NOTAS SOBRE MANEJO DE ERRORES Y GRAFICAS 1

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1 Unversdad del Valle Unversdad del Valle Departamento de Físca 1. INTRODUCCION NOTAS SOBRE MANEJO DE ERRORES Y GRAFICAS 1 En todas las ramas de las cencas físcas y de la ngenería se trabaja constantemente con valores numércos que son el resultado drecto e ndrecto de medcones expermentales. En realdad en las cencas físcas el expermento es el juez de últma nstanca, en el sentdo de que son las medcones expermentales de varables o cantdades físcas las que nos permten someter a prueba concluyente las predccones de las dferentes teorías que puedan desarrollarse en un campo dado. Las medcones sempre tenen nexacttudes y en el trabajo expermental es necesaro conocer su magntud. S, para calcular un resultado se hacen varas meddas, las nexacttudes de las medcones ndvduales mplcan una nexacttud en el resultado; sn embargo, s se tene en cuenta el comportamento estadístco de los errores en la medcón es posble reducr su efecto en la ncertdumbre del resultado fnal. Cuando se desea comparar un número resultado de la medcón con uno basado en predccones teórcas, es necesaro conocer la nexacttud en ambos para poder conclur de manera aceptable s hay alguna concdenca entre ellos. En estas notas no se pretende hacer un tratamento profundo de la teoría de errores el cual mplcaría una sere de dscusones sobre probabldad y estadístca. Nos lmtaremos a los aspectos más sencllos de los errores, su clasfcacón y su propagacón cuando se usan datos expermentales para calcular valores de otras magntudes físcas.. CLASE DE ERRORES Cuando se habla de errores se acostumbra dstngur entre dos tpos: Errores sstemátcos Errores aleatoros o al azar.1 Errores sstemátcos: Son aquellos que están asocados con los nstrumentos de medcón o que tenen relacón con la técnca de medcón. Por ejemplo s un termómetro sumergdo en una mezcla de agua destlada e helo (a la presón de una atmósfera) marca ºC, obvamente no está 1 Notas del profesor Ramro Tobón. Revsadas y aumentadas por el profesor Alberto.J. Sánchez. Se ncluyeron apartes de las notas del profesor Mchel Valero y del lbro Statstcal Treatment of Expermental Data.

2 correctamente calbrado y todas las medcones de temperatura que hagamos con este termómetro presentarán una desvacón sstemátca respecto a las medcones hechas con otro termómetro debdamente calbrado. Un caso smlar se presenta cuando se mden dferencas de potencal o correntes eléctrcas con nstrumentos (voltímetros o amperímetros) que no estén debdamente calbrados. Es dfícl detectar los errores sstemátcos. Por ejemplo s usamos el termómetro del ejemplo dado y su descalbracón es sólo de unos pocos décmos de grado. Será poco probable que nos demos cuenta del error sstemátco, a menos que hagamos una calbracón cudadosa del termómetro. El expermentador con experenca generalmente encuentra estos errores sstemátcos al detectar pequeñas desvacones con respecto a relacones que él espera que sean váldas.. Errores aleatoros: Se presentan por un gran número de varacones mpredecbles y desconocdas en la stuacón expermental dada. Pueden provenr de errores de crtero al estmar fraccones de las dvsones más pequeñas de una escala; por ejemplo, cuando medmos una longtud y estmamos fraccones de mlímetro. S repetmos la medcón varas veces (o s la hacen varas personas), seguramente sempre obtendremos el msmo número de centímetros y de mlímetros (por ejemplo, 5.3 cm.) pero dferremos en la aprecacón de las décmas de mlímetro; así, por ejemplo, podríamos obtener una sere de valores tales como: 5.3, 5.34, 5.33, etc. Cuál de estos valores dríamos que es la longtud que estamos mdendo? Puede parecer un tanto paradójco, pero el hecho es que se pueden tratar los errores aleatoros en una forma sstemátca y que se puede desarrollar una teoría matemátca que nos permta hacer un tratamento estadístco de los datos expermentales. Aquí no vamos a entrar en los detalles de dcha teoría, smplemente menconamos algo que ntutvamente se ve que tene certa justfcacón o que ya estando establecdo lo podemos utlzar sn mucha dfcultad. Cuando hacemos varas medcones de una msma varable (10 por ejemplo) un promedo de ellas (la suma de todas, dvdda por 10) es un mejor estmatvo del valor de esta medcón que cada uno de los resultados ndvduales. A contnuacón daremos una dea general sobre los errores aleatoros. S hacemos una sere de medcones de alguna cantdad, que llamaremos x, obtendremos una sere de valores: x 1, x, x 3,...x N. Podemos ahora agrupar todos los valores que caen en un ntervalo dado del eje x (ver fgura 1) y construr así un hstograma. La altura de las barras ndca el número de medcones que caen en cada uno de los ntervalos, de ancho x, en que hemos dvddo el eje x. Claramente los valores obtendos en las medcones no están unformemente dstrbudos, sno que es mucho más frecuente obtener valores cercanos a 41 que cercanos a 40 o a 4. Cuando decmos que el valor de la cantdad x es 41 y no nclumos el hstograma, ncurrmos en una aseveracón un tanto engañosa, y lo será aún más s afrmamos que el valor de la cantdad x es de Cómo podemos reportar está nformacón en una forma que ndque cuál es su precsón? Una alta proporcón de nuestras medcones está comprendda entre 40.5 y 41.5 (el ntervalo ndcado como en el gráfco) y esto lo podemos decr en una forma compacta s reportamos que el valor de x = Así evtamos dar una falsa Págna de 1

3 mpresón sobre nuestro valor de x y no es necesaro presentar el hstograma con todas las medcones. Fgura 1. Hstograma para un conjunto de medcones. Matemátcamente se puede demostrar que para errores aleatoros, o sea, s es gualmente probable que ocurra un error negatvo de una magntud dada, y s se hace un número muy grande de medcones, el hstograma se aproxmará a una funcón contnua, como se ha ndcado en la fgura. A esta funcón se le conoce como funcón de Gauss o Funcón de error Fgura. Para errores aleatoros el hstograma se aproxma a una funcón de Gauss. Págna 3 de 1

4 Es bueno nsstr en que el hecho de hacer muchas medcones nos permte un tratamento adecuado de los errores aleatoros, pero no puede elmnar errores sstemátcos. En el ejemplo de la fgura 1, podríamos estar mdendo el dámetro de una varlla usando una regla corrente y al usar un calbrador o un mcrómetro muy ben calbrados podríamos encontrar que el dámetro de la varlla es de 4,5 0,01 mm. Por ejemplo, ndcando que nuestra regla no es un nstrumento debdamente calbrado. Ahora ben, que sucederá s medmos la msma magntud físca con dos nstrumentos, uno de alta precsón, pero ambos calbrados en forma debda? La Fgura 3 lustra el caso, usando sólo las funcones de Gauss. La más estrecha representa las medcones realzadas con el nstrumento más precso y la más ancha las realzadas con el nstrumento de menor precsón. Fgura 3. Funcones de Gauss para dos medcones de dferente precsón. S estas medcones se hubesen realzado por dos expermentadores dferentes, ellos podrían nformar los resultados de sus expermentos así: el expermentador con mejor equpo dría que la cantdad físca tene un valor de 40,0 0,1 y el expermentador con equpo menos precso reportaría 40,0 0,5. Pero, aún dsponendo de nstrumentos de gran exacttud, sensbldad y precsón, cuando se repte varas veces una medcón, los datos obtendos se dstrbuyen al azar sobre ntervalos mayores que el error absoluto, o ncertdumbre, que afecta cada una de las medcones efectuadas. La presenca de los errores aleatoros en el proceso de medcón mplca que la magntud medda se consttuya en una varable aleatora. La medcón de una varable aleatora X tene una dstrbucón normal o gaussana cuando el contorno o envolvente del hstograma, para un número de observacones muy grande, se puede expresar en térmnos de la funcón: Págna 4 de 1

5 1 x/ f x e (.1) sendo y los parámetros que permten ajustar la funcón al contorno del hstograma. Estos parámetros se denomnan meda y desvacón estándar respectvamente. La expresón.1 es la funcón de error que habíamos menconado. La fgura 4 es una representacón gráfca dcha funcón y ayuda a lustrar el sgnfcado de los parámetros y Los valores de la varable se agrupan alrededor de la meda donde el valor de la varable es máxmo y consttuye el valor más probable de obtener en caso de realzar una nueva medcón. La probabldad de que una nueva medda de la varable resulte dentro del rango [-, + alrededor de la meda, tenen una probabldad de 68.3%; o el 95,5% dentro del rango [ -, +]; o el 99,7% dentro del rango [ - 3, 3]. Fgura 4: Ilustracón de la desvacón estándar y la meda de una curva gaussana. La estadístca nos permte determnar el valor de los parámetros y a partr de un conjunto de medcones realzadas. Sea (x l, x,..., x N ) dcho conjunto de datos expermentales. Se puede demostrar que la mejor estmacón de los parámetros de la funcón de Gauss que hpotétcamente descrbe la dstrbucón de nuestra varable aleatora está dada por las sguentes fórmulas: N 1 x x (.) N N 1 x x S (.3) N 1 Mentras más grande sea el número de medcones N mejor será la aproxmacón de la funcón a la dstrbucón de las medcones. Se puede estmar el grado de confanza del valor obtendo para la meda en térmnos del denomnado error estándar de la meda, defndo de la sguente manera: Págna 5 de 1

6 S S m (.4) N de tal manera que, a mayor número de meddas, menor error estándar en el valor de la meda obtenda. Cuando N es mayor a 30 se puede aseverar que el valor de la meda está contendo en el ntervalo de confanza x S m (.5) en el que se encontrará el valor de la meda. Para N menor a 10 no tene sentdo la utlzacón de los cálculos estadístcos. Por lo anteror, en cualquer caso, es necesaro reportar el número de datos N que consttuyen la muestra expermental. En el dseño expermental es fundamental fjar el tamaño de la muestra N de acuerdo con la precsón requerda, para lo cual se defne el ntervalo de confanza requerdo, se toman unas observacones prelmnares para obtener una prmera estmacón de la desvacón estándar S y con ello estmar N, medante la relacón: 4 N S (.6) sendo el máxmo valor de la ncertdumbre de la meda permsble o deseado. 3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS La dscusón de la seccón anteror nos conduce de nmedato a la cuestón de las cfras sgnfcatvas. Cuando decíamos que el valor de x = 41,0 0,5 tambén estábamos dcendo (o mplcando) que no tendría nngún sentdo decr que el valor de x es 41,000. Aun cuando matemátcamente sea certo que 41.0 = , físcamente el segundo valor no tene nngún sentdo, puesto que todo lo que podemos afrmar es que el valor de x muy probablemente se encuentra entre 40.5 y 41.5 carece de sentdo el agregar ceros a la derecha. Muchas veces no tenemos el tempo o no necestamos hacer un gran número de medcones, pero aún así queremos dar una ndcacón de la precsón de nuestra medcón, en tal caso las cfras sgnfcatvas tambén nos permten hacerlo. S medmos una longtud con una regla corrente podemos dar el resultado como 50.1 cm, sn otros decmales, ndcando que sólo tenemos confanza en los mlímetros y que no queremos estmar fraccones de mlímetro. Llamaremos cfras sgnfcatvas de una medda al número de dígtos seguros más el dígto dudoso. En el ejemplo anteror, tenemos tres (3) cfras sgnfcatvas. S medmos la barra en 1,60 m es que se tene duda en el 0; esta medda es de cuatro (4) cfras sgnfcatvas, y por lo Págna 6 de 1

7 tanto es más precsa. Escrbr más cfras adconales de las cuales no tenemos segurdad, no tene sentdo. Qué pasará en los cambos de las undades?. S se encuentra que la dstanca entre dos cudades es 45,7 km, tendremos cuatro (4) cfras sgnfcatvas. Y s escrbmos la dstanca en metros?. Será metros? Tendríamos ahora ses (6) cfras sgnfcatvas, y por lo tanto mayor precsón, por un smple cambo de undad? La notacón en potenca de 10 nos ndca la manera correcta de escrbr un dato expermental: 45,7 x 10 3 m o,457 x 10 5 m. El número de cfras sgnfcatvas lo dan los dígtos que multplcan la potenca de 10. La poscón de la coma no nfluye en el resultado. Y que hacemos s por algún medo mdéramos la dstanca entre la terra y la luna con un método que sabemos no puede dar una aproxmacón mayor de 1000 Km? Cómo reportar el resultado? S decmos que la dstanca es de Km, alguen podría nterpretar que nuestra medcón es supremamente buena y que su ncertdumbre es del orden de 1 km. Para evtar el dar estas falsas mpresones, recurrmos a expresar los resultados con potencas de 10 y dríamos que la dstanca a la luna es de 3.80 x 10 5 km. S nuestro resultado fuese precso con una aproxmacón de 100 Km, escrbríamos x 10 5 Km. Además de permtr una nformacón más correcta, el usar potencas de 10 tambén nos permte hacer el reporte, en forma compacta, de números muy grandes y muy pequeños. Cuando se suman cantdades que tenen dferente número de cfras sgnfcatvas, el resultado de menor precsón es el que lmta la precsón del resultado. Ilustremos esto con un ejemplo; s medmos dos longtudes L 1 = 58,1 cm y L = 40,3 cm y las sumamos: 58, 1?? 40, 3 L1 L 98, 4?? no tendría sentdo decr que la longtud total es de 98.4 cm; puesto que ya en la prmera longtud sólo podemos decr que es cm. y por tanto el resultado fnal será ncerto al menos en 0.1 cm. Para las multplcacones y dvsones es convenente escrbr los factores en potenca de 10. Por ejemplo: 354,6 m x 4,5 m = 3,546x10 x,45x10 m = 3,546 x,45 x 10 3 m En el número de menor precsón, un error de una undad en el últmo dígto, daría un error en el resultado de: 3,546 x 0,01 = 0,03... lo que nos ndca que el resultado tendrá un error en sus centésmas. En resumen, el resultado tendrá el msmo número de decmales que el número de menor precsón: Págna 7 de 1

8 3,546 x,45 x 10 3 m = 8,69 x 10 3 m 4. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO. S alguen nos dce que ha meddo una dstanca con una precsón de 1 m; esta nformacón nos dce muy poco sobre la caldad de los nstrumentos usados y sobre la bondad del método expermental usado en la medcón. S la nformacón se refere a la medcón de un lote de 5m de fondo, por ejemplo, obvamente es una medcón bastante mala. Pero s la nformacón se refere a medr la dstanca entre un punto determnado de superfce de la terra y otro punto dado en la superfce de la Luna, la medcón sería tan extraordnara que empezaríamos a preguntar cómo se hzo la medcón. En ambos casos dríamos que el error absoluto de la medcón es de 1m, pero el error relatvo sería ben dstnto en ambos casos. El error relatvo se expresa generalmente en la forma de porcentaje de error y para nuestros dos ejemplos los errores porcentuales serían: a) % 5 x b) 1 38x10 6 x100 3x10 6 % Cuál debería ser el error absoluto al medr los 5 m para que el error porcentual fuera como en el caso b? 5. PROPAGACION DE ERRORES En muchas ocasones el problema expermental que se nos presenta es el sguente: Queremos determnar el valor de una magntud físca A, pero no podemos hacerlo en forma drecta, sno que lo hacemos mdendo los valores de otras cantdades y calculando el valor de A medante alguna relacón matemátca. Por ejemplo s queremos saber el área de un rectángulo, medmos las longtudes de los lados (x e y) y determnamos el área medante la relacón A = xy. Ahora ben, s sabemos que el valor de x es ncerto en una cantdad x y el valor de y en una cantdad y, cual será la ncertdumbre en el valor obtendo para el área?. Note que en la formulacón de la pregunta va mplícto que las cantdades x y y pueden ser postvas o negatvas. La fgura 5 lustra la stuacón. Ahora consderemos el valor de la cantdad A: A = xy (5.1) A + A = ( x + x )(y + y) Págna 8 de 1

9 = xy + xy + yx + xy (5.) Fgura 5. Propagacón de errores en el cálculo de un área Puesto que y y x son cantdades pequeñas comparadas con y y x, respectvamente, el últmo térmno es pequeño y lo podemos desprecar. En el ejemplo del área este térmno corresponde al área del pequeño rectángulo del extremo superor derecho. Restando las dos expresones que tenemos, obtenemos de nmedato: A xy + yx (5.3) S ahora dvdmos por la relacón A = xy, obtenemos fnalmente: A x A y x y (5.4) Esta relacón es bastante smple y nos permte calcular el error relatvo en A a partr de los errores relatvos en x e y. Así, por ejemplo s tenemos el caso del área del rectángulo con x = ( )cm e y = (.3 0.)cm, el error relatvo en el área resultante sería: A A y como A = 58.1 x.3 = cm, se sgue que: A = x = Por tanto dríamos que el área del rectángulo es de cm. Págna 9 de 1

10 Es convenente notar que el procedmento que hemos segudo nos permte estmar el mayor error en A, puesto que tanto x como y pueden ser postvos o negatvos, el cálculo anteror nos da el peor de los casos. El mejor de los casos se presentaría cuando uno de los errores (x por ejemplo) fuera postvo y el otro (y) fuese negatvo, pues en tal caso la ecuacón 5.4 nos daría una dferenca en lugar de una suma. Sn embargo, como no podemos saber s los errores son del msmo sgno o de sgno contraro, nuestro estmatvo del error en A debe ser el que hemos calculado arrba. S la cantdad A es el resultado de dvdr dos cantdades que medmos, es decr, s A = x/y, podemos repetr el proceso que segumos para obtener la ecuacón 5.4: A x x y y x y yx xy y( y y) A y x x y x y (5.5) xy x y En esta deduccón se hzo la aproxmacón y + y y en el denomnador. Aparentemente el resultado es dferente del obtendo antes (ecuacón 5.4) pero como x, y pueden ser postvos o negatvos, el estmatvo del error en A debe ser nuevamente: A x y (5.6) A x y y este resultado resume las ecuacones 5.4 y 5.5. Es posble generalzar esto aún más, así por ejemplo s A = x n y m, sendo n y m postvos o negatvos, enteros o fracconaros el error en A está dado por: A n x m y (5.7) A x y Estos resultados pueden generalzarse por medo del cálculo dferencal. S una cantdad U es funcón de varas varables, U = U(x, y, z) su dferenca total es: d U U U U dx dy dz (5.8) x y z En donde U/x (dervada parcal de U con respecto a x) quere decr smplemente que estamos efectuando la dervada de U con respecto a x, mentras todas las otras demás varables se mantenen constantes. Smlarmente, calculamos las dervadas parcales U/y y U/z. Págna 10 de 1

11 S ahora, hacemos la aproxmacón de las dferencales a ncrementos pequeños o sea a los errores asocados a las varables, du = U, dx = x, dy = y, dz = z. Tendremos como valor máxmo del error absoluto: y el error relatvo será: U U U U x y z (5.9) x y z U U 1 U U x x 1 U U y y 1 U U z z (5.10) 5.1 Consejos Práctcos. a. S tenemos una sere de meddas de una magntud, el cálculo de error se hará solamente para una medda. b. Las constantes como por ejemplo, no ntroducen errores porque se pueden tomar con el número de decmales que se quera. c. Las masas pueden ser estmadas con un error relatvo de 1% o sea que m (1/100)m. d. Las resstencas de uso común y corrente pueden ser estmadas con un error de 5 a 10%. e. Para la medcón de una longtud por medo de una regla, se puede estmar que se hace un error de 0.5 mm en cada extremo de la medcón, lo que nos da un error l = 1 mm. f. Para la medcón del tempo, con un cronómetro manual, se puede estmar un error de 1/5 de segundo al ncar el movmento y de 1/5 de segundo al fnalzar el movmento o sea que T = /5 de segundo. g. Para la medcón de una varacón de temperatura, generalmente pequeña, las lecturas deben hacerse con mucho cudado y se debe aprecar ¼ de dvsón, lo que produce un error total de ½ dvsón. h. Para la medcón de los ángulos, los errores absolutos deben expresarse en radanes. S por ejemplo, hacemos un error de 1 o, el error en radanes será: = /180.1 o.= 0, o. Págna 11 de 1

12 x (cm) Físca Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráfcas. 6. GRAFICAS En muchos expermentos lo que obtenemos es una sere de valores smultáneos de dos varables, que podemos organzar en forma de tabla de datos, sn embargo, es muy dfícl encontrar una relacón cuanttatva entre las varables o aún formarse una dea de la varacón de una de ellas al varar la otra. Una gráfca nos permte vsualzar la relacón entre las varables en forma más rápda y tambén permte, en muchos casos, deducr una ecuacón que relacone las dos varables en cuestón. Antes de dscutr cómo se pueden obtener estas relacones entre varables, es convenente hacer algunas observacones generales sobre la forma de grafcar manualmente una sere de datos. Nos lmtaremos a gráfcas que pueden hacerse en papel mlmetrado y dejaremos para un apéndce de estas notas una breve dscusón sobre gráfcas en otros tpos de papel, tales como el logarítmco y el semlogarítmco. S el estudante sgue las sguentes recomendacones, desde el prmer expermento, encontrará que sus gráfcas serán mejores y de mayor utldad: 1) No es necesaro que las escalas empecen desde cero y vayan hasta el mayor valor de cada una de las varables. S por ejemplo tenemos datos smultáneos de dos varables x y t cuyos valores fluctúan así: x desde 150 hasta 50 y t desde 0 hasta 40, la escala para x puede empezar en 150. De lo contraro sólo se usaría una porcón pequeña de la gráfca y no sería tan útl. La fgura 6 lustra la mejor forma de hacer esta gráfca. x vs t t (seg) Págna 1 de 1

13 Fgura 6. Ejemplo de una gráfca. Note la manera de destacar los puntos grafcados y tambén que las escalas son dferentes para x y t. ) La escala deberá ser senclla, o sea que cada centímetro debe representar 1,, 5, 10, 50, 100, etc. undades de la varable que queremos representar. Las escalas para los dos ejes no tenen que ser las msmas. S se usan escalas en las cuales 1cm representa 3 undades, por ejemplo, será muy dfícl grafcar los puntos y tambén hacer lecturas de las coordenadas de puntos en el gráfco. 3) Las gráfcas deben tener una dentfcacón, un título, que ndque lo que la gráfca representa. Sobre los ejes deben marcarse las varables representadas, ndcando las undades en que se mde cada una de ellas. La gráfca debe permtr a una persona, que no ha realzado el expermento, formarse una dea clara de lo que se ha hecho. 4) Un punto expermental debe estar claramente dentfcado, por ejemplo, colocando un pequeño círculo alrededor del punto, como se ha hecho en la fgura 6. S en una msma gráfca se representan varas curvas o relacones, para varas condcones expermentales, cada una de ellas deberá dstngurse con un símbolo dstnto: círculo, cuadrado, trángulo, cruz, X, etc. 5) Es convenente usar lápz, al menos ncalmente, para marcar las escalas, los puntos, etc., y usar tnta o repntar cuando ya estemos seguros de que la escogenca de escalas y de convencones han sdo adecuadas Gráfca Lneal La ecuacón de una línea recta es: y = mx + b (6.1) En la fgura 7 se lustra este caso especal y se ndca el sgnfcado de la constante b, el ntercepto, de la recta. La constante m, la pendente, es la tangente del ángulo que la recta hace con el eje x. Generalmente no podemos determnar, para una recta dada, esta constante medante la smple operacón de medr el ángulo con un transportador. Esto sólo puede hacerse cuando las escalas de los dos ejes son guales y se mden las dos varables en las msmas undades. Pero la pendente s puede determnarse a partr de la relacón: y x ( y y1), (6.) ( x x ) 1 como se ha ndcado en la fgura 7. Págna 13 de 1

14 Fgura 7. Se lustra el sgnfcado del ntercepto (b) de una recta y la manera de calcular su pendente (m) S x e y son dos varables que medmos expermentalmente y al hacer un gráfco se obtenen los puntos ndcados en la fgura 7, podremos decr que la relacón entre estas varables es lneal y podremos obtener la pendente y el ntercepto para dar la relacón entre estas varables como una ecuacón de la forma de la ecuacón Gráfcas No Lneales Sólo en casos muy especales tenemos la suerte de que las varables que nos nteresan estén en una relacón lneal, como en el caso que dscutmos en la seccón anteror. En general, cuando se grafquen los valores smultáneos de dos varables (x y t, por ejemplo) e ntentemos unr los puntos medante una línea, tal línea resultará curvada, como se ha ndcado en la fgura 8. La Tabla No. 1 da los valores smultáneos de x y t usados para la fgura 8. TABLA No 1. t (seg) x (cm) z(cm/seg) 0 5,00 0,00 1 5,75 0,75 7,00 1,00 3 8,75 1,5 4 11,00 1, ,75 1, ,00,00 7 0,75,5 8 5,00,50 9 9,75, ,00 3,00 Págna 14 de 1

15 x (cm) Físca Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráfcas. 40 x vs t t (seg) Fgura 8. Ejemplo de gráfca no lneal, los datos grafcados se dan en la tabla No.1. Aun cuando la relacón entre x y t no es lneal, es obvo que s es lo sufcentemente regular como para poderse representar medante una ecuacón. Pero, cómo saber que tpo de ecuacón debemos usar? No exste una respuesta únca a esta pregunta, es decr, no se puede dar una sere de nstruccones que se puedan segur en todos los casos, con garantía de éxto. Muchas veces, sn embargo, se puede prever que las varables o cantdades físcas x y t deben tener una relacón cuya forma general conocemos a pror. Por ejemplo s x representa la poscón de una partícula y t el tempo y tenemos razones para creer que el movmento de la partícula es unformemente acelerado, la ecuacón que relacona x con t es de la forma: x x0 bt ct (6.3) Obvamente x 0 es el valor de x cuando t = 0 y lo conocemos a partr de los datos que tenemos. Lo más convenente sería transformar o modfcar la ecuacón 6.3 en forma tal que la relacón entre las nuevas varables sea lneal. Esto puede lograrse s defnmos: x x z 0 b ct t (6.4) Y s hacemos ahora un gráfco de z vs t, debemos obtener una línea recta. S el movmento no es unformemente acelerado, z vs t no nos dará una línea recta, pero este resultado negatvo es útl, pues ya sabemos algo acerca del movmento del cuerpo y podremos buscar otras combnacones. Págna 15 de 1

16 z (cm/seg) Físca Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráfcas. La fgura 9 muestra el resultado de grafcar z vs t para los datos de la fgura 8. En la Tabla No 1 se han lstado los valores de z usados para la fgura 9. S no tenemos nnguna dea preva de cual puede ser la relacón entre dos varables que medmos, posblemente tendremos que hacer muchos ensayos de dversas combnacones de las varables meddas para obtener fnalmente una línea recta. Es posble que tengamos que recurrr a gráfcas en papeles logarítmco o semlogarítmco, Sobre las cuales dremos algo en el Apéndce. z vs t 3,0,5,0 1,5 1,0 0, t (seg) Fgura 9. Lnealzacón de la gráfca de la fgura EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS PARA LA DETERMINACION DE DOS CANTIDADES DESCONOCIDAS Para el manejo de datos expermentales se han desarrollado varas técncas de mucha mportanca práctca entre las que se encuentra el método de mínmos cuadrados, el cual permte obtener una nformacón dgna de confanza a partr de un conjunto de medcones expermentales. Este método puede ser utlzado en la determnacón de cantdades desconocdas a partr de un conjunto de pares de medcones de dos cantdades relaconadas lnealmente. Sean dos varables x, y. Su relacón lneal se puede escrbr en la forma y = mx + b, donde m es la pendente y b es el ntercepto y. A partr de una sere de N medcones (y, x ), en las que sólo se tenen errores aprecables de medcón en los valores y, el método de mínmos cuadrados establece que los valores mas probables de m y b están dados por: Págna 16 de 1

17 x y N x y x N m (7.1) x y x x y x b (7.) N x x La fgura 10 lustra los cálculos de m y b; cada punto representa un par de medcones. La línea se dbuja con los valores obtendos medante las ecuacones 7.1 y 7.. En general, esta línea no necesta pasar exactamente por nnguno de los puntos expermentales. En la fgura tambén se lustra la dstanca vertcal entre los puntos expermentales y la línea recta obtenda; el método de mínmos cuadrados expuesto mnmza la suma de los cuadrados de estas dstancas vertcales. Por esto, la línea determnada por este procedmento es llamada algunas veces la línea de regresón de y en x. Fgura 10. Gráfca para lustrar los cálculos de m y b. Cada punto representa un par de meddas; un par típco es la ndcado por (y,x ). La dstanca vertcal entre dcho punto y la recta de mínmos cuadrados calculada se desgna por d. La desvacón de cada medcón, d, ndcada en la fgura 10, está dada por d mx b y (7.3) La varanza de la muestra, (el cuadrado de la desvacón estándar es por lo tanto: 1 1 d mx b y (7.4) N N Los errores en los valores y producen errores en los valores de m y de b encontrados. Págna 17 de 1

18 Las desvacones estándar m y b correspondentes se puede calcular a partr de la desvacón estándar de la muestra, medante las sguentes relacones: N m (7.4) N x x x x b (7.5) N x Ahora ben, es posble que la relacón entre las dos varables y,x no se conozca de antemano o al grafcar los puntos estos aparezcan tan dspersos debdo a los errores expermentales que no sea claro s exste o no alguna relacón entre y y x, como lo puede sugerr una representacón gráfca como la de la fgura 11, en cuyo caso cabe preguntarse s exste alguna correlacón entre las dchas varables. Fgura 11. Puntos expermentales de una medcón cualquera. Exste alguna relacón entre las varables y y x meddas? Para fjar algún crtero que permta hacer un juco razonable sobre la relacón entre las varables se defne una nueva cantdad denomnada coefcente de correlacón r de tal manera que, cuando los puntos cagan exactamente en una línea recta, r = 1, tengamos una correlacón lneal perfecta entre dchas varables y cuando r = 0 tengamos que no es posble establecer una correlacón lneal entre ellas. Es decr, de haber alguna correlacón lneal, el valor de r debe ser mayor que 0 y menor que 1. La defncón de r es la sguente: N x y x y 1/ x N y y r (7.7) 1/ N x Págna 18 de 1

19 APENDICE GRAFICAS LOGARITMICAS Y SEMILOGARITMICAS S por alguna razón sospechamos que la relacón entre dos varables o cantdades físcas que medmos es de la forma: y = ax (A.1) Pero no tenemos una manera clara de predecr el exponente n, podemos recurrr al sguente artfco: Tomemos logarítmos a ambos lados de la ecuacón A.1, para obtener: log y = log a + n log x (A.) Y s llamamos z = logy, w = logx, la ecuacón A. es de la forma: z = b + nw (A.3) Sendo b = loga. Por tanto una gráfca de z vs w debe ser una línea recta. El gráfco de z vs w puede hacerse en un papel mlmetrado, s calculamos prmero los logartmos de x e y. Tambén puede hacerse drectamente sobre un papel logarítmco, el cual se construye de tal manera que las escalas sean proporconales a los logartmos de los números. La fgura 1 lustra un gráfco hecho en este tpo de papel y en la tabla No se dan los valores de x e y usados en este caso. La Fgura 13 lustra cómo se construye una escala logarítmca. Sobre un eje de coordenadas escogemos una longtud básca o módulo que nos representará una undad, por ejemplo 5 cm; luego medante una tabla de logartmos o medante una calculadora obtenemos los logartmos de los números (En la fgura se ha lustrado úncamente para los números enteros) y los colocamos en la escala escogda. S ahora numeramos la escala con los números naturales, la dstanca desde el orgen (log1 = 0) será proporconal al logartmo del número; así cuando ubcamos el punto x = 4, y= 4, como se lustra en la fgura 1: Estaremos realmente grafcando (log 4, log 4). En otras palabras la escala logarítmca es una manera de tomar los logartmos de las abscsas y de las ordenadas, en forma automátca. Como en el gráfco de la fgura 1, las escalas son guales, la pendente se puede determnar mdendo con una regla común las dstancas y y x que se han ndcado y hacendo su cocente. El ntercepto ocurre para log x = 0, o sea, para x = 10 o = 1, y la ordenada correspondente a x = 1 será el valor de a en las ecuacones A.1 y A.. Para convencerse de esto basta mrar la ecuacón A. y ver que para log x = 0, log y o = log a, luego y o = a. Págna 19 de 1

20 Y Y X X 0 1 Fgura 1. Gráfco en papel logarítmco, Usando los datos de la tabla No. Fgura 13. Forma de construr una escala logarítmca Dejemos ya el caso de las gráfcas logarítmcas y dscutamos brevemente el caso de las gráfcas semlogarítmcas. Estas encuentran aplcacón cuando la relacón funconal entre las varables sea de la forma: y ae kx (A.4) S tomamos logartmos, tendremos: log y log a kx log e (A.5) Págna 0 de 1

21 Y s defnmos: z = log y, b = log a y k log e = m, tendremos: z b mx (A.6) o sea una relacón lneal. Podemos entonces grafcar z = log y, vs x y la gráfca debe ser una línea recta. Nuevamente esto se puede hacer en un papel especal con el cual la escala vertcal (las ordenadas) es logarítmca, pero la escala horzontal (las abscsas) es una escala común o s se quere mlmétrca. La ecuacón A.6 permte ver que el ntercepto nos da drectamente el valor de la constante b. Para determnar la pendente, sn embargo, es necesaro tomar los logarítmos de las ordenadas de dos puntos, hacer su dferenca y dvdr por la dferenca de las respectvas abscsas, o sea: log y log y1 m k log e (A.7) x x1 Una vez calculado el valor de m, se puede obtener de nmedato el valor de la constante k, puesto que log e = 0, Para termnar, nsstamos en que en esta era de las calculadoras electróncas, con las cuales se pueden obtener en forma rápda y fácl los logarítmos de los números que nos nteresan, es muy fácl hacer las gráfcas que hemos dscutdo en esta seccón en papel mlmetrado y obtener toda la nformacón que ellas puedan proporconarnos, sn recurrr al uso de papeles especales. Págna 1 de 1