XII Olimpiada Colombiana de Matemática Universitaria

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1 XII Olimpiada Colombiana de Matemática Universitaria Ronda Final - Solucionario Abril 5 de 8 1. Como es conocido arctan 1 = π. Se denotan α = arctan, β = arctan 3. Calculando tan α+tan β tanα + β = 1 tan α tan β = = 1. Como < α < π y < β < π, sumando se obtiene < α + β < π y tanα + β = 1, de donde α + β = 3π. Así, finalmente arctan 1 + arctan + arctan 3 = π + α + β = π.. Se demostrará que los conjuntos S que cumplen la condición son los conjuntos densos en el plano, es decir, aquellos conjuntos para los que d S P = para cualquier punto P en el plano cartesiano. Además, la condición de cerrado implicará que las opciones se reduzcan a un único conjunto, el plano completo. Procediendo por reducción al absurdo, sea P un punto tal que d S P > y, para abreviar la notación, sea d S P = k. Considérese un punto P 1 S tal que dp, P 1 < k + k 1, y un punto P en el plano tal que dp, P = dp 1, P = k + k 1 con lo que el triángulo P P 1 P será isósceles este punto existe ya que dp, P + dp, P 1 = k + k 5 > k + k 1 > dp, P 1. Nótese que d S P = k y d S P 1 =, por lo que para que se cumpla la condición del enunciado debe tenerse necesariamente d S P = k o d S P =. Sin embargo, por dp 1, P = k + k 1 se tiene que d SP k + k 1 < k, por lo que solamente podría tenerse d S P =. Sin embargo, para cada punto x S se debe cumplir que dp, P + dp, x dp, x k de donde dp, x k k 1 = 9k 1 por lo que d S P 9k 1 > y de esa forma tampoco es posible d SP =. Así, si existe P con d S P = k la condición no se cumple, de donde es necesario que para cualquier punto P en el plano d S P =, es decir, que S sea denso en el plano, y por ser cerrado, el plano completo es la única opción. 3. Sean x 1,..., x m las raices de P x con multiplicidades s 1,..., s m respectivamente. Entonces P x = x x 1 s1... x x m sm. El máximo común divisor de P x y su derivada P x es el polinomio Qx = x x 1 s x x m s m 1 de grado n m. Se considera el polinomio Rx = np x xp x = a 1 x n 1 +a x n +...+n 1 a n 1 x+

2 na n. Este polinomio no es idénticamente, porque de otro modo a 1 = a =... = a n = y el polinomio P x = x n tiene solamente una raíz, lo que contradice la condición m > 1. Además Rx es divisible por Qx. Se obtiene de esta forma que deg Rx n m, por lo que al menos uno de los coeficientes a 1, a,..., a m debe ser diferente de cero. f = f f f f = f f f 1 f. Derivando la fracción f f y denotando h x = f x fx, se obtiene h = f f 1. Ahora, es fácil ver que la condición de nuestro problema h f h x x h x = 1. Ya que h 1 x = h x, se obtiene h x = 1. De donde se puede deducir, en particular, que x h 1 x = es equivalente a la condición h 1 x x y por lo tanto es posible aplicar la regla x x x h 1 x = 1 1 = Aplicando la desigualdad de Cauchy, se puede ver que f x f x f x dx Ahora es suficiente demostrar que 1 f x f x dx a3 xf de l Hopital x x fx = x f x f x dx f x dx. f x dx x h 1 x = Se introduce una función auxiliar G x = f t dt. Se tiene entonces que G x = f t dt f x. Pero f t dt f t dt = f x f = f x, porque f =. Por lo tanto se obtiene G x f x f x, de donde se deduce f x f x dx 1 G x dx = 1 G a = 1 Aplicando nuevamente la desigualdad de Cauchy, se llega a 3 f t dt 1 dt f t dt = a. f t dt. f t dt.

3 Ya que f =, se tiene f x = f t dt y la misma aplicación de la desigualdad de Cauchy muestra que f x = f t dt x f t dt x f t dt. Denotando c = f t dt, se obtiene f x a dx cxdx = a c = a f t dt De, 3 y se compone finalmente f x f x dx f t dt f t dt. Así 1 queda demostrado. a a3 1 f t dt 6. Se demostrará que cada una de las dos condiciones es equivalente a la condición: 3. El grupo A es isomorfo al grupo aditivo de los números enteros Z. Es claro que 3 1 y 3, porque cada subgrupo no nulo de Z es de la forma mz donde m Primero nótese que A no contiene elementos periódicos no nulos, porque de otro modo A contiene un subgrupo cíclico finito de índice finito y por lo tanto el mismo A es finito. Se elige un elemento arbitrario a 1 A y se supone que el grupo cíclico infinito a 1 generado por a 1 tiene índice mayor que 1. En el grupo cociente A/ a 1 existe un elemento b 1 + a 1 A/ a 1 de orden m, porque A/ a 1 es finito y no nulo. Entonces mb 1 = na 1 para algún n Z. Se mostrará que m y n son primos relativos. Sea d = a, b. Entonces d m 1 b 1 n 1 a 1 =, es decir m 1 b 1 n 1 a 1 es periodico y por lo tanto m 1 b 1 n 1 a 1 =. La última igualdad muestra que el orden m del elemento b 1 + a 1 divide a m 1, de donde m = m 1 y d = 1. Entonces existen números enteros u y v tales que 1 = um + vn. Se obtiene a 1 = um + vn a 1 = uma 1 + v na 1 = uma 1 + v mb 1 = m ua 1 + vb 1 b 1 = um + vn b 1 = u mb 1 + vnb 1 = u na 1 + vnb 1 = n ua 1 + vb 1. Denotando a = ua 1 +vb 1, se tiene a 1 = ma y b 1 = na. Significa que dos grupos cíclicos diferentes a 1 y b 1 son subgrupos del grupo cíclico infinito a. Entonces la inclusión a 1 a es estricta y el índice del subgrupo a en A es menor. Así sucesivamente se obtiene una cadena finita de inclusiones estrictas de grupos cíclicos infinitos a 1 a... a n. El último grupo a n coincide con el grupo mismo A el cual es cíclico infinito y por lo tanto isomorfo a Z. 3

4 3. El grupo A contiene un subgrupo cíclico no nulo a. Si a es finito, entonces A = a es finito tambien, una contradicción. Asi A es isomorfo al grupo ciclico infinito a el cual es isomorfo a Z Ahora esta demostrado que las tres condiciones 1, y 3 son equivalentes. 7. Denotamos la sucesion dada como y consideramos primero el caso < a < 1. Ya que la función y = a x decrece, se tienen las desigualdades De estas desiguldades se deduce a k 1 < a k+1 para k =, 1,... a k > a k+ para k = 1,,... a k 1 < a k para k = 1,,... 1 > a a > a a < a aa < a a a k 1 < a k+1 < a k a k > a k+ > a k+1 De donde a su vez se obtiene que la sucesión crece estrictamente, la sucesión 1 a 1 < a 3 < a 5 <... a > a > a 6 >... decrece estrictamente y a k+1 < a m para todo k y m. Las sucesiones monotonas acotadas 1 y convergen a los ites A y B respectivamente y A B. La sucesión converge si y solo si A = B. La sucesión se puede representar como a a 1 > a a 3 > a a 5 >... y su ite es a A por la continuidad de la funcion y = a x. Así se obtienen las igualdades 3 a A = B, a B = A, de donde a aa = A y a ab = B. Además la ecuación a x = x tiene una solución C para la cual se cumple A C B y a ac = C. Se deduce de 3 que si dos números de los tres A, C, B coinciden, entonces coinciden los tres. Así todos los números A, C, B son distintos o todos son iguales. La primera derivada de la funcion fx = a ax es positiva f x = ln a a ax a x, la segunda derivada f x = ln a 3 a ax a x a x ln a + 1 puede ser igual a cero no más que

5 una vez en el intervalo, 1, exactamente en el punto donde la primera derivada de la función y = a x es igual a 1, es decir a x ln a+1 =. Asi fx crece en el intervalo, 1 y su gráfica tiene forma de S o es convexa hacia arriba. Además f > y f1 < 1. Por lo tanto las gráficas de la función fx y de y = x tienen exactamente un punto o tres puntos de intersección. Los tres puntos A, C, B son distintos si y solo si la gráfica de la función fx intersecta a la línea recta y = x desde abajo en el punto C, es decir f C > 1. En el caso contrario A = C = B y la sucesión converge. Se calcula f C = ln a a ac a C = C ln a, de donde f C > 1 C ln a < 1. Pero a C = C y C ln a = ln C. Se obtiene f C > 1 ln C < 1 C < e 1. Ya que a = C 1 C y la función y = x 1 x crece estrictamente en el intervalo, 1, se tiene C < e 1 a < e 1 1 e 1 = 1 e. e Así, la sucesión diverge si y sólo si a < 1 e e. Para a = 1 la sucesión convege obviamente a 1. Se considera ahora el caso a > 1. En este caso convege a la menor raíz C de dos posibles raíces de la ecuación a x x =. Se tiene a = C 1 C. Investigando la función y = x 1 x se puede ver que la función crece estrictamente de hasta e, donde alcanza su máximo absoluto. Significa que para a > e 1 e las gráficas de las funciones y = a x y v = x no se intersectan y diverge, para a = e 1 e las gráficas se tocan y converge al número e, para 1 < a < e 1 e las gráficas se intersectan en dos puntos distintos y converge al menor de ellos. De esta forma, la respuesta completa se puede [ presentar como: La sucesión converge si y sólo si a pertenece al intervalo cerrado 1 e e, e 1 e ]. 5