RESUMEN FUNCIÓN DERIVADA Y APLICACIONES

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1 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo RESUMEN FUNCIÓN DERIVADA Y APLICACIONES DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se u ució cotiu e =, se deie: ( ) ( ) ( ) lim se le deomi derivd de l ució e el puto =. El problem que se plte es el de trzr l rect tete l curv e u puto P = (, () ). L pediete de dich rect tete es el vlor de l derivd de l ució e el puto =, esto es: pediete de l rect tete e P t ( ) ( h) ( ) ( ) pdte ( T) t lim h h ( ) ( ) lim dode = + h h = - ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO Ecució de l rect tete l curv e el puto (, ()) e l orm putopediete. t : ( ) ( )( ) L orml u curv es l perpediculr l tete e el puto de teci. : ( ) ( ) () FUNCIÓN DERIVADA E eerl, dd u ució, l ució derivd es u plicció tl que cd vlor de l vrible idepediete le hce correspoder l derivd de l ució pr ese vlor.

2 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo DERIVADAS SUCESIVAS L derivd de l ª derivd se llm derivd ª l otremos por. L derivd de l ª derivd se llm derivd 3ª se deot por sí sucesivmete. DERIVADAS LATERALES Se ( ) u ució cotiu e u cojuto Dse deie l derivd lterl por l ( ) ( ) izquierd: ( ) lim pediete ( T ) Y se deie l derivd lterl por l derech: ( ) ( ) ( ) lim pediete ( T ) Si ls derivds lterles o coicide o so iiits, etoces l ució o es derivble. Cudo o es derivble e el puto =, etoces e ese puto se puede presetr u:. Puto uloso: derivds lterles iits pero distits. ( ) ( ). Puto de retroceso: derivds lterles iiits de distito sio. ( ) ( ) 3. Puto de tete verticl derivds lterles iiits del mismo sio. ( ) ( ) E primer lur estudimos l cotiuidd de l ució, pues e los putos e dode o es cotiu o serí derivble:

3 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo 3 REGLAS DE DERIVACIÓN. Derivd de l ució costte: K. Derivd de u costte por u ució: 3. Derivd de l sum o diereci de ucioes: 4. Derivd del producto de dos ucioes: 5. Derivd del cociete de dos ucioes: 6. Derivd de l ució ivers: 7. Rel de l Cde: RESUMEN DE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN k k k R

4 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo TABLA DE DERIVADAS ELEMENTALES k l e e l e e lo lo l se cos cos se t sec ct cosec sec sec t cosec cosec cot e COMPUESTAS () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) l e ( ) e ( ) lo ( ) lo e ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) se ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) se ( ) ( ) t ( ) sec ( ) ( ) ct ( ) cosec ( ) ( ) sec ( ) sec ( ) t ( ) ( ) cosec ( ) cosec ( ) ct ( ) ( ) rc se rccos rct rcct rc sec rc se ( ) ( ) ( ) rc cos ( ) ( ) ( ) rct ( ) ( ) ( ) rcct ( ) ( ) ( ) rc sec ( ) ( ) ( ) ( ) k k kr REGLAS DE DERIVACIÓN 4

5 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Se emple pr derivr u ució potecil-epoecil, esto es, de l orm ( ) ( ) El proceso es el siuiete:. Se tom e los dos miembros loritmo eperio ( ) l l ( ). Se desrroll el loritmo del º miembro l ( )l ( ) 3. Se deriv e los dos miembros ( ) ( )l ( ) ( ) ( ) 4. Se despej ( )l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l ( ) ( ) ( ) ( ) DERIVACIÓN IMPLÍCITA EJEMPLO: Ecuetr l ecució de l rect tete l curv: e el puto (3, ). ( ) ( ( ) ( ) ( ) REGLA DE L HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LIMITES Si teemos que lim eiste el lim lim lim 5

6 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD es creciete e, b, c. es decreciete e e,, h. preset máimos reltivos e d, j. preset míimos reltivos e i, k. Es posible que u ució se creciete e u puto o se derivble e dicho puto (cso c, derivds lterles pero distits), o que presete u míimo reltivo su derivd o se ul (como e k, derivds lterles de sios cotrrios, izquierd < derech >). Pero si u ució es derivble e u puto h u relció etre l mootoí el sio de l derivd (). Relció del crecimieto de u ució co el vlor de su derivd creciete e decreciete e Criterio pr idetiicr los itervlos de prtir del sio de l ª derivd e e o puede seurrse d Codició ecesri de etremos reltivos (máimos o míimos) Si tiee e u máimo o u míimo Criterio pr idetiicr etremos reltivos trvés del sio de l ª derivd Se u puto crítico, esto es, etoces: su izquierd ( ) su derech es máimo reltivo ( ) su izquierd ( ) su derech es míimo reltivo 6

7 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo Idetiicció de máimos míimos reltivos co l derivd ª Se u puto crítico, esto es Si tiee u etremo reltivo e etoces si : tiee u míimo reltivo e tiee u máimo reltivo e Relció de l curvtur co el vlor de l seud derivd cócv e cove e Criterio pr detectr el tipo de curvtur trvés del sio de l ª derivd es cócv e es cove e o se seur d Codició ecesri de puto de ileió tiee u puto de ileió e Idetiicció de puto de ileió co el sio de l tercer derivd Se u puto tl que, etoces: tiee u puto de ileió e CRITERIO GENERAL Si cócvo-coveo. Si coveo-cócvo. tiee u puto de ileió e tiee u puto de ileió e Se u ució ideiidmete derivble e el puto Si l primer derivd que o se ul e el puto es de orde pr ( k) etoces e l ució preset u etremo reltivo: ) )... co k ) ) Si e tiee u máimo reltivo. Si e tiee u míimo reltivo. Si l primer derivd, de orde superior, que o se ul e el puto es de orde impr ( k ) etoces e l ució preset u puto de ileió: ) )... co k ) ) Si e tiee u puto de ileió coveo cócvo. Si e tiee u puto de ileió cócvo coveo. 7

8 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Pr resolver u problem de optimizció se siue los siuietes psos:. Leer bie el eucido.. Si el problem tiee crácter eométrico, hcer u dibujo. 3. Asir letrs ls ctiddes determir. 4. Escribir l ució que desemos que se máim o míim. 5. Si l ució tiee más de u vrible, relcior los dtos medite ecucioes, pr coseuir u ució de u sol vrible. 6. Determir el domiio de l ució primri. Esto es, hllr los vlores pr los que el problem pltedo tiee setido. 7. Ecotrr los máimos /o los míimos de es ució. (Codició ecesri suiciete). 8. Comprobr que los resultdos obteidos tiee setido. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Pr el estudio represetció de u ució se siue los siuietes psos:. Domiio de deiició de cotiuidd.. Cortes co los ejes coordedos: Los putos de corte co el eje OX se obtiee resolviedo () =. El puto de corte co el eje OY se obtiee hciedo =, (siempre que = perteezc l domiio de deiició). 3. Sio de l ució, cudo es ()> cudo ()<. Se h de teer e cuet los putos de discotiuidd los putos de corte de co el eje OX. 4. Simetrís de l ució: Si es pr o simétric respecto del eje OY es (- ) = () Si es impr o simétric respecto del orie O es (- ) = - (). 5. Asítots: Verticles: so ls rects =, tles que lim. Los límites lterles e = c os iorm de l posició de l curv respecto de l síto- t. L curv o puede cortr u sítot verticl. Horizotles: so ls rects = b, tles que lim b. L curv puede cortr l sítot horizotl. Como máimo puede hber dos sítots horizotles u otr. Oblicus: es u rect de l orm m, dode: lim m lim m Como máimo puede hber dos sítots oblicus, u otr. L curv puede cortr l sítot oblicu. Si e uo de los setidos, o, h sítot horizotl, etoces, e ese mismo setido o puede hber sítot oblicu, pero puede que si e el otro. Ls ucioes rcioles tiee sítot oblicu cudo el rdo del umerdor es u uidd mor que el rdo del deomidor. 8

9 Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo 6. Crecimieto-Decrecimieto: Sio de l derivd primer. Los posibles etremos reltivos se ecuetr e los putos que ul l derivd primer. El estudio del sio de l derivd te udrá ecotrr los itervlos de crecimieto, decrecimieto, máimos míimos. Los itervlos dode l derivd primer es: es creciete es decreciete 7. Cocvidd coveidd putos de ileió. Los posibles putos de ileió se ecuetr etre los putos que ul l seud derivd. El estudio del sio de l seud derivd os udrá ecotrr los itervlos de cocvidd, coveidd putos de ileió: es cócv es cove 9