ESTALMAT-Andalucía Actividades 09/10

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1 Veteranos Sesión Conjunta. Sesión: on line Fecha: Curso Título: Problemas sobre fracciones egipcias. En este documento mostramos algunas soluciones de los alumnos y alumnas Veteranos de 1º y 2º a los problemas propuestos. Resuelve los siguientes problemas que aparecen en el Papiro de Rhind. a) Problema 1: Cómo repartirías 1 hogaza de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? b) Problema 3: Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? c) Problema 6: Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? d) Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4. e) Problema 13: Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + ¼. f) Problema 14: Multiplica 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). g) Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad. h) Problema 22: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1. i) Problema 23: Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3. Solución de José Martín Delgado: Nota del autor Los seis últimos problemas llevan entre medio muchos más cálculos, pero los he simplificado. 1 Cómo repartirías 1 hogaza de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? 1

2 1 hogaza 1/10 de hogaza para cada hombre 10 hombres Comprobación Hombres Fracciones Fracciones unitarias 2/3 1 1/10 1/10 2 2/10 1/5 3 3/10 1/5 + 1/10 4 4/10 1/3 + 1/15 5 5/10 1/2 6 6/10 ½ + 1/10 7 7/10 ½ + 1/5 2/3 + 1/30 8 8/10 ½ + ¼ + 1/20 2/3 + 1/10 + 1/30 9 9/10 ½ + 1/3 + 1/15 2/3 + 1/5 + 1/ /10 1 Se cogen los números que suman 10, sólo vamos a coger una combinación que contenga tanto fracciones unitarias como el 2/3: = 10 1/5 + 1/10 + ½ + 1/5 = 1 2/3 + 1/3 = 1 Los resultados de las sumas es 1, y 1 es lo que vale la fracción unitaria, cuando se reparte la hogaza entre los 10 hombres La solución es correcta, pues 10 hombres * 1/10 de hogazas por cada hombre, es igual a 1: 10 * 1/10 = 1 2

3 3 Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? 6 hogazas 6/10 de hogaza por hombre 10 hombres Comprobación Hombres Fracciones Fracciones unitarias 1 6/10 ½ + 1/ / /5 3 18/ ½ + ¼ + 1/ / /3 + 1/ / / ½ + 1/ / /5 8 48/ ½ + ¼ + 1/ / /3 + 1/ /10 6 Como 10 * 6/10 = 6 hogazas, busquemos dos números que al sumarlos den un total de 10, por ejemplo =10, y ahora lo sustituimos por su valor en fracciones unitarias y nos tiene que dar 6 al sumarlas: = ½ + 1/ /3 + 1/15 = 6, nos da el total que tendría que darnos, por lo que la solución de 6/10 es correcta. 6 Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? 3

4 9 hogazas de pan 9/10 de cada hogaza para cada hombre 10 hombres Comprobación Hombres Fracciones Fracciones unitarias 2/3 1 9/10 ½ + 1/3 + 1/15 2/3 + 1/5 + 1/ / ½ + ¼ +1/ /3 + 1/8 + 1/ / ½ + 1/ /3 + 1/ / ½ + 1/ /3 + ½ + 1/3 + 1/ / ½ 3 + 2/3 + ½ + 1/3 6 54/ /3 + 1/ /3 + ½ + 1/5 + 1/ / ¼ + 1/ /3 + ½ + 1/8 + 1/ / / /3 + ½ + 1/ / / /3 + 1/3 + 1/ / Como 10 * 9/10 = 9, tenemos que volver a buscar 2 números que sumen 10, y hacemos sus sumas correspondientes con fracciones unitarias y con 2/3, y si dan nueve, la solución de 9/10 sera correcta: = 10 ½ + 1/3 + 1/ /10 = 9 Como los dos resultados dan 9, la solución de 2/3 + 1/5 + 1/3 + 2/ /3 + 1/10 = 9 9/10 es correcta. 9 Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4. (½ + ¼) * (1 + ½ + ¼) Multiplicamos ½ + ¼ por todos los demás números, y nos da: 1 = ½ + ¼ ½ + ¼ * ½ = ¼ + 1/28 4

5 ¼ = 1/8 + 1/56 Ponemos los números seguidos de denominador menor a mayor: ½ + ¼ + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56 Simplificamos los números de mayor denominador: ½ + ¼ + 1/8 + (1/14 + 1/28 + 1/56) = ½ + ¼ + 1/8 + 1/8 = ½ + ¼ + ¼ = ½ + ½ = 1 La solución de la multiplicación es 1 13 Multiplica 1/16+1/112 por 1+1/2+1/4. (1/16 + 1/112) * (1 + ½ + ¼) Vamos a hacer el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, asi que pondré el ejercicio directamente sin estudiar nada entre medio: 1 1/16 + 1/112 1/16 + 1/112 * ½ 1/32 + 1/224 ¼ 1/64 + 1/448 1/16 + 1/32 + 1/64 + (1/ / /448) = 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/64 = 1/16 + 1/32 + 1/32 = 1/16 + 1/16 = 1/8 La solución de la multiplicación es 1/8. 14 Multiplica 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). 1/28 * (1 + ½ + ¼) Ahora vamos a seguir un procedimiento distinto, vamos a utilizar los números rojos, para que veáis que existen distintas maneras de hacer estas multiplicaciones. Lo primero que vamos a hacer va a ser multiplicar como anteriormente : 1 = 1/28 1/28 * ½ = 1/56 ¼ = 1/112 Ahora, como nos da números altos, vamos a buscar un número rojo para simplificar las fracciones, en este caso vamos a coger el número rojo 28, ya que es el de la fracción principal, y eso nos facilitará las cuentas. Debemos averiguar cuantas partes de 28 son iguales a 1 + ½ + ¼, para ello iremos cogiendo números y los iremos multiplicando por 1 + ½ + ¼, y aquel número que se multiplique por esas tres fracciones y nos de 28, será la solución de la multiplicación: 5

6 1 1 + ½ + ¼ ½ Como al multiplicar 16 por 1 + ½ + ¼ nos sale 28, la solución es 16. Los tres problemas siguientes, se resuelven todos utilizando los números rojos, asi que cogeremos en cada uno, el número rojo con el que nos seas más fácil trabajar. 21 Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad. Cogemos el número rojo 15, ya que se encuentra en una de las fracciones, y lo utilizamos para simplificar: 2/3 * 15 = 10 Sumamos los resultados de las dos multiplicaciones , y nos da 11. 1/15 * 15 =1 Como 15, el número rojo, supera en 4 a 11 (15 11 = 4), tenemos que calcular el número de partes de 15 que al sumarlas den 4, es decir, tenemos que encontrar las partes de 15 que sumen 4/15, y al sumarlas, nos dará el resultado del problema. Para hacer eso, lo que hay que hacer es coger partes de 15 y multiplicarlas por 15: /5 3 * =4 1/ ½ 1/5 + 1/15 = 4/15 1/15 1* La solución del problemas en 1/5 + 1/ Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1. Hacemos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, pero el número rojo que cogemos ahora es 30, ya que está en una de las fracciones del enunciado del problema: 2/3 * 30 = 20 Sumamos los resultados de las multiplicaciones y nos da = 21. 1/30 * 30 = 1 6

7 Como 30 supera en 9 a 21, hemos de hallar el número de las partes de 30, que al sumarlas nos de 9, es decir, el número de partes de 30 que al sumarlas den 9/ /5 6* = 9 1/10 3* 1/5 + 1/10 = 3/10 = 9/30 La solución del problemas es 1/5 + 1/ Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3. Cogemos el número rojo 45, y multiplicamos: ¼ * 45 = /4 1/8 * 45 = 5 + ½ + 1/8 Los sumamos todos y nos da : 1/10 * 45 = 4 + ½ ¼ + ½ + 1/8 + ½ + ½ = 23 + ¼ + ½ + 1/8. 1/30 * 45 = 1 + ½ 1/45 * 45 = 1 2/3 * 45 = = /8 Ahora debemos de averiguar cuantas partes de 45 son 6 + 1/8: /9 5 1/ ½ Como /8 = 6 + 1/8 1/9 + 1/40 es la solución. 1/ ¼ 1/ /8 Ahora lo comprobamos, la suma de todas las fracciones anteriores, que es 23 + ¼ + ½ + 1/8, le sumamos 6+1/8 : 23 + ¼ + ½ + 1/ /8 = 30, y 30 vimos anteriormente que era 2/3 * 45, y como 45 era el número rojo, 30 = 2/3, por lo que la solución es correcta. 7

8 Solución de Pedro Palomo Cantador: a) Problema 1: Cómo repartirías 1 hogaza de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? A cada hombre corresponde 1/10 de hogaza de pan. *(Si hay que emplear obligatoriamente el 2/3: 1/10 = 2/3 X; X = 2/3 1/10 = 17/30. Se pasa 17/ 30 a fracciones unitarias: la fracción inferior más próxima a 17/30 es 1/2. 17/30-1/2 = 1/15.La solución sería: a cada hombre corresponde 2/3 1/2-1/15 de hogaza de pan). b) Problema 3: Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? A cada hombre corresponde 6/10 de hogaza que pasado a fracciones egipcias: La fracción inferior más próxima a 6/10 es 1/2. 6/10 1/2 = 1/10 La solución es: a cada hombre corresponde 1/2 + 1/10 de hogaza de pan. c) Problema 6: Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? A cada hombre corresponde 9/10 de hogaza de pan que pasado a fracciones egipcias es: 9/10 2/3 = 7/30. 7/30 1/5 = 1/30. La solución es 2/3 + 1/5 + 1/30. d) Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4. Se aplica la propiedad distributiva: se multiplica cada uno de los multiplicandos por todos los multiplicadores, de manera que se obtiene: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56. Asociando los tres últimos sumandos se obtiene 1/8: 1/2 + 1/4 + 1/8 + (1/14 + 1/28 + 1/56 ) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 Si se vuelven a asociar los dos últimos, que son iguales, el numerador de la suma es el doble (2), por lo que al simplificar la fracción para que sea unitaria, el denominador se divide por 2, de manera que 1/2 + 1/4 + (1/8 + 1/8) =1/2 +1/4 + 1/4. Se vuelve a proceder de la misma forma con los sumandos iguales, hasta llegar a la solución final: 1/2 + (1/4 +1/4) = 1/2 + 1/2 = 1 8

9 e) Problema 13: Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4. Se aplica la propiedad distributiva, y se obtiene: 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/ / /448. Si se asocian los tres últimos sumandos como en el problema anterior, se obtiene 1/64. Puesto que los números del denominador del problema anterior, son divisores de los de éste, se procede a realizar el mismo método de resolución. 1/16 + 1/32 + 1/64 + (1/ / /448) = 1/16 + 1/32 + (1/64 + 1/64) = 1/16 + (1/32 + 1/32) = 1/16 + 1/16 1/8 f) Problema 14: Multiplica 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). Para resolver este problema se puede tomar el número 28 como número rojo (auxiliar). Se multiplica, aplicando la propiedad distributiva y se obtiene: 1/28 + 1/56 + 1/112. De manera que 1/28 partes de 1/28 = 1; 1/56 partes de 1/28 = 1/2 y 1/112 partes de 1/28 = 1/4. El problema queda ahora reducido a encontrar un número tal que al multiplicarlo por 1 + 1/2 + 1/4 nos de /2 + 1/ /2 4 7 Por lo tanto 16 da 28. El resultado es por ello 1/16. g) Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad. Se toma el 15 como número rojo 2/3 de 15 = 10 1/15 de 15 = 1 9

10 Entonces ahora tenemos que 2/3 de /15 de 15 es 11. Como 15, el número rojo, supera a 10 en 4 unidades, hemos de calcular el número de partes de 15 que da un total de 4, es decir 4/15. Como 4 (el dividendo) = > 4/15 = 1/5 + 1/15 Problema 22. Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1 Se toma como número rojo el 30. 2/3 de 30 = 20 1/30 de 30 = 1 2/3 de /30 2/3 de /30 de 30 = 21. Como 30 supera a 21 en 9 unidades, hemos de calcular el número de partes de 30 que da un total de 9, es decir, de 9/ /10 3 1/5 6 Como 6+3 = 9 -> 9/30 = 1/10 + 1/5 que es la solución buscada. Problema 23. Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3 Se selecciona el 45 como número rojo, y se aplica la misma forma de resolución que antes 1/4 de 45 es /4 1/8 de 45 es 5 + 1/2 + 1/8 1/10 de 45 es 4 + 1/2 1/30 de 45 es 1 + 1/2 1/45 de 45 es 1 2/3 de 45 es 30 Sumando las cantidades obtenemos 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 = /2 + 1/4 + 1/8, es decir faltan 6 + 1/8 para llegar a 30 (el valor correspondiente a 2/3 con el número rojo 45). Ahora hemos de averiguar cuantas partes de 45 son 6 + 1/8, o lo que es lo mismo dividir 6 + 1/8 entre

11 1 45 1/10 4 1/2 1/20 2 1/4 1/40 1 1/8 1/ /8 = 6 + 1/8 que es la cantidad buscada -> la solución es 1/9 + 1/40 Solución de Jorge Mateos Arriola: a) Problema 1: Cómo repartirías 1 hogaza de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? Solución: 2/3 1/5 1/10 1/30 1 pan dividido en 10 partes da lugar directamente a la fracción 1/10 Para comprobar Hombre Cantidad de pan 1 1/10 2 1/5 4 1/3 + 1/15 8 2/3 + 1/10 + 1/30 Como 2/3 + 1/5 + 1/10 + 1/30 es igual a 10 veces 1/10, podemos repartir de la forma: 2/3 1/5 1/10 1/30 b) Problema 3: Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? Solución: 1/2 + 1/10 5 hogazas entre 10 darían directamente un reparto de 1/2 para cada hombre. 1 hogaza entre 10 daría directamente un reparto de 1/10 por hombre. Luego cada hombre se lleva 1/2 + 1/10 de pan. c) Problema 6: Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? Solución: 2/3 + 1/5 + 1/30 11

12 Hombre Cantidad de pan 1 1/10 2 1/5 4 1/3 + 1/15 8 2/3 + 1/10 + 1/30 9 = Luego 9 veces 1/10 = 2/3 + (1/10 + 1/10) + 1/30 = 2/3 + 1/5 + 1/30 d) Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4 Solución: 1 Se multiplica cada fracción del primer multiplicando por cada una del segundo 1 1/2 + 1/4 1/2 1/4 + 1/28 1/4 1/8 + 1/56 El resultado es la suma de los resultados parciales de la columna derecha, es decir; 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56 Pero: 1/14 + 1/28 + 1/56 = 1/8 (Rhind) Entonces: 1/2 + 1/4 + [1/8 + 1/8] = 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1/2 + 1/2 = 1 Por lo tanto: (1/2+1/14)*(1+1/2+1/4) = 1 e) Problema 13: Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4 Solución: 1/8. Se multiplica cada fracción del primer multiplicando por cada una del segundo 1 1/2 + 1/4 1/16 1/32 + 1/64 1/112 1/ /448 El resultado es la suma de los resultados parciales de las dos últimas filas, es decir: 1/16 + 1/32 + 1/64 + (1/ / /448) Pero: 1/ / /448 = 1/64 (Rhind) Entonces: 1/16 + 1/32 + (1/64 + 1/64) =1/16 + (1/32 + 1/32) = 1/16+1/16 = 1/8 Por lo tanto: (1/16 + 1/112)*(1+1/2+1/4) = 1/8 f) Problema 14: Multiplica 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). Solución: 1/16 Se multiplica cada fracción del primer multiplicando por cada una del segundo /28 1/ /56 1/ /112 12

13 El resultado es la suma de los resultados parciales de la columna derecha, es decir; 1/28 + 1/56 + 1/112 Pero: Por lo tanto: 1/14 + 1/28 + 1/56 = 1/16 (Rhind) 1/28*(1+1/2+1/4) = 1/16 g) Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3+1/15 para obtener la unidad. Solución: 1/5 + 1/15 Para hacer la operación 1 - (2/3 + 1 /15) se siguen los siguientes pasos: Se elige como número auxiliar el 15 2/3 + 1/15 partes de 15 es: 2/3 de 15 = 10 1/15 de 15 = 1 Entonces tenemos que 2/3 de /15 de 15 es 11. Como 15, el número rojo, supera a 11 en 4 unidades, hemos de calcular el número de partes de 15 que da un total de 4, es decir 4/ /10 1 1/2 1/5 3 1/15 1 Como 4 (el dividendo) = entonces 4/15 = 1/5 + 1/15 h) Problema 22: Averigua la cantidad que falta a 2/3+1/30 para obtener la unidad. Solución: 1/5 + 1/10 Para hacer la operación 1 - (2/3 + 1 /30) se siguen los siguientes pasos: Se elige como número auxiliar el 30 2/3 + 1/30 partes de 30 es 21, y tenemos que: 30 > 21 en 9 unidades Entonces hay que obtener cuantas partes de 30 dan 9. es decir 9/30 2/3 1/30 x unidad Como 6+3 = 9 entonces la respuesta es 1/5 + 1/ /3 3 1/5 6 i) Problema 23: Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3 Solución: 1/9 + 1/40 Para hacer la operación 2/3 - (1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45) se siguen los siguientes pasos: Se elige 45 como número rojo: 13

14 1/4 de 45 es /4 1/8 de 45 es 5 + 1/2 + 1/8 1/10 de 45 es 4 + 1/2 1/30 de 45 es 1 + 1/2 1/45 de 45 es 1 2/3 de 45 es 30 Sumando ahora las cantidades correspondientes al enunciado obtenemos: 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 partes de 45 es /2 + 1/4 + 1/8 Es decir faltan 6 + 1/8 para llegar a 2/3 de 45 = 30 (el valor correspondiente a 2/3 con el número rojo 45). 1/4 1/8 1/10 1/30 1/45 x 2/ /2 + 1/4 + 1/8 45 Ahora hemos de averiguar cuantas partes de 45 son 6 + 1/8, o lo que es lo mismo dividir 6 + 1/8 entre /10 4 1/2 1/20 2 1/4 1/40 1 1/8 1/ /8 = 6 + 1/8 es la cantidad buscada. Luego la solución es 1/9 + 1/40 Solución de Carlos Pinto Pérez: o Repartir una hogaza de pan entre 10 hombres. Como queremos dividir 1:10, multiplicamos 1/10 10 para comprobar que la solución es 1/10. El resultado es: 1/10 1 = 1/10 1/10 2 = 2/10 = 1/5 1/10 4 = 2/5 = 1/3 + 1/15 1/10 8 = 2/3 + 2/15 = 2/3 + 1/10 + 1/30 2+8=10; 1/5 + 2/3+ 1/10 + 1/30 = 1. De esta forma se comprueba que a cada hombre le corresponde 1/10 de la hogaza, cosa que en nuestros días parece evidente. o Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? 14

15 Para no repetir el método del papiro, diría que lo más fácil es descomponer 6/10 en fracciones unitarias como ya se ha hecho arriba. Quedaría: 6/10 = 3/5 = ½ + 1/10 Otro modo, más egipcio, es multiplicar por 6 el resultado del primer problema: 1/10 1 = 1/10 1/10 2 = 2/10 = 1/5 1/10 4 = 2/5 = 1/3 + 1/ = 6; 1/3 + 1/5 + 1/15 = 6/10. La misma solución con diferente forma. Ídem. o Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? 9/10 = ½ + 8/20 = ½ + 2/5 = ½ + 1/3 + 1/15 Ó 1/10 1 = 1/10 1/10 2 = 2/10 = 1/5 1/10 4 = 2/5 = 1/3 + 1/15 1/10 8 = 2/3 + 2/15 = 2/3 + 1/10 + 1/ = 9; 1/10 + 2/3 + 1/10 + 1/30 = 2/3 + 2/10 + 1/30 = 2/3 + 1/5 + 1/30. Si sustituimos 2/3 por ½ + 1/6, el resultado es 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/30. Si nos fijamos, el denominador de la última fracción es múltiplo de todos los anteriores. Nos podemos dar cuenta de que cuando esto se cumple el resultado se puede expresar de otra forma mediante fracciones unitarias. Simplificarse. Multiplica (½ + 1/14) (1+1/2+1/4) El método se explica en la presentación de diapositivas: 1 ---> ½ + 1/14 ½ --> ¼ + 1/28 15

16 ¼ --> 1/8 + 1/56 Sumando todo: ½ + ¼ + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56. Al ser múltiplos los denominadores (28 y 56 de 2 y 14), podemos simplificarla. ½ + ¼ + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56 = ½ + ¼ + 1/8 + 1/8 = ½ + ¼ + 2/8 = ½ + ¼ + ¼ = ½ + 2/4 = ½ + ½ = 1 Multiplica (1/16 + 1/112) (1+1/2+1/4) -> 1/16 + 1/112 ½ -> 1/32 + 1/224 ¼ -> 1/64 + 1/448 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/ / /448 = 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/64 = 1/16 + 1/32 + 2/64 = 1/16 + 1/32 + 1/32 = 1/16 + 2/32 = 1/16 + 1/16 = 2/16 = 1/8 Multiplica 1/28 (1+1/2+1/4) -> 1/28 ½ -> 1/56 ¼ -> 1/112 1/28 + 1/56 + 1/112 = 1/16 Averigua la cantidad que le falta a 2/3 + 1/15 para obtener 1. Usamos 15 como unidad : 2/3 de 15 = 10 1/15 de 15 = 1 1 (2/3 + 1/15) -> 15 (con el valor de 1) (10 +1) = 4 Por tanto, p/q de 15 = 4, siendo p/q la solución al problema. Sabiendo que 1/5 de 15 = 3, la solución es 1/5 + 1/15. Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1. El razonamiento es el mismo, con 30 como unidad: 2/3 de 30 = 20 16

17 1/30 de 30 = 1 1-(2/3 + 1/30) -> 30 (20+1) = 9 1/5 de 30 = 6 1/10 de 30 = = 9; 1/5 + 1/10 es la solución. Completa ¼ + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3 Esta vez seleccionaremos como unidad el mínimo común múltiplo de los denominadores. Esto los egipcios no lo tenían. ¼ de 360 = 90 1/8 de 360 = 45 1/10 de 360 = 36 1/30 de 360 = 12 1/45 de 360 = 8 2/3 de 360 = ( ) = = 49 1/8 de 360 = 45 1/90 de 360 = 4 La solución es, por tanto, 1/8 + 1/90. En el papiro se da otra, pero prefiero la que tenga el primer denominador menor. Solución de Jacinto Carrasco Castillo: a) Problema 1: Cómo repartirías una hogaza de pan entre 10 hombres aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? A cada hombre le tocaría 1/10 de hogaza. La demostración se obtendría al multiplicar 1/10 por 10, pero los egipcios, al contemplar sólo la multiplicación por dos, habrá que multiplicar por dos, hasta conseguir la multiplicación por 8, y sumar la multiplicación por dos y por 8: 17

18 1/10 x 2 = 1/5 1/5 x 2 = 1/3 + 1/15 1/3 + 1/15 x 2 = 2/3 + 1/10 + 1/30 (1/10) x 10 = 1/10 x 2 + 1/10 x 8 = 2/3 + 1/5 + 1/10 + 1/30 = 2/3 + 5 x 1/15 = 2/3 + 1/3= = 1 hogaza de pan a repartir entre los diez hombres. b) Problema 3: Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? Tendremos que realizar la división 6/ /2 5 1/ =6 6/10=1/2+1/10 Para tener 1/2+1/10, deberemos dividir 5 hogazas entre dos, y la restante entre diez, pudiendo dar así a cada hombre 1/2+1/10 La demostración: (1/2 + 1/10) x 10 = 1/2 x /10 x 10. Para ello seguimos el mismo proceso que en el ejercicio anterior: 1/10 x 2 = 1/5 ½ x 2 = 1 1/5 x 2 = 1/3 + 1/15 1 x 2 = 2 1/3 + 1/15 x 2 = 2/3 + 1/10 + 1/30 2 x 2 = 4 2/3 + 1/5 + 1/10 + 1/ = 6 hogazas a repartir entre los diez hombres. c) Problema 6: Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? Deberemos dividir 9/ /3 6 2/3 1/5 2 1/30 1/3 6+2/3+2+1/3=9 9/10=2/3+1/5+1/30 Para obtener la cantidad a repartir a cada hombre, deberemos dividir 7 hogazas de pan entre 3, tomar un tercio y dividirlo en 10 partes, dando a cada hombre 2/3+1/30. Las dos hogazas restantes deberán ser divididas en 5 partes y repartir cada 1/5 a cada hombre La comprobación sería: (2/3 + 1/5 + 1/30) x 10: (2/3 + 1/5 + 1/30) x 2 = 1+2/3+1/8+1/120 18

19 (1+2/3+1/8+1/120) x 2 = 3+1/3+1/4+1/60 (3+1/3+1/4+1/60) x 2 = 6+2/3+1/2+1/30 1+2/3+1/8+1/ /3+1/2+1/30=8+1/2+1/3+1/8+1/24= 9 hogazas de pan a repartir entre los 10 hombres. d) Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4. (1/2+1/14) x (1+1/2+ 1/4)= 1 (1/2+1/14) + 1/2(1/2+1/14)+ 1/4(1/2+1/14) (1/2+1/14)x1 = 1/2+1/14 (1/2+1/14)x1/2 = 1/4+1/28 (1/2+1/14)x1/4 = 1/8+1/56 1/2+1/4+1/8+(1/14+1/28+1/56)=1/2+1/4+(1/8+1/8)=1/2+(1/4+1/4)=1/2+1/2=1 (1/2+1/14) x (1+1/2+ 1/4)=1 e) Problema 13: Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4 (1/16 + 1/112)(1 + 1/2 + 1/4)= 1(1/16 + 1/112) + 1/2(1/16 + 1/112) + 1/4(1/16 + 1/112) (1/16 + 1/112)x1 = 1/16 + 1/112 (1/16 + 1/112)x1/2 = 1/32 + 1/224 (1/16 + 1/112)x1/4 = 1/64 + 1/448 1/16+1/32+1/64+(1/112+1/224+1/448)=1/16+1/32+(1/64+1/64)=1/16+(1/32+1/32)= 1/16+1/16= 1/8 f) Problema 14: Multiplica 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). 1/28(1+1/2+1/4)= 1/28+1/28x1/2+1/28x1/4 1/28x1 = 1/28 1/28x1/2 = 1/56 1/28x1/4 = 1/112 1/28+1/56+1/112= 1/16 g) Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad. Este problema se resuelve mediante el uso de los números rojos Tomaremos como número auxiliar el 15, ya que es el mayor denominador. Así, tendremos: 2/3x15 + 1/15x15 +?x15 =15 19

20 ?x 15 =15, por lo que? x 15 = 4, o sea, debemos dividir 4 entre 15, obteniendo el resultado: 1/5+1/15 h) Problema 22: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1. 2/3 x /30 x 30 +? x 30 = 1 x ? x 30 = 30? x 30 = 9 El resultado es 9/30, en fracciones egipcias, 1/5 + 1/10 i) Problema 23: Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3. 1/4 x /8 x /10 x /30 x /45 x 45 +? x 45 = 2/3 x / /2 + 1/ / / ? x 45 = /4 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/8 +? x 45 = 30 1/2 + 1/4 + 1/8 +? x 45 = 7? x 45 = 6 + 1/8. Que da como resultado 49/360, que en fracciones egipcias sería 1/9 + 1/40 Solución de Silvia Navarro Romero: Problema 1: Cómo repartirías 1 hogaza de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? Cada hombre recibe 1/10 de hogaza Multiplica 1/10 por / / /3.1/ /3.1/10.1/30 En efecto siguiendo el método de multiplicación hace = > 1/5 + 2/3 + 1/10 + 1/30 = 1 luego la solución es correcta, pues 10 * 1/10 = 1. Problema 3: Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? Sería igual que el anterior: /1/10 * / /3.1/15 * /3.1/10.1/30 20

21 El resultado sería por tanto 1/2 + 1/10 Problema 6: Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? La solución al problema es 2/3 + 1/5 + 1/30 ya que al multiplicar el resultado anterior por 10 se obtiene 9. Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4. (1/2 + 1/14) * (1 + 1/2 + 1/4) = 1/2 + 1/14 + 1/4 + 1/28 + 1/8 + 1/56 = = 1/2 + 1/4 + 1/8 + (1/14 + 1/28 + 1/56) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = = 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1/2 + 1/2 = 1 Problema 13: Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4. (1/16 + 1/112) * (1 + 1/2 + 1/4) = 1/16 + 1/ /32 + 1/ /64 + 1/448) = = 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/64 = 1/16 + 1/32 + 1/32 = 1/16 + 1/16 = 1/8 Problema 14: Multiplica 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). 1/28 * (1 + 1/2 + 1/4) = 1/28 + 1/56 + 1/112 = 1/ = 2* = 4* =7 112/7=16 Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad. 2/3 + 1/15 = 1/2 + 1/6 + 1/15 1 1/2 1/6 1/15 = 4/15 = 1/4 + 1/60 Utilizando el número rojo (15) sería: 1/15 = 1 2/3 = = 11 hasta 15 faltan 4=3+1 por lo tanto = 1/5 + 1/15 Problema 22: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1. 2/3+1/30=1/2+1/6+1/30=7/10 21

22 1 7/10 = 3/10 = 1/4 + 1/20 Utilizando el número rojo (30) sería: 1/30=1 2/3= =21 hasta 30 faltan 9=6+3 por lo tanto = 1/5 + 1/10 Problema 23: Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3. 2/3=1/2+1/6 360 (número rojo) (m.c.m. 4,8,10,30,45) 1/4 90 1/8 45 1/ / / =191 hasta 240(2/3) faltan 49=9+40 por lo tanto 1/40 + 1/9 Solución de Blas Garrido Martín: Problema 1: Cómo repartirías 1 hogaza de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? / / /3,1/ /3,1/10,1/30 8+2=10 entonces nos da que 1/5+2/3+1/10+1/30=1 entonces la solución es 1/10 para cada hombre. Problema 3: Cómo repartirías 6 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias? /1/ ,1/ ,1/3,1/15 22

23 ,2/3,1/10,1/30 8+2=10 entonces nos da que 1+1/5+4+2/3+1/10+1/30=6 seria así entonces la solución es 1/2+1/10 para cada hombre. Problema 6: Cómo repartirías 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3? /1/ ,1/ ,1/3,1/ ,2/3,1/10,1/30 8+2=10 entonces nos da que 2+1/5+6+2/3+1/10+1/30 seria así entonces la solución es 1/5+2/3+ 1/30 para cada hombre. Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4. Se multiplica cada uno por el primer múltiplo /2+1/14 1/ /4+1/28 1/ /8+1/56 Y nos da: 1/2+1/4+1/8+1/14+1/28+1/56=1/2+1/4+1/8+1/8=1/2+1/4+1/4=1 La solución es 1 Problema 13: Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4 Se multiplica cada uno por el primer múltiplo /16+1/112 1/ /32+1/224 23

24 1/ /64+1/448 Sumamos los resultados parciales como producto de 1(número rojo) Y nos da: 1/16+1/32+1/64+1/112+1/224+1/448=1/16+1/32+1/64+1/64=1/16+1/16=1/8 La solución es 1/8 Problema 14: Multiplica 1/28 por (1 + 1/2 + 1/4). Se multiplica cada uno por el primer múltiplo /28 1/ /56 1/ /128 Sumamos los resultados parciales como producto de 28(número rojo) 1/28 de 28 es 1 1/56 de 28 es 1/2 1/128 de 28 es 1/4 Y nos da: 1+1/2+1/4 y debemos buscar un numero que multiplicado por lo anterior nos de /2+1/ / La solución es 16. Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad. Tomo como número rojo el 15 y lo aplico a los que me han dado de tal manera que: 2/3 de 15=10 y 1/15 de 15=1 Ahora 2/3 de 15+1/15 de 15 es 11. Como 15 es mayor a 11 en 4 tenemos que calcular el número de partes de 15 que da 4/15. 24

25 1 dividido entre 15 1/10 dividido entre 1+1/2 1/5 dividido entre 3 1/15 dividido entre 1 4=3+1 por tanto 4/15=1/5+1/15 es lo que falta para obtener la unidad. Problema 22: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1. Tomo como número rojo el 30 lo aplico a los que me han dado de tal manera que: 2/3 de 30=20 y 1/30 de 30=1 Ahora 2/3 de 30+1/30 de 30 es 21. Como 30 es mayor a 21 en 9 tenemos que calcular el número de partes de 30 que da 9/30. 1 dividido entre 30 1/10 dividido entre 3 1/5 dividido entre 6 9=6+3 por tanto 9/30=1/5+1/10 es lo que falta para obtener la unidad. Problema 23: Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3. Tomo como número rojo el 45 lo aplico a los que me han dado de tal manera que: 1/4 de 45=11+1/4 1/8 de 45=5+1/2+1/8 1/10 de 45=4+1/2 1/30 de 45=1+1/2 1/45 de 45=1 Lo sumo todo y da: /2 + 1/4 + 1/8 Ahora hallo el valor de 2/3 con el número rojo y da 2/3 de 45=30 entonces falta 6+1/8 para llegar a 30.Tenemos que calcular cuantas partes de 45 son 6+1/8. 1 dividido entre 45 1/10 dividido entre 4+1/2 1/20 dividido entre 2+1/4 1/40 dividido entre 1+1/8 1/9 dividido entre 5 6+1/8=5+1+1/8 por tanto 6+1/8=1/9+1/40 es lo que falta para obtener 2/3. 25