1. Trabajo y energía TRABAJO HECHO POR UNA FUERZA CONSTANTE

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1 Trabajo y energía

2 1. Trabajo y energía Hasta ahora hemos estudiado el movimiento traslacional de un objeto en términos de las tres leyes de Newton. En este análisis la fuerza ha jugado un papel central. En este apartado veremos un análisis alternativo del movimiento de un objeto en términos de las cantidades energía y momentum (o cantidad de movimiento). La importancia de esas cantidades es que se conservan. Es decir, que en circunstancias bastante generales, permanecen constantes. TRABAJO HECHO POR UNA FUERZA CONSTANTE La palabra trabajo tiene diversos significados en el lenguaje diario. Pero en física, al trabajo se le da un significado muy específico para describir lo que se logra por la acción de una fuerza al actuar ésta sobre un objeto a lo largo de cierta distancia. Específicamente, el trabajo hecho sobre un objeto por una fuerza constante (en magnitud y sentido) se define como el producto de la magnitud del desplazamiento multiplicado por la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. En forma de ecuación podemos escribir W = F d donde F es la componente de la fuerza constante F paralela al desplazamiento d. Podemos también escribir W = F d cos θ donde F es la magnitud de la fuerza constante, d es la magnitud del desplazamiento del objeto y θ es el ángulo entre las direcciones de la fuerza y el desplazamiento. El factor cos θ aparece porque F cos θ = (F ) es la componente de F paralela a d. Consideremos primero el caso en que el desplazamiento y la fuerza tienen el mismo sentido, por lo que θ = 0 y cos θ = 1; entonces W = Fd. Por ejemplo si empujas un carro de supermercado, cargado una distancia de 50 m ejerciendo una fuerza horizontal de 30 N sobre el carro, usted efectúa 30 N 50 m = 1500 N.m de trabajo sobre él. El trabajo se mide en newton-metro. A esta unidad se le llama joule; joule (J): 1 J = 1 N.m

3 Ejemplo 1.1. Una persona jala un cajón a lo largo del piso. El trabajo hecho por la fuerza F es W = Fd cos θ, donde d es el desplazamiento. Ejemplo 1.2. (Trabajo hecho sobre un cajón). Un cajón de 50 kg es jalado 40 m a lo largo de un piso horizontal por una fuerza constante ejercida por una persona, F p = 100 N, que actúa según un ángulo de 37 como se muestra en la figura abajo. fr d El piso es rugoso y ejerce una fuerza de fricción F f r = 50 N. Determine el trabajo hecho por cada fuerza que actúa sobre el cajón y el trabajo neto hecho sobre el cajón. 2

4 Solución. Escogemos nuestro sistema coordenado de manera que x sea el vector que representa el desplazamiento de 40 m (es decir, a lo largo del eje x). Hay cuatro fuerzas actuando sobre el cajón, como se muestra en la figura arriba, que es un diagrama de cuerpo libre: la fuerza ejercida por la persona, F p, la fuerza de fricción F f r, el peso del cajón mg y la fuerza normal F N ejercida hacia arriba por el piso. El trabajo hecho por las fuerzas gravitacional y normal es cero, ya que ellas son perpendiculares al desplazamiento x (θ = 90 ). W G = mgx cos 90 = 0 W N = F N x cos 90 = 0 El trabajo hecho por F P es W P = F P x cos θ = (100 N)(40 m) cos 37 = 3200 J El trabajo hecho por la fuerza de fricción es W f r = F f r x cos 180 = (50 N)(40 m)( 1) = 2000 J El ángulo entre el desplazamiento x y F f r es de 180 porque ellos señalan en sentidos opuestos. Como la fuerza de fricción se opone al movimiento (y cos 180 = 1), efectúa un trabajo negativo sobre el cajón. Finalmente, el trabajo neto puede ser calculado de dos maneras equivalentes. (1) El trabajo neto efectuado sobre un objeto es la suma algebraica del trabajo hecho por cada fuerza, ya que el trabajo es un escalar. W neto = W G + W N + W P + W f r = J 2000 J = 1200 J. (2) El trabajo neto también puede calcularse determinando primero la fuerza neta sobre el objeto y luego tomando su componente a lo largo del desplazamiento: (F neta ) x = F P cos θ F f r. El trabajo neto es entonces W neto = (F neta ) x x = (F P cos θ F f r )x = (100 N cos N)(40 m) = 1200 J. 3

5 En la dirección vertical (y) no hay desplazamiento, y por tanto tampoco habrá trabajo. Ejemplo 1.3. (Trabajo hecho sobre una mochila). (a) Determine el trabajo que un alpinista hace sobre una mochila de 15 kg al subirla a lo largo de una colina de altura h = 10 m como se muestra en la figura. Determine también (b) el trabajo hecho por la gravedad sobre la mochila y (c) el trabajo neto hecho sobre la mochila. d Por simplicidad suponga que el movimiento es suave y la velocidad constante (es decir, se tiene una aceleración despreciable). Solución. (a) Las fuerzas sobre la mochila se muestran en la figura abajo H H d La fuerza de gravedad, mg, que actúa hacia abajo; y F H, la fuerza que el alpinista debe ejercer hacia arriba para soportar la mochila. Como suponemos que la aceleración es despreciable, las fuerzas horizontales también son despreciables. El sentido vertical y hacia arriba lo escogemos como po- 4

6 sitivo. La segunda ley de Newton aplicada a la mochila da F y = ma y F H mg = 0 Por consiguiente F H = mg = (15 kg)(9.8 m/s 2 ) = 147 N Para calcular el trabajo hecho por el alpinista sobre la mochila, tenemos W H = F H (d cos θ) y notamos de la figura arriba que d cos θ = h. Entonces el trabajo hecho por el alpinista se escribe como W H = F H (d cos θ) = F H h = mgh = (147 N)(10 m) = 1470 J Nótese que el trabajo hecho depende sólo del cambio en elevación y no del ángulo θ de la colina. El mismo trabajo se haría al levantar la mochila verticalmente la misma altura h. (b) El trabajo hecho por la gravedad es W G = (F G )(d) cos(180 θ) Como cos(180 θ) = cos θ, tenemos W G = (F G )(d)( cos θ) = mg( d cos θ) = mgh = (15 kg)(9.8 m/s 2 )(10 m) = 1470 J Obsérvese que el trabajo hecho por la gravedad no depende del ángulo de la colina, sino sólo de la altura h vertical de ésta. Esto se debe a que la gravedad efectúa trabajo sólo en la dirección vertical. (c) El trabajo neto hecho sobre la mochila es W neto = 0 ya que la fuerza neta sobre ella es cero (se supone que ella no acelera en forma considerable). Podemos también determinar el trabajo neto hecho escribiendo W neto = W G + W H = 1470 J+1470 J = 0 5

7 que da el mismo resultado. Nótese en este ejemplo que aunque el trabajo neto sobre la mochila es cero, el alpinista si efectúa un trabajo sobre la mochila igual a 1470 J. Ejemplo 1.4. ( Efectúa la Tierra trabajo sobre la Luna?). La Luna gira alrededor de la Tierra en una órbita casi circular, mantenida ahín por la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra. Efectúa la gravedad (a) trabajo positivo, (b) trabajo negativo, o (c) ningún trabajo sobre la Luna? Respuesta. La fuerza gravitacional sobre la Luna actúa hacia la Tierra (como una fuerza centrípeta), internamente a lo largo del radio de la órbita de la Luna. El desplazamiento de la Luna en cualquier momento es a lo largo del círculo, en la dirección de su velocidad, operpendicular al radio y perpendicular a la fuerza de la gravedad. Luna Tierra Por tanto, el ángulo θ entre la fuerza F G y el desplazamiento instantáneo de la Luna es de 90 y el trabajo hecho por la gravedad es entonces cero (cos 90 = 0). Esta es la razón por lo que la Luna, así como los satélites artificiales, pueden permanecer en órbita sin consumir combustible, ya que ningún trabajo tiene que efectuarse contra la fuerza de la gravedad. Actividades Propuestas Ejercicio 1.1. Un bloque de masa 2.5 kg es empujado 2.2 m a lo largo de una mesa horizontal sin fricción, por una fuerza constante de 16 N dirigida 6

8 a 25 abajo de la horizontal. Determine el trabajo realizado sobre el bloque por (i) La fuerza aplicada. (ii) La fuerza normal ejercida por la mesa. (iii) La fuerza grtavitacional. (iv) Determine el trabajo total realizado sobre el bloque. Ejercicio 1.2. Un comprador en un supermercado empuja un carro con una fuerza de 35 N dirigida a un ángulo de 25 hacia abajo desde la horizontal. Encuentre el trabajo realizado por el comprador sobre el carro cuando avanza por un pasillo de 50 m de largo. Ejercicio 1.3. Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con leña y lo arrastra 20 m sobre el suelo horizontal (figura (a)). (a) (b) El peso total del trineo y la carga es de 14,700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N a 36,9 sobre la horizontal, como se indica en la figura (b). Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento del trineo. Calcule el trabajo realizado por cada fuerza que actúa sobre el trineo y el trabajo total de todas las fuerzas. Ejercicio 1.4. Una gota de lluvia de masa cae verticalmente con una rapidez constante bajo la influencia de la gravedad y la resistencia 7

9 del aire. Modele la gota como una partícula. Cuando cae 100 m cuál es el ttabajo realizado sobre la gota? (i) Por la fuerza gravitacional. (ii) Por la resistencia del aire. 8

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