Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)

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1 DP. - S Matemáticas ISSN: X 007 Diego desea repartir su tiempo de vacaciones entre dos lugares ( y ). El día de estancia en le cuesta 100 mientras que en 200. Su presupuesto global para todas las vacaciones son 2000 y no desea pasar más de 10 días en. (a) uántos días puede pasar en cada sitio? Plantea algebraicamente el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones? S2 (b) Si desea disfrutar del mayor número de días de vacaciones posible, cuántos pasará en cada uno de los lugares? gotará el presupuesto? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de días que pasa de vacaciones en el lugar ". y "número de días que pasa de vacaciones en el lugar ". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS 100x + 200y 2000 x 10 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + 2y 20 x 10 x + 2y 20 x 10 x y x y D x = 10 x + 2y 20 El número de días que puede pasar en cada sitio viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de días que pasa de vacaciones en el lugar e "y" es el número de días que pasa en el lugar, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números racionales positivos: Ejemplos: (7, 5) Región factible 7 días en y 5 días en. Otros puntos: (6, 2), (4, 3), (3, 5), (2, 7), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS N(x, y): Número total de días de vacaciones N(x, y) = x + y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados. Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (10, y) Resolvemos el sistema: (0, 0) (0, 10) D(10, 0) 21

2 bel Martín x + 2y = 20 x = 10 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS y = 20 2y = 10 y = 5 x = 10 NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS (10, 5) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices N(x, y) = x + y Valor (0, 0) (0, 10) (10, 5) D (10, 0) El mayor número de días de vacaciones posible, con las restricciones impuestas en el problema, se disfrutarán yendo 10 días al lugar y 5 días al lugar, totalizando 15 días de vacaciones. (x) = 100 x y = = 2000 Gastando en total 2000, por lo que SÍ agotará todo el presupuesto. RESOLUIÓN con la LULDOR GRÁFI Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyo número de vacaciones es nulo: x + y = 0 En forma explícita y = x De todas las infinitas rectas paralelas (m = - 1) a ésta de número de vacaciones nulo que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a un número máximo será aquella que corte al eje OY por el punto más lejano al origen; para ello, y aplicando el teorema antes mencionado, representaríamos todas aquellas que pasan por los vértices pero, EN L PRÁTI, con la calculadora gráfica, no se representan todas las líneas de nivel, cosa que se haría larga y tediosa, sino que se representa ÚNIMENTE la que hace los el número de días de vacaciones nulo y = x para luego, mentalmente, trazar paralelas que pasen por los demás vértices y comprobar cuál es la "línea de nivel" de mayor ordenada en el origen. NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS onfirmamos que el mayor número de días de vacaciones posible, con las restricciones impuestas en el problema, se disfrutarán yendo 10 días al lugar y 5 días al lugar. 008 Pablo dispone de 120 para gastar en libros y discos. la tienda donde acude, el precio de los libros es de 4 y el de los discos es de 12. Suponiendo que desea comprar como mucho el doble número de libros que de discos, se pide: a) uántos libros y cuántos discos puede comprarse? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ontestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos. En caso afirmativo, indicar si gasta todo su presupuesto. c) Puede adquirir 15 libros y 5 discos?; uánto dinero le sobra? Razonar la respuesta. d) Si desea sacar la mayor cantidad de unidades posibles, cuántos libros y discos adquirirá? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS S2 22 La programación lineal (Parte I)

3 DP. - S Matemáticas ISSN: X x "número de libros comprados". y "número de discos comprados". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS 4x + 12y 120 x 2y LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + 3y 30 x 2y x + 3y = 30 x = 2y x y x y x 2y 3 5 x + 3y 30 El número de libros y el número de discos que puede comprar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número libros e "y" es el número de discos, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) Se pueden comprar 12 libros y 6 discos, ya que el punto (12, 6) pertenece a la región factible, es decir, verifica todas las restricciones. FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO G(x, y): Gastos efectuados al comprar libros y discos. G(x, y) = 4x + 12y G(x, y) = = = 120 on dicha compra se gasta los 120, por lo que agota el presupuesto. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (c) 3 5 x 2y (15, 5) x + 3y 30 No se pueden comprar 15 libros y 5 discos, ya que el punto (15, 5) no pertenece a la región factible, es decir, no verifica alguna de las restricciones; sí pues, le sobra todo ya que no pudo comprar dicha cantidad. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (d) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS N(x, y): Número de unidades compradas N(x, y) = x + y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se 23

4 bel Martín Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices y se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) Resolvemos el sistema: x + 3y = 30 x = 2y NÁLISIS DE ÓPTIMOS (0, 0) (0, 10) 2y + 3y = 30 5y = 30 y = 6 x = 12 (12, 6) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices N(x, y) = x + y Valor (0, 0) (0, 10) (12, 6) NÁLISIS RÍTIO DE LOS RESULTDOS 009 Para obtener la mayor cantidad de unidades, comprará 12 libros y 6 discos. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo a un precio de 1.5 millones de PTS y el modelo en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo y 10 del modelo, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo como del modelo. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 6 millones. (a) uántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones. (b) uántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? uál es su importe? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "Número de unidades del modelo ". y "Número de unidades del modelo ". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x 20 y 10 x y 1.5x + 2y 6 x 0 y 0 y x 1.5x + 2y 6 x y x y S2 24 La programación lineal (Parte I)

5 DP. - S Matemáticas ISSN: X y x + 2y 6 D 2 E x y 8 x = 20 El número de unidades de cada modelo que puede vender viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de unidades del modelo e "y" es el número de unidades del modelo, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales: Ejemplo: (9, 6) Región factible 9 unidades del modelo y 6 del. Otros puntos: (10, 6), (12, 7), (15, 5), (16, 2), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO I(x, y): Ingresos expresados en millones de PTS I(x, y) = 1.5x + 2y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices,, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: E(x, y) Resolvemos el sistema: 1.5x + 2y = 6 x = y NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS (4, 0) (20, 0) (20, 10) D(10, 10) 1.5x + 2x = 6 3.5x = 6 x = ; y = E(1.7143, ) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices I(x, y) = 1.5 x + 2 y Valor (4, 0) (20, 0) (20, 10) D(10, 10) E(1.714, 1.714) NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS Para obtener el máximo volumen de ingresos deberá de vender 20 coches del modelo y 10 del modelo, momento en el que los ingresos ascenderán a 50 millones de PTS. RESOLUIÓN con la LULDOR GRÁFI Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyos ingresos son nulos: 1.5x + 2y = 0 En forma explícita y = 0.75x 25

6 bel Martín EN L PRÁTI representamos esta recta y buscamos MENTLMENTE, de todas las infinitas rectas paralelas a ésta (m = 0.75), la que corresponde a los máximos ingresos, es decir, la que corta al eje OY por el punto más lejano al origen. NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS 012 onfirmamos que para obtener el máximo volumen de ingresos deberá de vender 20 coches del modelo y 10 del modelo, momento Una empresa familiar ha comprado una máquina preparada para fabricar figuras decorativas utilizando nuevos materiales reciclados. Estas figuras son de 2 tipos, unas más baratas que venden a 200 /unidad y otras con mayor número de complementos, que venden a 500 /unidad. Por razones de stock no se pueden fabricar más de 12 en total y por razones de mercado, ha de fabricar, como mínimo, tantas caras como baratas. Suponiendo que es vendida toda la producción: (a) uántas figuras de cada clase se pueden producir? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) uántas de cada clase se producirán para obtener máximos ingresos? (c) cuánto ascenderán dichos ingresos? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de figuras baratas". y "número de figuras caras". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS S2 x + y 12 x y x + y 12 x y LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + y = 12 x y x y x + y 12 El número de figuras de cada clase que se pueden fabricar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de figuras baratas e "y" es el número de figuras caras, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartados (b) y (c) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO I(x, y): Ingresos producidos por la venta de las diferentes figuras. I(x, y) = 200x + 500y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS 26 La programación lineal (Parte I)

7 DP. - S Matemáticas ISSN: X Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS Los vértices y se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (0, 0) (0, 12) (x, y) Resolvemos el sistema: x + y = 12 x + x = 12 2x = 12 x = y (6, 6) NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS 013 plicamos el TEOREM mencionado: Vértices I(x, y) = 200 x y Valor (0, 0) (0, 12) (6, 6) Para obtener el máximo beneficio deberán de fabricarse 12 figuras caras y ninguna barata, momento en el que los ingresos ascenderán a Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 y el de uno pequeño, 60. (a) uántos autocares de cada tipo se pueden utilizar? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) alcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de autocares de 40 plazas". y "número de autocares de 50 plazas". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x 8 y 10 x + y 9 40x + 50y 400 x + y = 9 4x + 5y = 40 x y x y x 8 y 10 x + y 9 4x + 5y 40 S2 27

8 bel Martín 3 3 y 10 x 8 4x + 5y 40 x + y 9 El número de autocares de cada tipo que se pueden utilizar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de autocares de 40 plazas e "y" es el número de autocares de 50 plazas, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS G(x, y): Gastos generados por el alquiler de autocares G(x, y) = 60x + 80y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices y se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) Resolvemos el sistema: (0, 8) (0, 9) 4x + 5y = 40 4(9 y) + 5y = y + 5y = 40 y = 4 x = 5 x + y = 9 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS 016 (5, 4) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices G(x, y) = 60 x + 80 y Valor (0, 8) (0, 9) (5, 4) Para que los costes sean mínimos se deben de utilizar 5 autocares pequeños y 4 autocares grandes, momento en el que los gastos ascienden a 620. Un agricultor dispone de 1200 para invertir en un invernadero de 70 m 2, donde desea cultivar fresas de dos calidades, baja y alta. ada m 2 de cultivo de fresa de baja calidad le supone al agricultor un gasto de 30 y 6 días de trabajo, mientras que por cada m2 del cultivo de fresa de alta calidad le supone 40 y 3 días de trabajo. Si el agricultor puede trabajar los cultivos durante 180 días como máximo al año, (a) Qué superficie puede dedicar a cada tipo de explotación? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) Qué superficie debe dedicar a cada tipo de explotación para obtener un beneficio máximo, sabiendo que los beneficios que obtiene por cada m 2 de fresa de baja calidad son de 300 y 150 por m 2 si la fresa es de alta calidad? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "antidad de m 2 de cultivo de fresa de baja calidad". y "antidad de m 2 de cultivo de fresa de alta calidad". S2 28 La programación lineal (Parte I)

9 DP. - S Matemáticas ISSN: X OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE Días de trabajo Gasto aja calidad 6 30 lta calidad x + 3y x + 40y 1200 x + y 70 3x + 4y 120 x + y 70 2x + y 60 3x + 4y = 120 2x + y = 60 x + y = 70 x y x y x y x + 4y 120 x + y D 2x + y 60 El número de m 2 que puede dedicar a cada tipo de cultivo viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de m 2 de cultivo de fresa de baja calidad e "y" es el número de m 2 de cultivo de fresa de alta calidad, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números racionales positivos. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS (x, y): eneficios expresados en (x, y) = 300 x y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) 3x + 4y = 120 2x + y = 60 Resolvemos el sistema: NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS (0, 0) (0, 30) D(30, 0) 3x + 4y = 120 5x = 120 x = 24 y = 12 8x 4y = 240 (24, 12) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = 300 x y Valor (0, 0)

10 bel Martín (0, 30) (24, 12) D (30, 0) x + 3y = D NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS Tiene solución múltiple. El máximo beneficio se obtendrá dedicando entre 24 y 30 metros cuadrados de cultivo de fresa de baja calidad y su correspondiente valor de cultivo de alta calidad que verifique la igualdad 2x + y = 60 siendo "x" la cantidad de m 2 de cultivo de baja calidad e "y" la cantidad de m 2 de cultivo de alta calidad. De tal forma que, algunas de las posibles soluciones podrían ser: 018 Una fábrica de coches y camiones dispone de tres talleres dedicados respectivamente a la fabricación de motores, a la fabricación de carrocerías y al montaje. En el taller de motores se tarda 1 hora en fabricar el motor de un coche y 2 horas en fabricar el de un camión. En el taller de carrocerías se tarda 6/5 de hora en fabricar una carrocería de coche y 8/5 de hora en fabricar una carrocería de camión. Finalmente, en el taller de montaje se invierte 5/4 de hora en montar un coche y 3/2 de hora en montar un camión. El beneficio obtenido es de 4000 por cada coche y 6000 por cada camión. ada taller puede trabajar como máximo 200 horas al mes. Suponiendo que la fábrica puede vender toda la producción, cuántos coches y camiones ha de producir por mes para obtener el máximo beneficio? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de coches que se producen por mes". y "número de camiones que se producen por mes". uadro resumen OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE Taller de motores T. carrocería T. montaje oches 1h 6/5 h 5/4 h amiones 2h 8/5 h 3/2 h x + 2y 200 T. motores 6 8 x + y T. carrocería 5 3 x + y T. montaje x + 2y 200 6x + 8y x + 6y 800 x + 2y = 200 6x + 8y = x + 6y = 800 x y x y x y S2 30 La programación lineal (Parte I)

11 DP. - S Matemáticas ISSN: X 5x + 6y 800 6x + 8y 1000 x + 2y D FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO (x, y): eneficio expresado en (x, y) = 4000 x y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) Resolvemos el sistema: x + 2y = 200 6x + 8y = 1000 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS 6x 12y = x + 8y = 1000 (0, 0) (0, 100) D(160, 0) y = 50 ; x = 100 (100, 50) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = 4000 x y Valor (0, 0) (0, 100) (100, 50) D (160, 0) NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS Para obtener el máximo beneficio se han de producir por mes 100 coches y 50 camiones, momento en el que el beneficio ascenderá a Un profesional tiene trabajo en dos ciudades y. Su domicilio dista de 30 Km y 20 de. se ha comprometido a trabajar al menos 5 días al mes en cada lugar. No quiere trabajar más de 22 días al mes y además en sus desplazamientos no desea hacer más de 1100 km al mes. En cobra 120 diarias y en 100. (a) Escribe las restricciones y dibuja la zona de posibles soluciones. (b) Entra dentro de las condiciones trabajar 17 días en y 5 en? (c) uántos días deberá trabajar en cada sitio para obtener mayores ingresos? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) 30 Km 20 Km S2 PF GS Oviedo J2000 DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x y 31

12 bel Martín x "número de días que trabaja en ". y "número de días que trabaja en ". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS x 5 y 5 x + y 22 60x + 40y 1100 x 5 y 5 x + y 22 3x + 2y 55 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + y = 22 3x + 2y = 55 x y x y 0 3/ x 5 y 5 2 D x + y x + 2y 55 El número de días que puede trabajar en las ciudades y viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de días que trabaja en la ciudad e "y" es el número de días que trabaja en la ciudad, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números enteros. Ejemplos: (6, 7) Región factible (6 días en la ciudad y 7 días en la ciudad.) Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) Responder a la siguiente pregunta equivale a comprobar si el punto (17, 5) pertenece o no a la región factible. (17, 5) Región factible No se pueden trabajar 17 días en y 5 en es decir, no verifica algun de las restricciones del enunciado. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (c) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO I(x, y): Ingresos en euros por el trabajo realizado LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS I(x, y) = 120x + 100y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que 32 La programación lineal (Parte I)

13 DP. - S Matemáticas ISSN: X ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: El vértice se observa a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (5, 5) (5, y) Resolvemos el sistema: x = y = 22 ; y = 22 5 ; y = 17 x + y = 22 (5, 17) (x, y) Resolvemos el sistema: x + y = 22 2x 2y = 44 x = 11 ; x + y = 22 y = y = 11 3x + 2y = 55 3x + 2y = 55 (11, 11) D(x, 5) Resolvemos el sistema: y = 5 3x = 55 ; 3x = ; x = 15 3x + 2y = 55 D(15, 5) NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS plicamos el TEOREM mencionado: Vértices I(x, y) = 120x + 100y Valor (5, 5) (5, 17) (11, 11) D (15, 5) Para obtener los máximos ingresos ha de trabajar 11 días en y 11 días en, momento en el que los ingresos ascienden a RESOLUIÓN con la LULDOR GRÁFI Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyos ingresos son nulos: 120x + 100y = 0 En forma explícita y = 1.2x EN L PRÁTI representamos esta recta y buscamos MENTLMENTE, de todas las infinitas rectas paralelas a ésta (m = 1.2), la que corresponde a los máximos ingresos, es decir, la que corta al eje OY por el punto más lejano al origen. onfirmamos los resultados obtenidos con lápiz y papel. 33

14 bel Martín 023 Un agricultor estima que el cuidado de cada m 2 plantado de lechugas requiere semanalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m 2 de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de ambas verduras, queriendo plantar al menos 3 m 2 más de repollo que de lechuga. El m 2 de lechuga le reporta un beneficio de 500 PTS mientras que el de repollo 650, planificando obtener en conjunto al menos PTS de beneficio. a) Qué extensión de terreno puede plantar con cada verdura? Plantea el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. S2 PU OVIEDO S1995 b) uánto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cuidado sea mínimo? DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) x "Número de m 2 de la plantación de lechugas". y "Número de m 2 de la plantación de repollos". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS x + y 40 OJO! y x x + 650y x + y 40 y x x + 13y 200 x 0 y 0 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x y 40 x y x + 3 y 13 x y x y x y D y x x + 65y y 40 x 5 El número de metros cuadrados de cada verdura que puede plantar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de m 2 de la plantación de lechugas e "y" es el número de m 2 de la plantación de repollos, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números RELES positivos: Ejemplo: (14.52, 21.93) Región factible m 2 de la plantación de lechugas y m 2 de la plantación de repollos. Otros puntos: (8.3, 21.93), (11.19, 17.09), (14.04, 20.97), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS T(x, y): Tiempo semanal expresado en minutos T(x, y) = 45 x + 50 y 34 La programación lineal (Parte I)

15 DP. - S Matemáticas ISSN: X Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) Resolvemos el sistema: 50x + 65y = 1000 y = x + 3 (x, y) x + y = 40 y = x x + 65(x + 3) = 1000 Resolvemos el sistema: NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS (0, 15.38) D(0, 40) 50x + 65x = 1000 x = 7 ; y = 10 (7, 10) x + (x + 3) = 40 2x = 37 x = 18.5; y = 21.5 NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS (18.5, 21.5) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices T(x, y) = 45 x + 50 y Valor (0, 15.38) (7, 10) (18.5, 21.5) D(0, 40) Para que su cuidado reporte la mínima cantidad de tiempo se debería de plantar todo con repollos, concretamente m 2, superficie que le lleva un tiempo de 769 minutos. 024 ierta persona dispone de 10 millones de euros como máximo para repartir entre dos tipos de inversión ( y ). En la opción desea invertir entre 2 y 7 millones. demás, quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la. (a) Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción y del 12% en la, qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?; a cuánto ascenderá? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "Millones de que debe de invertir en opción ". S2 PU OVIEDO J1996 y "Millones de que debe de invertir en opción ". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + y 10 x 2 x 7 y 10 x x y x y y

16 bel Martín x y x y x 2 x 7 y x D 2 E x + y 10 4 El número de millones a invertir en cada opción viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de millones de que debe de invertir en la opción e "y" es el número de millones que debe de invertir en la opción, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números RELES positivos: Ejemplo: (5, ) Región factible de en la opción y en la opción. Otros puntos: (5, ), (4, ), (3, ), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS R(x, y): Rendimiento de la inversión en millones de 9 12 R(x, y) = x + y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS Los vértices, y E se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (7, y) Resolvemos el sistema: x + y = y = 10 y = 3 x = 7 NÁLISIS DE ÓPTIMOS (2, 0) (7, 0) E(2, 2) D(x, y) Resolvemos el sistema: x + y = 10 y + y = 10 2y = 10 y = 5 x = y (7, 3) D(5, 5) NÁLISIS RÍTIO DE LOS RESULTDOS plicamos el TEOREM mencionado: Vértices R(x, y) = 0.09 x y Valor (2, 0) (7, 0) (7, 3) D(5, 5) E(2, 2) La programación lineal (Parte I)

17 DP. - S Matemáticas ISSN: X Para optimizar el rendimiento global ha de invertir 5 millones de en la opción y 5 millones de en la opción, momento en el que dicho rendimiento ascenderá a NOT: La restricción x y presentaba cierta ambigüedad en el enunciado, por lo que, durante la celebración de las pruebas, encontrándome como vocal de centro en uno de los Tribunales, se consultó a los responsables de la Universidad, confirmándose que el enunciado debería de decir "demás, quiere destinar a esa opción al menos tanta cantidad de dinero como a la ", aunque también se tomaría como válida si el alumnado considera x = y, aún cuando se alejase un poco del espíritu de los objetivos iniciales perseguidos. 026 Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco grabado por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es 17.5 y 18, respectivamente, siendo editadas 1500 copias del disco más caro. Para cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como del más barato. (a) uántas copias de cada disco puede vender? Plantea el problema y representa gráficamente su conjunto de soluciones. (b) uántas copias deberá vender de cada uno para maximizar sus ingresos uál será su importe? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de copias vendidas a 17.5 ". y "número de copias vendidas a 18 ". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS S2 PU OVIEDO J1997 FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE y 1500 x + y 500 x y x 0 y 0 I(x, y): Ingresos expresados en I(x, y) = 17.5x + 18y y 500 x x y x y x y D y 1500 x y x + y 500 El número de copias que puede vender de cada disco viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de copias vendidas a e "y" es el número de copias vendidas a 18, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Ejemplo: (200, 600) Región factible 200 copias de 17.5 y 600 copias de 18. Otros puntos: (211, 1020), (200, 650), (410, 990), (600, 1020), (611, 995), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) 37

18 bel Martín LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) Resolvemos el sistema x + y = 500 x = y NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS (500, 0) (1500, 1500) D (0, 1500) 2x = 500 x = 250 y = 250 (250, 250) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices Ingresos = 17.5 x + 18 y Valor (500, 0) (250, 250) (1500, 1500) D (0, 1500) NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS El máximo beneficio se obtendrá cuando se vendan copias del disco de 17.5 y copias de 18, momento en el que los ingresos ascenderán a Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 7.6 y el de cada novedad 3.7. Se desea un coste total que no supere los 945. Por otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 unidades. (a) De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, de cuántas unidades de cada tipo ha de constar el pedido? cuál es entonces el coste del pedido? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS:: x "Número de películas de estreno". y "Número de películas de novedades". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS S2 PU OVIEDO S1998 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 7.6x + 3.7y 945 x y/2 y + x/ x + 3.7y 945 2x y 0 2y + x x + 3.7y 945 2x y 0 2y + x 200 x y x y x y La programación lineal (Parte I)

19 DP. - S Matemáticas ISSN: X 2x y 0 x + 2y x + 3.7y 945 El número de unidades de cada tipo de película que pueden constituir el pedido viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de unidades de películas de estreno e "y" es el número de unidades de películas de novedades, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales: Ejemplo: (50, 80) Región factible 50 películas de estreno y 80 películas de novedades. FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO Otros puntos: (65, 82), (57, 97), (71, 94), (82, 67), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) N(x, y): Número total de unidades pedidas N(x, y) = x + y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS (x, y) Resolvemos el sistema: (2) 2x y = 0 (1) x + 2y = 200 (x, y) 4x 2y = 0 5x = 200 x = 40 y = 80 x + 2y = 200 Resolvemos el sistema: (10) 7.6x y = 945 ( 76) x + 2y = 200 (x, y) Resolvemos el sistema: (10) 7.6x y = 945 (37) 2x y = 0 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS 76x + 37y = y = x 152y = x + 37y = x 37y = 0 y = 50 x = x = 9450 x = 63 y = 126 plicamos el TEOREM mencionado: Vértices N(x, y) = x + y Valor (40, 80) (100, 50) (63, 126) (40, 80) (100, 50) (63, 126) 39

20 bel Martín NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS oste (x) = 7.60x y oste (x) = = 600 Para que el número de unidades sea mínimo el pedido ha de constar de 40 películas de estreno y 80 películas de novedades; En dicho momento el coste del pedido ascenderá a Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando 2 posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 1 millón de PTS por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de PTS por cuña. No obstante, no pueden gastar más de 100 millones de PTS para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en el número de copias que se venderán por anuncio de televisión, y en copias por cuña radiofónica emitida. (a) De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de copias posible? se llegan a gastar los 100 millones de PTS? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "número de anuncios en televisión". y "número de cuñas radiofónicas". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS x y y 50 y 100 x 0 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE 10x + y 1000 x y x + y 1000 y 50 y 100 x 0 S2 PU OVIEDO J1999 D y 100 y x + y 1000 El número de anuncios y el número de cuñas viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el de anuncios en televisión e "y" es el número de cuñas radiofónicas, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Ejemplo: (52, 65) Región factible 52 anuncios de televisión y 65 cuñas radiofónicas. FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO Otros puntos: (37, 63), (15, 52), (5, 90), (55, 88), (88, 81), etc. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) (x, y): Número total de copias que se venderán (x, y) = x y 40 La programación lineal (Parte I)

21 DP. - S Matemáticas ISSN: X LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS Los vértices y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, 50) Resolvemos el sistema 10x + y = 1000 y = 50 (0, 50) D (0, 100) 10x + 50 = x = 950 x = 95 (x, 100) Resolvemos el sistema 10x + y = 1000 y = 100 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS (95, 50) 10x = x = 900 x = 90 (90, 100) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = x y Valor (0, 50) (95, 50) (90, 100) D (0, 100) Gasto = = PTS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS Para vender el mayor número de copias posible se han de emitir en la campaña 90 anuncios en televisión y 100 cuñas radiofónicas, momento en el que se esperan vender copias, gastándose en ese instante los 100 millones de PTS. NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS onfirmamos que para vender el mayor número de copias posible se han de emitir en la campaña 90 anuncios en televisión y 100 cuñas radiofónicas. 032 Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, "clásico" () y "funcional" (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. (a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar? (c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación º= 3 + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? cuál es el beneficio máximo? Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "Número de muebles de estilo clásico". y "Número de muebles de estilo funcional". S2 PU OVIEDO J

22 bel Martín uadro resumen onstrucción (Unidades de tiempo) Pintura (Unidades de tiempo) Mueble clásico 1u 3u Mueble funcional 2u 1u OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS 1x + 2y 10 Tiempo construcción 3x + 1y 15 Tiempo de pintura x + 2y 10 3x + y 15 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + 2y = 10 3x + y = 15 x y x y x + 2y 10 3x + y D Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) El número de muebles de cada tipo que puede fabricar viene determinado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de muebles de estilo clásico e "y" es el número de muebles de estilo funcional, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. sí pues, las combinaciones de muebles que se pueden fabricar son las siguientes: x + 2y 10 3x + y D Mueble clásico Mueble funcional Mueble clásico Mueble funcional Mueble clásico Mueble funcional Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (c) 42 La programación lineal (Parte I)

23 DP. - S Matemáticas ISSN: X FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS (x, y): eneficio expresado en unidades de beneficio (x, y) = 3 x + 2 y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS Los vértices, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) Resolvemos el sistema: ( 3) x + 2y = 10 (1) 3x + y = 15 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS 3x 6y = 30 3x + y = 15 NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS (0, 0) (0, 5) D(5, 0) 5y = 15 y = 3 3x + 3 = 15 3x = 12 x = 4 (4, 3) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = 3 x + 2 y Valor (0, 0) (0, 5) (4, 3) D (5, 0) Para obtener el máximo beneficio empresarial han de fabricarse 4 muebles de estilo clásico y 3 muebles de estilo funcional, momento en el que éste ascenderá a 18 unidades de beneficio. NÁLISIS GRÁFIO DE ÓPTIMOS ON L YUD DE UN LULDOR GRÁFI Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos: 3 x + 2 y = 0 3 En forma explícita y = x m = 3/2 2 De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos beneficios máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma y y 1 = m ( x x 1 ) Ésta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x 1, y 1 ). En forma explícita, para representarla en la calculadora, vendrá determinada por: y = m ( x x 1 ) + y

24 bel Martín (4, 3) NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS onfirmamos que para obtener el máximo beneficio empresarial han de fabricarse 4 muebles de estilo clásico y 3 muebles de estilo funcional. 033 Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias: en blanco y negro y en color. ada fotocopia le supone un cierto coste: 1 PT por copia para las de blanco y negro, y 3 PTS por copia para las de color. simismo, cada copia en blanco y negro produce un beneficio de 2 PTS y cada una en color un beneficio de 10. El número de copias en blanco y negro por día es como mínimo igual al número de copias en color, y la copistería tiene que servir a una empresa diariamente al menos 100 en color. demás, por razones técnicas no puede incurrir en unos costes mayores de PTS por día. (a) uántas copias de cada clase se pueden hacer al día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) uántas unidades de cada tipo han de hacer para maximizar los beneficios diarios? uál es el máximo beneficio diario? DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) x "Número de copias en blanco y negro que se hacen al día. y "Número de copias en color que se hacen diariamente. OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS x y y 100 1x + 3y 6000 x 0 S2 SEL OVIEDO J2000 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + 3y = 6000 x = y x y x y y x x + 3y y La programación lineal (Parte I)

25 DP. - S Matemáticas ISSN: X El número de copias realizadas diariamente viene determinado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de copias en blanco y negro e "y" es el número de copias en color, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS (x, y): eneficio diario expresado en PTS (x, y) = 2 x + 10 y Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que (x, 100) omo x = y x = 100 (x, y) x = y Resolvemos el sistema: ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS (100, 100) x + 3y = 6000 x + 3x = x = 6000 x = 1500 (x, 100) Resolvemos el sistema: (1500, 1500) x + 3y = 6000 x = 6000 x = 5700 NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS (5700, 100) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices (x, y) = 2 x + 10 y Valor (100, 100) (1500, 1500) (5700, 100) Para obtener el máximo beneficio han de hacerse 1500 copias en blanco y negro y 1500 en color, momento en el que éste ascenderá a PTS. NÁLISIS GRÁFIO DE ÓPTIMOS ON L YUD DE UN LULDOR GRÁFI Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos 2x+10y=0 2 En forma explícita y = x m = De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos beneficios máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma y y 1 = m ( x x 1 ) Ésta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x 1, y 1 ). En forma explícita, para representarlo en la calculadora, vendrá determinada por: y = m ( x x 1 ) + y

26 bel Martín NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS onfirmamos que para obtener el máximo beneficio han de hacerse 1500 copias en blanco y negro y 1500 en color, momento en el que éste ascenderá a PTS Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una partida de tela de metros. Para la confección de los pantalones se precisan dos metros de tela y uno, para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de confeccionar al menos el doble de pantalones que de faldas. 034 (a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) uántas faldas y pantalones puede ofertar? (c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 50 y cada falda a 30 cuántas faldas y pantalones debe vender para maximizar sus ingresos? cuál es el ingreso máximo que puede obtener? DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS x "Número de faldas". y "Número de pantalones". OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) H2 PU OVIEDO S2000 LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + 2y = 5000 x + 2y 5000 y 2x y = 2x x y x y y 2x x + 2y 5000 El número de prendas de ropa de cada tipo viene determinado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de faldas e "y" es el número de pantalones, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (c) 46 La programación lineal (Parte I)

27 DP. - S Matemáticas ISSN: X FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO I(x, y): Ingresos expresados en I(x, y) = 30 x + 50 y LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS Teorema: omo la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTIES del polígono que ÁÁLLUULLOO DDEE VVÉÉRRTTIIEESS:: Los vértices y se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: (x, y) Resolvemos el sistema: x + 2y = 5000 y = 2x NNÁÁLLIISSIISS DDEE ÓÓPPTTIIMMOOSS (0, 0) (0, 2500) x + 2 2x = x = 5000 x = 1000 ; y = 2000 (1000, 2000) plicamos el TEOREM mencionado: Vértices I(x, y) = 30 x + 50 y Valor (0, 0) (0, 2500) (1000, 2000) NNÁÁLLIISSIISS RRÍÍTTIIOO DDEE LLOOSS RREESSUULLTTDDOOSS Para maximizar sus ingresos, con las restricciones impuestas, la fábrica ha de vender 1000 faldas y 2000 pantalones, momento en el que dichos ingresos ascenderán a NÁLISIS GRÁFIO DE ÓPTIMOS ON L YUD DE UN LULDOR GRÁFI Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos: 30x + 50y = 0 30 En forma explícita y = 50 x m = 0.6 De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos ingresos máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma y y 1 = m ( x x 1 ) Esta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x 1, y 1 ). En forma explícita, para representarlo en la calculadora, vendrá determinada por y = m ( x x 1 ) + y 1 Hagamos un ZOOM para observar mejor la zona superior 47

28 bel Martín NÁLISIS RÍTIO DE LOS RESULTDOS onfirmamos que para maximizar sus ingresos, con las restricciones impuestas, la fábrica de confección ha de vender 1000 faldas y 2000 pantalones. 035 Una empresa fabricante de aviones comerciales producirá este año 2 tipos de modelos. El modelo D-12, cuya venta le proporcionaría unos ingresos de 100 millones de por unidad, y el -15, que le proporcionaría 120 millones por unidad. Dicha compañía puede hacer frente como mucho a una producción total de 100 unidades pero sabe que del modelo D-12 habrá una demanda de al menos 20 unidades y debe ser cubierta, y que no puede producir más unidades del -15 que del D-12. (a) Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Qué combinación de unidades de cada modelo debe fabricar para obtener los mayores ingresos posibles caso de vender toda la producción? cuánto ascenderían dichos ingresos? DDEETTEERRMMIINNIIÓÓNN DDEE IINNÓÓGGNNIITTSS Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (a) x "Número de aviones del modelo D 12" y "Número de aviones del modelo 15" OONNJJUUNNTTOO DDEE RREESSTTRRIIIIOONNEESS LL RREEGGIIÓÓNN FFTTIILLEE x + y = 100 x + y 100 x 20 x y y 0 y = x x y x y S2 SEL OVIEDO S2000 x 20 x + y 100 x y D El número de modelos de cada tipo viene determinado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de aviones del modelo D 12 e "y" es el número de aviones del modelo 15, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Resolución ON LÁPIZ Y PPEL apartado (b) FFUUNNIIÓÓNN OOJJEETTIIVVOO LLOOLLIIZZIIÓÓNN DDEE SSOOLLUUIIOONNEESS I(x, y): Ingresos expresados en millones de I(x, y) = 100x + 120y 48 La programación lineal (Parte I)

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