TEMA 11. Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos. Estructuras algebraicas.

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1 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas TEM 11. onceptos báscos de la Teoría de onjuntos. Estructuras algebracas. 1. Introduccón. La teoría de conjuntos es una rama de las matemátcas que estuda las propedades y relacones de los conjuntos: coleccones abstractas de objetos consderadas como objetos en sí msmas. Los conjuntos y sus operacones más elementales son una herramenta básca en la formulacón de cualquer teoría matemátca. antor en el sglo XIX construyó teoría conjuntos de forma completa desde sus fundamentos a sus conclusones. La construccón de esta teoría surge gracas a sus atrevdas nvestgacones sobre los conjuntos nfntos. Fue el prmero capaz de formalzar la nocón de nfnto bajo la forma de los números transfntos cardnales y ordnales. 2. onceptos báscos de la Teoría de onjuntos 2.1. Generaldades El concepto más mportante y básco de la teoría de conjuntos es la defncón de conjunto. sí antor defnó conjunto como la reunón de un todo de determnados objetos ben defndos y dferencados los unos de los otros. El conjunto tene estructura untara aunque esté formado por varos elementos. Podemos nterpretar esta defncón afrmando que una coleccón de objetos consderados como una entdad únca consttuye un conjunto. Los objetos de dcha coleccón que representaremos por letras mnúsculas son los elementos del conjunto que smbolzaremos por letras mayúsculas. uando sea posble se encerraran sus elementos entre llaves. Indcaremos que un elemento pertenece a un conjunto empleando el sgno. no pertenece usaremos el sgno. Un conjunto queda determnado cuando se conoce un crtero que nos permta decdr s un elemento pertenece o no a él. El crtero puede establecerse de dos maneras: etensón: nombrando todos y cada uno de los elementos que lo forman compresón: defnendo la propedad que caracterza los elementos del conjunto Llamaremos cardnal de un conjunto y lo smbolzaremos como card al número de elementos que posea el conjunto s card es nfnto está formado por nfntos elementos. Frecuentemente los conjuntos se representaran gráfcamente utlzando recntos cerrados por curvas llamadas esquemas de Euler dentro de los cuales hay puntos que representan a los elementos. Ejemplo : Podemos defnr por etensón los conjuntos: V { a e o u} y P { 2468 } Mentras que por comprensón: V{"El conjunto de las letras vocales"} y P{ números pares de una cfra }{ 2 Ν/1 4} con carv5 cardp4 Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 1

2 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas Dos conjuntos y son guales s están formados por los msmos elementos es decr todos los elementos de están en y todos los de están en. Se denota Veamos ahora el concepto de subconjunto donde hay dos defncones una más restrctva que la otra: 1. Dado un conjunto llamaremos subconjunto menos restrctva de a todo conjunto cuyos elementos sean tambén de es decr dremos que es subconjunto o parte de un conjunto s todo elemento de lo es de. De la defncón de subconjunto se deduce que todo conjunto es subconjunto de sí msmo. un conjunto está defndo por una propedad todo conjunto que tenga esta propedad con otra condcón o no será subconjunto de. Tanto como conjunto vaco son subconjuntos mpropos de los restantes subconjuntos de se dcen propos. Dado un conjunto U s consderamos todos sus posbles subconjuntos estaremos ante lo que se denomna conjunto de las partes de U o potenca de U y se suele desgnar por Ρ U. 2. Un conjunto es subconjunto de más restrctva s todo elemento que esté en está en pero alguno de no está en.. card > car 2.2. Operacones con conjuntos. Propedades Habendo defndo el conjunto de las partes de un conjunto U PU U conjunto unversal veamos ahora cuales son las operacones que podemos establecer entre ellas P U La unón del conjunto con el conjunto consttuye un conjunto cuyos elementos pertenecen tanto a como a o a ambos smultáneamente. están defndos por una propedad los elementos de la unón cumplen la propedad de o la de. La unón de los conjuntos y se representa { } La nterseccón del conjunto con el conjunto es otro conjunto cuyos elementos pertenecen a y a smultáneamente. están defndos por una propedad los elementos de la nterseccón cumplen la propedad de y la de. La nterseccón de los conjuntos y se representa: { } Las nterseccones o unones de dos conjuntos pueden generalzarse para famlas de conjuntos como sgue: U I I I { U: paraalgún I} { U: paratodo I} Dremos que dos conjuntos y son conjuntos dsjuntos sí Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 2

3 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas La dferenca entre dos conjuntos y es el conjunto de los elementos de que no pertenecen a : \ { } es un subconjunto de U el complementaro de respecto de U es el conjunto dferenca U- : { U } omo casos partculares se tene que U y U Partcón de un conjunto es una famla K de subconjuntos de tales que: Son dsjuntos dos a dos s j n U 1 j Propedades de las operacones con conjuntos: n PROPIEDD UNIÓN INTERSEIÓN Idempotente socatva onmutatva Elemento neutro Elemento unversal U U U Elemento ínfmo mplfcatva Dstrbutvas Involutva Monotonía omplementara Leyes de Morgan U Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 3

4 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 4 Las propedades antes enuncadas son fáclmente demostrables basándose en las propedades de la lógca de conjuntos. modo de ejemplo se demuestran dos de las propedades: Demostracón de la propedad dstrbutva: : : [ ] Veamos que : Demostracón de la ley de Morgan: Veamos que Veamos que 2.3. Producto artesano de conjuntos y Relacones Defnmos un par ordenado y como un conjunto formado por dos elementos donde X e yy sendo X e Y conjuntos. Dos pares ordenados y y v u son guales s y solo s u e v y. partr del concepto de par ordenado llegamos al de producto cartesano y por generalzacón a la defncón de las n-tuplas como conjuntos ordenados de n elementos y a los productos cartesanos de n conjuntos. Dados dos conjuntos y se denomna producto cartesano de por y se representa como al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados y con y y. El cardnal de es el producto de los cardnales: cardcar card Ejemplo: 12 y abc {1a 2a 1b 2b 1c 2c} La defncón de par ordenado se generalza obtenéndose la terna ordenada XYZ como z y z y y por nduccón la n-tupla; así dados n conjuntos n 2 1 K una n- tupla es un conjunto formado por a 1 a 2 a n 1 2 n. los son guales podemos recurrr a la notacón potencal obtenendo así n como R que son vectores de dmensón n. Una relacón R entre un conjunto y un conjunto es una propedad defnda por un subconjunto del producto cartesano G. sí un elemento está relaconado con un elemento y en R s el par G y y se representa como y R.

5 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas Una relacón es bnara cuando es una relacón en el que el conjunto de partda y el de llegada son el msmo es decr G Una relacón bnara R de puede cumplr las sguentes propedades: Refleva entonces R es decr G métrca y s Ry entonces yr es decr s yg entonces yg ntsmétrca y s Ry e s yr entonces y. Transtva yz s Ry yrz Rz. 1. Relacón de equvalenca Una relacón R defnda en un conjunto refleva smétrca y transtva. es relacón de equvalenca s es: tenemos un conjunto y una relacón de equvalenca R se llama clase de equvalenca al conjunto de todos los dstntos conjuntos de elementos de que están relaconados entre sí por R. sí una clase de equvalenca []{ y: Ry}. ualquer elemento de la clase que se relacone con por R genera la msma clase de equvalenca propedad transtva. sí [][y] Ry uando hemos defndo una relacón de equvalenca R sobre un conjunto podemos defnr el conjunto cocente formado por todas las clases de equvalenca dstntas que genera R en el conjunto. Se denota / El paso al cocente es la aplcacón Π que nos relacona con / R es decr cada elemento con su clase de equvalenca correspondente [] / R Π : / R [] Un ejemplo de relacón bnara y clases de equvalenca es las fraccones y la relacón que eplcamos que cumplen a los chcos de secundara cuando son guales aunque la palabra gual realmente no es correcta debería ser equvalente: Z Zfraccones y R es la relacón p m R pn qm. sí por q n Relacón de orden Una relacón R defnda en un conjunto es relacón de orden s es: refleva antsmétrca y transtva. Una relacón R defnda en un conjunto es relacón de orden estrcto s es transtva y conea R. Dremos que un conjunto está totalmente ordenado s cada dos elementos y son comparables. y R se dce que: es anteror a y o que es posteror a y. Frecuentemente se utlza para las relacones de orden el símbolo < y se escrbe: < y. En los conjuntos ordenados hay dos elementos notables: Mámo:Un elemento µ 1 es mámo s es comparable y < µ 1 Mínmo: Un elemento µ es mínmo s es comparable y µ < 0 0 Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 5

6 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas 2.4. plcacones entre conjuntos Se dce que f es una aplcacón entre y a toda forma de asgnar a los elementos de a otro únco elemento b f: a bfa Notacón de las aplcacones: Imagen por f de un elemento a es el elemento b tal que fab ntmagen por f de un elemento b son los elementos s hay de tal que cumplen que su magen es b. Tpos de aplcacones: Inyectva: una aplcacón f es nyectva s entonces f f. En toda aplcacón nyectva se verfca que card car. Sobreyectva o epyectva o suprayectva: una aplcacón f es epyectva f es decr todos los elementos de b tenen antmagen es decr b a tal que fab. En toda aplcacón nyectva se verfca que card car. yectva: una aplcacón f es byectva es nyectva y sobreyectva es decr b una únco a tal que fab. En toda aplcacón byectva se verfca que cardcar. Inyectva Sobreyectva byectva plcacón dentdad es una aplcacón de un conjunto consgo msmo : tal que a faa. Evdentemente es una aplcacón byectva. Sean las aplcacones f : y g: la magen de f está contenda en el domno de g entonces se puede defnr una aplcacón h: de la forma h g[ f ] go f que recbe el nombre de aplcacón compuesta de f y g. Sea f: una aplcacón se dce que f -1 : es la aplcacón nversa de f s se cumple que f -1 of y fof -1 y yy Teorema: toda aplcacón admte nversa s y sólo s es byectva admtendo sólo una. Demostraremos el teorema en los dos sentdos y luego la uncdad: sea f no byectva veamos cómo no puede tener nversa: a supongamos que no es epyectva luego y 1 no tene antmagen entonces y por tanto fof -1 y 1 y 1 pues no este f -1 y 1. b s no es nyectva f 1 f 2 y 1 y por tanto f -1 of 1 f -1 y 1 1 y f -1 of. 2 Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 6

7 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas sea f -1 la nversa de f veamos que es byectva: a epyectva: sea cualquer y entonces f -1 y y por tanto fff -1 yd yy luego henos encontrado tal que fy. b Inyectva : sea f 1 f 2 se cumple f -1 of 1 1 f -1 of 2 2. Uncdad: Supongamos dos nversas f -1 y f -1 tal que f -1 of y fof -1. Sea entonces f -1 ofof -1 of 1 f' o 1 f f' Estructuras algebracas 3.1. Leyes de composcón por tanto f -1 f -1 Una estructura algebraca está formada por un grupo y unas leyes de composcón que cumplen una sere de propedades. Veamos los dos tpos de leyes de composcón 1. omposcón nterna: Dado un conjunto E una ley de composcón nterna defnda en E es una aplcacón ; : E E E a b a b c a b c E E E dremos que la ley de composcón nterna está defnda en todo el conjunto E. uando un conjunto E está provsto de una ley de composcón nterna lo representaremos medante el par E. Propedades de la composcón nterna: socatva: a b c E a b c a b c onmutatva: a b E a b b a Elemento neutro: Decmos que ee es un elemento neutro para la ley de composcón nterna s se cumple: a E; a e e a a. Proposcón: este el elemento neutro es únco : e e'neutros.luego e ' e' e e ancelatva: a b E s a s b a b Elemento smétrco: s para cada elemento a E este un elemento a 1 E tal 1 1 que; a a a a e. Proposcón: la ley es asocatva el smétrco es únco: a' a'' E elementos smétrcos de un elemento a E a ' a' e a' a a'' e a'' a' '. Dstrbutva: en conjunto E están defndas dos leyes de composcón nterna y o decmos que la ley o es dstrbutva por la zquerda derecha con s se verfca que: a b c E ao b c aob aoc a bc E b c oa boa coa 2. omposcón eterna: Dado un conjunto E y otro conjunto Ω que denomnaremos domno de operadores una ley de composcón eterna defnda en E por los operadores de Ω es; : E α a a α a c Ω E α a c E 3.2. Grupo y semgrupo conjunto y una operacón nterna Un conjunto G está dotado de estructura de grupo con la aplcacón nterna * y se denota G* s la aplcacón nterna cumple las propedades asocatva elemento neutro y smétrco. lgunos ejemplos son Z Q Q R R Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 7

8 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas Un grupo que además tenga la propedad conmutatva se dce grupo abelano o conmutatvo. Todos los grupos puestos en el ejemplo son abelanos. Un conjunto G está dotado de estructura de semgrupo con la aplcacón nterna * y se denota G* s la aplcacón nterna cumple la propedad asocatva. además cumple la conmutatva es semgrupo abelano. Ejemplos N Z Sea G* grupo se dce que G G es semgrupo s con la operacón de G G * cumple ser grupo. No hace falta para comprobar que es subgrupo probar las propedades basta con ver: - errado con * es decr g 1 g 2 G entonces g 1 *g 2 G - Todo elemento de G tene la nversa en G es decr gg g -1 G - ontene el elemento neutro: aunque s se cumple las dos prmeras esta tambén. Grupo íclco es un grupo G* que puede ser generado por un solo elemento. Es decr hay un elemento a del grupo G llamado "generador" de G tal que todo elemento 1 1 es cíclco de de G puede ser epresado a partr de a y de la operacón *. Ejemplo: { } orden 4 generado por o por. Morfsmo de Grupos: es una aplcacón f:g tal que G* y G grupos y cumple : - fe G e G sendo e G y e G los respectvos elementos neutros de G* y G - fg 1 *g 2 fg 1 fg 2 Ejemplo: f : R R - f0e 0 1 fe y - fze z e e z f fz 3.3. nllo y semanlo conjunto y dos operacones nternas Se llama anllo de un conjunto cuando en el conjunto se han defndo dos leyes de composcón nterna y que cumplen las sguentes propedades: tene estructura de grupo abelano. de semgrupo Propedad dstrbutva de respecto a ; y z y z y z Ejemplo: Z Q R los tres últmos además serán cuerpos. demás s la segunda ley es conmutatva el anllo se llama anllo conmutatvo. la segunda ley tene elemento neutrose denomna anllo untaro o anllo con elemento undad. Se llama semanllo cuando en el conjunto hemos defndo dos leyes de composcón nterna que tenen estructura de semgrupo y además una ley es dstrbutva respecto a la otra. Dado un anllo decmos que un subconjunto H es un subanllo de s H es un anllo respecto a las msmas operacones que. Es subanllo s y sólo s cumple: y H se verfca; y H y H Dentro de los subanllos dstnguremos un tpo especal que lo consttuyen los deales dferencando las operacones por la derecha e zquerda puesto que a pror no podemos suponer que sea conmutatvo. Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 8

9 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas 3.4. uerpo Sea K un conjunto y dos leyes de composcón nterna y defndas en todo K entonces K es un cuerpo s las leyes de composcón cumplen: - K tene estructura de anllo conmutatvo con elemento undad. * - K es un grupo abelano. O lo que es lo msmo K y K son grupos abelanos y cumplen la propedad dstrbutva. uerpo ordenado: Un cuerpo ordenado es un cuerpo K que contene un subconjunto K con las sguentes propedades: - 0 K - Para cada a K se verfca una y solo una de las relacones: ak a 0 - a b K se verfca a b K y a b K ak que: Los elementos de K se llaman elementos postvos del cuerpo K y s un a 0 K menor que ponendo entonces a < b cuando Ejemplos: Q R a K verfca a K se dce que a es negatvo. Se defne la relacón < b a K. Sea H K con K cuerpo se dce que H es un subcuerpo de K s es cuerpo con las msmas operacones que K. Es subcuerpo s y sólo s cumple: - H subgrupo conmutatvo de K - H subgrupo conmutatvo de - umple la dstrbutva de las dos operacones Espaco vectoral conjunto con operacón nterna y eterna Sea K un cuerpo conmutatvo y sea V un conjunto el que hay defndas: - Una ley de composcón nterna : V V V - Una ley de composcón eterna o : K V V con escalares en el cuerpo K Decmos que la terna V o tene estructura de K-espaco vectoral por la zquerda derecha; o : V K V s cumple los sguentes aomas λ µ u v V ; V es un grupo abelano. λo u v λou λov u v o λ uo λ vo λ λ µ ou λou λou uo λ µ uo λ uoµ v λo µ ou λ µ ou uo λ oµ uo λ µ v 1K o u u uo1k Ejemplos: vectores de dmensón n: matrces M pq K polnomos P n K K. Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 9

10 Tema 11- onceptos báscos Teoría de onjuntos. Estructuras lgebracas Sea H V V. las leyes de composcón de V al restrngrlas a elementos de H conferen a éste una estructura de espaco vectoral dremos que H es un subespaco vectoral de V. El conjuto H será subespaco vectoral sobre V s cumple que K y v wh se cumpla que H 4. onteto con secundara y achllerato. Los conjuntos y sus propedades y operacones se trabajan en 3º y 4 de secundara en la parte del programa que estuda la probabldad. Tambén se sgue su estudo en 1º de achllerato en las dos opcones y en 2º achllerato en Matemátcas plcadas a las SS. Las estructuras algebracas no se mparten en secundara y bachllerato como tales s ben se estuda las dferentes propedades de las operacones pero sn menconar los conceptos de las estructuras algebracas. Jose Lus Lorente preparador oposcones secundara 10