Tema 1: Repaso de conocimientos previos. Funciones elementales y sus gráficas. Límites. Continuidad.

Transcripción

1 Tema 1: Repaso de conocimientos previos Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas

3 Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas

4 Relaciones trigonométricas

5 Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas

6 Operaciones elementales con logaritmos log a (x y) = log a (x) + log a (y) log a ( x y ) = log a(x) log a (y) log a (x y ) = y log a (x) a x = b x log b (a)

7 Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas

8 Definición de función real de variable real Definición: Sea A R. Una función real de variable real es una aplicación f : A R R.

9 Operaciones con funciones Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) Producto: (fg)(x) = f (x)g(x) Producto por escalar: (kf )(x) = kf (x) Composición: (g f )(x) = g(f (x))

10 Propiedades de las funciones Dominio. Se llama dominio de f al conjunto D(f ) = {x R : f (x) R} Imagen. Se llama imagen de f al conjunto Im(f ) = {y = f (x) : x D(f )} = f (D(f )) Gráfica. La gráfica de f es G f = {(x, y) R 2 : y = f (x)} Función recíproca o inversa. Dada f inyectiva, la inversa de f, f 1, es la función tal que (f 1 f )(x) = (f f 1 )(x) = x. Función periódica. La función f es periódica si existe T > 0 tal que f (x) = f (x + T ) para todo x D(f ). El menor de tales T > 0 se llama período de la función.

11 Propiedades de las funciones Función par e impar. Si f ( x) = f (x) para todo x D(f ), se dice que f es par. Si f ( x) = f (x) para todo x D(f ), se dice que f es impar. Función creciente y decreciente. Una función f : A R es creciente (decreciente) si para todo x 1 < x 2 es f (x 1 ) f (x 2 )(f (x 1 ) f (x 2 )). Si la desigualdad es estricta, decimos que f es estrictamente creciente (estrictamente decreciente). Función acotada. Una función f es acotada inferiormente si existe k R tal que f (x) k para todo x D(f ). Se dice que f es acotada superiormente si existe k R tal que f (x) k para todo x D(f ). Decimos que f es acotada si lo es superior e inferiormente.

12 Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas

13 y = x, y = x 2, y = x 3

14 y = 1 x

15 y = x Relaciones trigonométricas

16 y = sin(x), y = cos(x)

17 y = tan(x)

18 y = sin(x), y = arcsin(x)

19 y = cos(x), y = arc cos(x)

20 y = tan(x), y = arctan(x)

21 y = a x Relaciones trigonométricas

22 y = log a (x)

23 Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas

24 Definición de ĺımite Definición de ĺımite Sea I = (c, d) un intervalo abierto con a I y sea f una función definida en I (salvo quizá en a). Dado l R, se dice que ĺım x a f (x) = l si y sólo si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ, entonces f (x) l < ɛ. Una definición equivalente, mediante el empleo de sucesiones, es la siguiente: ĺım x a f (x) = l ( x n a con x n a para todo n {f (x n )} l)

25 Definición de ĺımites laterales Definición de ĺımites laterales Dado l + R, se dice que lim x a +f (x) = l + si, y sólo si, para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ, entonces f (x) l + < ɛ. Si, en vez de aproximar la x a la a por la derecha, lo hacemos por la izquierda, obtenemos el ĺımite por la izquierda, ĺım x a f (x) = l. Los ĺımites laterales también se pueden definir empleando sucesiones que se aproximen por cada uno de los lados de a. Teorema Existe ĺım x a f (x) si y sólo si existen los ĺımites laterales y coinciden, esto es, ĺım x a + f (x) = ĺım x a f (x) = l R

26 infinitos y ĺımites en el infinito infinitos. Decimos que ĺım x a f (x) = + ( ) si para todo M R existe un δ > 0 tal que f (x) > M (f (x) < M) para todo x tal que 0 < x a < δ. Los ĺımites laterales infinitos ĺım x a + f (x) = ± y ĺım x a f (x) = ± se definen de modo análogo, pero aproximándose por el lado adecuado de a. Límite finito en el infinito. Si (a, + ) D(f ), se dice que f tiende a l cuando x +, esto es, lim x f (x) = l si para todo ɛ > 0 existe M R tal que si x > M entonces f (x) l < ɛ.

27 infinitos y ĺımites en el infinito Límite infinito en el infinito. Si (a, + ) D(f ), decimos que lim x + f (x) = si para todo M R, N R tal que si x > N entonces f (x) > M. De modo análogo se definen los ĺımites ĺım x + f (x) =, ĺım x f (x) = + y ĺım x f (x) =. Teorema El ĺımite, si existe, es único.

28 Propiedades de los ĺımites Sean f, g tales que ĺım x a f (x) = l 1 y ĺım x a g(x) = l 2. Entonces: 1 lim x a α = α, α R 2 lim x a f (x) = αl 1, α R 3 lim x a (f (x) ± g(x)) = l 1 ± l 2 4 lim x a (f (x)g(x)) = l 1 l 2 f (x) 5 lim x a g(x) = l 1 l2 (l 2 0) 6 lim x a (f (x)) n = l1 n 7 lim x a f (x) 1/n = l 1/n 1 (si n impar ó n par y l 1 0) 8 lim x a b f (x) = b l 1, b R 9 lim x a f (x) g(x) = l l 2 1 (l 1 > 0) Los casos 0 0,, 0,, 1, 0 0, 0 son indeterminaciones.

29 Regla del Sandwich Regla del Sandwich Si f (x) g(x) h(x) en un entorno de a (salvo, quizá, en el propio a) y ĺım x a f (x) = ĺım x a h(x) = l, entonces ĺım x a g(x) = l. Aquí a y l pueden ser tanto finitos como infinitos.

30 Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas

31 Definición de continuidad Definición de continuidad Una función f es continua en a si se satisfacen las condiciones siguientes: 1 f (a) está definida. 2 lim x a f (x) = f (a) (el ĺımite existe y es igual a f (a)). Otra caracterización de continuidad es con sucesiones: f es continua en a D(f ) si para toda sucesión x n a se verifica que {f (x n )} f (a). Decimos que f es continua en un intervalo abierto (c, d) si lo es en cada punto del intervalo.

32 Definición de discontinuidad Si f no es continua en a, se dice que f tiene en a una discontinuidad. La discontinuidad es: Evitable si existe lim x a f (x) R. Inevitable en caso contrario.

33 lateral Definición La función f es continua por la izquierda (derecha) de a D(f ) si ĺım x a f (x) = f (a) (lim x a +f (x) = f (a)). Definición La función f es continua en a si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda de a.

34 Propiedades de la continuidad Definición Sean f, g continuas en a R. Entonces kf es continua en a para cualquier k R. (f ± g) es continua en a. (fg) es continua en a. Si g(a) 0, entonces f g es continua en a. Si h es continua en g(a), entonces (h g)(x) = h(g(x)) es continua en a.

35 Funciones elementales continuas Las funciones elementales (polinomios, funciones racionales, raíces, funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, funciones exponenciales, logarítmicas) son todas ellas continuas en sus dominios.

36 Teorema del valor intermedio Teorema del valor intermedio Si f es continua en I = [a, b] y k es un número real entre f (a) y f (b), existe al menos un c I tal que f (c) = k.

37 Teorema de Weierstrass Teorema de Weierstrass Si f : [a, b] R es continua, entonces f alcanza un máximo y un mínimo en el intervalo [a, b], esto es, existen x 1, x 2 [a, b] tales que f (x 1 ) f (x) f (x 2 ) x [a, b]