Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Transcripción

1 Complementos de Mtemátics, ITT Telemátic Tem 3. Deprtmento de Mtemátics, Universidd de Alclá

2 Índice 1 básic 2 Obtención de ls regls de cudrtur 3 Error de cudrtur 4 Regls compuests

3 Introducción Integrl definid Se f : [, b] IR integrble. Buscr proximciones I(f ) = f (x)dx Teorem (Teorem de evlución, Regl de Brrow) Si f es integrble en [, b] y g es un primitiv de f (g (x) = f (x) pr todo x [, b]) entonces: f (x)dx = g(b) g().

4 Introducción Por qué no utilizr l Regl de Brrow pr el cálculo de I(f ) = f (x)dx? Tl vez no se conoce el integrndo f más que en lgunos puntos (tbl de vlores). Se conoce l expresión nlític de f pero quizás su primitiv no se un función elementl (p.e. f (x) = e x2 ). L primitiv de f puede ser elementl y sin embrgo se necesit de técnics numérics complejs pr hllrl (p.e. f función rcionl que necesit encontrr de form numéric ls ríces del denomindor).

5 Propieddes de l integrl Funciones f y g integrbles en [, b] 1 2 (αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx pr todo α, β R. f (x)dx = c f (x)dx + f (x)dx pr todo c [, b]. c 3 Si f (x) g(x) pr todo x [, b] entonces f (x)dx g(x)dx. Teorem (Primer teorem del vlor medio pr integrles) Si f C[, b], existe un número c (, b), tl que f (x)dx = f (c)(b ). A f (c) se le denomin vlor medio de f en [, b]. Teorem (Segundo teorem del vlor medio pr integrles) Si f C[, b], y g es integrble y no cmbi de signo en [, b], entonces existe un número c (, b), tl que f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx. Cundo g es no negtiv f (c) se le denomin vlor medio ponderdo de f en [, b] respecto de g.

6 Regls de cudrtur Regls de cudrtur L myor prte de los métodos numéricos proximn I(f ) = f (x)dx medinte un combinción linel de vlores de f : I n (f ) = α 0 f (x 0 ) + α 1 f (x 1 ) + + α n f (x n ) Elegidos y fijdos n 0, los α i y los x i, l expresión nterior soci cd función f un número rel y constituye lo que se denomin un regl de cudrtur. Los x i se denominn bciss o nodos de l regl y se suelen tomr en el intervlo [, b]. Los considerremos distintos dos dos. Los α i de denominn pesos o coeficientes de l regl.

7 Regls básics de cudrtur pr l función f en [, b] Regl del rectángulo n = 0 Abciss: x 0 = Pesos: α 0 = b I Rec (f ) = f ()(b )

8 Regls básics de cudrtur pr l función f en [, b] Regl del punto medio n = 0 Abciss: x 0 = + b 2 Pesos: α 0 = b ( ) + b I Pm (f ) = f (b ) 2

9 Regls básics de cudrtur pr l función f en [, b] Regl del trpecio n = 1 Abciss: x 0 = y x 1 = b Pesos: α 0 = b 2 y α 1 = b 2 I Tr (f ) = 1 (f () + f (b))(b ) 2

10 Regls básics de cudrtur pr l función f en [, b] Regl de Simpson n = 2 Abciss: x 0 =, x 1 = + b 2 y x 2 = b Pesos: α 0 = b 6, α 4(b ) 1 = y α 2 = b 6 6 I Si (f ) = 1 6 ( f () + 4f ( + b ) 2 ) + f (b) (b )

11 Regls básics de cudrtur pr l función f en [, b] 2 Ejemplo: f (x)dx 1 f (x) x x 2 x 3 sin x e x e x2 Vlor excto Punto Medio Trpecio Simpson Ls tres regls dn el vlor excto pr f (x) = x y l de Simpson lo d tmbién pr f (x) = x 2 y f (x) = x 3.

12 Grdo de precisión de un regl de cudrtur Definición Llmremos grdo de precisión de un regl de cudrtur l myor entero k tl que l regl proporcion de mner exct l integrl de todos los polinomios de grdo menor o igul que k. 1 El grdo de precisión de l regl del réctngulo es 0. 2 El grdo de precisión de l regl del punto medio es 1. 3 El grdo de precisión de l regl del trpecio es 1. 4 El grdo de precisión de l regl de Simpson es 3. Si probmos con ls funciones 1, x, x 2,... y obtenemos que I n+1(x j ) = x j dx (j = 0, 1,..., k) pero I n+1(x k+1 ) entonces el grdo de precisión de l regl es k. x k+1 dx

13 Regls interpoltoris Regls interpoltoris pr I(f ) = f (x)dx I n(f ) = α 0f (x 0) + α 1f (x 1) + + α nf (x n) Elegidos n 0 y los nodos x 0, x 1,..., x n [, b] distintos dos dos, diremos que l regl de cudrtur es un regl interpoltori si se clculn los pesos α i de mner que I n(f ) coincid con l integrl en [, b] del polinomio interpoldor, P(x), de f en los nodos. Polinomio interpoldor: P(x) = f (x 0)L 0(x) + f (x 1)L 1(x) + + f (x n)l n(x) Regl de cudrtur I n(f ) = Pesos o coeficientes de cudrtur α i = P(x)dx = L i(x)dx = n α i f (x i) i=0 n i=0 k i x x k x i x k dx.

14 Regls interpoltoris Ls regls de cudrtur básics son interpoltoris: 1 L Regl del Rectángulo utiliz el polinomio interpoldor de grdo 0 con nodo x 0 =. 2 L Regl del Punto Medio utiliz el polinomio interpoldor de grdo 0 con nodo x 0 = ( + b)/2. 3 L Regl del Trpecio utiliz el polinomio interpoldor de grdo 1 con nodos x 0 = y x 1 = b. 4 L Regl de Simpson utiliz el polinomio interpoldor de grdo 2 con nodos x 0 =, x 1 = ( + b)/2 y x 2 = b. Sus coeficientes se pueden clculr medinte l fórmul α i = Teorem Ddos n 0 y los nodos x 0, x 1,..., x n [, b] distintos dos dos, l correspondiente regl interpoltori tiene grdo de precisión n. L i(x)dx.

15 Método de los coeficientes indetermindos pr obtener regls de cudrtur. Nodos x 0, x 1,..., x n [, b]: I n(f ) = α 0f (x 0) + α 1f (x 1) + + α nf (x n). Le pedimos l regl de cudrtur que teng l máxim precisión posible, es decir, que se exct pr f (x) = 1, x, x 2,...: α 0 + α α n = b α 0x 0 + α 1x α nx n = 1 2 (b2 2 ) α 0x0 2 + α 1x α nxn 2 = 1 3 (b3 3 ) Teorem... α 0x n 0 + α 1x n α nx n n = 1 n+1 (bn+1 n+1 ) Ddos n 0 y los nodos x 0, x 1,..., x n [, b] distintos dos dos, hy un únic elección de los pesos α i pr los que l regl de cudrtur tiene grdo de precisión n. Teorem Ddos n 0 y los nodos x 0, x 1,..., x n [, b] distintos dos dos, l correspondiente regl interpoltori es l únic regl de cudrtur con esos nodos que tiene grdo de precisión n. Los pesos de ls regls interpoltoris se pueden clculr por el método de coeficientes indetermindos.

16 Error de cudrtur I(f ) = f (x)dx e I n(f ) = α 0f (x 0) + α 1f (x 1) + + α nf (x n) Suponiendo que l regl de cudrtur es interpoltori y que f es suficientemente regulr en [, b], el error de cudrtur, E n(f ) = I(f ) I n(f ), se puede expresr prtir del error de interpolción como: E n(f ) = f (n+1) (ξ x) (x x0)(x x1)... (x xn)dx. (n + 1)! Errores de regls básics (b )2 Regl del rectángulo: E Rec(f ) = f (ξ) pr ξ [, b]. 2 (b )3 Regl del trpecio: E Tr(f ) = f (ξ) pr ξ [, b]. 12

17 Error de l regl del punto medio: I Pm (f ) = f (( + b)/2)(b ) Fórmul del error E Pm (f ) = f (x)dx I Pm (f ) = (b )3 f (ξ) pr ξ [, b] ex2 dx = 1, Un cot del error es: donde M 2 = m«x x [0,1] f (x) = 6e. I Pm(f ) = e ( 1 2 )2 (1 0) = e 1 4 1, E Pm(f ) = 1 24 (2 + 4ξ2 )e ξ2 pr cierto ξ [0, 1] E Pm(f ) M2 24 = 6e 24 0,6795

18 Error de l regl de Simpson: I Si (f ) = 1 6 Fórmul del error E Si (f ) = 1 f (x)dx I Si (f ) = 1 90 ( f () + 4f ( + b ) 2 ) + f (b) (b ) ( ) b 5 f (iv) (ξ) pr ξ [, b] 0 ex2 dx = 1, I Si(f ) = 1 ( e e ( 1 2 )2 + e 12) (1 0) = (1 + 4e e)/6 1, Como f (iv) (x) = 4e x2 (4x x 2 + 3) E Si(f ) = 1 90 Un cot del error es: ( ) 5 1 4e ξ2 (4ξ ξ 2 + 3) pr cierto ξ [0, 1] 2 E Pm(f ) M = 76e , donde M 4 = m«x x [0,1] f (iv) (x) = f (iv) (1) = 76e.

19 Regls compuests generles. Bsds en l interpolción segmentri En un intervlo [, b], dividido en subintervlos [x i 1, x i] (i = 1,..., n) con = x 0 < x 1 < < x n = b. P k(x) función polinómic segmentri de grdo menor o igul que k en = x 0 < x 1 < < x n = b. p k,i(x), i = 1,..., n, polinomio de grdo menor o igul que k, tl que P k(x) = p k,i(x) pr x [x i 1, x i]. x1 xn n xi I(f ) = f (x) dx = f (x) dx + + f (x) dx = f (x) dx x 0 x n 1 x i 1 Regl de cudrtur compuest: I(P k) = x1 x 0 P k(x) dx + + xn x n 1 P k(x) dx = n i=1 i=1 xi x i 1 p i,k(x) dx Ls regls compuests básics utilizn nodos equiespcidos El intervlo [, b] se dividide en n subintervlos de l mism longitud h = (b )/n. Así x i = + ih pr i = 0,..., n.

20 Regls compuests básics pr l función f en [, b] [, b] dividido en n subintervlos de longitud h = (b )/n [x i 1, x i ] (i = 1,..., n), x i = + ih denotmos por x i = 1 2 (x i 1 + x i ). Regl del Punto Medio Compuest Fórmul del error: I C Pm(f ) = hf ( x 1 ) + + hf ( x n ) = h n f ( x i ). i=1 E C Pm(f ) = b 24 h2 f (ξ), ξ (, b)

21 Ejemplo de l Regl del Punto Medio Compuest 3 2 e x dx = e 2 e 3 = 7, n = 5 y, por tnto, h = 1 I C Pm(f ) = e 1,5 + e 0,5 + e 0,5 + e 1,5 + e 2,5 = 7, E C Pm(f ) = 5 24 e ξ, un cot: E C Pm(f ) 5 24 e2 = 1, Cuál es el vlor de n necesrio pr segurr un error menor de 10 α? 5 24 ( ) 2 5 e 2 < 10 α n Error n I C Pm(f )

22 Regls compuests básics pr l función f en [, b] [, b] dividido en n subintervlos de longitud h = (b )/n [x i 1, x i ] (i = 1,..., n), x i = + ih Regl del Trpecio Compuest I C Tr(f ) = h n 1 2 (f (x i 1) + f (x i )) = h n 1 2 (f () + f (b)) + h f (x i ) i=1 Fórmul del error: E C Tr(f ) = b 12 h2 f (ξ), ξ (, b) i=1

23 Ejemplo de l Regl del Trpecio Compuest 1 1 ex2 dx = 2, n = 4 y, por tnto, h = 0,5 I C Tr(f ) = 1 4 (e( 1)2 +2e ( 0,5)2 +2e (0)2 +2e (0,5)2 +e (1)2 ) = 1 2 e+e = 3, ETr(f C ) = 2 12 (0,5)2 e (ξ) 2 (4ξ 2 + 2), un cot: EPm(f C ) e 4 = 0, Cuál es el vlor de n necesrio pr segurr un error menor de 10 α? 2 12 ( ) 2 2 6e < 10 α n Error n I C Tr(f )

24 Regls compuests básics pr l función f en [, b] [, b] dividido en n subintervlos de longitud h = (b )/n [x i 1, x i ] (i = 1,..., n), x i = + ih denotmos por x i = 1 2 (x i 1 + x i ). Regl de Simpson Compuest ISi C (f ) = h n (f (x i 1 ) + 4f ( x i ) + f (x i )) 6 Fórmul del error: i=1 ESi C (f ) = b 180 ( ) h 4 f (iv) (ξ), ξ (, b) 2

25 Ejemplo de l Regl del Simpson Compuest 1 1 e 10(x 1)2 dx = 0, f (x) = e 10(x 1)2 y [, b] = [ 1, 1] Utilizmos l regl de Simpson compuest con n = 8, por tnto, h = 0,25. Los nodos serán: x i = 1 + 0,25 i con i = 0, 1,..., 8 y los correspondientes puntos medios x i = 1 + 0,25 (i + 0,5). I C Si(f ) = (e 10(x i 1 1) 2 + 4e 10( x i 1) 2 + e 10(x i 1) 2) i=1 I C Si(f ) = 0, Fórmul del error: (f (4) (x) = 400(400x x x x + 283)e 10(x 1)2 ) EPm(f C ) = 2 ( ) 4 0,25 400(400ξ ξ ξ ξ + 283)e 10(ξ 1) con ξ [ 1, 1]. Cot del error: E C Pm(f ) ( 0,25 ) = 5 0,

26 Ejemplo de l Regl del Simpson Compuest 1 1 e 10(x 1)2 dx = 0, f (x) = e 10(x 1)2 y [, b] = [ 1, 1] Utilizmos l regl de Simpson compuest con un n culquier, por tnto, h = 2 n. Cuál es el vlor de n necesrio pr segurr un error menor de 10 α? ( 1 n ) < 10 α 4 40, es decir, 3 10α < n Error n I C Tr (f)