Capítulo V APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA ADMINISTRACIÓN

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1 Capítulo V APLICACIOES DE LAS FUCIOES A LA ADMIISTRACIÓ 5.1 ITRODUCCIÓ: Muchos problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias afines, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales y otros tipos de funciones para su modelamiento, su comprensión, y fundamentalmente para la toma de decisiones. En muchas ocasiones, la sola comparación entre las funciones tipo y el comportamiento de las variables en un problema administrativo, económico o similar permite obtener los modelos más apropiados. El crecimiento poblacional, la propagación de una epidemia y las áreas afectadas por un derrame petrolero contaminante en el mar crecen aproximadamente como lo hacen las funciones exponenciales de potencia positiva. Un producto de reciente introducción, al inicio, incrementa su mercado también en forma similar. El impacto sobre la economía de un país de un alza de salarios mínimos decrece como una función exponencial de potencia negativa. 253

2 Cuando se rotan 45º las ecuaciones clásicas de las hipérbolas se consiguen funciones amortiguadas similares a la función exponencial de potencia negativa, con tendencias asintóticas tanto horizontales como verticales. El crecimiento de las ventas de un producto que ya ha logrado un nicho de mercado, la variación poblacional de una universidad que ya lleva algunos años de funcionamiento, la clientela consolidada de un banco probablemente deba modelarse mediante una función logarítmica. 254

3 A veces una sola función no es suficiente para modelar el comportamiento de una variable económica o financiera, por lo que puede requerirse operar con dos o más funciones simultáneamente (sumándolas o multiplicándolas, por ejemplo). Las fluctuaciones mensuales de las ventas de un almacén podrían requerir la combinación de una función lineal que refleje el crecimiento anual o a largo plazo, más una función sinusoidal o cosenoidal que refleje las variaciones a corto plazo. 255

4 5.2 MODELOS MATEMÁTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA ADMIISTRACIÓ: Problema Resuelto 1: El promedio de clientes mensuales de un local de venta de comida rápida, que empezó a funcionar en 1999, ha variado de acuerdo a la siguiente tabla de datos. Año Promedio Clientes Mensuales Encontrar una función que describa aproximadamente el comportamiento de la clientela, y en base a ella estimar la clientela mensual promedio esperada para los años 2005, 2006 y Solución: Se dibujan los puntos en un diagrama de coordenadas cartesianas. Se traza una curva que se aproxime a los puntos dibujados y que revele una geometría de tendencia. 256

5 Si se compara la curva obtenida con las curvas tipo que se han estudiado previamente, se encuentra una gran similitud con las funciones logarítmicas, pero los valores en el eje de las x requieren ser corregidos mediante la introducción de una variable que corra paralela pero que esté desfasada. Una primera aproximación podría consistir en que el año 1997 coincida con el 0, el año 1998 coincida con el 1, el año 1999 coincida con el 2, etc. La forma general de la ecuación de ajuste podría tener la siguiente forma: y = A.ln( B.x) 257

6 Mediante una hoja electrónica se pueden probar diversos valores de A y B, lo que nos proporcionaría gráficos como los siguientes: Del gráfico se deduce que una de las funciones que mejor se ajusta a los datos es: y = 655. ln( 2.75x) El número de clientes esperado para los años 7 (2005), 8 (2006) y 9 (2007) son respectivamente 1937, 2025 y El gráfico correspondiente es: 258

7 Es importante notar que los datos reales se acercan mucho a la curva propuesta, pero no coinciden exactamente, pues los procesos reales no responden milimétricamente a ecuaciones específicas. Problema Resuelto 2: Una pequeña empresa tiene costos mensuales de producción de basureros de plástico definidos por la siguiente expresión: C = Donde: C: Costo mensual de funcionamiento de la empresa (se mide en dólares) : úmero de basureros fabricados en el mes Encontrar una función que describa el costo unitario de los basureros en función de la producción mensual, y representarlo gráficamente. Solución: De la función de costos totales se deduce directamente que los Costos Fijos de la empresa son de US 750 mensuales, y los costos variables son de US$ 2.20 por cada basurero. Para conocer la función de costo unitario se debe dividir el costo total para el número de basureros fabricados en el mes CU = Función de Costo Unitario Para representar gráficamente la función se prepara una tabla con valores de y CU. úmero de Basureros Fabricados () Costo Unitario (CU) El gráfico correspondiente es: 259

8 Problema Resuelto 3: El precio unitario de fabricación de robots para el hogar, en una empresa, se describe mediante la siguiente función: CU = 15300e Donde: CU: Costo Unitario de Fabricación de los robots, en dólares : úmero de robots fabricados en cada año, que no puede ser menor que 50 para validar la función El precio unitario de venta de los robots depende del número de unidades que se ponen en el mercado en cada año, y responde a la siguiente expresión: PUV = 4100e Donde: PUV: Precio Unitario de Venta de los robots, en dólares : úmero de robots fabricados en cada año Primera Parte: Dibujar en un único gráfico las 2 funciones, de modo que pueda realizarse un análisis comparativo. Segunda Parte: Tomando como base el gráfico de la Primera Parte, definir los rangos de producción que generan utilidades y los que generan pérdidas. Tercera Parte: Encontrar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia por unidad vendida y cual es la producción que produce la mayor ganancia total. 260

9 Solución Primera Parte: FUCIOES MATEMÁTICAS Y MATRICES Se puede preparar una tabla, con el auxilio de una hoja electrónica, con distintos valores de úmero de Robots fabricados y comercializados, y se evalúan las 2 funciones. (# Robots) Costo Unitario de Fabricación Precio Unitario de Venta , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,46 974, ,00 874, ,89 791, ,89 724, ,42 669,32 El grafico correspondiente es: Solución Segunda Parte: De la observación directa del gráfico anterior, que contiene una función de oferta y una función de demanda, se concluye que existen tres rangos con comportamiento claramente diferenciado. Para una producción inferior a unos 140 robots anuales, los costos de fabricación son demasiado altos comparados con el precio de venta, debido a que la eficiencia de producción es muy baja, por lo que se producen pérdidas económicas en el negocio. Para una producción comprendida entre 140 y 550 robots anuales, los costos de fabricación son inferiores al precio de venta correspondiente, ya que se ha 261

10 mejorado la productividad y el precio de venta no ha disminuido demasiado a causa de la mayor oferta, por lo que se producen ganancias. Por último, para una producción superior a 550 robots anuales, en que se inunda el mercado con robots, la mejora que se obtiene en la productividad no compensa la disminución de costos provocada por la sobreoferta del artículo, por lo que nuevamente los costos de fabricación son más altos que los precios de venta y el negocio genera pérdidas. Para ajustar esos valores estimados de 140 y 550 robots anuales, se introducen nuevos valores en la tabla de datos (135, 139, 145, 545, 555). (# Robots) Costo Unitario de Fabricación Precio Unitario de Venta El rango de producción que vuelve rentable el negocio está entre 139 y 550 robots anuales (se obtuvieron estos valores más exactos por tanteo en la hoja electrónica), mientras que la producción inferior a 139 genera pérdidas por falta de productividad, y una producción superior a 550 robots anuales también provoca pérdidas pero por efecto de una sobreoferta. Solución Tercera Parte: La utilidad unitaria (o la pérdida unitaria) en función del número de robots producidos se obtiene restando el precio unitario de venta menos el costo unitario de fabricación. UU = PUV - CU Función Genérica de Utilidad Unitaria Donde: UU: Utilidad Unitaria (por cada robot fabricado y vendido) 262

11 PUV: Precio Unitario de Venta CU: Costo Unitario de Fabricación FUCIOES MATEMÁTICAS Y MATRICES Reemplazando las funciones que describen el Precio Unitario de Venta y el Costo Unitario de Fabricación se tiene: UU = ( 4100e + 420) ( 15300e + 870) Simplificando: UU = 4100e UU = 4100e e e La tabla correspondiente es: (# Robots) Utilidad Unitaria Función de la Utilidad Unitaria Se representa gráficamente la función anterior (la tabla anterior): 263

12 La zona sombreada representa el rango de producción y comercialización que genera utilidades, rango que está comprendido entre 139 y 550 robots anuales. La mayor ordenada del gráfico corresponde a la producción que produce la mayor ganancia por unidad producida y vendida. Del gráfico se deduce que alrededor de los 250 robots producidos en cada año se tiene una utilidad de aproximadamente US$ 700 por cada robot, lo que produce una utilidad total de alrededor de US$ (700 x 250). Se completa la tabla anterior para ajustar esos valores: (# Robots) Utilidad Unitaria De la tabla se deduce que la mayor utilidad unitaria se logra con una producción de 240 robots anuales, y esa utilidad es de US$ 702 por robot. La utilidad total es de US$ (240 x 702). 264

13 Para calcular la Función de Utilidad Total, se debe multiplicar la función de utilidad unitaria por el número de robots. La expresión correspondiente es: UT = UU UT = UU Función Genérica de Utilidad Total Donde: UT: Utilidad Total UU: Utilidad Unitaria : úmero de robots fabricados y vendidos Reemplazando en la expresión anterior la función de Utilidad Unitaria se tiene: UT = ( 4100e e - 450) Se prepara una tabla para la función previa: (# Robots) Utilidad Unitaria Utilidad Total Se representa gráficamente la función previa: Función de Utilidad Total 265

14 La zona sombreada constituye el rango de producción con utilidades para la empresa. La magnitud de las ordenadas es el valor de la utilidad total para el número de robots fabricados y vendidos que aparece sobre el eje de las x. Del gráfico y de la tabla correspondiente se desprende que para una producción de aproximadamente 285 robots anuales se consigue la mayor utilidad total, y el monto de esta utilidad es alrededor de US$ ; para ese caso la utilidad unitaria es aproximadamente de US$ 650 (185000/285) por robot. Se ajusta la tabla para obtener valores más exactos. (# Robots) Utilidad Unitaria Utilidad Total

15 Para una producción ajustada de 290 robots anuales se logra una utilidad total de US$ , que corresponde a una utilidad unitaria del producto de US$ 638 por robot (la utilidad unitaria proviene de un costo de producción de US$ 1067, y un precio unitario de venta de US$ 1705). Uno de los aspectos importantes que surge de este ejemplo, es el hecho de que la mayor utilidad unitaria no coincide con la mayor utilidad total. Se ha sacrificado algo de la utilidad unitaria, lo que ha sido compensado y superado por un mayor volumen de ventas. Problema Resuelto 4: El valor unitario de venta de gafas con protección contra los rayos ultravioletas está definido por la siguiente función hiperbólica: 2000 CU = Donde: CU: Costo Unitario de Fabricación de las gafas, en dólares : úmero de gafas fabricadas en cada mes, que no puede ser menor que 200 para validar la función Primera Parte: Dibujar en un gráfico la Función de Costos Unitarios de Producción. Segunda Parte: Si el precio unitario de venta de las gafas es de US$ 14, para una producción de 200 gafas, y decrece US$ 0.50 por cada 100 gafas adicionales producidas (se está trabajando con una función lineal decreciente cuya ecuación debe determinarse), encontrar y dibujar la función que describe la utilidad unitaria. Tercera Parte: Encontrar y dibujar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia total. Solución Primera Parte: Se prepara una tabla para dibujar la Función de Costos Unitarios de Producción: 2000 CU = (# Gafas) Costo Unitario de Fabricación , , , , ,00 267

16 600 8, , , , , , , ,05 La representación gráfica de la función es: Solución Segunda Parte: La Utilidad Unitaria se obtiene restando el Precio Unitario de Venta menos el Costo Unitario de Producción UU = Simplificando: UU = UU = UU = ( 0.50) UU = Función de Utilidad Unitaria

17 Donde: UU: Utilidad unitaria : úmero de gafas fabricadas y vendidas mensualmente FUCIOES MATEMÁTICAS Y MATRICES Se prepara una tabla con valores representativos para poder generar un gráfico de la función. (# Gafas) Utilidad Unitaria , , , , , , , , , , , , , , ,87 La representación gráfica de la Función de Utilidad Unitaria es: La zona sombreada constituye el rango de producción con utilidades para la empresa (entre 280 y 2000 gafas mensuales. Solución Tercera Parte: Para calcular la Función de Utilidad Total, se debe multiplicar la Función de Utilidad Unitaria por el número de gafas fabricadas y vendidas mensualmente. La expresión correspondiente es: 269

18 UT = UU Función Genérica de Utilidad Total Donde: UT: Utilidad Total UU: Utilidad Unitaria : úmero de gafas fabricadas y vendidas FUCIOES MATEMÁTICAS Y MATRICES Reemplazando en la expresión anterior la Función de Utilidad Unitaria se tiene: 2000 UT = Función de Utilidad Total Ł ł Se prepara una tabla para la función previa: (# Gafas) Utilidad Total , , , , , , , , , , , , , , ,96 La representación gráfica de la Función de Utilidad Total es: 270

19 La mayor ordenada positiva corresponde a la máxima utilidad total, y de acuerdo al gráfico y a la tabla está en aproximadamente US$ 3820 mensuales, lo que corresponde a una producción de aproximadamente 1100 gafas mensuales. Para obtener valores más ajustados se modifica la hoja electrónica original, incluyendo datos adicionales. (# Gafas) Costo Unitario de Producción Precio Unitario de Venta Utilidad Unitaria Utilidad Total ,00 14,00-10, , ,33 13,75-3,58-895, ,00 13,50-0,50-150, ,67 13,00 2,33 933, ,00 12,50 3, , ,00 12,00 4, , ,86 11,00 4, , ,22 10,00 3, , ,96 9,40 3, , ,82 9,00 3, , ,54 8,00 2, , ,33 7,00 1, , ,18 6,00 0, , ,05 5,00-0,05-105, ,95 4,00-0, , ,87 3,00-1, ,96 Para una producción y venta mensual de 1120 gafas, se tiene un Costo Unitario de Producción de US$ 5.96, un Precio Unitario de Venta de US$ 9.40, y una Utilidad Total de US$ mensuales. El gráfico es básicamente el mismo que el anterior. 5.3 PROBLEMAS PROPUESTOS: Problema Propuesto 1: El promedio de clientes mensuales de un cine ha variado en los siguientes términos: Año Promedio Clientes Mensuales

20 Primera Parte: FUCIOES MATEMÁTICAS Y MATRICES Encontrar una función lineal y una función logarítmica que describan aproximadamente el comportamiento de la clientela; graficar las 2 funciones. Segunda Parte: Mediante las 2 funciones encontrar la proyección de ventas para los años 2006, 2008 y 2010, y comparar los resultados. Cuál de las proyecciones considera más adecuada para describir el comportamiento del negocio, y por qué? Problema Propuesto 2: El precio unitario de fabricación de bicicletas de niños para cross country, se describe mediante la siguiente función: CU = 14320e Donde: CU: Costo Unitario de Fabricación de las bicicletas, en dólares : úmero de bicicletas fabricadas en cada año, que no puede ser menor que 60 para validar la función El precio unitario de venta de las bicicletas depende del número de unidades que se ponen en el mercado en cada año, y responde a la siguiente expresión: PUV = Donde: PUV: Precio Unitario de Venta de las bicicletas, en dólares : úmero de bicicletas fabricadas en cada año Primera Parte: Dibujar en un único gráfico las 2 funciones, de modo que pueda realizarse un análisis comparativo. Segunda Parte: Tomando como base el gráfico de la Primera Parte, definir los rangos de producción que generan utilidades y los que generan pérdidas. Tercera Parte: Encontrar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia por unidad vendida y cual es la producción que produce la mayor ganancia total. Cuarta Parte: Comparar los tipos de funciones propuestas en este problema con aquellas detalladas en los Problemas Resueltos 3 y

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