Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Probabilidad y Estadística Tema 5 Distribuciones de probabilidad discretas Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Distinguir las características de las distribuciones de probabilidad discretas. Resolver problemas con distribuciones de probabilidad discretas.

2 Introducción al tema Cuando compramos un aparato electrónico buscamos aquellas marcas cuya reputación es de certidumbre en el correcto funcionamiento y calidad del producto. Las compañías gastan miles de dólares en garantizar tanto el proceso de producción como la calidad del producto final. De igual forma, las empresas que producen alimentos para niños buscan que el producto le guste a la mayor proporción de niños en el mercado donde se distribuirá el producto. Introducción al tema Existen otras situaciones en donde el tiempo es esencial, como por ejemplo, la puntualidad de las líneas aéreas tanto en la salida como en la llegada. Ahora podemos preguntarnos, cómo determinamos la probabilidad de que al comprar un aparato funcione a la primera?, cómo determinamos la probabilidad de que el avión despegue a tiempo? Las distribuciones de probabilidad subyacentes en este tipo de experimentos nos darán una respuesta.

3 Distribución de probabilidad de Bernulli Distribución de probabilidad discreta que asigna un valor de 1 al éxito en un experimento y un valor de 0 al fracaso Distribución de probabilidad Bernulli Es un experimento que se realiza una sola vez. Tiene dos posibles resultados, éxito o fracaso. Los resultados son mutuamente excluyentes. Para calcular la probabilidad con la distribución de Bernulli, la fórmula es:

4 Distribución de probabilidad Bernulli En el experimento de lanzar un dado balanceado, cuál es la probabilidad de obtener un 6? Sea X el evento de obtener un 6, entonces: Éxito p = 1 / 6 Fracaso q = 1 p = 5 / 6 Aplicando la fórmula: Distribución de probabilidad Binomial Distribución de probabilidad discreta Extensión de la distribución de probabilidad de Bernulli. Distribución de Bernulli se realiza una sola vez el experimento. Distribución de probabilidad binomial, el experimento puede realizarse varias de veces.

5 Distribución de probabilidad Binomial El resultado del experimento solo puede ser éxito o fracaso. Los resultados son mutuamente excluyentes. Los datos recopilados son resultado de múltiples conteos. La probabilidad de éxito permanece igual de un experimento a otro. El resultado de un ensayo no afecta el resultado de algún otro. Debemos conocer el número de ensayos y la probabilidad de éxito de cada ensayo. Distribución de probabilidad Binomial La distribución de probabilidad binomial puede describirse mediante la siguiente fórmula: Donde: n = Número de ensayos. r = Número de éxitos observados. p = Probabilidad de éxito en cada ensayo. q = Probabilidad de fracaso en cada ensayo=(1- p)

6 Distribución de probabilidad Binomial En una línea de ensamble se encuentra que una de cada 5 partes producidas tiene un milímetro más de lo deseado. Cuál es la probabilidad de que en las siguientes 7 partes producidas, se encuentren dos cuya longitud es un milímetro mayor de la esperada? Consideremos: n = 7 r = 2 p = 0.20 (1 de cada 5 piezas) q = (1 p) = (1 0.20) = 0.80 Distribución de probabilidad Binomial Aplicando la fórmula: La probabilidad de encontrar 2 partes con un milímetro de más es de

7 Distribución de probabilidad de Poisson Distribución que mide la probabilidad de éxito o fracaso en un intervalo definido. Es el límite de la distribución binomial cuando n 20 y p 0.05 o bien, cuando el valor esperado n * p 10 Aplicaciones de la distribución de Poisson La distribución de errores en captura de datos. El número de rayones y otras imperfecciones en piezas. El número de piezas defectuosas en embarques de salida. El número de clientes en espera de un servicio en un restaurante. El número de accidentes en una carretera durante un periodo de tres meses.

8 Distribución de probabilidad Poisson La distribución de probabilidad de Poisson puede describirse mediante la siguiente fórmula: Donde: μ = Media aritmética del número de ocurrencia en un intervalo. e = Constante x = Número de ocurrencias. Distribución de probabilidad Poisson Una muestra aleatoria de 100 facturas reveló 30 errores, cuál es la probabilidad de que en una factura seleccionada al azar no se encuentren dos errores? Consideremos: μ = 0.3 e = Constante x = 2 La probabilidad de encontrar 2 errores en una factura seleccionada al azar es de

9 Aproximación de Poisson a Binomial La distribución de probabilidad binomial es buena para determinar probabilidades en donde: Al intentar calcular probabilidades con probabilidad de éxito menor a 0.05 y n mayor a 20, la distribución de probabilidades se vuelve cada vez más sesgada. Cuando n 20 y p 0.05 Cuando el valor esperado n * p 10 Aproximación de Poisson a Binomial Matemáticamente, podemos decir que: En donde el valor esperado o media aritmética de ocurrencia en un intervalo puede determinarse, en situaciones binomiales, por medio de la siguiente fórmula:

10 Aproximación de Poisson a Binomial Considerando el ejemplo de los errores en las facturas visto anteriormente Se sabe que la cantidad de errores promedio es de 0.3 errores por factura. La probabilidad de encontrar un error, considerando fórmula del valor esperado para la distribución binomial: Aproximación de Poisson a Binomial Aplicando la fórmula de la distribución binomial, donde: n = 100 r = 2 p = q = (1 p) = ( ) = 0.997

11 Aproximación de Poisson a Binomial La probabilidad de encontrar 2 errores en una factura seleccionada al azar, utilizando la fórmula de la distribución binomial es de Al comparar los resultados de las probabilidades calculadas por la distribución de Poisson y la distribución binomial, observamos que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo Podemos concluir que la aproximación de Poisson también es una buena opción para calcular probabilidades binomiales. Cierre Las distribuciones de probabilidad discretas describen comportamientos en experimentos que son comunes en nuestra vida diaria, tal es el caso de los defectos en una línea de ensamble o la cantidad de ocurrencias en un intervalo dado de tiempo, espacio o cantidad.

12 Cierre Las distribuciones binomiales reciben su nombre debido a la cantidad de resultados posibles: el éxito o fracaso de un experimento dado. Si el experimento consiste de un solo ensayo en donde existe un éxito o fracaso, entonces aplicamos la fórmula para la distribución Bernulli. Si se requiere conocer la cantidad de éxitos o fracasos en múltiples ensayos, aplicamos la fórmula para la distribución Binomial. En el extremo de la distribución Binomial, para probabilidades pequeñas y número de observaciones grandes, podemos aplicar la fórmula para la distribución Poisson. Cierre Las probabilidades binomiales tienen como fundamento que los eventos son independientes, es decir, el resultado de un evento no afecta a los resultados en eventos subsecuentes. Sin embargo existe una pregunta pendiente: cómo podemos calcular probabilidades en donde los eventos no son independientes?, cómo calcular probabilidades cuando se realizan experimentos con reposición, en donde el resultado de un evento afecta el resultado de otro evento? En el siguiente tema veremos cómo calcular este tipo de probabilidades.

13 Referencias bibliográficas Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulo: 3 Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning. Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill. Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI