hay dos formas de resolver este problema. F = X + YZ. Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 7

8 Forma 1. Se puede obtener la tabla de verdad de la expresión y entonces tomar los minterminos. X Y Z F = X + Y Z minterminos X Y Z X Y Z X Y Z Se evalúa la función para todas las combinaciones y se toman los minterminos de la tabla para los cuales la función vale 1. La respuesta es :F = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z Otra notación que podemos utilizar es: F = m(1, 4,5,6,7) X Y Z X Y Z que quiere decir la sumatoria de los minterminos 1,4,5,6,7 Forma 2. Aplicando los teoremas de expansión canónica para las variables faltantes. _ X + Y Z X ( Y + Y ) ( Z + Z ) + Y Z ( X + X ) _ ( X Y + X Y ) ( Z + Z ) + Y Z X + Y Z X _ X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z Ejemplo 2. Exprese la siguiente función como un producto de maxterminos: _ F = X + Y Z De nuevo, se puede resolver construyendo una tabla de verdad o con manipulación algebraica. Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 8

9 Forma 1. Se obtiene la tabla de verdad de la función. Tomando los maxterminos desde la tabla de verdad, la respuesta es: X Y Z F = X + Y Z maxterminos ( X +Y +Z ) Se evalúa la función para todas las combinaciones y se toman los maxtermino de la tabla para los cuales la función vale ( X +Y +Z ) ( X +Y +Z ) _ La respuesta es: F = ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) Otra notación que podemos utilizar es: F = M(0,2,3) que quiere decir el producto de los maxterminos 0,2,3 Forma 2. Aplicando el teorema de expansión canónica. _ X + Y Z _ ( X + Y ) ( X + Z ) _ ( X + Y + Z Z ) (X + Z + Y Y ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Z + Y ) ( X + Z + Y ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) _ ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) _ ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) Note la simetría que existe entre la suma de productos y el producto de sumas de una expresión. Si m i es el mintermino para la combinación i, y M i es el maxtermino. m i = M i Para convertir de una forma canónica a otra se intercambian los signos y y se reemplazan los números correspondientes a las combinaciones no incluidas el la forma original. Por ejemplo: M(2,4,6) = m(0,1,3,5,7) Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 9

10 Forma normal de funciones booleanas Otra manera importante de expresar expresiones booleanas es la forma normal. Tiene la misma estructura básica suma de productos o producto de sumas, pero no se requiere que los términos sean minterminos o maxterminos. Por ejemplo: La siguiente es una forma normal suma de productos: X Y + X Y Z La siguiente es una forma normal producto de sumas: _ ( Y + X ) ( X + Z ) (Y ) A lo largo de este curso la forma que se utilizará con preferencia será la de suma de productos Compuertas Lógicas: Un computador digital, como su nombre lo indica, es un sistema digital que realiza diversas operaciones de cómputo. La palabra Digital implica que la información que se representa en el computador por medio de variables que toman un número limitado de valores discretos o cuantizados. Estos valores son procesados internamente por componentes que pueden mantener un número limitado de estados discretos. Los dígitos decimales por ejemplo, proporcionan 10 valores discretos (0.. 9). Como sabemos en la práctica, los computadores funcionan más confiablemente si sólo utilizan dos estados equiprobables. Debido al hecho que los componentes electrónicos atienden a dos estados (encendido / apagado) y que la lógica humana tiende a ser binaria (esto es, cierto o falsa, si o no) se utiliza el sistema binario y se dice que son binarias. Los computadores digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en los computadores digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 10

11 conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos. La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales. Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan un a variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 [volts ] para representar el binario 1 y 0.5 [volts ] para el binario 0. La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria. Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación aceptable del valor nominal. La región intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado. Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas. La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. Es utilizada para escribir, en forma algebraica o tabular. La manipulación y procesamiento de información binaria. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógico que se denominan Compuertas. Las compuertas son bloques del hardware que producen señales del binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadores digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad. A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de ocho compuertas. Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 11

12 Compuerta AND: Cada compuerta tiene una o dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la unión lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Podemos utilizar o un punto entre las variables o concatenar las variables sin ningún símbolo de operación entre ellas. Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1. Compuerta OR: La compuerta OR produce la función OR inclusiva, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR es (+), similar a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1. Compuerta NOT (Inversor): El circuito inversor invierte el sentido lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complemento. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un complemento lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa. Compuerta Separador: Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 3 volts para el binario 1 producirá una salida de 3 volts cuando la entrada es 3 volts. Sin embargo, la corriente suministrada en la entrada es mucho más pequeña que la corriente producida en la salida. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 12

13 requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador. Compuerta NAND: Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico que consiste en un símbolo gráfico AND seguido por un pequeño círculo. La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que Es la función AND la que se ha invertido. Compuerta NOR: La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza un símbolo gráfico OR seguido de un círculo pequeño. Tanto las compuertas NAND como la NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente. Compuerta OR exclusivo (XOR): La compuerta OR exclusiva tiene un símbolo gráfico similar a la compuerta OR excepto por una línea adicional curva en el lado de la entrada. La salida de esta compuerta es 1 si cada entrada es 1 pero excluye la combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusivo tiene su propio símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND, OR. Compuerta NOR exclusivo (XOR): El NOR exclusivo como se indica por el círculo pequeño en el símbolo gráfico. La salida de ésta compuerta es 1 solamente si ambas entradas son tienen el mismo valor binario. Nosotros nos referiremos a la función NOR exclusivo como la función de equivalencia. Puesto que las funciones OR exclusivo y funciones de equivalencia no son siempre el complemento la una de la otra. Un nombre más adecuado para la operación OR exclusivo sería la de una función impar; esto es, la salida es 1 si un número impar de entrada es 1. Así en una función OR (impar) exclusiva de tres entradas, la salida es 1 si solamente la entrada es 1 o si todas las entradas son 1. La función de equivalencia es una función par; esto es, su salida es 1 si un número par de entradas es 0. Para un función de equivalencia de tres entradas, la salida es 1 si ninguna de las entradas son 0 (todas las entradas son 1) o si dos de las entradas son 0 (una entrada es 1). Una investigación cuidadosa revelará que el OR exclusivo y las funciones de equivalencia son el complemento la una de la otra cuando las Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 13

14 compuertas tienen un número par de entradas, pero las dos funciones son iguales cuando el número de entradas es impar. Estas dos compuertas están comúnmente disponibles con dos entradas y solamente en forma rara se encuentran con tres o más entradas. RESUMEN COMPUERTAS LÓGICAS: Símbolo Tabla de Verdad Función Algebraica AND aa X = A* b AB OR X = A+ B Inversor (Not) X = A' A Separador X = A NAND X = ( AB)' Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 14

15 Símbolo Tabla de Verdad Función Algebraico NOR X = ( A+ B)' OR (Exclusivo XOR) NXOR (Exclusivo, Equivalencia) X = A B AB+ AB X = A B AB + AB Tabla Resumen de Compuertas Lógicas Var Var AND NAND OR NOR OR EX ( ) A B (*) (+) A B + AB aa NOREX ( ) A B + AB Retomemos el teorema DeMorgan: El teorema DeMorgan es muy importante al tratar compuertas NOR y NAND. Expresa que una compuerta NOR que realiza la función (x + y) es equivalente a la expresión función xy. Similarmente, una función NAND Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 15

16 puede ser expresada bien sea por (xy) o por x + y por esta razón, las compuertas NOR y NAND tienen dos símbolos gráficos distintos como se muestra en la figura: En vez de representar una compuerta NOR por el símbolo gráfico OR seguido por un círculo, nosotros podemos representarla por un símbolo gráfico AND precedido por círculos en todas las entradas. El inversor AND para la compuerta NOR proviene del teorema DeMorgan y de la convención de que los círculos pequeños denotan complementación. Similarmente la compuerta NAND también posee dos símbolos gráficos. Para ver cómo se utiliza la manipulación del álgebra Booleana para simplificar circuitos digitales considere el diagrama lógico de la siguiente figura. La salida de la primera compuerta NAND es, por el teorema DeMorgan, (AB) = A + B. La salida del circuito es la operación NAND de este término y B. x= ( A + B ) * B ] Diagrama lógico. Utilizando el teorema DeMorgan dos veces, obtenemos: x = ( A + B ) + B = AB + B Note que el teorema DeMorgan ha sido aplicado tres veces ( para demostrar su utilización ) pero podría ser aplicado solamente una vez de la siguiente manera: x = [ ( AB )* B ] = AB + B La expresión para x puede simplificarse por aplicación de las relaciones mencionadas anteriormente: Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 16

17 x = AB + B = B + AB = ( B + A) ( B + B ) = ( B + A) * 1 = B + A = A + B El resultado final produce una función OR y puede ser implementado con una sola compuerta OR como se muestra en la figura parte (b) del diagrama lógico. Uno Puede demostrar que dos circuitos producen relaciones binarias idénticas Entrada - Salida simplemente obteniendo la tabla de verdad para cada uno de ellos Mapas de Karnaugh. Dentro de las representaciones esquemáticas de una función Booleana, ésta es una de las más útiles. La idea es representar en forma más compactas las tablas que representan a la función. DEFINICIONES BÁSICAS: Definición 1: Minterm de n variables (m) Es el producto Booleano de las n variables, donde cada variable está presente en su valor verdadero o falso. En otras palabras corresponde a un término producto normal. Definición 2: Maxterm de n variables (M) Es la suma Booleana de las n variables donde cada variable está presente en su valor verdadero o falso. Se puede decir que corresponde a un término suma normal. TEOREMA: Cualquier función Booleana f(x 1, x 2,...,x n ) puede representarse: i) Como forma canónica de suma de producto. ii) Como forma canónica de producto de sumas. La función F puede describirse como: F(x,y,z)=Σm(2,3,5) F(x,y,z)= ΠM(0,1,4,6,7) Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 17

18 Obs: F (x,y,z)=σm(0,1,4,6,7) F (x,y,z)=πm(2,3,5) Esto es válido para cualquier nº de variables de entrada. Ejemplo para 4 variables F(x,y,z,w) = Σm (0,1,3,5,7,15) = Π M (2,4,6,8,9,10,11,12,13,14) 6.2 Simplificación de circuitos lógicos: La complejidad del diagrama lógico que implementa una función Booleana está directamente relacionado con la complejidad de la expresión algebraica a partir de la cual la función se implementa. La representación de la tabla de verdad de una función es única pero la función puede aparecer en muchas formas diferentes como se expresa algebraicamente. La expresión puede simplificarse utilizando las relaciones básicas del álgebra Booleana. Este procedimiento sin embargo. es algunas veces difícil porque carece de reglas específicas para predecir cada uno de los pasos sucesivos en el proceso de manipulación. El método del mapa proporciona un procedimiento simple, y directo para simplificar funciones Booleanas. Este método puede mirarse como un arreglo gráfico de una tabla de verdad que permite una interpretación fácil para elegir el mínimo número de variables que se necesitan para expresar la función algebraicamente. El método del mapa también se le conoce con el nombre de Mapa de Karnaugh y diagrama de Veitch. Cada una de las combinaciones de la variable en una tabla de verdad se denomina un Miniterm. Por ejemplo, tenemos la siguiente tabla de verdad: Esta tabla posee ocho miniterm. Una función de n variables cuando se expresa por medio de una tabla de verdad tendrá 2 n minterm, Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 18

19 equivalente a 2 n números binarios obtenidos de los n dígitos. Una función Booleana será igual a 1 para algunos miniterm y a 0 para los otros. La información contenida en una tabla de verdad puede expresarse en forma compacta enumerando el decimal equivalente de aquellos, miniterm que producen un 1 para la función Por ejemplo la tabla anterior puede expresarse de la siguiente forma: F (x,y,z) = (1,4,5,6,7) Las letras en paréntesis enumeran las variables binarias en el orden que ellas aparecen en la tabla de verdad. El símbolo se utiliza para la suma de los miniterms que siguen en el paréntesis. Los miniterms que producen en la salida un 1 para la función se enumeran con su equivalente decimal respectivo. Los miniterms que no aparecen en la lista son los que producen 0 para la función Booleana. El mapa es un diagrama hecho de cuadrados, en que cada cuadrado representa un miniterm. Los cuadrados a los miniterm que producen 1 para la función se marcan con un 1 y los restantes con 0 o se dejan vacíos. Para reconocer varios patrones y combinar cuadrados marcados por 1 en el mapa, es posible derivar las expresiones algebraicas alternas para la función, a partir de las cuales se puede seleccionar la más conveniente. Los mapas para las funciones de dos, tres y cuatro variables se muestran en la siguiente figura. a).- Mapa de dos variables b).- Mapa de tres variables Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 19

20 C).- Mapa de cuatro variables El número de cuadrados en un mapa de n variables es 2 n minitern y son listados por un número decimal equivalente para fácil referencia. Los números de miniterms son asignados en un arreglo ordenado de tal manera que los cuadrados adyacentes representen los miniterms que difieren solamente en una variable. Los nombres de las variables son listados a través de ambos lados de la línea diagonal en la esquina del mapa. Los 1 y 0 marcados a lo largo de cada fila y de cada columna designan el valor de las variables. Cada variable debajo de los paréntesis contiene la mitad de los cuadrados en el mapa en donde aquella variable aparece sin comillas (no complementada). La variable aparece con un comilla (complementada) en la mitad de los cuadrados. Toda la información que aparece en los mapas de la figura, no siempre es necesaria, en ésta oportunidad se muestra solamente a modo explicativo. El miniterm representado por un cuadrado es determinado de la asignación binaria de las variables a lo largo de los bordes izquierdo y superior del mapa. A continuación se muestran algunos ejemplos de representación en mapa de Karnaugh de distintas funciones a partir de su tabla de verdad, éste mapa representará los valores a minimizar cuando la función arroje un valor igual a 1. a) Mapa de Karnaugh para representar dos variables X Y F(x,y) y x Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 20

21 b) Mapa de Karnaugh para representar tres variables X Y Z F(x,y) xy z c) Mapa de Karnaugh para representar cuatro variables A B C D F(A,B,C,D) Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 21

22 Naturalmente hemos representado la forma más simple que corresponde a lo más 2 entradas. Nuestro estudio apunta a la realización de funciones Booleanas. En general, cada variable será representativa de alguna condicionante que pudiera tener sólo 2 valores de verdad. Una serie de condicionantes y la o las acciones que se deseen ejecutar de acuerdo al estado de dichas condiciones podrán ser representadas por una expresión Booleana. Dicha expresión Booleana podrá posteriormente implementarse mediante circuitos electrónicos capaces de reconocer 2 estados (0,1). Lo que a continuación se estudia es la forma de obtener una expresión lo más simple posible para la representación de una función. De esta forma podremos posteriormente obtener un circuito electrónico menos complejo. 6.3 Minimizacion de funciones booleanas. Veamos un ejemplo: F(a,b,c,d) = Σ m (5,6,9,10,13,14) = a b c d+ a b c d+a b c d+a b c d+a b c d+a b c d (1) = a b c d + a b c d+a c d (b+b)+a c d (b+b) = a b c d + a b c d+a c d+a c d = c d (a b+a)+c d (a+a b) = c d (a + b) +c d (a + b) Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 22

23 = (c d +c d) (a +b) (2) = a c d+a c d+b c d+b c d (3) (1) 6 AND de 4 entradas + 1 OR de 6 entradas. (2) 2 OR de 2 entradas + 3 AND de 2 entradas. (3) 4 AND de 3 entradas + 1 OR de 4 entradas. Observaciones: El circuito (2) es más simple pero debe notarse que las señales A y B en el caso (2) pasan a través de 3 niveles previo a procesar la salida. Cualquier suma de producto o producto de suma puede realizarse por circuitos de 2 niveles donde estos pueden ser AND - OR / OR - AND /NAND - NAND/NOR - NOR. Este tipo de expresiones se dice una expresión de 2º orden o circuito de 2º orden. Un circuito como el (2) que corresponde a uno de mayor orden se dice un circuito factorizado. Este nombre proviene del hecho de que el proceso a partir de uno de 2º orden es muy similar a un proceso de factorización del álgebra convencional. Este tipo de factorización se basa principalmente en prueba y error y en la habilidad para recordar que cierto tipo de productos tienen dicha factorización. A continuación se desarrolla un proceso de minimización en el cual se obtienen expresiones de 2º orden. Definición: Una expresión suma de productos de 2º orden se dirá mínima si: a) No existe una expresión equivalente con menos productos b) No hay una expresión equivalente que contenga el mismo número de productos, pero con menos cantidad de variables Igual enunciado vale para expresiones de producto de sumas, en las cuales se debe reemplazar producto por suma y viceversa. Nota: Puede existir más de una representación mínima. Ejemplo: A) Sea f(a,b,c) = Σm (0,1,4,6) = a b c+a b c+a b c+a b c Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 23

24 Notemos que los 2 primeros términos se combinan para dar: a b c+a b c=a b (c+c) = a b y los otros 2 dan: a b c+a b c=a c(b+b) = a c Por lo tanto, f= a b+a c Observaciones: i) m 0 y m 1 son adyacentes, en ellos sólo cambia la variable c. ii) al unir m 0 y m 1 observamos que no aparece la variable que marca la distancia entre ambos minterm, es decir la variable c. iii) igual caso entre m 4 y m 6. B) Sea f(a,b,c,d) = Σm(5,7,10,13,15) = a b c d+a b c d+a b c d+a b c d+a b c d m 5 m 7 m 10 m 13 m 15 m 13 y m 15 son adyacentes m 5 y m 7 son adyacentes ambos grupos son adyacentes entre sí. m 5 +m 7 +m 13 +m 15 = a b c d+a b c d+a b c d+a b c d = bd Luego, en la agrupación restante se han eliminado A y C, las cuales son las variables que cambian de valor. Así agrupando 2 k minterm adyacentes pueden eliminarse k variables de una función. Por lo tanto, f(a,b,c,d)= b d+a b c d C) f(a,b,c,d)= Σm (0,8,12,14,5,7) Minimizar de la forma anterior es más complicado que si se aplica un mapa de Karnaugh. Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 24

25 En efecto: Del mapa de Karnaugh se obtienen las siguientes ecuaciones: (a) (b) (c) b c d a b d a b d Por lo tanto, la función es: f = b c d+a b d+a b d y es equivalente a: f = d ( bc + ab) + abd, por lo tanto el circuito asociado sería: Este circuito, posee los siguientes componentes: 5 compuertas AND, 2 compuertas OR y 3 NOT. D) f(a,b,c,d) = Σm (0,1,2,3,13,15) Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 25

26 CD AB a b Del mapa de Karnaugh se obtienen las siguientes ecuaciones: (a) a b (b) a b d Por lo tanto, la función es: f = a b+a b d y el circuito asociado es: E) f(a,b,c,d) = Σm(0,2,8,12,13) Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 26

27 Del mapa de Karnaugh se obtienen las siguientes ecuaciones: (a) a b d (b) a b c (c) a c d Por lo tanto, la función es: f = a b d+a b c+a c d y es equivalente a: f = abd + ac( b+ d)cuyo circuito asociado es: Del mapa de Karnaugh se obtienen las siguientes ecuaciones: (a) a b d (b) b c d (c) a b c Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 27

28 Por lo tanto, la función es: f = a b d+ b c d+a b c y es equivalente a: f = b d ( a + c) + abc cuyo circuito asociado es: Como podemos apreciar en este ejemplo existen 2 formas mínimas, dependiendo de como se agrupen las celda adyacentes (los 1 ). CONDICIONES SUPERFLUAS. Son casos en los que la salida no está definida frente a una cierta combinación de entrada pudiendo ocurrir que dicha combinación de entrada nunca se de. Como ejemplo se puede citar un semáforo, el cual no puede tener la luz roja y verde encendida al mismo tiempo. Capitulo 6.- Álgebra de Boole Página 28