JUNIO 95. Solución Se pide calcular la resultante de tres fuerzas conocidos sus módulos y sus direcciones. Para ello!!! se buscan tres vectores u1,

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1 OPIÓN A JUNIO 95 UESTIÓN En un vértice de un cubo se plicn tres fuerzs dirigids según los digonles de ls tres crs que psn por dichos vértices. Los módulos o mgnitudes de ests fuerzs son, y. Hllr el módulo de l fuerz resultnte de quells tres. Se pide clculr l resultnte de tres fuerzs conocidos sus módulos y sus direcciones. Pr ello!!! se buscn tres vectores u, u, u en sus direcciones, bisectrices de los plnos OYX, OYZ, OXZ. Un vez definidos estos vectores se normlizn dividiéndolos por su módulo, pr que tengn módulo unidd, y sí, poderlos convertir los módulos que interesen, y ectmente.!!!! u (,,)! u (,,)! u (,,) u N!, u N!, u! u u u L solución l problem es el módulo del vector R!!!!!!!! R U U U u N u N u N! (,,) (,,) (,,) (,,5) R! 5 5 R 5 UESTIÓN Estudir l derivbilidd en de ƒ() f () f ( o ) Pr que un función f(9 se derivble en un punto o debe eistir él o Pr resolver el problem hy que definir l función f() sin el vlor bsoluto, y pr eso se usn ls funciones por intervlos. ³ Sí < f () ³ Sí f () f () f () f (), f () f () Si f () f () f () f () f () f () ³ ² f () f () ³ ² Por lo tnto: ³ Luego f() es derivble en el punto cero.

2 UESTIÓN Pruébese que l función ƒ() / es continu en el punto ; esto es, muéstrese que es: lim Un función es continu en un punto si en dicho punto eiste y coincide con el vlor del ite de l función en ese punto. f () f ( o ) Se pide demostrr que y pr ello hbrá que cudir l definición de ite en un punto. f () L δ, ε > todo lo pequeño que quermos / Si δ f () L ε o lo que es lo mismo, se tiene que demostrr que sí δ tiende cero, ε tmbién tiende cero Aplicdo l cso que se propone, sí δ tiende cero, tiende dos y por tnto ε se convierte en: clculndo el ite por lo que qued demostrdo que PROBLEMA Dos línes férres se cortn perpendiculrmente. Por cd líne vnz un locomotor (de longitud desprecible), dirigiéndose mbs l punto de corte; sus velociddes son 6 y Km/h hn slido simultánemente de estciones situds, respectivmente, y Km del punto de corte.. Hllr l distnci l que se encuentrn ls locomotors, en función del tiempo que ps desde que inicin su recorrido.. Hllr el vlor mínimo de dich distnci..- Se pide clculr un epresión pr l distnci de seprción de dos puntos móviles que se desplzn perpendiculrmente y con velociddes constntes en función del tiempo. Tomndo un sistem de referenci como el de l figur y considerndo el desplzmiento positivo, el ejercicio se reduce clculr l hipotenus de un triángulo rectángulo en el que l longitud de los ctetos será función del tiempo. Trnscurrido un tiempo t, l posición de los móviles vendrá dd por s I 6t s II t

3 por lo que l distnci de seprción entre los móviles será s(t) (6t ) (t ) 8t² t 5 8t² t 5.- Se pide clculr el mínimo de l función s(t). 6t s' (t) 8t² t 5 igulndo cero l derivd: S ' (t) 6t ; t h. 6

4 OPIÓN B UESTIÓN uántos puntos hy en l función ƒ() 6 8 que no tengn derivd?. Justificr l respuest. Se pide estudir l derivbilidd de un función en vlor bsoluto. El primer pso debe ser epresr l función por intervlos, cmbiándole el signo l epresión en los intervlos en los que se negtiv. Signo de f() () (). De (,) (-, ) positiv, de (,) negtiv. f () ² 6 8 ² 6 8 Sí Sí (, ) (, ) f() está definid en todo R por epresiones polinómics y demás, en los puntos donde cmbi de epresión, eisten los limites lterles y coinciden con el vlor de l función en el punto, por lo tnto l función es continu en todo R f() es derivble en todo R{,} por estr definid por epresiones polinómics. En y, hbrá que comprobr si lo son tmbién. L condición pr que un función se derivble en un punto o, es que eist el f () f ( o ), y pr que eistn este deben de eistir sus lterles y ser igules. o Pr f ()( f ) ( ) ()( f ) 6 8 ( ) 6( ) 8 f f ( ) ()( f ) 6 8 ( 6 8) l ser distintos los ites lterles, no eiste el en f ()( f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), por lo que l función no es derivble Aplicndo el mismo desrrollo en, se demuestr que l función tmpoco es derivble. Por lo tnto l función solo present dos puntos donde no es derivble.

5 UESTIÓN Encontrr ls trnsformciones de fils o columns que hy que hcer con el determinnte djunto pr probr l iguldd. Justific l respuest. )³ )( ( { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( UESTIÓN Identificr, indicndo lguns de sus crcterístics, ls forms geométrics de ls siguientes epresiones lgebrics: c² z² b² y² ² ² y z 5 8y z tiempo siendo t un prámetro que indic el t sen y cos t. L primer ecución corresponde un elipsoide centrdo en el origen de coordends de vértices: A (,, ), A (,, ), B (, b, ), B (, b, ), (,, c), (,, c) y ejes, b, c. L segund ecución corresponde un esfer, y que los coeficientes de, y, y z, son igules en vlor y signo. omo l menos uno de los coeficientes de, y ó z no es nulo, l esfer está desplzd del origen de coordends. Pr identificr el centro de l esfer y el rdio, identificmos l ecución implícit de l esfer con l de definición Ecc. de definición de esfer de centro (, b, c) y rdio R: ( ) ( ) ( ) R c b desrrollndo y z b c b c R identificndo con l ecución: y z 5 8y z

6 5 b 8 se obtiene ls siguientes igulddes: c b c 5 5 resolviendo: b R c L ecución de l esfer qued: 5 5 entro :,, Elementos de l esfer: 5 R ( ) R 5 L tercer ecución corresponden ls prmétrics de un cónic. Pr identificr l cónic se elimin el prámetro. Elevndo l ecuciones l cudrdo y sumándols, se elimin el prámetro. cos t Sumndo: y cos t sen t y sen t teniendo en cuent cos t sen t se obtiene l ecución de un circunferenci centrd en el origen de rdio. y PROBLEMA iert empres periodístic tiene 65 millones de entrds l ño entre vents, publicidd y subvenciones. Si ument el 5% en l publicidd, esto le ocsion un incremento del % en ls vents y un ciert disminución de l subvención, con lo cul ls entrds disminuyen en 5 millones. A fin de mntenerse en los 65 millones de entrds, el director piens tomr un de ls dos decisiones siguientes: ) Reducir l publicidd inicil l %, con lo cul disminuirí l subvención en un % y ls vents se mntendrín. b) Reducir l publicidd inicil en un %, con lo cul ls vents se mntendrín y l subvención umentrí en un %. uál de ls dos decisiones es l correct? Justifíquese cd un de ls firmciones que se hgn.. Los resultdos de l empres, pueden epresrse medinte ls siguientes ecuciones. V Vents V P S 65 P Publicidd : ' V '5 P α S 65 S Subvenciones Ls previsiones pueden epresrse: ) V P 9 s 65 b) V 6 P S 65 L opción, no es posible, y que no se pueden mntener los ingresos disminuyendo l publicidd y ls subvenciones y mnteniendo ls vents constntes

7 L opción b es posible, y que mnteniendo ls vents, disminuye l publicidd pero ument l subvención. on los dtos propuestos se estudi el sistem: V P S 65 V P S 65 ' V '5 P α S 65 : V 5 P α S 65 V '6P,S 65 V 6P S 65 definido por ls mtrices 65 A 5 α : A' 5 α El rngo de l mtriz A es tres independientemente del vlor que tome α, y que eiste un menor de orden tres que no depende de α y es distinto de cero El rngo de A depende de α 5 6 α ( α 9) i. Sí α 9 el sistem es incomptible. rg A rg A ii. Sí α 9 el sistem es comptible determindo. rg A rg A n Aplicndo l discusión del sistem l enuncido del problem, l propuest b solo será dmisible cundo l rebj en l subvención propuest en l segund ecución se distint l %. Sí l rebj es diferente l %, ls distints prtids de vents, publicidd y subvenciones vendrán epresds el función de α según: A V A P AS V : P : S A A A V α : P α : S 65 ( α 9) ( α 9) ( α 9) ( 65α ) V > ( α 9) P S ( α 9) ( α 9) Resolviendo ls inecuciones: i. Pr que V > : α < ' 6 ó α > 9 65 ii. Pr que P y S > : α < 9 Pr que los tres vlores V, P, y S sen positivos y l propuest b se ceptble, l disminución en l subvención correspondiente l segund ecución, debe ser suprior l 6%. > >

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