Nos interesa asignar probabilidades a valores numéricos obtenidos a partir de fenómenos aleatorios, es decir a variables aleatorias.

Transcripción

1 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 5 Varables Aleatoras Nos nteresa asgnar probabldades a valores numércos obtendos a partr de fenómenos aleatoros, es decr a varables aleatoras. Por ejemplo, calcular la probabldad de que al elegr una muestra de tamaño 0 de un lote que contene 5% de artículos defectuosos por lo menos 7 artículos de la muestra resulte defectuoso. Cuál es el epermento aleatoro ε, el espaco muestral Ω, la famla de sucesos en Ω, la funcón de probabldad P, el suceso de nterés y la varable aleatora en este ejemplo? Formalmente, dados un epermento aleatoro ε, un espaco muestral Ω, una famla de sucesos en Ω con una probabldad P, dremos que una funcón : Ω R, es una varable aleatora s -1 (-, ] = { ω Ω : ( ω ) } es un suceso Esta defncón asegura que sea posble el cálculo de probabldades sobre las varables aleatoras. No será necesaro utlzar esta defncón en lo que sgue! Veremos dos tpos de varables aleatoras, dscretas y contnuas, que nos permtrán utlzar la teoría de probabldades para realzar nferencas estadístcas. Varables Aleatoras Dscretas S el conjunto de resultados posbles, R, es fnto ó nfnto numerable, decmos que es una v.a. dscreta. Sea una v.a. dscreta. Indcaremos por R ={, Naturales} al conjunto de todos sus valores posbles. Un modelo de probabldad para está dado por la asgnacón de probabldades, p, a estos resultados,

2 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 53 P(= ) = p ( ) =p. Las probabldades deben satsfacer 1. 0 p 1. Σ p =1 La probabldad P( esté en A) de cualquer suceso se calcula sumando las p de los resultados que componen A. Los valores p determnan la dstrbucón de probabldades de la v.a. medante la funcón de probabldad puntual (f.p.p. p ) que asgna a cada una probabldad p. Ejemplo: Un profesor calfca sus pruebas en una escala de 4 puntos (1,, 3, 4). Supongamos que en un curso de 30 alumnos los resultados ordenados fueron: Sea = resultado de la prueba para un alumno del curso elegdo al azar. Luego R = {1,, 3, 4} es una varable aletora dscreta La frecuenca de cada uno de los resultados es, 3, 6, 1 y 9 respectvamente. resultado ( ) frecuenca (f ) frec. relatva (f /n) p ( ) = p

3 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 54 Dagrama de barras -- Hstograma de Probabldad Sguendo con el ejemplo: Cuál es la probabldad de que un alumno elegdo al azar haya tendo a lo sumo un 3? P( 3 ) = p (1) + p () + p (3) = p1 + p + p 3 = =.7 S pensamos que los 30 alumnos consttuyen la poblacón en estudo, podemos calcular la meda, µ, y la varanza, σ, poblaconales de la varable, (resultado de la prueba).

4 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky µ = = = 1p (1) + p () + 3p (3) + 4 p (4) La meda poblaconal µ de una varable es un promedo pesado de los valores posbles. En general tenemos: S es una v.a. dscreta con valores posbles R = {, en los Naturales} y f.p.p. p ( ) entonces se defne la Esperanza de (µ ) E()= R p ( ) Volvendo al ejemplo: La varanza poblaconal σ es σ (1 µ ) = = (1 µ ) = (1 µ ) + (1 µ ) + (1 µ ) (4 µ ) ( µ ) + (3 µ ) + (4 µ ) p (1) + ( µ ) p () + (3 µ ) p (3) + (4 µ ) p (4) En general tenemos: S es una v.a. dscreta con valores posbles R = {, en los Naturales} y f.p.p. p ( ) entonces se defne la Varanza de (σ )

5 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 56 Var()= ( R - µ ) p ( ) Varables aleatoras contnuas. Informalmente dremos que: Una varable aleatora es contnua cuando el conjunto de sus valores posbles son todos los valores de un ntervalo o de una unón de ntervalos de números reales. Por ejemplo, la concentracón de cromo en el Rachuelo es una varable aleatora contnua. La dstrbucón de una varable aleatora contnua se descrbe medante la funcón de densdad de probabldad, ó smplemente funcón de densdad f. La funcón de densdad, f, de una varable aleatora satsface: 1. f () 0. f () d = 1 3. P( A) = A f () d S es una v. a. contnua cualquera. Cuánto vale la probabldad de que = 160? Por qué? Ejemplo: Las alturas de las mujeres jóvenes argentnas están apromadamente dstrbudas normalmente con µ = 160 cm σ = 4 cm. Sea = altura de una mujer argentna joven, elegda al azar, es una v.a. contnua y su funcón de densdad de probabldad está dada por:

6 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 57 f ( µ ) 1 ( ) = e σ πσ En general, s la funcón de densdad de probabldad de una varable aleatora está dada por la epresón anteror, decmos que tene dstrbucón normal de parámetros con µ y σ : ~ N (µ, σ ) Propedades de la dstrbucón Normal Sea ~ N (µ, σ ), entonces a) Z= ( - µ) / σ ~ N (0, 1) dstrbucón Normal Estándar. b) a + b ~ N (a µ + b, a σ ) Sguendo con el ejemplo: Cuál es la probabldad de que una mujer joven elegda al azar tenga una altura entre 160 cm y 168 cm? Recordemos que = altura de una mujer argentna joven, elegda al azar entonces ~ N (µ, σ ) con µ = 160 cm y σ = 4 cm P (160 < < 168) = P ( 0 < ( - 160) / 4 < ) = Φ() - Φ(0) = = Esperanza y varanza de una varable aleatora contnua Cómo se calculan la esperanza y la varanza de una varable aleatora contnua conocendo su funcón de densdad de probabldad f? S es una varable aleatora contnua con funcón de densdad, f entonces la su meda o esperanza (E()) está dada por:

7 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 58 y su varanza µ t f ( t) = dt σ f ) = ( t µ ) ( t dt Compare con el caso dscreto. En base a las propedades de la esperanza tendremos que Var() = E[(- µ) ] Propedades de la Esperanza y la Varanza a) Esperanza de una funcón de una varable aleatora: sea Y = h( ) entonces

8 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 59 b) S P( = c) = 1 entonces E() = c ( E (c) = c ) c) E( a + b) = ae() + b d) Var (a + b) = a Var() e) Var (c) =... Funcón de Dstrbucón acumulada. La funcón de dstrbucón acumulada de una varable aleatora, cualquera, es: F () = P ( ) S es una varable aleatora dscreta F () = p ( ) R S es una varable aleatora contnua F ( ) = f ( t) dt Luego

9 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 60 Propedades ' F ( ) = f ( ) () 0 F () 1 R porque es una probabldad () Es monótona no decrecente porque es acumulada () Es contnua a derecha por la forma en que está defnda (v) lím F () = 1 + lím F () = 0 - por () () (v) En cada punto el valor del salto es la probabldad puntual de ese punto: salto = F () - F ( - ) = p () Ejemplo: Sea = nota obtenda en una prueba de un alumno elegdo al azar nota () p ()

10 Estadístca (Q) Dana M. Kelmansky 61 Funcón de dstrbucón acumulada F ( ) = s s 1 < s s < 1 3 s 4 < 3 < 4