Diremos que lim f(x) b si podemos lograr que los valores de f( x) como queramos, con tal de tomar valores de x tan próximos a a como sea preciso.

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1 Límite de un unción en un punto Diremos que () b si podemos logrr que los vlores de ( ) sen tn próimos b como quermos, con tl de tomr vlores de tn próimos como se preciso. Podemos dr un deinición más orml con l yud del concepto de entorno: Diremos que () b si, preijdo un entorno de b, por ejemplo b,b, por pequeño que se, es posible determinr un entorno del punto, y entonces () b,b., tl que si Diremos que () b si tl que se deduce que () b. Continuidd de un unción en un punto Un unción () es continu en un punto si eiste límite en él y coincide con el vlor que tom l unción en ese punto. () es continu en () () L continuidd de ( ) en implic que se cumpln ests tres condiciones: 1) Eiste el límite de l unción () en, es decir, eiste (). ) L unción está deinid en ; es decir, eiste (). ) Los dos vlores nteriores coinciden, es decir, () (). Un unción tiene límite en un punto solmente si los dos límites lterles eisten y son igules. En tl cso, el límite coincide con los límites lterles. Por tnto, un unción puede dejr de ser continu en un punto por no cumplir lgun de ests condiciones: I.E.S. Historidor Cbás -1- Jun Brgdo Rodríguez

2 () no está deinid en () no tiene límite en () () Cundo un unción () es continu en todos los puntos del intervlo bierto,b se dice que () es continu en el intervlo,b. En los puntos donde no se continu l unción decimos que es discontinu. Cundo el intervlo es cerrdo, y que cer un pequeñ slvedd. L unción ( ) de l igur djunt no es continu en ni en b, pero sí lo es si l considermos deinid solmente en, b por lo que podemos decir que es continu en el intervlo cerrdo, b. En cmbio no serí continu en b, c, y que ( ) ( b). b Deinición métric de continuidd Alguns veces, sobre todo pr demostrciones, es conveniente utilizr l siguiente deinición de continuidd equivlente l dd y que epres de otr orm que vlores próimos l punto le corresponden vlores uncionles próimos ( ). Est deinición deriv de l correspondiente deinición de límite. Un unción es continu en el punto si y sólo si, ddo un número rel positivo podemos encontrr otro número rel positivo tl que: R, () () o bien, si E(, ) entonces () E(), I.E.S. Historidor Cbás -- Jun Brgdo Rodríguez

3 Gráicmente, l continuidd signiic que, dd un bnd de centro ( ) prlel l eje de bsciss y de ncur, eiste un bnd de centro prlel l eje de ordends y de ncur, tl que l gráic de ( ) se encuentr en l intersección de mbs. Continuidd lterl Dd un unción () y un punto perteneciente su dominio, puede ocurrir que no eist un entorno bierto y centrdo en, con lo cul no puede eistir el límite de () en, sin embrgo puede eistir lgún límite lterl en. L unción () es continu por l izquierd en el punto si y sólo si ( ) ( ), es decir:, tl que R con se veriic que ( ) ( ) L unción () es continu por l derec en el punto, si y sólo si ( ) ( ), es decir:, tl que R con se veriic que ( ) ( ) Un unción continu en un punto es continu por l izquierd y por l derec de ese punto, y vicevers. Continuidd de ls unciones elementles Recordndo que el Dominio de un unción ( ) puede clculrse, tenemos: ( ), es el conjunto de números reles pr los que Ls unciones constntes son continus, lo mismo que l unción identidd y. Ls unciones polinómics son siempre continus, y que se obtienen de l unción y medinte productos y sums repetidos. Se llmn unciones rcionles ls que se epresn como cocientes de dos unciones polinómics: I.E.S. Historidor Cbás -- Jun Brgdo Rodríguez

4 ( ) n b m n m o b o Ls unciones rcionles son continus en todo punto de su dominio ecepto en quellos vlores de que nulen el denomindor. L unción eponencil y e es continu en todo R. L unción logrítmic y ln es continu en todo su dominio R. Ls unciones trigonométrics y sen e y cos son continus en todo R. L unción trigonométric y tg es continu en todo R ecepto en los puntos k en los que tiene límite ininito. Ls unciones deinids trozos serán continus si en los puntos de unión lo son. Además, cd unción deberá ser continu en su trozo correspondiente. En generl, un unción será discontinu en todos los puntos que no pertenezcn su dominio. Álgebr de ls unciones continus Csi tods ls unciones con ls que se trbj están ormds prtir de otrs más sencills, medinte ls operciones de sum, producto, cociente y composición. Interes entonces sber st qué punto se conserv l continuidd cundo se oper con unciones. En respuest este interrognte, vmos recordr uns propieddes, que y conocemos de cursos nteriores. I. L sum y el producto de dos unciones continus es otr unción continu. Más concretmente: Si ( ) y g( ) son continus en, ls unciones ( ) g( ) y ( ) g( ) son continus en. II. El cociente de dos unciones continus es un unción continu ecepto pr quellos vlores de que nuln el denomindor. tmbién es continu en, siem- Si ( ) y g( ) son continus en, l unción ( ) g ( ) pre que g( ). III. L composición de dos unciones continus es otr unción continu: Consideremos l siguiente composición: I.E.S. Historidor Cbás -4- Jun Brgdo Rodríguez

5 g ( ) g ( ) Si es continu en y g lo es en ( ), l unción compuest y g( ) es continu en. Discontinuiddes de un unción Un unción es discontinu en un punto cundo no eiste límite en él o, eistiendo, no coincide con el vlor de l unción en el mismo. Pr l clsiicción de ls discontinuiddes en un punto tendremos en cuent l eistenci o no de los límites lterles en el mismo.. Discontinuidd evitble Un unción tiene un discontinuidd evitble en un punto cundo eiste límite en él y no coincide con el vlor de l unción en el mismo. El vlor que deberímos dr l unción en dico punto pr que uer continu en él se llm verddero vlor de l unción en el mismo. 1 si 1 Ejemplo: Estudir l continuidd de l unción ( ) 1 si 1 Est unción es continu en todos los puntos distintos de 1. Vemos qué sucede en 1. 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 Como ( 1), se veriic que ( ) ( 1) 1 L unción present un discontinuidd en 1. Si en vez de ( 1) ubiérmos tomdo ( 1), l unción ( ) serí continu en tod l rect rel. En este sentido decimos que l discontinuidd es evitble. I.E.S. Historidor Cbás -- Jun Brgdo Rodríguez

6 Discontinuidd inevitble Un unción tiene un discontinuidd inevitble en un punto cundo eisten los límites lterles en él y son distintos. Si ( ) es discontinu en el punto, el vlor: ( ) ( ) se llm slto de l unción en ese punto, y puede ser inito, si es un número rel, o ininito. 1 si Ejemplo: Estudir l continuidd de l unción ( ) 1 si Est unción es continu en todos los puntos distintos de. Vemos qué sucede en. ( ) ( 1)1 ( ) ( 1) 1 L unción present en un discontinuidd inevitble de slto inito. Ejemplo: Estudir l continuidd de l unción ( ) 1 Est unción es continu en todos los puntos distintos de. Vemos qué sucede en. 1 ( ) 1 ( ) L unción present en un discontinuidd inevitble con slto ininito. I.E.S. Historidor Cbás -6- Jun Brgdo Rodríguez

7 1 si Ejemplo: Estudir l continuidd de l unción ( ) si Est unción es continu en todos los puntos distintos de. Vemos qué sucede en. 1 ( ) 1 ( ) L unción present en un discontinuidd inevitble con slto ininito. Ejemplo: Estudir l continuidd de l unción () en el intervlo, 1 si 1 () si 1 4 si L unción está deinid pr todos los puntos del intervlo,. Por ser un unción polinómic deinid trozos, es continu en cd subintervlo. Hbrá que estudir l continuidd en los puntos de seprción de los subintervlos, y que en dicos puntos los límites lterles pueden ser distintos. En 1 ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) 1 Por tnto en el punto En 1 l unción no tiene límite, luego es discontinu en 1. ( ) ( ) ( 4) ( ) I.E.S. Historidor Cbás -7- Jun Brgdo Rodríguez

8 ( ) 4 Como ( ) ( ) l unción es continu en. Conclusión L unción es continu en todos los puntos de su dominio ecepto pr 1. Ejemplo: Estudir los puntos de discontinuidd de l unción () 1 L unción ( ) es el cociente de dos unciones continus puesto que son unciones polinómics, luego es un unción continu slvo en los puntos donde se nul el denomindor. 1 1 Vemos qué tipo de discontinuidd y en cd punto. En ( 1)( 1) 1 ( 1) En 1 l unción ( ) present un discontinuidd evitble. En En este cso tenemos que estudir los límites lterles. 1 ( ) 1 ( ) ( ) En l unción ( ) present un discontinuidd inevitble con slto ininito. En 1 En este cso tenemos que estudir los límites lterles. I.E.S. Historidor Cbás -8- Jun Brgdo Rodríguez

9 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 En 1 l unción ( ) present un discontinuidd inevitble con slto ininito. Ejemplo: Dibujr l unción () Ent () (prte enter de ). En qué puntos es discontinu? Qué tipo de discontinuidd tiene? Se represent con el símbolo y se deine como el myor número entero que se menor o igul. () Ent () Est unción es discontinu en todos los puntos de bscis enter. En estos puntos y un slto de vlor 1, de discontinuidd inevitble. L unción es continu por l derec en, Z. Ejemplo: Dibujr l unción () dec() (prte deciml de ). En qué puntos es discontinu? Qué tipo de discontinuidd tiene? Su epresión es: () L unción es continu por l derec en, Z. I.E.S. Historidor Cbás -9- Jun Brgdo Rodríguez

10 e si Ejemplo: Estudir en el cmpo rel l continuidd de l unción () e 1 1 si Se trt de un unción trozos. Ls dos unciones prciles son continus en sus dominios. Hy que estudir el comportmiento de l unción en el punto de unión, ijndo ls condiciones pr que resulte continu en él. e e ( ) ' 1 ( ) 11 ( ) ( ) no es continu en. Ejemplo: Hllr los vlores de y b y el vlor de () pr que l unción (), que se deine continución, pued ser continu. (1) si () sen(b ) si si Se trt de un unción trozos. Ls unciones prciles son continus en sus dominios. Se trt de estudir el comportmiento de l unción en los puntos de unión, ijndo ls condiciones pr que resulte continu en ellos. En ( ) ( 1) ( ) sen( b ) senb sen b En ( ) sen( b ) sen( b ) sen ( b ) 1 ( ) 1 De ests dos relciones se tiene: Si sen( b) 1 b rcsen1 k b k sen b sen k 1 I.E.S. Historidor Cbás -1- Jun Brgdo Rodríguez

11 Derivds lterles de un unción en un punto L unción () = + 1 si 1 si > continu en ese punto. no es un unción derivble en =, porque no es ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 Sin embrgo, se puede considerr un mili de intervlos de l orm, con R, y su respectiv mili de rects secntes l gráic de l unción en los puntos:, ( ) y, ( ). Si se considern vlores de tendentes, se observ que ls rects secntes se proimn sucesivmente un únic rect tngente por l izquierd. Por tnto, ls pendientes de ls rects secntes tienden l vlor de l pendiente de l rect tngente por l izquierd l contrer el intervlo, l punto. Ls rects secntes s tienen por pendiente () ( ), sí pues, l pen- diente de l rect tngente por l izquierd es ( ) () ( ) ( ) 1 1 ó L rect tngente por l izquierd es y 1, y de l eistenci de ést se obtiene l etensión del concepto de derivd, que sigue continución. De orm nálog se introduce el concepto de rect tngente por l derec. Se y = () un unción cuyo dominio de deinición es D, y se D tl que eiste un intervlo de etremo superior "" contenido en D. L unción () es derivble por l izquierd en el punto de bscis si eiste, y es inito, el siguiente límite: () () I.E.S. Historidor Cbás -11- Jun Brgdo Rodríguez

12 Suele denotrse en límites pr signiicr y Si un unción es derivble por l izquierd, entonces el límite nterior es un número, l cul se le denomin derivd de () por l izquierd en el punto de bscis = y se denot por ( ), es decir: ( ) ( ) ( ) Se y = () un unción cuyo dominio de deinición es D, y se D tl que eiste un intervlo de etremo inerior "" contenido en D. L unción () es derivble por l derec en el punto de bscis = si eiste, y es inito, el siguiente límite: ( ) ( ) Suele denotrse en límites pr signiicr y. Si un unción es derivble por l derec, entonces el límite nterior es un número, l cul se le denomin derivd de () por l derec en el punto de bscis = y se denot por ( ), es decir: ( ) ( ) ( ) Con est etensión del concepto de unción derivble en un punto se puede decir que un unción () es derivble en un intervlo cerrdo [, b]. Esto signiic que l unción es derivble en b, y derivble por l izquierd en y por l derec en b respectivmente. L condición necesri y suiciente pr que un unción y = () se derivble en un punto de bscis = es que eistn ls derivds lterles en ese punto y ésts sen igules. () () () Teorem Tod unción derivble por l izquierd (derec) en un punto es continu por l izquierd (derec) en ese punto. sen si Ejemplo: Es derivble l unción ( ) = en =? si < I.E.S. Historidor Cbás -1- Jun Brgdo Rodríguez

13 Como ests unciones están deinids por un unción distint cd ldo de =, entonces se estudi l derivbilidd lterl. +( ) ( ) ( ) sen sen sen 1 ( ) ( ) ( ) sen En el punto l unción no es derivble, y que ( ) ( ) Continuidd y Derivbilidd Teorem Si un unción y = (), cuyo dominio de deinición es D, es derivble en D entonces tmbién es continu en =. Demostrción Hemos de probr que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como ( ) ( ) ( ) es un número, por ser () derivble en, y ( ) se tiene: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivbilidd L derivd de un unción en un punto es un límite y puede ser que no eist. En ese cso se dice que l unción no es derivble. Ello puede ocurrir en tres csos: I.E.S. Historidor Cbás -1- Jun Brgdo Rodríguez

14 ) L unción no es continu si Ejemplo: Estudir l derivbilidd de l unción () si en si ( ) si Continuidd ( ) ( ) ( ) ( ) L unción no es continu en y por tnto no es derivble en dico punto. b) L unción present un punto nguloso Si se d el cso que ( ) y ( ) eisten pero son distints, entonces no podrá eistir ( ) y, por tnto, en el punto A l gráic no tendrá rect tngente. En relidd, sucederá que y dos semitngentes, como se observ en l gráic djunt, y por es rzón se dice que A es un punto nguloso de l gráic de (). Intuitivmente, no dmitimos que un gráic que teng tngente en un punto esté rot en ese punto, es decir, debe ser continu. I.E.S. Historidor Cbás -14- Jun Brgdo Rodríguez

15 Ejemplo: Estudir l derivbilidd de l unción () si si si L unción ( ) es continu en pero no es derivble en dico punto como se comprueb clculndo ls derivds lterles: ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) no eiste () En relidd brá dos semitngentes en el punto de bscis. Un de ecución y y l otr de ecución y. c) L tngente es verticl (sin pendiente o con pendiente ininit) Ejemplo: Hllr un ecución de l rect tngente l circunerenci de ecución y 9 en el punto (, ). Sbemos que l pendiente de l rect tngente l curv en el punto (, ) es m y( ), por tnto: yy. En el punto (, ) tenemos: y y 6 L curv no es derivble en el punto ddo. I.E.S. Historidor Cbás -1- Jun Brgdo Rodríguez

16 Ejemplo: Estudir l derivbilidd de l unción y 6 Si representmos l unción y 6 vemos que tiene un prte negtiv pr,, sin embrgo y 6 será positiv en todo su dominio de deinición R. L unción dd present dos puntos ngulosos, en (, ) y en (, ). En ellos no podemos trzr un rect tngente únic. L unción es derivble en todos sus puntos ecepto en (, ) y (, ). Ejemplo: En l siguiente unción clculr ls derivds lterles en el punto de bscis. Qué signiicdo geométrico tienen ( ) y ( ) en nuestro ejemplo? ( ) sen si si < y y y ( ) ( ) ( ) y sen sen sen sen 1 ( ) ( ) ( ) sen 1 Ddo que ( ) ( ) no eiste () I.E.S. Historidor Cbás -16- Jun Brgdo Rodríguez

17 Es obvio que no se puede blr geométricmente de tngente en el punto. No obstnte, si considermos ls dos rms de que const l gráic en el entorno del punto = podemos trzr ls semirrects y e y que podemos cliicr de semitngentes cd un de ls rms. Ls ecuciones serán: ysen 1 ( ) es decir y si y sen 1 ( ) es decir y si Ejemplo: En l siguiente unción, comprueb que () no está deinid. sen 1 si () si De cuerdo con l deinición de derivd: ( ) ( ) () = = sen 1 1 Este último límite no eiste, y que sen 1 oscil indeinidmente cundo tiende. Por lo tnto l unción () no es derivble en, unque sí es continu en dico punto. I.E.S. Historidor Cbás -17- Jun Brgdo Rodríguez

18 I.E.S. Historidor Cbás -18- Jun Brgdo Rodríguez Ejemplo: Estudir l derivbilidd de l unción (). si si () Utilizndo l deinición de derivd () ) ( () Como l unción no es derivble en Utilizndo l deinición de derivd () () ()

19 Estudindo primero l continuidd de l unción en dico punto. Si no es continu implic que no es derivble en ese punto. Si es continu entonces clculmos ls derivds lterles utilizndo l tbl de derivds directmente. Continuidd en ) ( ) b) () ( ) c) () por tnto l unción es continu en Derivbilidd en L derivd de l unción () eceptundo el punto es: () Clculmos ls derivds lterles: si si l unción no es derivble en I.E.S. Historidor Cbás -19- Jun Brgdo Rodríguez

20 Ejemplo: Clculr l unción derivd de l unción Continuidd en cos si () si 1 1ln si 1 ) () cos 1 cos 1 b) no eiste () () no es continu en y por tnto no es derivble en dico punto. Continuidd en 1 ) (1) 1 1 I.E.S. Historidor Cbás -- Jun Brgdo Rodríguez

21 1 1 b) () 1 (1 ln ) c) (1) () 1 l unción es continu en Derivbilidd en L derivd de l unción () eceptundo el punto 1 es: sen si ( ) si 1 (1) 1 si 1 y (1) 1 Como () 1 () 1, l unción no es derivble en 1, por tnto, l unción es derivble R, 1. ( ) I.E.S. Historidor Cbás -1- Jun Brgdo Rodríguez

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