Visualización 3D de Deformación y Corte de Objetos Virtuales basada en Descomposición Ortogonal

Transcripción

1 Vsualzacón 3D de Deformacón y Corte de Objetos Vrtuales basada en Descomposcón Ortogonal Gabrel Sepúlveda, Vcente Parra y Omar A. Domínguez Resumen Se muestra la mplementacón gráfca de un nuevo modelo para la renderzacón de fuerzas de contacto durante la nteraccón háptca dentro de ambentes vrtuales 3D para deformacón y corte de objetos vrtuales con propedades dnámcas y superfcales complejas. Se defne un algortmo smple para la trangulacón de un objeto vrtual, empleando algortmos cláscos para la deteccón de colsones. Se desarrolló un algortmo para la vsualzacón del corte de la malla trangular así como para el cálculo de las dnámcas de la malla durante el corte. Se presentan mágenes de la plataforma utlzando OpenGL y Vsual C++, para la parte gráfca y el dspostvo Falcon para la retroalmentacón háptca. Palabras clave Dspostvo háptco, renderzacón 3D, deformacón y corte. 3D VISUALIZATION OF DEFORMATION AND CUT OF VIRTUAL OBJECTS BASED ON ORTHOGONAL DECOMPOSITION destacan: el dseño de restrccones necesaras para la smulacón de tejdo [1], el uso de herramentas vrtuales [2], el uso de elementos locales (LEM) [3]. Así como los algortmos empleados para la generacón de texturas como [4] y [5]. Pero estos algortmos utlzados en la renderzacón háptca consderan relatvamente poco la vsualzacón de la tarea que se está llevando acabo, además de necestarse por lo menos dos de ellos para generar smultáneamente propedades dnámcas del objeto y textura en su superfce. Es por lo anteror que este documento presenta un nuevo algortmo para la renderzacón gráfca de objetos vrtuales deformables y bajo corte, utlzando como base el algortmo de descomposcón ortogonal utlzado para la generacón de fuerzas de contacto a través de un dspostvo háptco [6], este algortmo permte la generacón smultánea de propedades dnámcas y propedades superfcales para los objetos vrtuales. Abstract We present graphc mplementaton of a novel model for contact force renderng durng the haptc nteracton n 3D vrtual envronment. It s appled durng cut and deformaton of vrtual objects wth complex dynamc and surface propertes. We defne the smple algorthm for trangulaton of the vrtual object usng the classc algorthm of detecton of collsons. The algorthm s proposed that allows vsualzng of the cuttng trangular net as well as the calculaton of the dynamcs of the net durng the cut. We present the correspondng mages usng OpenGL and Vsual C++ for the graphc module and Falcon devce for haptc feedback. Index Terms Haptc devce, 3D renderng, deformaton and cut. D I. INTRODUCCIÓN URANTE la nteraccón con objetos vrtuales a través de dspostvos háptcos, un aspecto mportante a consderar es la renderzacón de las fuerzas de contacto, para ello se han desarrollado numerosas teorías y algortmos dentro de los que Manuscrto recbdo el 20 de agosto del Manuscrto aceptado para su publcacón el 3 de novembre del Gabrel Sepúlveda, Departamento de Ingenería Eléctrca, CINVESTAV, Méxco DF (emal: gsepulveda@cnvestav.mx). Vcente Parra, Grupo de Robótca y Manufactura Avanzada, CINVESTAV, Saltllo, Méxco (emal: vparra@cnvestav.mx). Omar A. Domínguez, Centro de Investgacón en Tecnologías de Informacón y Sstemas, UAEH, Pachuca, Méxco (emal: omar_arturo@uaeh.edu.mx). Fg. 1. Descomposcón ortogonal de la fuerza aplcada a una superfce defnda por una esfera en coordenadas artculares. II. DESCOMPOSICIÓN ORTOGONAL El algortmo de descomposcón ortogonal presentado en [6] permte la descomposcón de la dnámca del dspostvo háptco en dos dnámcas ndependentes y ortogonales, la prmera se utlza para generar propedades dnámcas de los objetos vrtuales, tales como deformacón elástca lneal y de tpo exponencal [7], esta dnámca es empleada en la renderzacón de las fuerza de contacto, deformacón y corte de los objetos vrtuales. La segunda dnámca generada por la descomposcón ortogonal se emplea en la generacón de fuerzas de frccón smples (vscosa-coulomb) o avanzadas (GMS) [8]. La prmera dnámca es normal al punto de

2 contacto con el objeto vrtual y la segunda es tangente al punto de contacto como se muestra en la Fg. 1. El algortmo de descomposcón ortogonal presentado en [6] permte generar fuerzas de deformacón exponencal como las presentes durante la manpulacón de tejdo orgánco real [7], fuerzas presentes durante el corte de una muestra de tejdo [9] con una gran fdeldad al utlzar dspostvos háptcos de altas prestacones como el Phantom Premum 1.0 de la compañía Sensable y con una fdeldad moderada con dspostvos como el Falcon de la compañía Novnt. III. MALLADO DE LA MUESTRA VIRTUAL Para realzar caracterzacones bomecáncas se toman muestras de tejdo y sobre ellas se realzan las pruebas, para nuestros expermentos dentro de un ambente vrtual 3D se generó una muestra vrtual con forma de prsma trangular (ver Fg. 6). La muestra vrtual se genera a partr de un trángulo defndo por sus tres vértces, posterormente se genera un mallado por subtrangulacón teratva a partr del prmer trángulo sguendo la base del algortmo empleado para generar el fractal de Serpnsky, en el cual cada trángulo es subdvddo en tres trángulos como se muestra en la Fg 2A y 2B (trángulos negros). El algortmo mplementado dentro de nuestra plataforma extende el algortmo anteror para generar el cuarto trángulo (el trángulo blanco del centro en la Fg. 2B, y así lograr una trangulacón completa a partr del trángulo orgnal. Fg. 3. Trangulacón empleada en las paredes de la muestra vrtual. IV. MALLADO INERCIAL Para generar la percepcón vsual de un movmento contnuo a lo largo de la superfce de la muestra vrtual se generó un mallado nercal. Un mallado nercal es un conjunto de puntos a los cuales se les asgna una masa, nterconectados por resortes y amortguadores a lo largo de las arstas que los unen, como se muestra en la Fg. 4, lo anteror produce el efecto deseado: cuando un nodo de la malla es desplazado, el cálculo de la dnámca debda a los resortes y amortguadores produce una fuerza sobre sus vecnos, la cual produce desplazamento en ellos, por lo cual se genera el efecto que permte nterpretar la malla como un cuerpo contnuo y deformable. A) B) C) Fg. 2. Trangulacón generada a partr de subtrangulacón teratva. La muestra posee una característca denomnada resolucón, dcha característca permte defnr el número de teracones que se realzará el algortmo defnendo así la cantdad de trángulos de acuerdo a la Tabla 1. TABLA I CANTIDAD DE TRIÁNGULOS DE LA MALLA DE ACUERDO A LA RESOLUCIÓN DEL OBJETO VIRTUAL Resolucón Trángulos en la malla (-1) Dentro de la estructura de la muestra vrtual se defnen los vértces que forman el contorno del objeto, obtenendo así los puntos a partr de los cuales se generan las paredes del objeto, generando un mallado trangular para las paredes como se muestra en la Fg. 3, el numero de subdvsones vertcales depende de la resolucón del objeto vrtual. Fg. 4. Malla nercal, las esferas representan lo nodos del mallado, y las conexones representan los resortes y amortguadores que conectan a cada uno de los nodos. La dnámca de la malla nercal es la sumatora de las dnámcas de cada uno de n nodos de la malla. A cada -ésmo nodo de la malla se le asgna una masa m y un conjunto de valores b j y k j que representan los valores del amortguador y del resorte respectvamente entre el nodo y el nodo j por últmo la varable F que representa la fuerza externa aplcada sobre el nodo, esto se representa medante la sguente ecuacón: n n m X& + bj ( X& X& j ) + kj ( X X j X j0 ) = F (1) = 1 = 1 donde X, X&, X& representa el desplazamento, velocdad y aceleracón del nodo en coordenadas cartesanas respectvamente, X representa la longtud ncal del j 0 resorte que une el nodo con el nodo j. Para resolver la ecuacón dferencal presentada en (1) se utlzó como ntegrador el algortmo de Runge-Kuta de 4 orden.

3 V. DETECCIÓN DE COLISIONES Y GENERACIÓN DE FUERZAS DURANTE DEFORMACIÓN Para generar las fuerzas de contacto presentes durante la nteraccón utlzando un dspostvo háptco y a través del algortmo de descomposcón ortogonal como se muestra en [6] se requere generar una ecuacón mplícta, la cual defne una geometría con la cual se nteractúa a través del dspostvo háptco, para el desarrollo de este trabajo se consderó la ecuacón de un plano como la geometría de nteraccón descrto por la ecuacón: Ax + By + Cz + D = 0 (2) donde A, B, C, D son escalares constantes, x, y, z son las tres coordenadas cartesanas. Para generar la geometría de nteraccón durante la manpulacón de la muestra vrtual, se requere un algortmo para la deteccón de colsones. El algortmo empleado para la deteccón de colsones entre la herramenta vrtual y el mallado es el conocdo como colsón entre esfera y trángulo, este algortmo se emplea stuando pequeñas esferas a lo largo de la superfce de la herramenta que puede entrar en contacto contra el mallado, después se realza una búsqueda exhaustva entre los trángulos del mallado de la muestra y las esferas de la herramenta (conocdas como Proxy), cuando se detecta la colsón se procede de la sguente forma: 1. Se realza la deteccón de colsones. 2. Se obtenen las coordenadas de los tres vértces del trángulo con el cual se generó la colsón. 3. A partr de los vértces se calcula la ecuacón del plano al cual pertenece el trángulo. 4. Con la ecuacón del plano se calcula la fuerza de nteraccón que será envada al dspostvo háptco así como el desplazamento debdo al movmento del operador. 5. Una vez calculado el desplazamento del trángulo se realza el cálculo de la dnámca de la malla de acuerdo al modelo nercal, logrando la dfusón del movmento a lo largo del mallado. Los pasos menconados se muestran en la Fg. 5. Es mportante señalar que la fuerza calculada en el paso 4 es la fuerza de nteraccón normal al punto de contacto (ver Fg. 1) la cual se nterpreta a través del dspostvo háptco como la dnámca del objeto vrtual por ejemplo su elastcdad y su dnámca ante el corte. Fg. 5. Pasos para la deteccón de colsones, renderzacón de fuerzas y deformacón del mallado de la muestra vrtual. Durante la deformacón de la muestra vrtual debda a compresón la normal del plano apunta haca afuera del objeto vrtual, logrando con ello una fuerza en dreccón contrara a la compresón percbendo el operador rgdez o elastcdad del objeto vrtual como se muestra en la Fg. 6. Fg. 6. Pantalla de la aplcacón mostrando la compresón de la muestra vrtual. Durante la nteraccón en la cual se estra el mallado, lo que correspondería a tomar con unas pnzas la muestra vrtual, la normal del plano de nteraccón apunta haca adentro de la muestra para generar una fuerza que se oponga a la dstensón, esto se muestra en la Fg. 7.

4 A) B) Fg. 7. Pantalla de la aplcacón mostrando la dstensón de la muestra vrtual. VI. ALGORITMO PARA EL CORTE Para la renderzacón de las fuerzas durante el corte de la muestra vrtual medante el dspostvo háptco se emplearon los algortmos descrtos en [6], donde se muestra como ejemplo de corte la dnámca de una muestra de hígado de cerdo durante el corte. En [6] se generan las fuerzas de nteraccón pero no se presenta algún algortmo que genere la msma retroalmentacón de forma vsual. Para generar la vsualzacón del corte se desarrollo un algortmo que toma en cuenta la estructura trangular de la muestra vrtual (ver Fg. 8) permtendo cortes en dreccón vertcal ascendente (paralelos al eje y). El algortmo consta de los sguentes pasos: 1. Se detecta el desplazamento del dspostvo háptco durante la deformacón de la muestra vrtual hasta que se alcanza el punto de ruptura del tejdo, con lo cual se camba del modo de nteraccón de deformacón a modo de nteraccón en corte. 2. Una vez en modo de nteraccón de corte se calcula de acuerdo al punto de contacto con la malla y a la dreccón del desplazamento una línea que defne la dreccón del corte Fg. 8 A. 3. Se realza un cálculo del número de trángulos que tengan dos o más vértces a la derecha de la línea de corte, es decr que su coordenada x sempre esté a la derecha de la línea de corte. Dchos trángulos serán elmnados del mallado de la muestra vrtual, como se muestra en la Fg. 8 B. 4. Una vez elmnados los trángulos del mallado se procede a recalcular el contorno del objeto para generar las nuevas paredes del objeto. C) Fg. 8. Pasos realzados por el algortmo para la vsualzacón del corte de una muestra vrtual. El conjunto de nodos de la nueva muestra es reducdo cambando los elementos empleados en (1), al elmnar conexones de resortes y amortguadores. Los nodos, caras y paredes elmnados son removdos de la escena vrtual. En la Fg. 9 se muestra una pantalla de la aplcacón desarrollada donde se ha realzado un corte de la muestra vrtual. Fg. 9 Pantalla que muestra la aplcacón después de haber realzado un corte. VII. PLATAFORMA EXPERIMENTAL La plataforma expermental empleada consta de una computadora portátl o laptop HP Pavllon dv2000 con procesador Intel Core2 Duo a una velocdad de 1.5 GHz con 2 Gb de memora RAM y una tarjeta de vdeo Moble Intel 965 con un montor LCD de 14 pulgadas. El sstema operatvo es Wndows Vsta Ultmate. El ambente de programacón empleado fue OpenGL y sus lbrerías de herramentas GLU para la renderzacón del ambente vrtual 3D. Vsual C como lenguaje de programacón para la lógca del programa, los modelos matemátcos, los ntegradores empleados y las funcones de escrtura de archvos. El dspostvo háptco empleado en esta plataforma expermental fue el Falcon de la compañía Novnt. La plataforma expermental se muestra en la Fg. 10.

5 mplementar en aplcacones háptcas para la smulacón de crugía, entrenadores háptcos para estudantes de medcna, así como para la nteraccón en mundos vrtuales dnámcos. Fg. 10. Plataforma expermental, dspostvo háptco y computadora. VIII. CONCLUSIONES Se presentó un algortmo para la generacón de muestras vrtuales de tejdo a partr de una trangulacón teratva. El algortmo permte la renderzacón de fuerzas de contacto medante un dspostvo háptco así como la vsualzacón durante nteraccón en deformacón y corte de la muestra. El algortmo aporta un método para generar las geometrías necesaras para emplear el algortmo para la renderzacón háptca de fuerzas basado en la descomposcón ortogonal. El algortmo permte úncamente cortes vertcales de la muestra vrtual, por lo que debe ser modfcado para permtr cortes en cualquer dreccón. El algortmo aquí presentado se puede REFERENCIAS [1] Olver R. Astley and Vncent Hayward. Desgn constrant for haptc surgery smulaton. IEEE ICRA, 2000 San Francsco CA. [2] Colgate, J. E., Stanley, M. C., and Brown, J. M. Issues n the Haptc Dsplay of Tool Use. In: IEEE/RSJ, Proceedngs of Internatonal Conference on Intellgent Robots and Systems, Pttsburgh, 1995, pp [3] Teeranoot Chanthasopeephan Jaydev P. Desa and Alan C. W. Lau. 3D and 2D Fnte Element Analyss n Soft Tssue Cuttng for Haptc Dsplay. In: Proceedngs of ICAR, 2005, pp [4] Omar Arturo Domínguez Ramírez. Desgn and ntegraton of a Realstc Haptc Interface. CINVESTAV, Mechatronc Secton, PhD Thess, Méxco, [5] Gann Campon and Vncent Hayward. Fundamental Lmts n the Renderng of Vrtual Haptc Textures. McGll Unverty, Montreal, Canada. [6] Gabrel Sepúlveda, Vcente Parra, Omar Domínguez. Nonnear Haptc Renderng of Deformaton and Cuttng Based on Orthogonal Decomposton. Journal Research n Computng Scence, Vol. 35, 2008, pp [7] Iman Brouwer et al. Measurng In Vvo Anmal Soft Tssue Propertes for Haptc Modelng n Surgcal Smulaton. Unversty of Calforna, USA, [8] Fard Al-Bender, Vcent Lampaert and Jan Swevers. The Generalzed Maxwell-Slp Model: A Novel Model for Frcton Smulaton and Compensaton. IEEE Transacton on Automatc Control, Vol. 50, 2005, pp. 11. [9] Mohsen Mahvash and Vncent Hayward. Haptc Renderng of Cuttng: A Fracture Mechancs Approach. McGll Unversty, Quebec, Canada, 2001.