Estadística básica en Ciencias de la Salud

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1 Estadístca básca e Cecas de la Salud Adreu Nolasco Bomatí Joaquí Mocho Vasallo

2 Itroduccó E este texto se preseta cotedos báscos de estadístca para el etoro de las cecas de la salud. Provee de la expereca docete de sus autores, profesores e asgaturas, cursos y semaros mpartdos e el etoro de las cecas de la salud, drgdos a profesoales que desarrolla su labor asstecal, de gestó, de doceca o de vestgacó e este ámbto. Auque la Estadístca ha estado presete e la mayoría de ttulacoes uverstaras de Cecas de la Salud desde hace décadas, es desde su clusó como matera básca e los plaes de estudo de las ttulacoes uverstaras de grado cludas e la rama de coocmeto de Cecas de la Salud cuado ha vedo a cosoldar su preseca e todas las ttulacoes de esta rama, tal como había sdo recomedado por la Orgazacó Mudal de la Salud, al recoger ua ecesdad dervada de la crecete utlzacó de la estadístca por parte de los profesoales de las Cecas de la Salud e todas las parcelas de su campo de actuacó. De esta forma, la Estadístca habría pasado a desempeñar u papel básco e la formacó de estos profesoales. S partmos de la faldad de elaborar materales docetes que pueda ser útles a ua buea parte de programas formatvos e asgaturas de estadístca e Cecas de la Salud, habría que reflexoar, e prmer lugar, sobre aquellos cotedos báscos que debería corporarse a los programas de las asgaturas a mpartr. La Estadístca es ua ceca que ha vedo costruyedo métodos y procedmetos para dar respuesta a dferetes problemas susctados por otras Cecas. E partcular, las Cecas de la Salud platea u escearo y sujetos de trabajo partculares (la salud del ser humao). Así, las fucoes asstecal y de gestó, tato e su vertete clíca como comutara, requere herrametas báscas para maejar formacó geerada e los puestos de trabajo (maejo e terpretacó de la formacó de uo o varos sujetos, orgazacó de datos, compresó de formacó cuattatva, redaccó básca de formes,...), y para el acceso a formacó procedete de fuetes secudaras (lectura de artículos cetífcos, lbros, formes, guías clícas,...). Por su parte, la fucó de vestgacó requerría de mayor profudzacó e aspectos esecales del método cetífco e los que la estadístca juega u papel mportate cuado se utlza métodos cuattatvos de vestgacó, debedo profudzar e cotedos relacoados co la fereca, útles para la correcta valoracó de las coclusoes obtedas, y métodos específcos de estadístca, co lo que respoder pregutas de vestgacó más complejas. Así msmo, la labor docete del profesoal de las cecas de la salud requere de uos coocmetos mímos para poder trasmtr co rgor la formacó cuado ésta ha sdo tratada co métodos estadístcos. El sguete paso trataría de delmtar el vel de profudzacó e los cotedos elegdos, por ejemplo qué vel de profudzacó matemátca alcazar?. La respuesta está e alcazar u equlbro etre la catdad y complejdad del leguaje matemátco utlzado y la exposcó de deas, problemas e terpretacoes e el leguaje más próxmo e tutvo para el alumo. U últmo paso requerría la exposcó de los cotedos sobre ejemplos pertetes y atractvos para el etoro profesoal actual o futuro del alumo. La expereca de los autores e vestgacó aplcada e el etoro de las Cecas de la Salud ha guado la eleccó de dversos problemas y stuacoes para ejemplfcar los cotedos de este texto. Los materales que se preseta e este documeto parte de la reflexó sobre todos estos aspectos por parte de sus autores así como de la expereca docete acumulada por los msmos durate varas décadas de cotacto co alumado e formacó para ser futuros profesoales de las Cecas de la Salud o profesoales e ejercco co deseos de recclar o aumetar sus coocmetos e estadístca. Está orgazados e cco capítulos, respodedo a la estructura habtual e los programas de esta matera. El prmer capítulo, 'Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó' recoge elemetos báscos de estadístca descrptva que ayude a orgazar, compreder e terpretar la formacó de u cojuto de datos. El segudo capítulo, 'El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad', troduce coceptos, propedades y teoremas báscos de la probabldad de terés y uso frecuete e el ámbto de la salud. Los capítulos tres, 'Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca', y cuatro, ' Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas

3 de fereca: Aplcacoes báscas', se drge a presetar los procedmetos báscos geerales de fereca y ua seleccó específca para dar respuesta a la mayoría de stuacoes báscas de aálss ferecal de los datos. Por últmo, el capítulo cco, 'Precaucoes e el aálss de los datos', se revsa brevemete alguos tópcos y/o elemetos a teer especalmete e cueta e el aálss de los datos. Se ha corporado u aexo que cluye las tablas de probabldad de los modelos más utlzados. Estos materales ha vedo mostrado su utldad como soporte docete e la mayor parte de las asgaturas mpartdas e las ttulacoes de grado o máster de Cecas de la Salud de la Uversdad de Alcate, como Efermería, Nutrcó, Ivestgacó de Cecas de la Salud, Salud Públca, Óptca,.., y e umerosos cursos de posgrado mpartdos por los autores. Se trataría de u materal básco e el setdo de que cluye los cotedos mímos geeralstas e estadístca que u profesoal de las Cecas de la Salud debería recbr e su formacó de grado para adqurr las competecas cludas e su pla de estudos, especalmete las más relacoadas co esta matera. No obstate, cabe mecoar que el ecaje de las dferetes dscplas e los plaes de estudo de las ttulacoes o alguas característcas específcas de los msmos hace que o todos los cotedos aquí recogdos se correspoda co los cotedos presecales mpartdos e el aula, debedo realzar e alguos casos ua seleccó de los msmos. Falmete, hay que teer e cueta que el carácter básco de estos materales requerrá de su amplacó e programas formatvos de mayor profuddad, geeralmete vculados a mayores ecesdades para la vestgacó, como es el caso de alguos másters. E este caso, estos materales debe ser complemetados co otros geerales o específcos que desarrolle métodos de mayor complejdad y sofstcacó, geeralmete métodos multvarates probablístcos (modelos leales como regresó leal múltple, regresó logístca, regresó de Posso, de Cox, etc.), o probablístcos (aálss factoral, aálss de cluster, etc.) u otros. Alcate, otoño de 06 Los autores Adreu Nolasco Bomatí y Joaquí Mocho Vasallo so profesores del Departameto de Efermería Comutara, Medca Prevetva y Salud Públca e Hstora de la Ceca de la Uversdad de Alcate e el que ha vedo desarrollado su labor como docetes e vestgadores. Ha mpartdo doceca e dversas ttulacoes de Cecas de la Salud (Medca, Efermería, Nutrcó humaa y detétca, Óptca, etc.) tato e estudos de grado como e posgrado (máster y doctorado), e materas y/o asgaturas como Boestadístca, Estadístca Avazada, Demografía y Salud, Metodología de la Ivestgacó, Desgualdades e Salud, Aálss de la mortaldad, etc.. Ha vedo desarrollado vestgacó e líeas como: Aálss de la Mortaldad, Geografía Satara, Estadístcas Sataras, Ecuestas de salud, Demografía y salud, Desgualdades e salud y otras. Su expereca e la aplcacó del método estadístco e el etoro de las Cecas de la Salud provee y se refleja e la dreccó de umerosos proyectos de vestgacó, tess doctorales, publcacoes cetífcas y el cotuo cotacto co el cotexto sataro a través del asesorameto metodológco a dversas sttucoes sataras (Admstracó satara, Cetros de Salud y Salud Públca, Hosptales y otras).

4 Ídce Capítulo. Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó.. Elemetos báscos e el aálss estadístco pg. 5.. Explorado los datos pg Tabulacoes y gráfcos sobre dos varables pg..4. Explorado los datos: Resume de la formacó pg. 4 Capítulo. El azar sobre uestros datos. Mdedo la probabldad.. Característcas aleatoras y espacos muestrales pg. 6.. Medda de probabldad pg Probabldad codcoada e depedeca pg Teoremas báscos: Teorema de la probabldad total y teorema de Bayes pg Aplcacó de los teoremas báscos al dagóstco y/o deteccó de efermedad pg Varables aleatoras pg. 4 Capítulo 3. Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca 3.. La estmacó pg Cotraste de hpótess pg. 56 Capítulo 4. Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas 4.. Varable respuesta y varables explcatvas pg Seleccó de pruebas estadístcas pg Estudo de ua varable respuesta e ua poblacó pg Estudo de ua varable respuesta e dos poblacoes pg Estudo de ua varable respuesta e más de dos poblacoes pg Estudo de la relacó etre varables pg. 86 Capítulo 5. Precaucoes e el aálss de los datos 5.. La seleccó de los sujetos pg La obtecó de las observacoes pg Almaceameto y procesameto de la formacó pg Aálss estadístco pg. 93 Aexo. Tablas de alguos modelos cotuos de probabldad pg. 97 Bblografía pg. 06 v

5 C A P I T U L O EXPLORANDO LOS DATOS: ORGANIZACIÓN DESCRIPCIÓN Y PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN El aálss estadístco juega u papel esecal e el tratameto de la formacó procedete de ua vestgacó, abarcado dversos aspectos relatvos a su descrpcó, o a la extraccó de coclusoes y geeralzacó de éstas que podamos realzar. A lo largo de cuatro capítulos se abordará las téccas y procesos báscos que permtrá aalzar estadístcamete la formacó de u cojuto de datos. El problema a resolver e el presete capítulo se cetra e el proceso de orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó ecesara para el estudo de las característcas de terés. Nos referremos a esa formacó como el cojuto o base de datos. La caldad de las aplcacoes estadístcas realzadas depederá e gra medda de u maejo correcto de tal formacó y ua detfcacó adecuada de los dversos elemetos estadístcos que la coforma, pudedo extraer coclusoes erróeas como cosecueca de ua detfcacó correcta.. ELEMENTOS BASICOS EN EL ANÁLISIS ESTADÍSTICO Defremos el cocepto de base de datos como ua coleccó de resultados de dversas característcas, estructurados de acuerdo co algú objetvo partcular. Es muy frecuete que la gra catdad de formacó geerada e el etoro sataro dé lugar a la cofguracó de dferetes bases de datos. Así, por ejemplo, la formacó de las hstoras clícas de los pacetes ateddos e u servco hosptalaro puede presetar dferetes estructuras segú la faldad, admstratva, de vestgacó, co vstas al tratameto,... Para defr los elemetos estadístcos báscos os basaremos e la formacó coteda e el cuadro., obteda sobre cco dvduos e u estudo para determar la preseca de cálculos blares y otras característcas. La formacó que se preseta e este cuadro está estructurada e forma de base de datos, e la que cada líea cotee los datos de cada uo de los dvduos del estudo. Desde el puto de vsta estadístco, ua base de datos cotee dversos elemetos estadístcos, a saber: Idvduo o elemeto: La base de datos cotee formacó sobre las característcas de ua coleccó de udades que deomaremos dvduos o elemetos (puede ser persoas o cosas). E el cuadro., los elemetos so cada ua de las persoas de las que se recoge formacó.

6 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó VARIABLE Nº de caso Nombre Sexo Edad Peso Glucosa Nº Cálculos Adreu Joaquí Elsa CASO 3 María Javer OBSERVACION Cuadro..- Datos estructurados e forma de base de datos Varable: Es ua característca de terés sobre u elemeto. Es esecal que sus resultados cambe etre dferetes elemetos, pues de o hacerlo estaríamos ate ua costate. E el cuadro., la edad es ua varable. Segú la forma e que las varables preseta sus resultados, éstas puede ser cualtatvas (preseta sus resultados e forma de estados o categorías, como e el caso del sexo, hombres-mujeres), o cuattatvas (preseta sus resultados e forma de valores umércos, como e el caso de la edad o el úmero de cálculos). No obstate, e fucó de los posbles resultados, las varables cuattatvas puede ser cotuas, cuado éstos puede ser cualquer valor umérco etre dos dados, pudedo alcazar u úmero fto de valores dsttos, o dscretas, cuado sus resultados surge, habtualmete, de u proceso de recueto, pudedo tomar u úmero fto o fto umerable de valores. E el ejemplo, la edad es ua varable cuattatva cotua, puesto que cualquer edad etre dos dadas es váldo, pudedo medrla e las udades que estmemos oportuas (años, meses, días,...). El úmero de cálculos es u ejemplo de varable cuattatva dscreta, presetado u úmero de resultados dsttos que es umerable (0,,,3,...), y supuestamete fto. U ejemplo de varable dscreta, co u úmero de resultados fto umerable puede ser el úmero de tomas de temperatura corporal realzadas co u termómetro clíco, 0 (se rompe e la prmera),,, 3,..., (descoocemos el úmero, pudedo ser ta grade como queramos). Es frecuete covertr varables cuattatvas e cualtatvas, agrupado los valores umércos e dferetes categorías. Así, podríamos covertr el úmero de cálculos e ua varable de dos categorías: 'No tee' (se correspode co el valor 0), 'Tee' (se correspode co los valores restates, 0,,,...); de hecho, la varable glucosa aparece categorzada segú ésta sea mayor a 40 mg/00ml o meor o gual a 40 mg/00ml. Observacó: Es la formacó de ua varable sobre u dvduo de la base de datos. També es deomada medda, valor o resultado. Así, e el ejemplo, 74 es la observacó de la varable edad e el dvduo llamado Javer. Caso o regstro: Es el cojuto de observacoes correspodetes a u dvduo de la base de datos. E el ejemplo, cada fla cotee toda la formacó de cada uo de los dvduos de la base de datos, represetado u caso o regstro. Tpos de datos: E la práctca, los datos que cofgura la base de datos provee de las observacoes de dferetes varables. Tales datos puede ser de dferetes tpos. Así, los datos que surge de u proceso de medcó, represetado catdades, capacdades, o característcas smlares puede ser deomados meddas. E el cuadro., la edad o el peso so de este tpo. Los datos que surge de u proceso de recueto o so frecuecas de ocurreca de algú suceso se deoma frecuecales. El úmero de cálculos blares es de este tpo, pues surge del recueto de cálculos e cada dvduo. Otro tpo de datos 6 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

7 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó surge de producr ua ordeacó e los dvduos. Estos datos so deomados ordales. El úmero de orde segú la ota obteda e u exame es de este tpo (º, º, 3º,...). Por últmo, cuado cada dvduo es asgado a ua categoría de etre ua coleccó de posbldades, hablaremos de datos categórcos. Los datos del sexo so de este tpo, puesto que cada dvduo es asgado a ua de las dos posbles categorías de esta varable. Poblacó y muestra: Desde el puto de vsta estadístco, resulta esecal caracterzar los datos cludos e uestra base e relacó a los objetvos de uestro estudo. Se trata de defr s la base de datos cotee las observacoes de todos los dvduos sobre los que se pretede estudar, caracterzar y extraer coclusoes acerca de las varables cosderadas, e cuyo caso se drá que se estuda a toda la poblacó, o de ua parte de ellos, e cuyo caso se drá que se estuda ua muestra. Así, ua muestra será cualquer subcojuto de ua poblacó.. EXPLORANDO LOS DATOS: TABULACIONES Y GRÁFICOS Ua vez hemos recolectado los datos ecesaros para uestro estudo podemos proceder al aálss estadístco. Habtualmete, la prmera fase de u estudo será la de speccoar la formacó coteda e los datos dspobles. La orgazacó de los datos e ua base, co las característcas que ha sdo descrtas e el apartado ateror, es sufcete. Para ello, y dada la dfcultad para reteer y maejar la formacó dvdual, los datos debe ser orgazados y reducdos a estructuras o gráfcos que os permta compreder su comportameto, obteedo adcoalmete meddas que, de ua forma resumda y stétca, forme de los rasgos más destacables de las varables estudadas. Este proceso suele ser deomado descrpcó de los datos. Así, se trata de cotestar pregutas de terés acerca de los datos observados tales como: Qué podemos decr acerca de la catdad de hombres y mujeres que ha formado parte del estudo? Cuál es la categoría más frecuete? Cuál es el porcetaje de dvduos que cosume alcohol ocasoalmete? Es dferete este porcetaje segú el sexo de los dvduos? Cómo so las edades de los dvduos del estudo? Podemos costrur ua tabla dode se observe la dstrbucó de las edades? Es posble represetar gráfcamete esta dstrbucó? Iteresa caracterzar el comportameto de la varable colesterol. Alguos vestgadores aputa la dea de que la mayor parte de los dvduos tede a alcazar uos valores de colesterol termedos, metras que se hace más dfícl ecotrar dvduos a medda que os alejamos haca valores extremos. Es posble costrur algú gráfco que permta vsualzar su comportameto y compararlo co este hpotétco patró o modelo? Tabulacoes y dstrbucoes de frecuecas de ua varable Para compreder el comportameto de ua varable sobre u cojuto de datos se recurre a la orgazacó de sus observacoes e ua estructura que se deoma tabla de dstrbucó de frecuecas. Ésta o es más que ua tabla e la se dspoe los dferetes valores o categorías de la varable a estudo acompañados de formacó sobre su frecueca de aparcó etre los dvduos. Se trata de establecer a qué categoría perteece o cuál es el valor alcazado por cada uo de los dvduos de la base de datos. Para cualquer tpo de varable, la formacó básca que podemos clur e la tabla está formada por las frecuecas absolutas (f ) de los valores o categorías de las varables, obtedas por recueto de los dvduos que verfca cada uo de ellos, y las frecuecas relatvas (fr ) y porcetajes (p ), meddas relatvas de la frecueca de aparcó de cada valor o categoría etre los dvduos de la base de datos. E el cuadro. observamos tales elemetos sobre la varable sexo, obteedo así la dstrbucó de hombres y mujeres etre los dvduos de u estudo. Las meddas relatvas so depedetes del úmero de 7 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

8 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó dvduos de la base de datos, permtedo la comparacó co otras dstrbucoes de frecuecas obtedas sobre otros cojutos de datos. SEXO f fr p Hombres Mujeres ,46 0, Total 00, f frecueca absoluta categoría f fr ; p fr 00 Cuadro..- Tabla de dstrbucó de frecuecas La asgacó de los dvduos a las dferetes categorías o valores debe ser exclusva y exhaustva, es decr, cada uo de los dvduos debe ser asgado a ua y sólo ua de las categorías o valores, metras que todos los dvduos debe ser asgados. Cuado la varable es cuattatva, suele ser estructurada de forma más stétca, pues la mayor varabldad e sus observacoes, especalmete s la varable es cotua, daría lugar a ua tabla co formacó excesvamete detallada y co poca capacdad de resume. La solucó se obtee tabulado la varable por tervalos. Se trata de defr ua secueca de tervalos de forma que u dvduo será cotablzado e uo de ellos s el valor de la varable a estudo está cludo e él. Cada tervalo es defdo a través de sus límtes [x, x + [, como el cojuto de valores de la varable, dgamos X, tal que x X < x +. Co esta defcó se drá que los tervalos so abertos por la derecha y cerrados por la zquerda. Así, e el cuadro.3 ecotramos la dstrbucó de frecuecas de la varable edad agrupada e tervalos. El tervalo 0-5, p.ej., cotee todos aquellos dvduos cuya edad es superor o gual a 0 e feror a 5. EDAD f p P E alguos casos, el prmer y últmo tervalo puede o verfcar el procedmeto descrto para su costruccó. Así, es frecuete ver expresoes ' < 5 ' o ' 70 ' e tales tervalos. Esta stuacó o es recomedable, salvo que sea estrctamete ecesara, puesto que cálculos posterores puede requerr del coocmeto de ambos límtes. Otra stuacó frecuete es la de defr los tervalos para alguas varables, como es el caso de la edad, como 0-4, 5-9, 30-34,...Esta defcó es equvalete, e la práctca, a la establecda (hay que teer e cueta que ua persoa tee 4 años hasta que cumple los 5) pero puede resultar egañosa para cálculos posterores, como por ejemplo para el cálculo del puto medo de u tervalo (el puto medo del tervalo 0-5 es,5, el msmo que para el tervalo 0-4 defdo) Por lo geeral, el últmo tervalo es cosderado cerrado por la derecha. Como recomedacó geeral, covee que los tervalos tega todos ellos la msma ampltud. E caso cotraro, la terpretacó de la ,5 3,0 7,0 8,0 6,5 0,0 8,5,5 0,5,0 5,5 Total ,5 9,5 6,5 34,5 4,0 5,0 59,5 7,0 8,5 94,5 00,0 Cuadro.3.- Dstrbucó de frecuecas por tervalos 8 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

9 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó tabla puede resultar dfcultosa y poco práctca. Al gual que la ampltud, y relacoado co ella, el úmero de tervalos debe ser establecdo e fucó del objetvo de la dstrbucó de frecuecas. Como dea geeral debe prevalecer el hecho de que, a mayor úmero de tervalos, exstrá ua pérdda meor de formacó, pero a cambo la tabla resultate será meos práctca y maejable. Hay que teer e cueta que los datos puede ser clasfcados e tatas categorías como valores dsttos de la varable hasta u úco tervalo e el que se ecuetre todos los valores. Habtualmete, la mayoría de las stuacoes so resueltas co u úmero de tervalos que puede osclar etre 4 y 0. Adcoalmete, s la varable es cuattatva, la magtud e que ha do aparecedo y agrupádose los dvduos, a medda que os refermos a edades mayores puede ser recogda a través de los porcetajes acumulados (P ), obtedos sumado acumulatvamete los porcetajes. De gual forma puede ser calculadas las frecuecas absolutas acumuladas, (F ) y frecuecas relatvas acumuladas (Fr ) de los dferetes valores: P j p j ; F j f j ; Fr j fr j Gráfcos sobre ua varable A través de la dstrbucó de frecuecas es posble resumr el patró de comportameto de ua varable. S embargo, la represetacó de este patró e u gráfco puede ayudar a comprederlo. Se etederá por gráfco cualquer represetacó co símbolos, líeas, fguras geométrcas o caracteres oretada a este f. Desde este puto de vsta, las represetacoes gráfcas posbles so muchas y muy dversas. Además, e la actualdad los paquetes de represetacó gráfca por ordeador ofrece ua gama muy ampla y varada de posbles represetacoes (bdmesoales, trdmesoales, pctogramas,...). No obstate, podemos establecer alguos gráfcos báscos para las dferetes varables. Gráfcos para varables cualtatvas La formacó dspoble para este tpo de varables se cocetra e sus categorías y las correspodetes frecuecas absolutas, relatvas o porcetajes. Las fguras. y.3 preseta las dstrbucoes de frecuecas de las varables sexo y cosumo de alcohol obtedas e u estudo sobre 00 dvduos. E la prmera de ellas se ha represetado los porcetajes de las dferetes categorías de la varable, Fgura..- Dagrama de barras 9 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

10 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó dbujado u paralelogramo hasta la altura correspodete e cada ua de ellas. represetacó gráfca recbe el ombre de dagrama de barras. Este tpo de E la fgura.3 se ha represetado los porcetajes de las categorías de la varable cosumo de alcohol, asgado u sector crcular de forma proporcoal al porcetaje alcazado por cada ua de ellas. Este tpo de represetacó gráfca recbe el ombre de dagrama de sectores, auque també es coocdo como pastel o tarta. Gráfcos para varables cuattatvas La formacó dspoble para este tpo de varables es mayor que e el caso cualtatvo. Por ua parte dspodremos de formacó acerca de los valores de la varable, hecho que sugere la utlzacó de algua escala de medda para ellos. E segudo lugar, la formacó sobre la dstrbucó de frecuecas de la varable puede ser amplada a través de los porcetajes y frecuecas absolutas o relatvas acumuladas. Fgura.3.- Dagrama de sectores Las fguras.4 y.5 preseta la dstrbucó de frecuecas de la varable edad, agrupado los valores e tervalos de 5 años de edad, y el vel de colesterol, e tervalos de ampltud 40mg/00ml, respectvamete. Este gráfco recbe el ombre de hstograma. E ambos casos, el eje de ordeadas represeta los porcetajes de cada uo de los tervalos y e el eje de abcsas se ha ubcado los putos medos de los tervalos, calculados como la semsuma de sus límtes. Fgura.4.-Hstograma para la edad Fgura.5.- Hstograma para colesterol Otro gráfco para ua varable cotua es el polígoo de frecuecas. Su costruccó requere ur los putos medos de los tervalos defdos, a la altura de su frecueca absoluta, relatva o porcetaje. La fgura.6 preseta el polígoo de frecuecas de la varable colesterol. 0 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

11 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó La formacó sobre la dstrbucó acumulada de ua varable cuattatva puede ser represetada gráfcamete a través del polígoo acumulatvo de frecuecas, represetado los valores o tervalos y sus correspodetes frecuecas absolutas, relatvas o porcetajes acumulados. La fgura.7 preseta el polígoo acumulatvo de frecuecas para la varable vel de colesterol, uedo los putos medos de los tervalos, a la altura de sus porcetajes acumulados. Fgura.6.- Polígoo de frecuecas Fgura.7.- Polígoo acumulatvo de frecuecas.3. TABULACIONES Y GRÁFICOS SOBRE DOS VARIABLES Frecuetemete teresa speccoar la formacó cojuta de dos varables. Para ello podemos costrur tablas de dstrbucó de frecuecas cojutas, o costrur gráfcos que forme sobre el comportameto cojuto. Dstguremos tres casos segú el tpo de varables volucradas. Varables cualtatvas Como ejemplo, sea u estudo e el que para las varables SEXO (hombre, mujer) y ALCOHOL (uca, ocasoal o daramete), se observa las sguetes frecuecas e las dferetes parejas de categorías combadas: Hombre, Nuca toma alcohol 43 Hombre, Ocasoal o daramete 49 Mujer, Nuca toma alcohol 94 Mujer, Ocasoal o daramete 4 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

12 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó La forma habtual de estructurar esta formacó es a través de ua tabla de dstrbucó de frecuecas cojutas, como se muestra e el cuadro.4, obteedo adcoalmete las dstrbucoes de frecuecas de cada ua de las varables por separado. Estas recbe el ombre de dstrbucoes de frecuecas margales y recoge los totales por flas o columas e la tabla. E geeral, el terés e estas stuacoes se cetra e el cálculo de los porcetajes por flas y columas. Estos porcetajes (etre parétess e el cuadro.4, prmer parétess por flas y segudo por columas) recoge la formacó codcoal de la dstrbucó de cada ua de las varables dada ua categoría determada de la otra. Así, etre los hombres, los porcetajes de cosumo de alcohol so 46,7% y 53,3% para las categorías uca y ocasoal o daramete respectvamete, metras que e las mujeres, estos porcetajes so 87% y 3% Nuca Ocas. o dara. Hombre 43 (3,4) (46,7) 49 (77,8) (53,3) 9 (46,0) Mujer 94 (68,6) (87,0) 4 (,) (3,0) 08 (54,0) 37 (68,5) 63 (3,5) 00 (00) Cuadro.4.- Dstrbucó de frecuecas cojutas respectvamete. La represetacó gráfca más habtual para la dstrbucó cojuta de dos varables cualtatvas es el dagrama de barras combado. Fgura.8.- Dagrama de barras combado. Porcetajes por columas Fgura.9.-Dagrama de barras combado. Porcetajes por flas Las fguras.8 y.9 preseta dsttas costruccoes de este tpo. E la.8 se ha represetado los porcetajes por columas y la.9 los porcetajes por flas. E ambos casos se vsualza rápdamete el desequlbro exstete etre hombres y mujeres e las dferetes categorías de cosumo de alcohol. Varables cuattatvas La mayor varabldad de este tpo de varables, juto co la formacó cuattatva de sus valores sugere mayor complejdad e el resume de la formacó. La formacó dspoble será la de todas las parejas de valores (x, y ), =,...,, de la que se desprederá la dstrbucó cojuta de las varables. La fgura.0 preseta el dagrama de dspersó de las varables vel de colesterol y edad. Para su costruccó se ha represetado e el eje de abcsas la edad y e el de ordeadas el vel de colesterol. Cada uo de los putos correspode a la represetacó de la pareja de coordeadas (x, y ) (x = edad del dvduo -ésmo, y = colesterol del dvduo -ésmo). Este tpo de dagrama permte vsualzar el comportameto cojuto de las varables, tetado resumr la forma e que se relacoa o vcula. E el ejemplo se observa u comportameto de cojuto que sugere ua tedeca a alcazar mayores valores de colesterol segú se cremeta la edad. Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

13 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó C O LE S T E R O L EDAD Fgura.0.- Dagrama de dspersó Otra forma de abordar la speccó del comportameto cojuto puede ser categorzado cada ua de las varables a través de la defcó de los tervalos correspodetes y geerado la tabla de dstrbucó de frecuecas cojuta tal como se ha descrto para varables cualtatvas. Ua varable cualtatva y otra cuattatva Cuado los datos se refere a ua varable cualtatva, por ejemplo el cosumo de alcohol (uca, ocasoal o daramete) y el vel de colesterol, es posble utlzar tablas o represetacoes gráfcas para resumr el comportameto cojuto. E el cuadro.5 y fgura. se preseta las dstrbucoes de frecuecas del colesterol segú cosumo de alcohol y la represetacó gráfca de éstas a través de los polígoos de frecuecas correspodetes. Puede observarse la tedeca a alcazar co mayor frecueca valores más elevados de colesterol e el grupo defdo por el cosumo ocasoal o daro de alcohol. ALCOHOL Nuca Ocas. o daram. Total Colest f p f p f p ,7,9 30,7 4,6 0,9, ,8 30, 7,0 7,5 4,3 6, ,0 4,5 9,5 5,5,0 3,5 Total 37 00, , ,0 Cuadro.5.- Dstrbucó de frecuecas de ua varable cuattatva segú categorías de ua cualtatva 3 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

14 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó Fgura..- Polígoos de frecuecas segú categorías de ua varable cualtatva.4 EXPLORANDO LOS DATOS: RESUMEN DE LA INFORMACION La tabulacó y gráfcos sobre los datos es ua prmera aproxmacó a la compresó de su comportameto. S embargo, las varables que coforma uestra base de datos puede presetar, dvdual o cojutamete, rasgos específcos que os pueda teresar coocer. Ello sugere la coveeca de dspoer de certas meddas que os permta captar de forma resumda tales rasgos. Cuado los datos procede de la observacó de varables cuattatvas, es posble costrur de ua forma atural, dado el carácter cuattatvo, fucoes matemátcas que se utlzará para resumr la formacó que cotee. S éstos procede de la observacó de varables cualtatvas, las úcas meddas posbles so las proporcoes o porcetajes de las dferetes categorías o combacoes de categorías de la varable, o las razoes etre proporcoes o porcetajes. Por cosguete, las meddas expuestas e este apartado va drgdas al resume de formacó de varables cuattatvas. Así, se tetará cotestar pregutas tales como: Ua de las varables recogdas e u estudo es el vel de colesterol (e mg/00ml) (ver cuadro.6). Además del terés de esta varable por sí msma, su mportaca como factor de resgo de efermedad cardovascular sugere a los Cuadro.6.- Datos de colesterol 4 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

15 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó vestgadores profudzar e su comportameto. Se desea obteer meddas que resuma la formacó coteda e el cojuto de observacoes de la base de datos, y que, a ser posble, pueda ser comparadas por otros vestgadores. Etre las posbles meddas a calcular, se desea obteer algua que represete al cojuto de los datos e u setdo de promedo o cetro. Así msmo, se desea ua medda que os forme del vel de homogeedad o parecdo e el colesterol etre los dvduos que ha dado lugar a la base de datos. U problema adcoal para esta varable derva de la defcó de ormocolesterolema (vel de colesterol por debajo de certa cfra, deotado ormaldad) e hpercolesterolema (vel de colesterol por ecma de certa cfra, deotado u colesterol excesvamete elevado). Estas calfcacoes depede de que el vel de colesterol de u dvduo se ecuetre por debajo o sea superor a ua cfra predetermada. Dversos estudos clíco-epdemológcos ha do modfcado a lo largo del tempo su valor (40 mg/00ml, 0 mg/00ml o 00 mg/00ml como cfra más recete). Los vestgadores se platea alguas cuestoes de terés: cúal es el porcetaje de dvduos que sería calfcados como hpercolesterolémcos para cada uo de los posbles putos de corte? atededo a u crtero puramete empírco, cuál debería ser el puto de corte tal que fuera calfcados como hpercolesterolémcos el 5% de los dvduos? Idem para el 0%? Prevamete, los vestgadores había speccoado la dstrbucó de frecuecas de la varable colesterol, speccoado la forma de esta dstrbucó para tervalos de ampltud 40 mg/00ml de colesterol, observádose ua certa tedeca a que los valores se desplace co mayor frecueca haca la derecha (valores más elevados) que haca la zquerda. Es posble calcular algua medda que capte esta stuacó?. Parámetros y estadístcos Las meddas calculadas sobre los datos dspobles recbrá ua calfcacó dferete segú los datos sea los de todos los dvduos que se quere caracterzar o sobre los que se pretede extraer coclusoes, e cuyo caso dremos que hemos observado a toda la poblacó, o úcamete los de ua parte de estos dvduos, e cuyo caso dremos que hemos observado ua muestra. Desde el puto de vsta estadístco es esecal dferecar estas stuacoes, pues codcoa decsvamete el vel de aplcacó de dferetes procedmetos. Así, metras que s se ha observado a toda la poblacó las téccas de descrpcó estadístca (dstrbucoes de frecuecas, gráfcos, meddas resume de formacó) aportará toda la formacó deseada, e el caso de que la observacó sea parcal, es decr ua muestra, será ecesaro aplcar procedmetos estadístcos más complejos para extraer coclusoes sobre la poblacó. Cuado las meddas para resumr la formacó de ua o más varables sea calculadas sobre datos de ua poblacó recbrá el ombre de parámetros, metras que s lo so sobre datos de ua muestra recbrá el ombre de estadístcos. E la mayor parte de las ocasoes se dspoe sólo de ua muestra de observacoes, por lo que los parámetros poblacoales puede resultar de terés pero será descoocdos, metras que sí será calculables los estadístcos muestrales, sedo deseable la extraccó de coclusoes sobre toda la poblacó. Este proceso se cooce co el ombre de fereca estadístca, y aspectos tales como la estrcta y clara defcó de la poblacó o el proceso de seleccó de los dvduos que coforma la muestra, coocdo como proceso de muestreo, so esecales para su correcta aplcacó. E capítulos sucesvos se profudzará sobre estos elemetos. Meddas de tedeca cetral Las meddas de tedeca cetral tee como objetvo descrbr, a través de u valor umérco, la localzacó de las observacoes. So valores que represeta, segú dferetes crteros, la poscó dode se cocetra los datos observados. La comparacó de estas meddas, calculadas para ua msma varable, etre dferetes cojutos de datos puede dcaros las dferecas e la poscó de los valores etre los cojutos cosderados. Presetamos a cotuacó las meddas más usuales. Meda La meda, o meda artmétca para dferecarla de otras posbles medas, es la medda de tedeca cetral más utlzada.. Dremos que dada ua varable geérca X, y u cojuto de observacoes de esta varable {x, x, x 3,...,x }, la meda es la suma de todas las observacoes dvdda por su úmero: 5 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

16 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó Meda x x S calculamos la meda de la varable colesterol, sobre los datos que se preseta e el cuadro.6, obtedremos: x = = 7,38 mg/00ml Para u determado cojuto de datos, la meda es úca, tervedo e su cálculo todos y cada uo de los valores de la varable. Este hecho cofere a la meda el ser más formatva que otras meddas de tedeca cetral. S embargo, la exsteca de datos atípcos puede cremetar o dsmur su valor de forma otable, covrtédola e poco represetatva del cetro de la estructura de los datos. Esto sucederá e mayor o meor medda cuado los datos presete estructuras o smétrcas. Para resolver esta stuacó puede calcularse medas ajustadas de orde p (0<p<00), utlzado el p% cetral de las observacoes (ua vez ordeadas de meor a mayor). Medaa La medaa de u cojuto de observacoes de ua varable es aquel valor tal que la catdad de datos ferores a él es gual a la catdad de datos superores. Es ua medda que busca el cetro de la estructura de los datos bajo la dea de dstrbur las observacoes e dos cojutos de gual úmero. Para eteder el cocepto y proceder a su cálculo es ecesaro partr de que el cojuto de observacoes de la varable es ordeado (geeralmete de meor a mayor), de esta forma la medaa puede ser defda como: Medaa = Md = Valor de la observacó que ocupa la poscó o rago + rmd = E caso de que r Md o sea etero, Md se calcula como la semsuma de los valores ateror y posteror. Para ejemplfcar su cálculo, cosdérese la secueca de observacoes de la varable tempo de estaca e u cetro hosptalaro, para dvduos, ordeados de meor a mayor (ver cuadro.7).,,, 4, 6, 0, 0, 4, 5, 5, 8, Cuadro.7.- Días de estaca de dvduos La medaa será el valor que ocupe la poscó = r Md + + = = 6,5 poscó que, al o ser exacta, os lleva a calcularla como la semsuma de los valores que ocupa las poscoes 6 (0) y 7 (0), por lo que 6 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

17 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó Md = 0 días Al gual que e el caso de la meda, exste ua úca medaa para u cojuto determado de datos. S embargo, la medaa o utlza para su cálculo todos los valores de las observacoes de la varable, lo que le cofere meor capacdad formatva. A cambo la medaa o se verá afectada por observacoes extremas. Este últmo resultado la hace especalmete apropada para captar la localzacó de u grupo de observacoes de ua varable co estructura asmétrca. Moda La moda de u cojuto de observacoes de ua varable es aquel valor que se preseta co mayor frecueca. E el caso de que la varable sea cuattatva cotua, su mayor varabldad puede hacer que la speccó de los valores dvduales os lleve a que éstos se repte co escasa frecueca. E este caso, resulta coveete agrupar la varable e ua dstrbucó por tervalos, hablado etoces de clase o tervalo modal (os refermos a tervalos de gual ampltud) Moda = Mo = Valor de la varable co mayor frecueca Itervalo modal = Itervalo de la dstrbucó co mayor frecueca La moda puede utlzarse co datos cualtatvos, represetado etoces la categoría más frecuete de la varable. E la mayoría de las ocasoes, especalmete e el caso de varables cuattatvas cotuas, teresa detectar s los valores de la varable se cocetra e toro a u certo valor de la varable o éstos tede a cocetrarse alrededor de más de u valor. Estas stuacoes so recoocdas como umodales o multmodales. La speccó del polígoo de frecuecas permte detectar estas stuacoes. Las fguras. y.3 preseta los polígoos de frecuecas de ua stuacó umodal y otra bmodal. Fgura..- Dstrbucó umodal Fgura.3.- Dstrbucó bmodal 7 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

18 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó Meddas de dspersó Las meddas de tedeca cetral forma acerca de la localzacó de los valores de las observacoes de ua varable. S embargo, esta formacó es sufcete para compreder el comportameto de la varable. Stuacoes claramete dferecadas puede dar lugar a meddas de tedeca cetral guales, por lo que éstas sólo puede ser utlzadas parcalmete como resume de la formacó. Se deoma meddas de dspersó aquellas que pretede captar y resumr la mayor o meor varabldad, la mayor o meor cocetracó, homogeedad o parecdo etre las observacoes de la varable. Se preseta a cotuacó las meddas de dspersó más frecuetes. Como e las meddas de tedeca cetral, se partrá de ua varable geérca, X, y de u cojuto de observacoes {x, x, x 3, x 4,...,x }. Rago o recorrdo Se defe como la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable: Rago = R = x max - x m Los valores máxmo y mímo de la varable colesterol, referda e el cuadro.6, so 33 y 366 mg/00ml respectvamete. Co ello, el rago para esta varable sobre las 00 observacoes es R = = 33 mg/00ml es decr, todas las observacoes se ecuetra e este recorrdo. El rago es ua medda de cálculo secllo y rápdo, puesto que depede sólo del mayor y meor valor de la varable. Pero debdo a ello es escasamete formatva de lo que sucede co el resto de observacoes, afectádose por la exsteca de observacoes extremas. Varaza y desvacó típca o estádar Es la medda de varabldad más utlzada. La dea para su costruccó surge de cuatfcar las dstacas, y por cosguete la varabldad, etre los valores de la varable a través de su dfereca respecto de ua medda cetral como es la meda: Varaza = s = = (x - x) Debdo a que la varaza o está expresada e las msmas udades que la varable, so e udades al cuadrado, se defe la desvacó típca o estádar como la raíz cuadrada postva de la varaza: Desvacó típca o estádar = s = = (x - x) Sobre los datos del cuadro.7, para los que la meda e días de estaca es de 8, días, la varaza y desvacó típca sería: 8 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

19 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó (- 8,) + (- 8,) + ( - 8,) ( - 8,) s = = 995,4 días s = s = 995,4 = 3,6 días Tato la varaza como la desvacó típca debe ser mayores o guales a 0. El valor 0 sólo se alcazará e aquellos casos e que los datos alcace el msmo valor. Represeta ua cuatfcacó absoluta de la varabldad o dspersó de los datos, es decr, depedete de su localzacó (meda) y sus udades de medda. Esto hace que sus valores para dferetes varables o cojutos de datos o sea comparables. Las expresoes expuestas para la varaza y la desvacó típca se refere al cojuto de datos terpretado como ua poblacó. Represeta las meddas descrptvas resume de la varabldad de ese cojuto de datos. Cuado éste es cotemplado como ua muestra de ua determada poblacó, y el objetvo a través de la varaza y la desvacó típca es calcular u valor que resuma la varabldad, pretededo aproxmarse al verdadero valor poblacoal, debe ser utlzadas las expresoes para la varaza y desvacó típca: Varaza = s c = = (x - x) - ; Desvacó típca = s = s c c que resulta ser los estmadores de los respectvos parámetros poblacoales. Cuado es grade, la dfereca es míma etre las expresoes expuestas, pero s es pequeño, puede haber ua dfereca otable. Hay que teer e cueta que alguos paquetes estadístcos para ordeador o calculadoras cetífcas realza los cálculos co ambas expresoes o a veces co sólo ua de ellas. Coefcete de varacó La varaza y desvacó típca represeta meddas absolutas de la dspersó de u cojuto de observacoes de ua varable. Su terpretacó depede de la udad de medda de la varable así como de su localzacó. Esto hace que las desvacoes típcas o varazas de varables dsttas sobre u msmo cojuto de datos o de la msma varable sobre cojutos de datos dferetes o sea comparables, o pudedo afrmar e qué caso hay mayor o meor varabldad. Para resolver este problema se puede recurrr al sguete coefcete: s Coefcete de Varacó = CV = (x00) x que, al dvdr desvacó típca por la meda elma las udades de medda y el efecto de la localzacó de la varable, resultado así ua medda relatva de la varabldad de los datos. Suele ser expresado e porcetaje, pudedo alcazar valores etre 0 e. Sobre los datos del cuadro.7, para los que la meda y desvacó típca resultaba ser de 8, y 3,6 días, respectvamete, el coefcete de varacó será: 3,6 CV,0 ( 00) 0 % 8, El resultado refleja la alta varabldad de los datos, producda, fudametalmete por la observacó co valor días. 9 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

20 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó Percetles U percetl de orde q (0<q<00) es u valor de la varable tal que el porcetaje de observacoes cuyo valor es feror o gual a ése es precsamete q. Esta defcó es de fácl compresó s observamos la fgura.4 q% de observacoes (00-q)% de observacoes Percetl q Fgura.4.- Dstrbucó de observacoes segú el percetl de orde q El cálculo de u determado percetl requere la ordeacó (e geeral de meor a mayor) de los valores de la varable, y la determacó del valor de la varable que verfca la defcó establecda. S embargo, exste tres stuacoes e las que la aplcacó de esta defcó puede ser problemátca, () co úmeros pequeños de observacoes, () co valores repetdos, y (3) cuado el percetl o es úco. Para compreder estas stuacoes cosderemos cuatro observacoes de ua varable X, cuyos valores so,, 36, 39. No hay gú valor de la varable que verfque la defcó de percetl para el orde q=5. Para el orde q=75, exste ua ftud de valores, p.ej. 36,5, 37, y 38,6543, que satsface todos ellos la defcó establecda. S el úmero de observacoes es grade, estos problemas tede a desaparecer. Ua defcó cosstete co la defcó eucada de percetl de orde q es la de que éste sería el valor de la varable co rago o poscó : = rq q 00 ( + ) ua vez ordeadas de meor a mayor las observacoes de la varable, aproxmado cuado éste o sea etero a través del promedo poderado etre los valores que ocupe los ragos ateror y posteror: = (- f) x + f x pq + dode f es la parte fraccoara de r q, x, y x + so los valores que ocupa ragos ateror y posteror. Este método de cálculo es el utlzado e buea parte de los paquetes estadístcos para ordeador persoal. Sobre los datos del cuadro.7 los percetles 5, 0, 5, 75, 90 y 95 será los valores que ocupe los ragos: Percetl Rago Valor p 5 p 0 p 5 p 75 p 90 p 95 (5/00) 3 =0,65 (0/00) 3 =,30 (5/00) 3 = 3,5 (75/00) 3 = 9,75 (90/00) 3 =,7 (95/00) 3 =,35 No exste 0, ,30. = 0, ,5. 4 =,5 0, ,75. 5 = 5 0, ,70. = 90, No exste Alguos autores ubca los percetles como meddas de tedeca cetral. Su utlzacó puede ser adecuada como resume de la localzacó. La medaa cocde co el percetl de orde 50. S embargo, 0 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

21 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó e el cotexto sataro, la utlzacó más frecuete de estas meddas es la de varabldad o dspersó. Especalmete e el caso de la determacó de valores de ormaldad (o probablístca so bomédca o satara), se recurre a certos percetles extremos (geeralmete de orde,5, 5, 95, 97,5) para establecer putos de corte que stúa porcetajes de poblacó que se ecuetra e las zoas de valores más elevados o bajos de la varable (p. ej. peso, talla, ácdo úrco, colesterol, etc.). Alguos percetles recbe ombres específcos, como es el caso de los decles (percetles 0, 0, 30,...,90), cuartles (percetles 5, 50 y 75, dvde la dstrbucó de las observacoes e cuatro regoes co gual porcetaje de casos), y, e geeral, qutles (dvde e cco regoes), sextles, etc. Meddas de forma Las meddas de forma pretede resumr ua característca dstta de la localzacó y la dspersó de las observacoes de la varable. Se trata de resumr s los datos preseta ua dstrbucó más o meos smétrca o co u meor o mayor aputameto. Para cuatfcar el grado de asmetría puede calcularse el coefcete de asmetría: Fgura.5.- Dstrbucó smétrca As = = (x - x) 3 s dode s es la desvacó típca de la varable. La terpretacó del coefcete es como sgue: As = 0 Smetría (Fgura.5) As > 0 Asmetría postva (Fgura.6) As < 0 Asmetría egatva (Fgura.7) Fgura.6.- Dstrbucó asmétrca postva 0 Fgura.7.- Dstrbucó asmétrca egatva Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

22 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó Otra característca de la forma de la dstrbucó de la varable es su mayor o meor aputameto (ver fgura.8). La cuatfcacó del grado de aputameto puede realzarse a través del coefcete de curtoss: Cu = = (x - x) 4 s 4 Fgura.8.- Dos casos de aputameto dode s es la desvacó típca de la varable. La terpretacó del coefcete de curtoss es lgeramete dferete a la del coefcete de asmetría, puesto que o exste ua stuacó equvalete a la smétrca, pudedo hablar de mayor o meor curtoss úcamete. No obstate, es frecuete comparar el valor de Cu co la curtoss de la curva de probabldad ormal (se defrá más adelate), cuyo valor es 3, hablado etoces de: Cu = 3 Dstrbucó mesocúrtca (aputameto semejate al del modelo ormal) Cu > 3 Dstrbucó leptocúrtca (más aputada que la curva ormal) Cu < 3 Dstrbucó platcúrtca (meos aputada que la curva ormal) Las meddas de forma so utlzadas co frecueca para teer u resume descrptvo de la mayor o meor ormaldad (como modelo de probabldad) de la varable, puesto que los valores para ua varable que sga este modelo so As = 0, Cu = 3. Alguos programas de aálss trabaja restádole 3 al coefcete de curtoss ateror, terpretádose etoces su resultado sobre el valor 0 y o sobre 3. = (x - x) Cu = 4 s 4 3 Cálculo de meddas resume para datos tabulados Las defcoes y cálculos para las dferetes meddas resume ha sdo expuestos sobre las observacoes dvduales {x, x, x 3,...,x } de ua varable. Estas so las defcoes y cálculos exactos. Cuado los datos dspobles está tabulados e forma de tabla de dstrbucó de frecuecas, las expresoes de cálculo de alguas de las meddas debe ser adaptadas a esta stuacó. E el cuadro.8 se preseta las fórmulas adecuadas. El cálculo será solo aproxmado s la tabulacó es e forma de tervalos. E ese caso xm es el puto medo del tervalo. E otro caso, las fórmulas so adecuadas, y xm represetará el valor -ésmo de la varable. E el cálculo de la medaa o percetles de orde q, x represeta el límte feror del tervalo al que debe perteecer la medaa o el percetl de que se trate, ua vez speccoadas las frecuecas acumuladas de la varable y cosderado que la medaa y el percetl q dejará / y q/00 observacoes a su zquerda, respectvamete. De la msma maera, a represeta la ampltud de ese tervalo. Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

23 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó Meddas de tedeca cetral Meddas de dspersó Meddas de forma x k xm f / - F Md x + F F - a Mo = Itervalo modal = Itervalo para el que f es má xma R xm s k = max - xm (xm - x) m s s s CV (x00) x P q q - F + 00 x F - F - - f a As Cu k = k = (xm - x) 3 s (xm - x) 4 s 3 4 f f Cuadro.8.- Cálculo de estadístcos descrptvos para datos agrupados Relacó etre varables cuattatvas La dea de asocacó o relacó etre dos varables cuattatvas es más tutva que etre cualtatvas. Ideas del tpo de 'a más talla más peso', o 'el colesterol depede de la edad', so tutvamete compresbles. Se trata de obteer algua medda co capacdad para detectar s los valores de ua de las varables suele r acompañados de valores de otra de las varables, e el setdo de a mayor valor de ua varable mayor (o meor de la otra) como orma geeral. S embargo, auque aparetemete sea más secllo compreder la dea de lo que queremos medr, e la práctca la dfcultad es superor, debdo a que, e deftva, se trata de buscar ua relacó matemátca que coecte ambas varables y evaluar su perteca. Este proceso es coocdo como aálss de la regresó etre dos varables. Así, dadas, dos varables X e Y, trata de ecotrar la ecuacó y = f(x) que relacoe a ambas varables. Cuado la ecuacó propuesta es la de ua líea recta, es decr y = α + β x, es posble calcular u coefcete que os permta medr el grado de relacó leal (se supoe ua ecuacó leal etre ambas varables). Este coefcete es el de correlacó leal de Pearso: r = (x - x) (y - y) = (x - x ) (y - y ) = = = x y - ( x ) ( y ) = = = x - ( x ) y - ( y ) = = = = Es u coefcete estadarzado, cuyo rago de valores es - r. Valores próxmos a 0 dcaría auseca de relacó leal, pudedo exstr relacó bajo otro modelo de regresó (o leal). Los valores - y represeta las relacoes leales perfectas, e setdo verso (a mayor valor de ua varable meor de la otra) o drecto (a mayor valor de ua varable mayor de la otra). E las fguras.9,.0 y. se vsualza las deas de relacó leal drecta, versa y auseca de relacó leal. 3 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

24 Estadístca básca e Cecas de la Salud Explorado los datos: Orgazacó, descrpcó y presetacó de la formacó r>0 r<0 Fgura.9.- Relacó leal drecta Fgura.0.- Relacó leal versa Y 30 r X Fgura..- Auseca de relacó leal 4 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

25 C A P I T U L O EL AZAR SOBRE NUESTROS DATOS: MIDIENDO LA PROBABILIDAD Los elemetos troducdos e el capítulo precedete, relatvos a la recoleccó, orgazacó, resume y exploracó descrptva de los datos recogdos so ua base cal de gra mportaca e la utlzacó de los datos para el aálss estadístco. E este capítulo se troducrá coceptos báscos de la teoría de la probabldad. Esecalmete, se trata de poer e evdeca el orge o determsta o aleatoro de la formacó dspoble, así como de establecer certos resultados útles para la costruccó de modelos ecamados a medr la posbldad de que uestras varables presete uos u otros resultados co mayor o meor frecueca. Se tratará e deftva de establecer las bases para la medcó de la probabldad. Adcoalmete, los coceptos báscos desarrollados e este capítulo sustetará, e buea parte, los argumetos ecesaros para la aplcacó rgurosa de la fereca estadístca. A modo de ejemplo, supoga que sobre 00 dvduos estudados os pregutamos lo sguete: S elegmos u dvduo cualquera de los 00 So su peso, talla, o la preseca o o de cálculos resultados predecbles s error? Tee setdo pregutar acerca de la posbldad de dferetes combacoes de resultados, como por ejemplo 'Ser cosumdor de alcohol y pesar más de 70 Kg', o 'teer más de 30 años o u vel de colesterol superor a 00 mg/00ml'. Es posble cuatfcar la posbldad de que al elegr u dvduo al azar de etre los 00, éste verfque los dferetes resultados eucados e el puto ateror u otros?. El mecoado valor cuattatvo, depederá segú sea referdo a hombres o a mujeres? El hecho de teer la glucosa por ecma de 40 mg/00ml favorece la preseca de cálculos? Estas y otras stuacoes de terés justfca la presetacó de los coceptos báscos de probabldad que a cotuacó se desarrolla. E deftva, se trata de recoocer las stuacoes de certdumbre y propoer axomas, leyes y propedades que faclte su cuatfcacó.

26 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad. CARACTERISTICAS ALEATORIAS Y ESPACIOS MUESTRALES S os fjamos e las pregutas realzadas e el apartado ateror se puede aceptar s dfcultad que los resultados observados e las dferetes característcas estudadas para cada uo de los dvduos o sería predecbles s error ates de ser observadas. E efecto, el sexo, edad, cosumo de alcohol, talla, peso, etc., de cualquera de los dvduos resultaba mposble de coocer ates de ser observadas o meddas. Se drá etoces que las característcas estudadas so característcas aleatoras. Esta dea de aleatoredad o debe ser etedda como la dstrbucó del azar por gual para cada posble resultado, smplemete refleja la tervecó del azar e el setdo e que somos capaces de predecr co exacttud los resultados que se producrá, o sedo ecesaro que cualquer resultado tega la msma posbldad de producrse. Así, s elegmos u dvduo cualquera al azar de etre uestros 00, podemos pesar s dfcultad que su peso tee mayor posbldad de ecotrarse etre 50 y 80 Kg que de ser superor a 50 Kg. La preguta clave, aceptado esta dea de aleatoredad es se puede cuatfcar la posbldad de ocurreca de los dferetes resultados o combacoes de resultados de ua o más característcas aleatoras? Prevo a establecer algua medda oretada a este f, es ecesaro revsar alguos coceptos báscos que os ayude a recoocer las stuacoes de certdumbre y los elemetos que las compoe. Espaco muestral Se etederá por espaco muestral al cojuto de todos los posbles resultados smples de ua característca aleatora. Los espacos muestrales podrá ser ftos o ftos, segú la característca aleatora posea u úmero fto o fto de posbles resultados smples y el cojuto de resultados smples que forma el espaco muestral debe ser exhaustvo y exclusvo, es decr debe coteer todos los posbles resultados y sólo uo de ellos se producrá. Además, los espacos muestrales puede ser uvarates, cuado los resultados smples procede de ua úca característca aleatora, o multvarates, cuado se refere a dos o más característcas cosderadas smultáeamete. Referdo a los 00 dvduos de la base de datos del aexo, s cosderamos las característcas aleatoras 'cosumo de alcohol', 'preseca o o de cálculos blares', o 'talla', los correspodetes espacos muestrales para cada ua de estas característcas será: Característca aleatora Espaco muestral Cosumo de alcohol { uca, ocasoalmete } Preseca de cálculos { s, o } Talla (cm) { 73, 68, 54, 65,...} S cosderamos las característcas aleatoras 'cosumo de alcohol' y 'vel de glucosa', el espaco muestral bvarate asocado será: Característcas aleatoras Cosumo de alcohol y vel de glucosa Espaco muestral { uca y glucosa 40, ocasoalmete y glucosa 40, uca y glucosa > 40, ocasoalmete y glucosa > 40 } 6 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

27 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad Sucesos A meudo el terés se cetra e certos resultados smples del espaco muestral. Como ejemplo, s cosderamos la característca aleatora 'vel de colesterol' como medda cotua e mg/00ml, el espaco muestral es el cojuto de posbles meddas que se puede obteer sobre los sujetos. S embargo para certos estudos puede teresar cuatfcar la certdumbre sobre la stuacó 'teer el colesterol por ecma de 00 mg/00ml', stuacó recoocda como 'hpercolesterolema'. Se drá que el terés se cetra e u determado suceso cuado os reframos a u subcojuto de resultados smples del espaco muestral. Así, el suceso 'hpercolesterolema' cosderado se cofgura como el subcojuto de todos los resultados smples del vel de colesterol que supera el valor 00 mg/00ml: hpercolesterolema = { veles de colesterol > 00 mg/00ml } y se producrá cuado el vel de colesterol presete cualquera de los resultados smples co valor superor a 00 mg/00ml (3, 67, 34, etc.). E muchas ocasoes los sucesos de terés cocde co resultados smples del espaco muestral. Suceso mposble y suceso seguro Dado el espaco muestral vculado a ua característca aleatora, se puede defr dos sucesos que represeta los extremos de la certdumbre acerca de tal característca. Así, se defe: Ω = Suceso seguro = Suceso que se producrá co segurdad sea cual sea el resultado smple de la característca aleatora Φ = Suceso mposble = Suceso que o se producrá uca sea cual sea el resultado smple de la característca aleatora S elegmos u dvduo al azar de etre los 00 cosderados aterormete, el suceso Ω = Medr meos de 500 cm es seguro, puesto que sea cual sea la talla éste se verfcará. El suceso Φ = Medr más de 500 cm es mposble, puesto que o se verfcará uca Operacoes etre sucesos Frecuetemete el terés sobre las stuacoes de certdumbre se cetra e dos o más sucesos, vculados a través de dferetes operacoes. Para defr las prcpales operacoes etre sucesos, se cosderará, de forma geérca, dos sucesos dervados de u espaco muestral, dgamos A y B: Las prcpales operacoes etre sucesos so: Uó de sucesos Se represetará como A B. Se trata de u suceso uevo que se produce cuado se preseta A, ó B ó ambos. Es u suceso co mayor posbldad de presetarse que cualquera de los que lo forma. Cosdérese la tabla adjuta. E ella se descrbe la dstrbucó de frecuecas de las característcas aleatoras 'cosumo de alcohol' y 'vel de glucosa' (esta últma segú sea feror o gual o superor a 40 mg/00ml) de los 00 dvduos cosderados. Sea los sucesos O = Cosumr alcohol ocasoalmete, y M =Teer el vel de glucosa superor a 40 mg/00ml. Glucosa 40 > 40 Alcohol Nuca 4 Ocasoalmete 58 5 La uó de ambos sucesos se producrá cuado u dvduo cosuma alcohol ocasoalmete ó tega el 7 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

28 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad vel de glucosa por ecma de 40 ó verfque ambos sucesos: O M = Suceso que se produce s ocurre O ó M ó ambos. Para comprobar que es u suceso más fácl de ocurrr que cualquera de los que lo forma, baste percbr que el úmero de dvduos que verfca O M es 77, es decr los que verfca O, más los que verfca M, meos los que verfca ambos sucesos, puesto que so cotados dos veces, úmero superor a cualquera de los que verfca O (63 casos), ó M (9 casos). Iterseccó de sucesos Se represetará como A B. Se trata de u suceso uevo que se produce cuado A y B ocurre. Es u suceso co meor posbldad de producrse que cualquera de los que lo forma. A partr de la tabla descrta e la uó de sucesos, cosdérese el suceso O M. Este suceso se producrá cuado u dvduo cosuma alcohol ocasoalmete y su vel de glucosa sea superor a 40 mg/00ml: O M = Suceso que se produce cuado se verfca O y se verfca M El úmero de dvduos sobre el que se produce este suceso es 5, feror al úmero de cualquera de los que lo forma. Suceso complemetaro Dado u suceso A, se defe su complemetaro, A, como el suceso que se produce cuado o se produce A, es decr cuado el resultado smple del espaco muestral o está cotedo e A. Para la característca aleatora 'peso e Kg', dado el suceso A = pesar más de 60 Kg, el suceso complemetaro será: A = pesar meos o gual de 60 Kg que se producrá cuado el peso de u dvduo presete cualquer resultado smple por debajo o gual a 60 Kg. Propedades y defcoes dervadas de las operacoes báscas etre sucesos Alguas propedades o defcoes elemetales so las sguetes: A A Es evdete que dado u suceso A se verfcará él o su complemetaro A A La ocurreca de u suceso y su complemetaro es mposble Sucesos mutuamete excluyetes Ua coleccó de dos o más sucesos so mutuamete excluyetes s la terseccó etre cualesquera dos de ellos es el suceso mposble. Dada ua coleccó de k sucesos, dgamos { E, E, E 3,..., E k }, será mutuamete excluyetes s: 8 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

29 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad E para cualquer y j E j Partcó de u espaco muestral Ua coleccó de sucesos mutuamete excluyetes es ua partcó del espaco muestral de terés s la uó de todos ellos es el suceso seguro. Dada ua coleccó de k sucesos, dgamos { E, E, E 3,..., E k }, mutuamete excluyetes, será ua partcó s: E E E k E k es decr, s alguo de ellos se produce co segurdad. MEDIDA DE PROBABILIDAD Puesto que o se puede establecer co segurdad cual será el resultado de ua característca aleatora prevamete a su realzacó, parece razoable tetar cuatfcar la posbldad o verosmltud de que se presete uos u otros sucesos. Para u suceso cualquera del espaco muestral asocado a la característca aleatora, el valor cuattatvo que mde su verosmltud es deomado probabldad. Esta dea básca y fáclmete compresble o está exeta de complejdad. Así, aspectos tales como la terpretacó del cocepto de probabldad y las codcoes bajo las que debe ser evaluada, o el propo cálculo de las probabldades de determados sucesos ha sdo objeto de dscusó a lo largo de la hstora de la evolucó de la teoría de la probabldad. Se abordará a cotuacó alguos de estos aspectos, así como los axomas y propedades báscas de la medda de la probabldad. Defcó axomátca Desde u puto de vsta estrctamete matemátco, puede defrse la probabldad como el crtero o regla que permte asgar a cada suceso aleatoro, dgamos A, de u espaco muestral, u valor umérco, verfcado los sguetes axomas : Para cualquer suceso A, p(a) 0 Se establece que la probabldad de u suceso sea u úmero o egatvo Dados dos sucesos A y B, tales que A B, p(a B) p(a) p(b) S dos sucesos so mutuamete excluyetes, la probabldad de que se presete uo o el otro se debe obteer como la suma de las probabldades respectvas. Dado Ω, suceso seguro, U axoma es ua propuesta que o derva de gú otro eucado. A partr de su aceptacó, s se cosdera razoable, se derva propedades, teoremas u otros resultados 9 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

30 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad p( ) Se atrbuye la probabldad máxma e la escala establecda al suceso seguro. Los tres axomas eucados, coocdos como axomas de Kolmogorov, establece u marco cal razoable para dervar matemátcamete propedades y teoremas que faclte el cálculo de probabldades. Propedades báscas de la probabldad A partr de los axomas expuestos se derva múltples propedades, etre las que cabe destacar, por su efecto práctco medato e el cálculo de probabldades, las sguetes: Dado u suceso A, 0 p(a) El tervalo [0,] represeta la escala de medda de la probabldad de cualquer suceso. Dados los sucesos A y su complemetaro, p(a) p(a) La probabldad del complemetaro de u suceso puede ser obteda a partr del coocmeto de la del orgal, restado de. Ua cosecueca medata es que la probabldad del suceso mposble es 0, p(φ) = 0. Dados dos sucesos A y B, p(a B) p(a) p(b) p(a B) Esta propedad es coocda como ley adtva y establece ua forma geeral para calcular la probabldad de la uó de sucesos sea o o mutuamete excluyetes. Dados dos sucesos A y B, p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) Estas dos propedades, dervadas de la teoría de cojutos, permte cambar stuacoes eucadas sobre uoes o terseccoes de sucesos complemetaros a expresoes e las que desaparece los complemetaros. Para ejemplfcar el uso de los axomas o las propedades báscas eucadas, se cosderará la sguete stuacó. Supógase que e el servco de eurología de u hosptal públco se ha estmado la probabldad de que u pacete dagostcado de demeca presete dos tpos de alteracoes, Leucaraoss (L) y Atrofa cortcal (A). Las correspodetes probabldades so p(l) = 0,50 y p(a) = 0,40. Además, se estma que la probabldad de que presete ambas alteracoes es 0,0. Sobre u pacete dagostcado de demeca y a partr de esta formacó, el equpo del servco se platea averguar las probabldades de los sguetes sucesos: 'Que o presete leucaraoss'. Se trata del suceso complemetaro de presetar leucaraoss, y, por lo tato: 30 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

31 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad p(l) p(l) 0,50 0,50 'Que o presete atrofa cortcal'. Idem como el caso ateror: p(a) p(a) 0,40 0,60 'Que presete algua de las alteracoes'. Se trata del suceso uó de ambas alteracoes, es decr que presete leucaraoss o atrofa cortcal. S teemos e cueta que p(a L) 0, 0, tedremos: p(a L) p(a) p(l) p(a L) 0, 40 0, 50 0, 0 0, 80 'Que o presete gua de las alteracoes'. Se trata de la terseccó de los sucesos complemetaros, es decr, que o presete leucaraoss atrofa cortcal: p A L p(a L) p(a L) 0, 80 0, 0 'Que esté exeto de algua de las alteracoes'. Se trata de la uó de los complemetaros de los sucesos, es decr, o o preseta leucaraoss o o preseta atrofa cortcal: p(a L) p(a L) p(a L) 0,0 0,90 Iterpretacó y asgacó de la probabldad Ya se ha establecdo que la probabldad de cualquer suceso será u úmero real perteecete al tervalo [0,]. Supógase que el suceso A deota la ocurreca de que 'u pacete respode favorablemete a certo tratameto' y que p(a) = 0,80. Las pregutas so cómo se terpreta este valor, y cómo se determa e la práctca? Se preseta a cotuacó dos terpretacoes de la probabldad que proporcoa putos de vsta útles, abordado a cotuacó alguos aspectos sobre cómo establecer los valores de las probabldades de sucesos. Iterpretacó objetva Desde esta terpretacó, la probabldad de u suceso es la frecueca relatva de ocurreca de ese suceso e ftas realzacoes de la característca aleatora que lo produce, bajo las msmas codcoes. De acuerdo co esta terpretacó objetva, la probabldad del suceso mecoado, p(a) = 0,80, debería ser etedda como que e u úmero defdamete grade de pacetes, co codcoes clícas, de edad, de sexo, etc., semejates a las cosderadas e el mometo actual, aproxmadamete e el 80% de ellos se habría producdo ua respuesta favorable al tratameto. Esta terpretacó es recoocda como terpretacó frecuetsta. La lmtacó obva de la terpretacó objetva de la probabldad es que es aplcable úcamete a sucesos que se puede repetr bajo los msmos codcoates. Esto quere decr que s el suceso cosderado, e lugar de referrse a u pacete geérco, se refrera a Matías López, de 7 años de edad, dabétco, resdete habtualmete e Teerfe, etc., éste es u suceso dfíclmete repetble, y la probabldad eucada podría o ser adecuada para él. Iterpretacó subjetva Puesto que exste muchos sucesos de terés que o so repetbles bajo las msmas codcoes causales, exstrá muchas ocasoes e las que la terpretacó objetva o podrá ser aplcada. La terpretacó subjetva (també deomada bayesaa o persoal) terpreta la probabldad de u suceso como el grado de creeca persoal e su posble ocurreca, codcoal a las codcoes causales partculares del mometo e que ésta está sedo evaluada. Desde esta aproxmacó, la probabldad de 3 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

32 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad que la respuesta al tratameto sea favorable e Matías López, de 7 años de edad, dabétco, resdete habtualmete e Teerfe, etc., podría ser asgada e fucó de las codcoes partculares terpretadas por el evaluador (por ejemplo el persoal médco o de efermería), que podría establecer u valor persoal p(a) = 0,97. Auque desde el puto de vsta del método cetífco esta terpretacó podría ser cotemplada como carete de capacdad de geeralzacó de resultados, ello o es así, al tratarse de ua terpretacó más ampla, que cluye como posble evaluacó de probabldades a la dervada de la terpretacó objetva. Asgacó de probabldades E la práctca, tato s se parte de ua terpretacó objetva como s ésta es subjetva, el problema es comú, cómo evaluar las probabldades de los sucesos de terés?. E la mayoría de las ocasoes el cálculo de los valores de probabldad se basa e la frecueca relatva de los sucesos, evaluada a través de la evdeca empírca preva o de la obteda e experecas dseñadas ad hoc. Esta cuatfcacó correspode a la terpretacó objetva y es aparetemete la más seclla, puesto que lbera al vestgador de la ecesdad de costrur elemetos (dversos tpos de pregutas, cuestoaros, etc.) dseñados para captar la probabldad persoal. No obstate, debe teerse e cueta las lmtacoes de esta forma de medr las probabldades, fudametalmete por lo que se refere a la ecesdad de que las observacoes de las característcas aleatora se realce bajo codcoes causales semejates, lo cual oblga a reflexoar sobre las codcoes e las que está sedo observadas las realzacoes de los sucesos. Ua vetaja de esta forma de medr las probabldades estrba e que formacó e forma de porcetajes (formacó relatva de ocurreca de u suceso) puede ser covertda e probabldades s dfcultad. E deftva, el método de cálculo dervado de la terpretacó objetva suele ser el más utlzado, pero, especalmete e el ámbto sataro, e el que la gra varabldad bológca del ser humao sugere gra dfcultad para aceptar codcoes costates, covee teer presete las lmtacoes de esta terpretacó. Cuatfcacó de probabldades e térmos de odds Ua forma utlzada co certa frecueca para expresar la probabldad de u suceso se basa e establecer la razó de su probabldad a la del suceso complemetaro. Esta dea, que derva del etoro de los juegos de azar (apuestas), es coocda e el ámbto aglosajó como odds. Dado u suceso A, se tee: p(a) odds(a) = - p(a) La medda así obteda represeta la razó (o exceso s es mayor que ) etre la probabldad de que se presete A frete a que o se presete. Esta forma puede ser utlzada para cuatfcar la probabldad de u suceso, puesto que, coocda su odds, se tedrá: p(a) = odds(a) + odds(a) Así, por ejemplo, supógase que se sabe que es 5 veces más probable que u dvduo esté afectado por ua determada patología (A) que o lo esté. Cuál es la probabldad de que esté afectado por esa patología? La formacó dspoble se expresa e térmos de odds(a) = 5. Por lo tato: odds(a) 5 p(a) = = + odds(a) 6 = 0,833 3 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

33 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad.3 PROBABILIDAD CONDICIONADA E INDEPENDENCIA A partr de los coceptos expuestos se ha formalzado las deas cales sobre probabldades de resultados y sucesos del espaco muestral de ua característca aleatora. S embargo, covee teer presete u feómeo frecuete e el etoro sataro y otros etoros: exste sucesos que modfca la probabldad de otros sucesos. Así, es aceptado que es más probable ecotrar u dvduo hperurcémco etre los hombres que etre las mujeres, o que es más probable desarrollar certas efermedades s se es fumador que s o se fuma. De la msma forma, exste sucesos que o altera la probabldad de otros, como sucede al pesar que la probabldad de que se produzca ua feccó postoperatora o se verá alterada por el úmero de hermaos del pacete. Los argumetos expuestos coduce a las defcoes que a cotuacó se expoe. Probabldad codcoada Dados dos sucesos aleatoros, A y B, se defe la probabldad de A codcoada por B como la probabldad de que se presete el suceso A cuado está presete el suceso B: p (A / B) = probabldad de A cuado ocurre B Hay que teer e cueta que al evaluar probabldades codcoadas, el suceso A juega el papel de suceso codcoado y el B de codcoate, o sedo éste últmo u suceso aleatoro. E muchas ocasoes el codcoate establecdo coduce a cotemplar la probabldad de A etre u subcojuto de dvduos, aquellos que verfca B. Así, cosdérese la dstrbucó de frecuecas expuesta e la tabla adjuta. Supógase que extraemos al azar u dvduo cualquera de etre los 00 cosderados y sea los sucesos O=Cosumr alcohol ocasoalmete, y M=Teer el vel de glucosa superor a 40 mg/00ml. Se desea averguar la probabldad de que el dvduo seleccoado tega su vel de glucosa por ecma de 40 mg/00ml, codcoado por el hecho de que cosume alcohol ocasoalmete. Glucosa 40 > 40 Alcohol Nuca 4 Ocasoalmete 58 5 Se deberá determar: p (M / O) probabldad de M cuado ocurre O actuado el suceso O como codcoate y el M como codcoado. Desde ua aproxmacó frecuetsta puede ser estmada como: p( M / O) = º dvduos º dvduos que verfca M = que verfca O 5 63 = 0,079 Nótese que s o cosderamos la codcó O, la probabldad del suceso M será: º dvduosque verfcam p( M) = º dvduos e total = 9 00 = 0, Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

34 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad Ley multplcatva La sguete ecuacó establece ua forma de evaluar la probabldad de sucesos codcoados por otros e fucó de probabldades de terseccoes y de sucesos o codcoados: Dados dos sucesos A y B, p(a / B) = p(a B) p(b) s p(b) 0 p(b / A) = p(a B) p(a) s p(a) 0 Las ecuacoes establecdas puede ser utlzadas, despejado, para determar la probabldad de la terseccó de sucesos cuado se cooce las probabldades codcoales y las de los propos sucesos o codcoados. Cosdérese la stuacó ya descrta, referete a certas alteracoes eurológcas e pacetes dagostcados de demeca. Se teía probabldades de Leucaraoss, p(l) = 0,50, de Atrofa cortcal, p(a) = 0,40, y de ambas alteracoes 0,0. Para u determado pacete al azar, del que se sabe que preseta Leucaraoss, se quere determar la probabldad de que posea Atrofa cortcal. Se trata de obteer la probabldad del suceso L, bajo la codcó de verfcar A. El suceso A o es aleatoro, pues coocemos ya el resultado, exstedo preseca de Atrofa cortcal. Se tedrá, por la ley multplcatva: p(a / L) p(a L) p(l) 0,0 0,50 0,0 probabldad feror a la que tedría s o dspuséramos de la formacó sobre la preseca de Leucaraoss. Sucesos depedetes E las defcoes aterores se ha troducdo la ecesdad de cosderar la 'flueca' de uos sucesos sobre otros al evaluar la probabldad de que éstos se presete. Como se ha vsto las probabldades de dversos sucesos puede ser dsttas s so evaluadas bajo la preseca de u codcoate a s lo so s cosderar este codcoate. S embargo exste stuacoes e las que esto o tee porque suceder. Dados dos sucesos A y B, se drá que so depedetes s: p(a / B) p(a) p(b / A) p(b) es decr, s guo de ellos codcoa o modfca la probabldad del otro. El estudo de la depedeca etre sucesos, o de forma más geeral etre característcas o varables aleatoras es de máxmo terés e el etoro sataro y bomédco. De hecho, para muchas de las téccas ferecales que se descrbrá más adelate el objetvo subyacete o explícto es ese. 34 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

35 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad Propedades sobre probabldades codcoales Dados dos sucesos A y B, se verfca los sguetes resultados A y B será depedetes s y sólo s p(a B) p(a) p(b) Esta ecuacó surge como aplcacó medata de la ley multplcatva al cosderar la defcó de depedeca. Es ua ecuacó que puede ser utlzada como defcó de depedeca, pues s se verfca també se verfcará la defcó de depedeca. S A y B so depedetes també lo será las parejas A, B; A, B; y A, B. Dada la probabldad de uo de los sucesos codcoado por el otro, p(a / B), se tee que: p( A / B) = p(a / B) es decr, la evaluacó de la probabldad del complemetaro de u suceso codcoado por otro requere que se matega el msmo codcoate. Para ejemplfcar las deas sobre codcoaldad e depedeca, cosdérese la sguete stuacó: E u estudo sobre cumplmetacó terapéutca de pacetes hpertesos se estmó e u 80% el porcetaje de efermos que seguía correctamete el tratameto. Para mejorar la adhereca al tratameto (cumplmetacó) se dseñó ua estratega cosstete e recuerdos telefócos peródcos y apoyo famlar. Dcha estratega se aplcó sobre el 50% de los efermos. A posteror se determó que el 40% de los casos seguía be el tratameto y se les había aplcado la estratega. A partr de esta formacó, se dscutrá s los sucesos aplcar la estratega (E) y segur correctamete el tratameto (T) so depedetes. Por la formacó dspoble, y para u pacete hperteso cualquera, se tee que: p(t) 0,80 p(e) 0,50 p(t E) 0,40 Para que los sucesos T y E sea depedetes es sufcete que p(t E) p(t) p(e) p(t E) 0,40 p(t) p(e) 0,80 0,50 0,40 resultado que sí so depedetes, es decr la probabldad de que u pacete sga correctamete el tratameto o se ve codcoada por el hecho de habérsele aplcado la estratega de mejora..4 TEOREMAS BASICOS: TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES Como cosecueca de la defcó de probabldad codcoada, se euca dos teoremas cuya utldad se desprede de la ecesdad de obteer probabldades de certos sucesos e fucó de las probabldades de otros. Ua stuacó partcular e la que los teoremas se muestra especalmete útles U teorema se euca e base a uas codcoes tales que s se verfca sempre se desprede u resultado. 35 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

36 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad es para el dagóstco y/o deteccó de efermedad, casos e los que la certdumbre sobre el estado de salud o efermedad puede verse modfcada a través de algua tervecó ecamada a tal f. Este aspecto será desarrollado e el sguete apartado. Los teoremas báscos so el teorema de la probabldad total y el de Bayes. Ambos teoremas parte de las msmas codcoes, y su eucado es el sguete: Dada ua partcó del espaco muestral, dgamosa k, y otro suceso aleatoro cualquera, dgamos B, se tee que: k k p(b) = p(b A ) = p(b / A ). p(a) (Teorema de la probabldad total) = = p(b / A ). p(a ) p(a / B) = = p(b) p(b / A ). p(a ) k = p(b / A ). p(a ) para cualquer A (Teorema de Bayes) El teorema de la probabldad total permte obteer la probabldad de u suceso cuado lo que se cooce es su probabldad codcoada por ua famla de sucesos que es ua partcó del espaco muestral. El teorema de Bayes permte vertr el setdo de la codcoaldad al evaluar probabldades, resultado especalmete útl e el etoro sataro, como se verá más adelate. Para ejemplfcar estos teoremas, supógase que e certa zoa dustral de ua comudad se ha calfcado las dferetes dustras de certo ramo de produccó segú de tpo I, II y III e fucó del mayor o meor vel de meddas de segurdad e hgee de que dspoga. Certo tpo de accdete (A) se da, sobre los trabajadores de este ramo, e porcetajes del %, 5% y 0% segú la dustra sea calfcada como de tpo I, II o III. A su vez, el 60% de las dustras so de tpo I, el 35% de tpo II y el 5% de tpo III. Se desea calcular la probabldad de que u trabajador de este ramo sufra u accdete de este tpo. S detfcamos por I, II, y III los sucesos que represeta que ua dustra cualquera sea del tpo correspodete, se tedrá que la probabldad de que ua dustra cualquera sea de los tpos establecdos será: p(i) = 0,60 p(ii) = 0,35 p(iii) = 0,05 sedo los sucesos {I, II, III} ua partcó del espaco muestral, pues cada dustra puede ser calfcada sólo de u tpo, y todas las dustras recbe algua calfcacó. Por otra parte, la probabldad de que se produzca u accdete será, p(a / I) = 0,0 p(a / II) = 0,05 p(a / III) = 0,0 sedo éstas probabldades codcoales. La probabldad global de que se produzca u accdete A puede ser obteda por el teorema de la probabldad total: p(a) = p(a / I). p(i) + p(a / II). p(ii) + p(a / III). p(iii) = = 0,0. 0,60 + 0,05. 0,35 + 0,0. 0,05 = 0,085 Supogamos ahora que llega u dvduo que trabaja e esa zoa dustral y que preseta el accdete A. Se desea averguar la probabldad de que trabaje e u dustra de tpo III. Se trata de calcular p(iii / A), que, por el teorema de Bayes será: 36 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

37 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad p(a / III). p(iii) p(iii / A) = p(a) 0,0. 0,05 = 0,085 = 0,754 Nótese que la probabldad deseada, p(iii / A), es la versa de p(a / III), dato dspoble calmete..5 APLICACION DE LOS TEOREMAS BASICOS AL DIAGNOSTICO Y/O DETECCION DE ENFERMEDAD Se puede decr que ua característca fudametal e la determacó del estado de efermedad (o salud) a lo largo de la vda de ua persoa es la certdumbre, etedda ésta como la auseca de segurdad absoluta sobre tal estado. E estas codcoes, ua herrameta habtual del etoro sataro so las pruebas dagóstcas. Se etederá por prueba dagóstca para ua determada efermedad como u cojuto de tervecoes sobre u dvduo ecamadas a 'determar' la preseca o o de efermedad o su grado. El objetvo de ua prueba dagóstca debe ser la reduccó del vel de certdumbre sobre el estado de efermedad de la persoa. Idealmete, ua prueba dagóstca sería exacta s de la formacó que proporcoa (resultados de la prueba) se desprede co exacttud el estado de efermedad, hacedo desaparecer la certdumbre cal. Hay que decr que estas deas y coceptos tee aplcacó e otros ámbtos meos sataros. Por ejemplo, podemos hablar de pruebas para detectar la preseca de u agete cotamate e u almeto, o la preseca de certo grado de azúcar e u meló, u otros. Las expresoes, fórmulas, y relacoes que a cotuacó se expoe puede ser aplcadas a cualquer stuacó de deteccó de la preseca o auseca de u resultado. Espaco muestral asocado a efermedad y prueba dagóstca Se supodrá para el desarrollo posteror que la stuacó aleatora procede de la cosderacó de los resultados de la característca aleatora bvarate efermedad-prueba dagóstca, para la que se smplfcará los posbles resultados a: Resultados e efermedad Resultados e la prueba dagóstca Efermo (E) Postvo (+) No efermo (E ) Negatvo (-) Los resultados e efermedad puede ser los de estar o o realmete afectado por la efermedad cosderada, metras que los resultados de la prueba dagóstca se reducrá a que del cojuto de tervecoes se desprede ua posble calfcacó de efermedad (resultado postvo) o se desprede la posble auseca de efermedad (egatvo). El espaco muestral bvarate, costrudo co los resultados smples posbles será: Espaco muestral = E, E, E, E 37 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

38 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad que costtuye todos los resultados smples geerados a partr de la cosderacó bvarate de los resultados e efermedad y prueba dagóstca. Supoga que ua ueva prueba para el dagóstco de certa patología ha sdo esayada sobre 00 efermos por esa causa y sobre 800 persoas lbres de la efermedad. El resultado de la prueba ha sdo postvo (la prueba detecta efermedad) e 90 de los efermos, y ha sdo egatvo (la prueba o detecta efermedad) e 680 de los 800 o efermos por esa causa. A partr de estos datos se desea estructurar el espaco muestral bvarate asocado a efermedad y prueba dagóstca, detfcado los sujetos que verfca sus resultados smples. La estructuracó de la formacó relatva al espaco muestral suele realzarse e forma de tabla de doble etrada: ESPACIO MUESTRAL ENFERMEDAD- PRUEBA Resultados e efermedad E _ Total Resultados de la prueba dagóstca Total La frecueca cojuta expresada e cada celda recoge el úmero de dvduos que verfca cada uo de los resultados smples del espaco muestral, geerado a partr de las terseccoes etre los resultados e efermedad y e prueba dagóstca. Probabldades de terés sobre sucesos del espaco muestral asocado a efermedad y prueba dagóstca E la práctca, los resultados de la prueba dagóstca depederá del estado e efermedad, metras que, ua vez realzada la prueba dagóstca, las probabldad de los resultados e efermedad debe verse modfcada segú el resultado obtedo e la prueba dagóstca. Así, e el caso del ejemplo del apartado ateror, surge dversas pregutas de terés como por ejemplo puede decrse que esa prueba es valda' para aplcarla sobre persoas cuyo estado respecto a la efermedad estudada es descoocdo e certo?, qué sucedería s utlzamos esa prueba e ua campaña de deteccó precoz de la efermedad e poblacó geeral, dode se estma que la efermedad está presete e el 0,5% de los dvduos?, ó, s la efermedad estudada se presetase e certo servco hosptalaro co frecueca del 30% de los casos, fluría este hecho sobre la posble aplcacó de la prueba de forma rutara?. La respuesta a estas pregutas pasa por coocer dversas probabldades codcoales. Las probabldades de los sucesos de mayor terés so: Probabldad de resultados de la prueba dagóstca Probabldad de resultados e efermedad p( / E) Sesbldad de la prueba p(e / ) Valor predctvo postvo p( / E) Especfcdad de la prueba p(e / ) Valor predctvo egatvo p( / E) Falso postvo de la prueba p(e / ) Valor predctvo falso postvo p( / E) Falso egatvo de la prueba p(e / ) Valor predctvo falso egatvo p( ) Probabldad de resultado p (E) Probabldad de efermedad postvo de la prueba (prevaleca o probabldad 'a pror') p( ) Probabldad de resultado p (E) Probabldad de o estar efermo egatvo de la prueba 38 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

39 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad Las probabldades recogdas e cada ua de las columas represeta probabldades codcoales o globales de sucesos dferetes. Por ua parte teemos los resultados de la prueba (+, -), cuyas probabldades debe depeder de s u dvduo posee o o la efermedad. Idealmete p(+ / E), o sesbldad de la prueba, y p( / E), o especfcdad de la prueba, debería valer, es decr, s u dvduo está realmete efermo la prueba debería detectarlo co segurdad, metras que s o posee la efermedad també debería detectarlo co segurdad. Ua prueba co estas característcas se deoma gold stadard. S embargo, esto o es así para u gra úmero de pruebas dagóstcas, e cuyo caso, p(- / E) y p( / E), que so los complemetaros de la sesbldad y especfcdad, respectvamete, so ua medda del error o falta de acerto de la prueba e la deteccó de efermedad o de auseca de efermedad. Por otra parte, las probabldades recogdas e la seguda columa se refere a los resultados e efermedad E, E, de forma codcoal a los resultados de la prueba o de forma global. S se pesa e u dvduo cuyo estado e efermedad es certo, y al que se le aplca la prueba dagóstca para dsmur esa certdumbre, p(e /+), o valor predctvo postvo, y p(e / ) mde la probabldad de que realmete esté efermo cuado el resultado de la prueba ha sdo postvo, y de que realmete o esté efermo s el resultado de la prueba es egatvo. Idealmete estas probabldades debería valer, es decr sea cual sea el resultado de la prueba sería deseable saber co segurdad s el dvduo está o o efermo. S embargo, este resultado sólo se produce s la sesbldad y especfcdad de la prueba toma el valor (caso de ua prueba gold stadard. Además, y como se verá a cotuacó, exstrá ua relacó etre las probabldades de los resultados de la prueba y las de los resultados e efermedad, depedete de p(e) o prevaleca de la efermedad. Obtecó de los valores predctvos e fucó de la sesbldad y especfcdad de la prueba S se cooce la sesbldad y especfcdad de la prueba, es posble coocer los valores predctvos a través de los teoremas de la probabldad total y de Bayes. Para ello, baste cosderar que la pareja de sucesos E, E so ua partcó del espaco muestral asocado y que los sucesos {+, -} so otros sucesos posbles del espaco muestral, e cuyo caso se tedrá, por el teorema de Bayes: p(+ / E). p(e) p(e / +) = p(+) = p(+ / E). p(e) p(+ / E). p(e) + p(+ / E). p(e) o, equvaletemete: Valor predctvo postvo Sesbld ad Pr evaleca Sesbld ad Pr evaleca ( Especfc dad) ( Pr evaleca) y p( / E). p(e) p( / E). p(e) p(e / ) = = p( ) p( / E).p(E) + p( / E). p(e) o, equvaletemete: Especfc dad ( Prevalec a) Valor predctvo egatvo = Especfc dad ( Prevalec a) + ( Sesbld ad) Prevalec a Como se observa, es posble obteer los valores predctvos codcoales a los resultados de la prueba s se cooce la prevaleca (o probabldad a pror), p(e), de la efermedad. Este hecho hace que ua msma 39 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

40 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad prueba puede presetar dferetes valores predctvos e fucó del valor de la prevaleca de la efermedad. Como ejemplo, cosdérese la formacó sumstrada aterormete, habedo aplcado la prueba e la deteccó precoz de la efermedad e ua poblacó sobre la que se sabe que la efermedad se produce co frecueca del 0,5% de los dvduos, se desea cuatfcar la sesbldad, especfcdad, falsos postvos y egatvos de la prueba, y los valores predctvos postvo y egatvo. Recordemos que los datos dspobles era: ESPACIO MUESTRAL ENFERMEDAD- PRUEBA Resultados e efermedad E _ Total Resultados de la prueba dagóstca Total por lo que tedremos: 90 Sesbldad = p(+ / E) = = 0, Especfcdad = p( / E) = = 0, Falso postvo = p(+ / E) = = 0, Falso egatvo = p( / E) = = 0,05 00 Los valores predctvos depederá de la prevaleca, que e este caso se estma a partr del dato frecuecal 0,5%, como p(e) = 0,005. E ese caso tedremos: 0,95. 0,005 Valor predctvo + = p(e / +) = 0,95. 0, ,5. 0,995 = 0,0308 Valor predctvo 0,85. 0,995 = p(e / ) = = 0,9997 0,85. 0, ,05. 0,005 Como se observa, el valor predctvo egatvo resulta altamete satsfactoro, pues la probabldad de 'acerto' cuado el resultado es egatvo es muy elevada. S embargo, el valor predctvo postvo o resulta aparetemete satsfactoro, puesto que la probabldad de acerto es muy baja. Supógase ahora que la prueba descrta va a ser aplcada e u servco hosptalaro e el que la efermedad cosderada se preseta e el 30% de los dvduos que acude a él. Se desea calcular los valores predctvos de la prueba. Puesto que la prueba es la msma, la probabldad de sus resultados sólo depede del estado e efermedad o o, por lo que su sesbldad y especfcdad so las msmas. Por otra parte, la prevaleca será de p(e) = 0,30, terpretable más be como la probabldad a pror de 40 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

41 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad que u dvduo presete la efermedad. Esta terpretacó parece más razoable dado que el térmo prevaleca suele ser reservado a stuacoes poblacoales. Se tedrá etoces: 0,95. 0,30 Valor predctvo + = p(e / +) = 0,95. 0,30 + 0,5. 0,70 = 0,7308 0,85. 0,70 Valor predctvo = p(e / ) = = 0,9754 0,85. 0,70 + 0,05. 0,30 E comparacó co los resultados obtedos e el ejemplo ateror, el valor predctvo postvo es aparetemete sustacalmete mejor al ser mucho más elevado, metras que el valor predctvo egatvo dsmuye. Los resultados obtedos e estos ejemplos poe e evdeca la forma e que la prevaleca de la efermedad afecta a los valores predctvos, s la prevaleca se cremeta, també lo hace el valor predctvo postvo, dsmuyedo el valor predctvo egatvo, metras que se verte el resultado al dsmur la prevaleca. Evaluacó de la bodad de ua prueba dagóstca S se atede al objetvo fudametal de la prueba, la dsmucó de la certdumbre e el estado de efermedad, la bodad de ua prueba dagóstca depederá de su reproducbldad, o capacdad para reproducr los msmos resultados (+ o -) e codcoes y sujetos semejates, y de su valdez, o grado e el que de verdad mde lo que se desea medr. Co los elemetos de probabldad descrtos se puede dscutr la valdez de la prueba, aceptado que ésta sea reproducble. Así, la sesbldad y la especfcdad puede ser meddas de su valdez cuado la prueba es comparada co otras pruebas y ambas meddas se drge e el msmo setdo. E efecto, ua prueba co mayor sesbldad y especfcdad que otra producrá mejores valores predctvos sea cual sea la prevaleca de la efermedad. S embargo, e stuacoes cruzadas (sesbldad mayor e ua prueba que e otra y lo cotraro respecto a la especfcdad) o cuado la evaluacó de la bodad de la prueba o se realza por comparacó co gua otra, es ecesaro calcular los valores predctvos para aseguraros del valor de los resultados de la prueba. U problema aparece cuado la prevaleca es descoocda, o sólo se tee ua dea del tervalo e el que podría stuarse. E este caso, suele recurrrse a la costruccó de las curvas para el valor predctvo postvo y el complemeto del valor predctvo egatvo o falsa predccó egatva..6 VARIABLES ALEATORIAS Desde u puto de vsta formal ua varable aleatora se defe como ua fucó que asga a cada uo de los posbles resultados de u feómeo aleatoro u valor umérco. Por ejemplo, e el caso de varables cuattatvas como el vel de colesterol, vel de ácdo úrco o, úmero de gresos e u servco de urgecas, la varable aleatora vedría defda por cada ua de las posbldades de las varables cosderadas, puesto que e este caso ya so valores umércos. Cuado las varables so de tpo cualtatvo como el sexo o el vel de estudos, será ecesaro asgar valores umércos a cada ua de las posbldades ( Hombre Mujer para el sexo, S estudos Prmara 3 Secudara 4 Uverstaros para el vel de estudos). Las varables aleatoras se clasfca e varables aleatoras dscretas y varables aleatoras cotuas. Las varables aleatoras dscretas puede tomar u úmero fto o fto umerable de valores, metras que las cotuas puede alcazar u úmero fto o umerable de posbles valores, es decr, puede tomar cualquer valor e u tervalo. Desde u puto de vsta más práctco, las varables aleatoras podría cosderarse como varables cuyos resultados se rge por el azar. E este setdo es mportate teer e cueta que, como se ha mecoado co aterordad, o todos los posbles valores de ua varable aleatora tee la msma probabldad de ser observados. Por tato, sería útl cotar co herrametas que proporcoe formacó sobre la 4 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

42 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad probabldad asocada a cada uo de los valores de ua varable aleatora. Fucó de probabldad E el caso de las varables aleatoras dscretas, se defe como fucó de probabldad de la varable aleatora X a ua fucó p(x) que para cada uo de los valores de la varable, por ejemplo x 0, le asga su probabldad, esto es: p( x0 ) = P(X = x0) Fucó de desdad de probabldad Para varables aleatoras cotuas se defe como fucó de desdad de probabldad f(x) a ua fucó o egatva que verfca: + - f(x)dx = y dode la probabldad de que la varable X tome valores etre x y x puede calcularse de la forma: P(x X x ) = x x f(x)dx Fucó de dstrbucó Tato para varables aleatoras dscretas como cotuas puede defrse la fucó de dstrbucó de la varable X, como ua fucó F(x) que asga, para cada valor cocreto, la probabldad de que la varable tome u valor meor o gual a él, es decr: F(x 0 ) p(x x 0 ) Para varables aleatoras dscretas puede expresarse la fucó de dstrbucó e fucó de la fucó de probabldad de la forma: F(x ) = P(X x ) = 0 0 x0 x=0 p(x) Para varables aleatoras cotuas, la fucó de dstrbucó podrá expresarse e fucó de la fucó de desdad de probabldad tal y como sgue: F(x ) = P(X x ) = 0 0 x 0 - f(x)dx Característcas de ua varable aleatora 4 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

43 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad E el capítulo de exploracó de datos se defero dversas meddas descrptvas (meddas de tedeca cetral, dspersó y forma) calculables a partr de u determado cojuto de datos. Cuado se trabaja co ua varable aleatora es posble obteer expresoes para el cálculo de este tpo de meddas basádose e las probabldades asocadas a cada uo de los posbles valores de dcha varable, auque hay que teer e cueta que el setdo de estas meddas será dferete. Metras que e el caso descrptvo represeta las característcas de lo que ha suceddo (los datos observados), e el caso que os ocupa, represetará las característcas esperadas o esperables de uestras varables e la poblacó a estudo. E el cuadro. se preseta la meda o esperaza de ua varable aleatora y la varaza, dstguedo etre varables aleatoras dscretas y cotuas. Cuadro..- Característcas de ua varable aleatora Característca Nomeclatura Dscretas Cotuas Meda o Esperaza μ = E(X) xp(x) xf(x)dx Varaza σ = Var(X) x - ) p(x ) (x - ) f(x)dx ( La desvacó típca se obtedría como la raíz cuadrada de la varaza de la varable aleatora. Para ejemplfcar estas meddas, supoga que la formacó recogda por u equpo de vestgacó sobre el úmero de gresos hosptalaros daros debdos a determada patología permtó obteer la fucó de probabldad que aparece reflejada e el cuadro. Cuadro..- Probabldad del úmero de gresos/día Número de gresos/día x Fucó de Probabldad p(x)=p(x=x) 0,0 0,5 0,0 0,6 0, 0,08 Fucó de dsrbucó F(x)=P(X x) 0,0 0,5 0,45 0,7 0,9,00 Total,00,00 Como puede observarse, es posble calcular cualquer tpo de probabldad sobre la varable aleatora X=úmero de gresos daros. Por ejemplo, la probabldad de que se produzca al meos 3 gresos daros podría calcularse: p(x 3) p(3) p(4) p(5) p(x 3) p(x 4) p(x 5) 0,6 0, 0,08 0,55 Obsérvese que també podría calcularse a partr de la fucó de dstrbucó P(X 3)=-P(X )=-F()=- 0,45=0,55. Para la probabldad de que el úmero de gresos o supere los daros se obtedría 43 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

44 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad P(X ) = p(0)+p()+p() = = 0.45 =F() Por otra parte el úmero de gresos esperado e u día determado vedría determado por la meda o esperaza de la varable aleatora E(X) x p(x ) 0. 0, 0. 0, 5. 0, , , 5. 0, 08, 57 gresos/día co ua varaza: Var(X) =0,0(0-,57) +0,5(-,57) +0,0(-,57) +0,6(3-,57) + +0,(4-,57) +0,08(5-,57) =4,4 (gresos/día) y ua desvacó típca D(X)=,03 gresos/día Luego, tal y como ha poddo aprecarse e el ejemplo, el coocmeto de la fucó de probabldad p(x) o la fucó de dstrbucó de ua varable aleatora dscreta, posblta el cálculo de la probabldad de cualquera de los sucesos relacoados co los posbles valores de dcha varable. Aálogamete, cualquer probabldad relacoada co los posbles valores de ua varable aleatora cotua podrá ser obteda a partr de la fucó de desdad de probabldad f(x) o la fucó de dstrbucó. E deftva, los modelos de probabldad o será más que expresoes cocretas para estas fucoes que descrbrá el comportameto probablístco de la varable. El modelo Bomal Alguos de los feómeos aleatoros objeto de estudo puede dar lugar úcamete a dos posbles resultados, por ejemplo, salud/efermedad, postvo/egatvo, fumador/o fumador, etc. Esta stuacó dcotómca da lugar al plateameto de dversos modelos de probabldad, segú la varable aleatora que se defa, y etre ellos al del modelo de probabldad bomal. Para compreder los fudametos e la obtecó del modelo bomal y, e geeral, de la mportaca de los modelos de probabldad se platea el sguete problema: Supoga que se cooce que el 65% de los pacetes afectados por determada patología respode postvamete al tratameto. S cosderamos u grupo de 3 pacetes afectados, cuál será la probabldad de que de ellos respoda de forma postva al tratameto? Sea el suceso A ={ pacetes respode postvamete de etre los 3 observados}.tres so los sucesos que daría como resultado que de los pacetes evolucoase de forma favorable y que aparece reflejados e el cuadro.3 Cuadro.3.-. Posbldades favorables al caso e que de los 3 44 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

45 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad dvduos aalzados respoda postvamete al tratameto Suceso Pacete Pacete Pacete 3 A A A E realdad el úmero de sucesos podría obteerse a partr del cálculo del úmero de combacoes de 3 elemetos de orde. S se cosdera que el hecho de que u pacete respoda de forma postva al tratameto es depedete de lo que ocurra co otro pacete, la probabldad de cada uo de estos 3 sucesos puede obteerse como el producto de probabldades. Así, se tee que: P(A) = P(+) P(+) P(-) = 0,65.0,65.(-0,65) = 0,478 P(A) = P(+) P(-) P(+) = 0,65.(-0,65).0,65 = 0,478 P(A3) = P(-) P(+) P(+) = (-0,65).0,65.0,65 = 0,478 De esta forma, la probabldad del suceso A podría calcularse como la suma de las probabldades de los tres sucesos descrtos co aterordad A, A, y A3. p(a) p(a) p(a) p(a3) 3. 0,65. ( 0,65) 0,4436 E geeral, supógase que u feómeo aleatoro úcamete puede dar lugar a dos posbles resultados (postvo/egatvo, curacó/o curacó, supervveca/muerte, efermo/o efermo, etc) y que la probabldad de uo de los dos sucesos es p (por tato la probabldad del otro será -p). S se obtee observacoes depedetes del feómeo aleatoro correspodetes a u grupo de dvduos, la probabldad de que se observe la ocurreca del suceso e k de los dvduos podrá determarse a partr de la fucó de probabldad para el modelo bomal: -k dode X =úmero de dvduos e los que se observa el suceso y meda o esperaza varaza = E(X) = p = V(X) = p(-p) S se hubera utlzado el modelo de probabldad bomal para resolver el ejercco ateror se obtedría: 3 p() = P(X = ) = 0,65 k p(k) = P(X = k) = p (- p ) k (- 0,65) = 0,4436 La meda o esperaza será 45 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

46 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad E(X) = p = 3.0,65=,95 dvduos metras que la varaza quedará Var(X) = p(-p)=3.0,65.(-0,65)=0,685 dvduos El modelo Posso Otro modelo dscreto que se preseta co frecueca e el ámbto de las cecas de la salud es el modelo de Posso. Sea λ el promedo de ocurrecas de u determado suceso e u tervalo de tempo o espaco. Además supógase que se verfca las sguetes codcoes:. Las ocurrecas del suceso so depedetes. Es posble observar u úmero fto de ocurrecas e cada tervalo 3. La probabldad de ocurreca del suceso e u tervalo es proporcoal a su ampltud La varable aleatora X=úmero de ocurrecas e ese tervalo de tempo o espaco se dstrbuye segú u modelo de Posso, sedo su fucó de probabldad: P(X =k) = k e k! - ; k = 0,,,3,... dode: meda o esperaza = E(X) = λ = V(X) = Varaza Para ejemplfcar el modelo, supoga que es coocdo el úmero promedo de gresos e el servco de Gecología y Obstetrca de u Hosptal y es de 4 al día. S se supoe que el úmero de gresos se dstrbuye segú u modelo de Posso, cuál sería la probabldad de que se produjera más de 4 gresos e u día determado? P(X > 4) = - P(X 4) = - [P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = 4)] = - 0 e 0! - - e +! e +! - 3 e + 3! - 4 e + 4! - co =4 El modelo ormal El modelo ormal costtuye la dstrbucó de probabldad para varables aleatoras cotuas más mportate de toda la estadístca, debdo a que e la aturaleza muchas de las varables, y e partcular las relacoadas co procesos de medcó, se comportaría de forma aproxmada segú este modelo de probabldad y, sobre todo, porque u resultado como el teorema cetral del límte asgará al modelo ormal u papel destacado e el ámbto de la estadístca ferecal. La fucó de desdad de probabldad que descrbe el modelo ormal es: - (x- f(x) = ) e 46 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

47 Estadístca básca e Cecas de la Salud El azar sobre uestros datos: Mdedo la probabldad dode: Meda o esperaza = E(X) = μ Varaza = V(X) =σ Como puede observarse e la fgura., la dstrbucó de probabldad ormal es ua dstrbucó smétrca respecto de la meda de la varable que es μ que cocde además co el valor dode se alcaza el máxmo de la fucó de desdad f(x), resultado ser també medaa y moda. Como ejemplo, supoga que el vel de colesterol e certa poblacó se dstrbuye segú u modelo aproxmadamete ormal co meda 0 mg/00 ml y ua desvacó típca de 5 mg/00 ml, cuál es la probabldad de que u dvduo de esta poblacó, seleccoado al azar presete u vel de colesterol feror a 5 mg/00 ml? Tedríamos que resolver: 5 p (X 5) - (x-μ) e σ σ π dx f(x) Fgura..- Fucó de desdad del modelo ormal pero e la práctca o es ecesaro resolver las tegrales, puesto que éstas se ecuetra e tablas de probabldad (ver tablas modelo ormal).dada la mposbldad de cotar co ua tabla para cada ua de las dstrbucoes ormales co cualquer meda y cualquer desvacó típca, el cálculo de probabldades sobre este tpo de dstrbucoes se realza a partr de ua úca tabla correspodete a la dstrbucó ormal co meda 0 y desvacó típca que recbe el ombre de ormal estádar. Para ello será ecesaro trasformar la varable objeto de estudo e ua varable co meda 0 y desvacó típca, proceso que recbe el ombre de tpfcacó, y que se cosgue restado la meda y dvdedo por la desvacó típca. Así se tee que: P(X 5) = P = P Z X = P (Z,00) = 0,843 (ver tabla e Aexo de tablas) Otros modelos cotuos Para represetar stuacoes de la realdad cuyo ajuste a u modelo ormal es dudoso o claramete dvergete, la estadístca matemátca ha do elaborado otros modelos para varables cotuas. Así, alguos de los que cueta co mayor vsbldad sería los modelos t de Studet, F de Sedecor o Jcuadrado (ver tablas 3, 4 y 5 e aexo de tablas). Estos tres modelos será utlzados e las aplcacoes de fereca, e las que aparece como herrametas de valoracó probablístca del error aleatoro cometdo. No obstate exste muchos otros modelos cotuos (Gamma, Beta, Expoecal,...) que propoe a través de sus fucoes de desdad otras posbles represetacoes de la realdad. 47 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

48 C A P I T U L O 3 FUNDAMENTOS PARA EXTRAER CONCLUSIONES DE LOS DATOS: LA INFERENCIA ESTADISTICA Hasta el mometo se ha descrto téccas de orgazacó, presetacó y resume de datos que proporcoa formacó sobre determadas característcas de las varables y datos observados. S embargo, uo de los objetvos báscos e la vestgacó de cualquer feómeo aleatoro es extraer coclusoes acerca de ua característca de terés sobre la poblacó objeto de estudo, cuado solamete se ha poddo observar ua pequeña parte de dcha poblacó (muestra). Observe las sguetes stuacoes: U vestgador recopla formacó sobre el tempo de supervveca correspodete a 4 pacetes tervedos qurúrgcamete de determada afeccó. La meda de supervveca e los 4 pacetes observados es de 7 años co ua desvacó típca de,5 años. Su tecó es comprobar, a partr de los datos dspobles, que el tempo de supervveca medo desde el mometo de la tervecó y e este tpo de pacetes es superor a 5 años. E u estudo se ha recogdo formacó sobre el vel de colesterol correspodete a cada uo de los 50 pacetes aalzados. El vel promedo de colesterol observado e los 50 pacetes es de 00 mg/00 ml. El objetvo del estudo es estmar el vel promedo de colesterol e toda la poblacó de pacetes de la que partó la muestra. E ambos casos, o se está teresado e comprobar s el tempo de supervveca medo e los 4 pacetes observados es o o superor a 5 años o s el promedo de vel de colesterol e los 50 pacetes es 00 mg/00 ml, so s esto ocurre e toda la poblacó de pacetes afectados por esa patología y de la que los 4 y los 50 dvduos observados o so más que ua pequeña parte. Este proceso de geeralzacó de resultados de la muestra a la poblacó, coocdo como fereca estadístca, costturá el objetvo fudametal del presete capítulo.

49 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca 3. LA ESTIMACIÓN E la troduccó ateror se presetaba u ejemplo e el que el vestgador o vestgadores pretedía estmar el valor del vel promedo de colesterol μ e ua poblacó e la que ta sólo había sdo capaces de observar a 50 pacetes y e los que el vel promedo era de 00 mg/00 ml. Para respoder a esta cuestó exste dos alteratvas: -proporcoar u úco valor para la meda poblacoal μ -proporcoar u tervalo que cotedrá al verdadero valor de la meda poblacoal μ co ua determada probabldad de error. Estmacó putual y estmacó por tervalos La dfereca prcpal etre estos dos métodos estrba e que e el prmero de los casos (estmacó putual) o se proporcoa gú tpo de formacó sobre la magtud probable de μ, sobre el error que rodea a la estmacó, algo que s ocurre e el segudo de los casos (estmacó por tervalos: tervalos de cofaza) y que costturá ua de las dos téccas báscas para la realzacó de ferecas. S embargo, e el proceso de estmacó por tervalos y como se comprobará más tarde, será ecesaro cotar co las estmacoes putuales correspodetes a cada uo de los parámetros de terés. E el ejemplo, el vel medo de colesterol e la poblacó sería el parámetro que se pretede estmar, pero cuál sería el estmador putual que debería utlzarse para aproxmar el valor de μ? Segú el crtero de máxma verosmltud, basado e la formacó que proporcoa los datos observados y e el cálculo de probabldades, la meda muestral sería, e este caso, el mejor estmador que podría utlzarse para aproxmar el valor de la meda descoocda de la poblacó μ. E el cuadro 3. se preseta alguos de los parámetros habtuales objeto de estudo y sus estmadores putuales máxmo verosímles. Los estmadores so característcas cuattatvas calculadas a partr de los datos de la muestra observada que, por su costruccó, teta acercarse al verdadero valor del parámetro descoocdo de la poblacó. Cuadro 3..- Estmadores putuales máxmo verosímles Parámetro Estmador putual Meda μ Meda muestral Proporcó p Proporcó muestral x μˆ = x = r pˆ = Dfereca de medas μ -μ Dfereca de medas muestrales μˆ - μˆ = x - x = x x Dfereca de proporcoes p -p Dfereca de proporcoes muestrales r r pˆ - pˆ = - Varaza σ Varaza muestral corregda (x x) = σˆ S - 49 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

50 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca U tervalo de cofaza al vel de cofaza -α para u determado parámetro θ podría defrse como u tervalo [a,b] que cotedrá al verdadero valor de θ co ua cofaza -α. La catdad -α se deoma vel de cofaza, y es frecuete que se exprese como porcetaje, es decr 00(-α)%. Auque será dscutdo co posterordad, cabe mecoar que la utlzacó del térmo cofaza e lugar del de probabldad se produce como cosecueca de que el parámetro toma u valor, que auque es descoocdo, es fjo y o tedría setdo platear probabldades sobre algo que o causa varabldad. S embargo, e la práctca, la terpretacó es que el tervalo cotedrá al valor del parámetro co ua probabldad -α. La cuestó que se platea es de qué forma puede ser costrudos estos tervalos de cofaza, bajo qué codcoes y cuál será el papel que desempeñará los estmadores e todo este proceso. Hay que recordar que se trata de realzar afrmacoes sobre determada característca de la poblacó cuado úcamete se dspoe de ua muestra de dcha poblacó y, s duda, la forma e que sea seleccoados los dvduos que formará parte de la msma flurá eormemete sobre los resultados que se pueda obteer. Lo deseable es que la muestra seleccoada sea represetatva de la poblacó sobre la que se quere realzar algú tpo de fereca, pues de lo cotraro, las estmacoes se alejará de los verdaderos valores de los parámetros poblacoales producédose u error deomado error sstemátco o sesgo. Por tato, será ecesaro cotar co métodos o téccas de muestreo e el proceso de seleccó de los elemetos de la muestra que tete reducr al máxmo el error sstemátco que pudera cometerse. El muestreo Las dferetes téccas de muestreo se clasfca e probablístcas o aleatoras y o probablístcas. La dfereca radca fudametalmete e que, e el caso de las téccas probablístcas, cada uo de los elemetos de la poblacó tee ua probabldad coocda y dstta de cero de ser cludo e la muestra, metras que e las o probablístcas esta cuestó se descooce. La prcpal cosecueca es que las téccas probablístcas, al ser cuatfcable el error muestral, posbltará la aplcacó de las dferetes téccas de fereca estadístca (determacó de tamaños muestrales, estmacó por tervalos, cotrastes de hpótess,..). Por este motvo se descrbe brevemete y a cotuacó alguas de las téccas probablístcas báscas de muestreo. Muestreo aleatoro smple Este método de muestreo seleccoa de forma aleatora los elemetos de la muestra de maera que cada uo de los N dvduos de la poblacó tee la msma probabldad de ser cludo e la msma. Puede realzarse co o s reemplazameto, depededo de que u msmo elemeto pueda ser seleccoado e más de ua ocasó. E este proceso, suele ser habtual utlzar ua tabla de úmeros aleatoros como la que se preseta e el cuadro 3., dode cada dvduo de la poblacó tee asgado u úmero. Por ejemplo, s el tamaño de la poblacó es N=500 y se quere obteer ua muestra de tamaño =0, se seleccoaría los 0 prmeros úmeros compreddos etre y 500 comezado al azar por cualquer parte de la tabla. S se comeza por la parte superor zquerda, de zquerda a derecha a grupos de tres dígtos, se obtedría: 8, 95, 07, 67, 98, 46, 454, 66, 467 y 48, seleccoado los dvduos de la poblacó que, ua vez eumerados, se correspodera co estas cfras. Cuadro 3..- Tabla de úmeros aleatoros Muestreo aleatoro sstemátco E el muestreo aleatoro sstemátco o es ecesaro cotar co u lstado eumerado de todos los dvduos de la poblacó so que será sufcete co que los dvduos se ecuetre ordeados segú 50 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

51 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca algú tpo de clasfcacó que ada tega que ver co la varable que se pretede estudar, por ejemplo, por orde alfabétco. S se cueta co ua poblacó de tamaño N y se quere obteer ua muestra de tamaño se procederá de la forma sguete: ) Calcular el paso de seleccó k como el úmero etero más próxmo a N/ (por defecto) ) Seleccoar medate muestreo aleatoro smple u úmero aleatoro 0 etre y k 3) Seleccoar los dvduos que ocupe el lugar 0, 0 +k, 0 +k, 0 +3k,..., 0 +(-)k Este método resulta del todo apropado cuado los dvduos preseta osclacoes peródcas e su ordeacó. Muestreo aleatoro estratfcado Cuado la poblacó puede ser clasfcada e dferetes categorías o estratos que puede flur drectamete sobre el resultado de las estmacoes de los parámetros de terés suele ser habtual realzar u muestreo del tpo estratfcado. La dea fudametal es costrur muestras específcas para cada estrato, geeralmete de tamaños proporcoales a la poblacó e cada uo de los estratos o categorías. Por ejemplo, s se pretede obteer ua muestra de tamaño de ua poblacó de tamaño N e la que se cosdera 3 categorías o estratos co tamaños N, N, N 3, se seleccoará por muestreo aleatoro smple, e cada ua de las 3 subpoblacoes ua muestra de tamaño (N /N), (N /N) y (N 3 /N) respectvamete. De esta forma se asegura que los dferetes grupos de poblacó esté represetados e la muestra que será aalzada co posterordad. Además, esta técca de muestreo permte obteer estmacoes del parámetro objeto de estudo e cada ua de las categorías o estratos de la poblacó. Dstrbucoes e el muestreo Ua vez recogda la muestra aleatora por medo de cualquera de las téccas de muestreo aleatoro, puede costrurse u estmador putual tal y como ha sdo descrto e el apartado ateror. Pero, dada la aleatoredad co que se seleccoa los elemetos de la muestra qué ocurrría s e lugar de haberse obtedo exactamete esos elemetos muestrales, se hubera obtedo otros totalmete dsttos? E realdad el úmero de muestras aleatoras dsttas de tamaño que podría haberse obtedo de ua poblacó de tamaño N ascedería, e el caso de muestreo aleatoro smple s reemplazameto a N = Combacoes de N dvduos tomados de e y para cada ua de estas muestras se dspodría de u estmador putual del parámetro poblacoal. E cosecueca, dado que el valor del estmador varía de muestra a muestra, se obtee u resultado de gra relevaca e la estadístca ferecal: u estmador es ua varable aleatora. Dstrbucó de la meda e el muestreo Dado que u estmador es ua varable aleatora, tee setdo pregutarse s la dstrbucó de probabldad asocada a cada uo de los estmadores del tpo descrto e el cuadro 3. puede ser coocda. E caso afrmatvo se estaría e codcoes de platear cualquer probabldad sobre los valores del estmador y se habría setado las bases para la costruccó de tervalos de cofaza. Supógase que a partr de los datos del segudo ejemplo de la troduccó, se cosdera que la varable vel de colesterol e la poblacó objeto de estudo se dstrbuye segú ua dstrbucó de probabldad ormal co meda μ y ua desvacó típca σ. Se sabe que la suma de varables aleatoras ormales sgue a su vez ua dstrbucó també ormal co la msma meda μ pero co ua varaza dstta. Propedad. Sea X,X,...,X varables aleatoras depedetes, etoces la varaza de la suma podrá expresarse como la suma de las varazas: Var(X X... X ) Var(X) Var(X )... Var(X ) 5 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

52 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca Propedad. Sea X ua varable aleatora y a ua costate, etoces la varable Y=aX tedrá ua varaza proporcoal a la varaza de la varable X Var(Y) Var(aX) a Var(X) La varable aleatora meda muestral se costruye como la suma de varables aleatoras depedetes, dode cada ua de ellas sgue ua dstrbucó ormal co meda μ y varaza: X = Var( X+ X X σ X) = Var(X) = E coclusó, la dstrbucó de probabldad asocada a la meda muestral, cuado la varable se dstrbuye segú ua dstrbucó ormal de meda μ y desvacó típca σ, será ua dstrbucó ormal co las sguetes característcas: E(X) = ; Var(X) = Var(X) = Var( X + X = Var( X ) = Var(X ) + = + + Var( X + X) ) Var( X) Var(X ) = = Var(X ) E el ejemplo se cueta co u tamaño muestral de 50. La meda muestral segurá por tato ua dstrbucó ormal co meda μ y varaza: σ σ = 50 Este resultado se basa, como fue señalado co aterordad, e la suposcó de que la varable (e el ejemplo el vel de colesterol) se dstrbuye segú u modelo de probabldad ormal. S embargo, e la mayoría de las ocasoes o se cooce la dstrbucó de probabldad de la varable objeto de estudo. La preguta es: exste algua forma de coocer la dstrbucó de la meda muestral cuado se trabaja co varables que o se comporta segú el modelo de probabldad ormal o para las que esta cuestó se descooce? Teorema cetral del límte Sea X, X,..., X varables aleatoras depedetes co meda μ y varaza σ que se dstrbuye segú u determado modelo de probabldad cualquera y sea la varable aleatora Y, ua varable costruda de la forma 5 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

53 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca Y=X + X X etoces, cuado tede a fto, la varable Y sgue astótcamete ua dstrbucó ormal co meda y varaza E(Y) = X ; Var(Y) = = Esto querría decr que, e el caso cocreto de la meda muestral y cuado el tamaño de la muestra fuera lo sufcetemete grade (cuato más grade mejor será la aproxmacó de la dstrbucó ormal), la dstrbucó de probabldad asocada sería aproxmadamete ua ormal co meda y varaza = E(X) = ; Var(X) = Habtualmete se cosdera que la aproxmacó ormal es lo sufcetemete buea a partr de 30. Error estádar A la desvacó típca de u estmador e el muestreo se la deoma error estádar. Por tato, el error estádar será ua medda de la varabldad del estmador e el proceso de muestreo. E el caso de la meda de ua poblacó, el estmador es la meda muestral y el error estádar sería la desvacó típca de la meda e el muestreo, es decr, la desvacó típca de la varable aleatora meda muestral, que e este caso es EE = = Itervalo de cofaza para ua meda El objetvo será costrur u tervalo de cofaza para la meda descoocda de ua poblacó a u determado vel de cofaza -α. S pérdda de geeraldad se cosderará el vel de cofaza 0,95. Se sabe, como fue descrto co aterordad, que s los datos que compoe la muestra observada ha sdo obtedos por muestreo aleatoro, el estmador máxmo verosíml de la meda (estmador putual) es la meda muestral y que éste es, a su vez, ua varable aleatora que se dstrbuye segú el modelo de probabldad ormal s la varable objeto de estudo se dstrbuía segú el modelo ormal, o aproxmadamete ormal s el tamaño de la muestra era gual o superor a 30 e depedetemete de la dstrbucó de probabldad de la varable. Puede aprecarse que e el modelo de probabldad ormal o todos los valores de la varable tee la msma probabldad de ser observados. De hecho, los valores co mayores probabldades se cocetraría e la zoa cetral de la dstrbucó, metras que los valores stuados e cualquera de los dos extremos de la dstrbucó tedría escasa probabldad de ser observados. S se pretedera costrur u tervalo que cotuvera al 95% de los valores co mayor probabldad de ser observados correspodetes a ua varable aleatora que se dstrbuye segú el modelo de probabldad 53 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

54 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca ormal, debería stuarse e el cetro de la dstrbucó y bastaría co calcular los valores de z y z que verfque: P( z X z) = 0,95 E el caso de la meda muestral: P( z X z) = 0,95 Para calcular los valores de z y z a partr de la dstrbucó ormal estádar, tpfcamos la varable restádole la meda y dvdedo por la desvacó típca z - X - z - z - z - P(z X z) = P = P Z = 0,95 / / / / / y dode la varable Z se dstrburá segú ua ormal estádar. E ua dstrbucó ormal estádar la probabldad de que la varable tome valores etre -,96 y,96 (tervalo cetrado) es 0,95 (ver tabla ). Por tato, los valores de z y z podrá obteerse despejado de las expresoes: - = -,96 / z ; z - =,96 / de dode se obtee: E deftva: σ z = μ -,96 ; z = μ +,96 σ P -,96 X +,96 = 0,95 S se costruye u tervalo para el parámetro descoocdo de la poblacó μ,y a partr de los datos de la muestra observada, de la forma que se descrbe a cotuacó, el 95% de los tervalos que podría costrurse a partr de las dferetes muestras que podría haberse obtedo por muestreo aleatoro, cotedría al verdadero valor del parámetro poblacoal: I 0,95 ( ) = x -,96, x +,96 Itervalo de cofaza para u parámetro poblacoal Puede observarse, a partr del resultado obtedo e el apartado ateror, que los elemetos ecesaros para la costruccó de u tervalo de cofaza a u determado vel de cofaza para la meda descoocda de ua poblacó so: la meda muestral, el error estádar de la meda muestral y dos coefcetes. E geeral, la costruccó de u tervalo de cofaza al vel -α para u parámetro descoocdo cualquera de la poblacó, dgamos θ podrá realzarse, e la mayoría de los casos (cuado la dstrbucó muestral asocada es smétrca), de la forma: I -α (θ) = [estmador putual-c -α/ x error estádar, estmador putual + c -α/ x error estádar] 54 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

55 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca dode los elemetos que ecesaros so: - el estmador putual del parámetro poblacoal θ - el error estádar del estmador - el coefcete c -α/ calculado sobre la dstrbucó de probabldad asocada al estmador putual y dode el vel de cofaza -α sgfca que el 00(-α)% de los tervalos que podría costrurse de esta forma para cada uo de los posbles resultados del estmador putual calculados a partr de las dferetes muestras aleatoras que podría obteerse por muestreo aleatoro cotedrá al verdadero valor del parámetro poblacoal. Otras dstrbucoes muestrales La utlzacó del muestreo aleatoro e el proceso de seleccó de los datos de la muestra y el coocmeto de las dstrbucoes muestrales asocadas a los dferetes estmadores ha sdo crucales e el proceso de estmacó de parámetros descoocdos de la poblacó. E el cuadro 3.3 aparece reflejadas las dstrbucoes muestrales de dferetes estmadores y que será utlzadas y aalzadas co mayor detalle e el sguete capítulo. Cuadro Dstrbucoes muestrales Parámetro Dstrbucó muestral μ, σ coocda Normal μ, σ descoocda t studet co - g.l p Aproxmadamete ormal μ -μ σ, σ coocdas Normal μ -μ μ -μ p -p σ,, σ descoocdas σ =σ σ,, σ descoocdas σ σ t studet co + - grados de lbertad t studet co gl grados de lbertad gl s (s / ) s (s / ) Aproxmadamete ormal σ J-cuadrado co - g.l 55 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

56 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca 3. CONTRASTES DE HIPÓTESIS Al gual que ocurre co la estmacó de parámetros descoocdos de la poblacó por medo de tervalos de cofaza, medate los cotrastes de hpótess també se pretede realzar ferecas sobre la poblacó objeto de estudo cuado úcamete se dspoe de ua muestra observada de dcha poblacó. El fucoameto de esta seguda técca ferecal se basa e la realzacó de ua afrmacó acerca de las característcas de ua o más varables e ua o más poblacoes (hpótess) y e el estudo de la compatbldad etre esta afrmacó y lo observado e la muestra. Cuato mayor sea la dscrepaca etre la hpótess realzada y la formacó proporcoada por la muestra observada, mayor será la evdeca e cotra de dcha hpótess. E el prmer ejemplo del presete capítulo el vestgador pretedía comprobar, a partr de la formacó sobre el tempo de supervveca correspodete a 4 pacetes tervedos qurúrgcamete de determada afeccó, s el tempo medo de supervveca desde el mometo de la tervecó y e este tpo de pacetes era superor a 5 años (hpótess). S el tempo medo de supervveca observado e la muestra fuera de 0 años, la dscrepaca etre lo supuesto e la hpótess y lo observado e la muestra sería superor a 5 años. La cuestó es s la dscrepaca observada podría ser explcada por el azar, al haber observado sólo ua parte pequeña de la poblacó, o por el cotraro es cosecueca de la falsedad de la hpótess realzada. Hpótess ula e hpótess alteratva La mecáca de los cotrastes de hpótess se basa e la defcó de dos hpótess efretadas, la hpótess ula H 0 y la hpótess alteratva H a. La hpótess ula es la hpótess que se pretede cotrastar y será mateda a meos que los datos observados e la muestra dque ua fuerte evdeca de que o es certa, sedo ésta la razó de que, a pesar de que el cotraste coduzca a aceptarla uca se cosdere probada. Por el cotraro s el cotraste de hpótess se decde por la hpótess alteratva y, por tato, rechaza la hpótess ula, será porque la evdeca e cotra de dcha hpótess es mafesta. E este setdo, alguos autores prefere afrma que ua hpótess ula uca puede ser aceptada, so smplemete rechazada o o rechazada, s be lo que quere expresarse es exactamete lo msmo. Hpótess smples y compuestas Las hpótess estadístcas puede clasfcarse e dos grupos, depededo de s especfca u valor cocreto para el parámetro o parámetros de la poblacó (hpótess smples) o s cosdera varos valores, habtualmete u tervalo, como posbles (hpótess compuestas). E el ejemplo ateror la hpótess de que el tempo medo de supervveca sea superor a 5 años costturía ua hpótess compuesta, puesto que cualquer valor del parámetro cludo e el tervalo ]5, + ] sería favorable a dcha hpótess. S el vestgador hubera estado teresado e comprobar s el tempo medo de supervveca es de exactamete 5 años, la hpótess, e este caso, sería smple. Etapas e la realzacó de u cotraste de hpótess A cotuacó se descrbe los pasos ecesaros para la realzacó de u cotraste de hpótess. Para lustrar mejor el procedmeto así como los elemetos que tervee e el msmo se utlzará los datos del ejemplo. Se cueta co formacó sobre el tempo medo de supervveca de 4 pacetes e los que la meda de supervveca es de 7 años co ua desvacó típca de,5 años. A efectos de smplcdad se supodrá, e u prmer mometo, que lo que el vestgador quere demostrar es s el tempo medo de supervveca es o o dstto de 5 años. ) Defcó de las hpótess del cotraste. Hpótess ula e hpótess alteratva. El parámetro sobre el que se pretede realzar u cotraste de hpótess es, e este caso, ua meda. Las hpótess quedará de la sguete forma 56 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

57 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca H0 : = 5 H : 5 a ) Defr ua medda de dscrepaca o estadístco de cotraste etre lo que se afrma e la hpótess ula y la formacó que proporcoa los datos de la muestra observada. E el caso del cotraste de ua meda, cuado se descooce la desvacó típca de la poblacó objeto de estudo, el estadístco de cotraste utlzado es x - t = 0 ŝ/ 4 ŝ = s =,5 =, dode μ 0 es el valor de la meda que se especfca e la hpótess ula, x es la meda muestral, s el estmador putual de la desvacó típca poblacoal y el tamaño de la muestra. Puede observarse que, dado que la desvacó típca es sempre ua catdad postva, la medda de dscrepaca o estadístco de cotraste tomará el valor cero úcamete cuado la meda observada e la muestra cocda exactamete co la que se propoe e la hpótess ula. Además, cuato mayor sea la dscrepaca etre la meda observada y la meda a la que se refere la hpótess ula, mayor será el umerador y, por tato, el valor del estadístco de cotraste. De este modo puede coclurse que valores del estadístco de cotraste próxmos a cero favorecería a la hpótess ula, metras que valores muy dstates de cero dcaría la exsteca de evdeca e cotra de dcha hpótess. E deftva, será ecesaro cotar co herrametas que permta decdr cuádo la dscrepaca es lo sufcetemete grade como para rechazar la hpótess ula. E este setdo será muy útl la cosderacó del sguete paso. 3) Coocer la dstrbucó de probabldad asocada (dstrbucó muestral) a la medda de dscrepaca o estadístco de cotraste. El coocmeto de la dstrbucó de probabldad que gobera el comportameto del estadístco de cotraste será vtal para el desarrollo fal del cotraste de hpótess. E el ejemplo se cueta co 4 datos. El teorema cetral del límte permtría cosderar que la dstrbucó de probabldad asocada a la meda es aproxmadamete ua ormal, pero como se descooce el valor de la desvacó t, - 0 típca de la poblacó la dstrbucó de probabldad asocada será, tal y como se mostraba e el cuadro 3.3, ua t de studet co - grados de lbertad. La dstrbucó es smétrca y está cetrada e cero. S la hpótess ula fuera certa el estadístco de cotraste debería tomar valores e la zoa cetral de la dstrbucó, sedo muy mprobable observar valores e cualquera de sus dos extremos. 4) Establecmeto del vel de sgfcacó del cotraste. Para decdr exactamete qué valores del estadístco de cotraste tedría ua probabldad de observarse práctcamete desprecable s la hpótess ula fuera certa, se defe el que se deoma vel de sgfcacó del cotraste o vel de sgfcacó a pror α. Habtualmete se cosdera valores de α del 57 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

58 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca tpo 0,05, 0,0 ó 0,00. E este ejemplo se decde utlzar u vel α=0,05. 5) Costruccó de ua regla de decsó. S el vel de sgfcacó elegdo es α=0,05 debería desprecarse valores del estadístco de cotraste co ua probabldad feror a 0,05. Como fue dscutdo co aterordad, los valores meos probables del estadístco de cotraste s la hpótess ula fuera certa se cocetra e ambos extremos de la dstrbucó, por tato, se defe como regó crítca de cotraste o regó de rechazo de la hpótess ula a la regó ]-, t 0,05 [ U ]t 0,975, +[ que aparece sombreada e la fgura sguete: t, t t De forma complemetara, se defe como regó de aceptacó de la hpótess ula a la regó compredda etre t 0,05 y t 0,975 [t 0,05, t 0,975 ]. Los valores t 0,05 y t 0,975 sobre ua dstrbucó t de studet co -=4-=40 grados de lbertad que determa la regó de aceptacó y de rechazo de la hpótess ula so aquellos que verfca: P(t t P(t t 0,975 0,05 ) = 0,05 ) = 0,95 + 0,05 = 0,975 Los valores so t 0,05 =-,0 y t 0,975 =,0 (ver tabla 3 de ua t de studet) La regla de decsó quedará e este caso de la sguete forma: - S t >,0 ó t<-,0 etoces se rechazará la hpótess ula - S -,0 t,0 etoces se aceptará la hpótess ula 6) Cálculo del estadístco de cotraste, aplcacó de la regla de decsó y coclusoes Por últmo será ecesaro calcular el valor del estadístco de cotraste y aplcar la regla de decsó. E el ejemplo se tedrá que: x - μ = ŝ/ t = =,5375/ 4,5375/ = 8,39 4 Como t=8,39 es mayor que,0 queda stuado e la regó crítca de cotraste o regó de rechazo de la hpótess ula y la regla de decsó coducrá a rechazar la hpótess ula, cosderádose que exste evdeca sufcete de que el tempo medo de supervveca es sgfcatvamete dstto de 5 años. E otro caso, la coclusó hubera sdo que o exstría evdeca para rechazar la hpótess ula, pudedo ser certa. Cotrastes blaterales y ulaterales Los cotrastes de hpótess puede ser ulaterales o de ua cola y blaterales o de dos colas depededo de la forma e que se platee las hpótess. Así, cuado se cotrasta la hpótess de que determado 58 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

59 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca parámetro de la poblacó tome exactamete u valor dado frete a la hpótess de que el parámetro tome u valor dstto al propuesto, el cotraste será blateral o de dos colas. H0 : = 0 H : a Obsérvese que la regó de rechazo defda por u cotraste de este tpo quedaría stuada a ambos extremos de la dstrbucó, puesto que debería rechazarse la hpótess ula tato cuado θ>θ 0 como cuado θ<θ 0. Por otra parte, s la hpótess se platea de forma que se atede úcamete al hecho de que ese msmo parámetro de la poblacó tome u valor superor (aálogamete feror) a u valor dado, el cotraste será ulateral o de ua cola. H0 : 0 ; H0 : 0 H : > ; H : < a 0 E este caso la regó de rechazo defda por el cotraste se stuaría be a la derecha de la dstrbucó (se rechaza H 0 cuado θ>θ 0 ), o be a la zquerda de la dstrbucó (se rechaza H 0 cuado θ<θ 0 ). E el ejemplo ateror se pretedía demostrar s el tempo medo de supervveca era superor a 5 años (μ>5). Podría cosderarse u cotraste ulateral o de ua cola de la sguete forma 0 a H0 : 5 H : > 5 a Dado que la hpótess ula uca se cosdera probada, la úca posbldad a la hora de demostrar s el tempo medo de supervveca será sgfcatvamete superor a 5 años es que esta hpótess se cosdere como hpótess alteratva. El estadístco de cotraste y la dstrbucó de probabldad asocada cocde exactamete co los expuestos e el cotraste blateral realzado co aterordad. Obsérvese que el estadístco t tomará valores grades y postvos cuado la meda observada sea mayor que 5, metras que e otro caso tomará valores próxmos a cero o egatvos. S se utlza el msmo vel de sgfcacó del cotraste α=0,05, la regó crítca de cotraste y la regla de decsó quedará: 0 t Regla de decsó 0 t 0.95 =.684 S t>,684 etoces se rechaza la hpótess ula S t,684 etoces se acepta la hpótess ula Como t=8,39>,684 se rechaza la hpótess ula y se cosdera que el tempo medo de supervveca e este tpo de pacetes es sgfcatvamete superor a 5 años. S se compara las regoes crítcas de cotraste obtedas para el cotraste blateral y el cotraste ulateral se observa que la cola de la derecha es mayor e el cotraste ulateral (a partr de,684 se rechazaría la hpótess ula) que e el blateral (a partr de,0 se rechazaría la hpótess). Por tato, exste mayor probabldad de rechazar la hpótess ula bajo el plateameto de cotrastes ulaterales. Probablemete el vestgador del ejemplo ateror plateó el cotraste ulateral ua vez calculada la meda de la muestra y después de haber observado que ésta era superor a 5, pretededo etoces demostrar s esa dfereca a favor de ua meda superor era sgfcatva. Dado que prevamete a la observacó de los datos de la muestra se descooce s la meda será o o superor a la que se propoe e la hpótess ula, o tedría setdo platearse s la meda de la 59 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

60 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca poblacó será o o sgfcatvamete superor a determado valor so, e todo caso, s sería sgfcatvamete dstta de ua valor dado (mayor o meor). Por tato, el plateameto blateral del cotraste sería el más dcado. Error tpo I y tpo II E u cotraste de hpótess, dode dos so los posbles resultados: Rechazar la hpótess ula o o rechazarla, també dos va a ser los posbles errores que pueda cometerse y que está relacoados co cada ua de las decsoes aterores. E el cuadro 3.4 ser refleja esta stuacó. Cuadro Tpos de error e u cotraste de hpótess Realdad H 0 falsa H 0 certa Decsó del Rechazo de H 0 Auseca de error Error tpo I cotraste No rechazo de H 0 Error tpo II Auseca de error El error de tpo I se defe como el error que se comete al rechazar la hpótess ula cuado ésta es certa. El cotraste coducrá al rechazo de la hpótess ula úcamete cuado el estadístco de cotraste se stúe e la regó crítca y esto sólo puede ocurrr co ua probabldad α. Luego, al establecer u vel de sgfcacó para el cotraste se está cotrolado la probabldad de cometer u error de tpo I. = p (cometer error tpo I)=p(Rechazar H 0 H 0 certa) Por otra parte el error de tpo II es el que se comete cuado o se rechaza la hpótess ula a pesar de que es falsa y suele deotarse por β. =p (cometer error tpo II)=p(Aceptar H 0 H 0 falsa) Poteca de u cotraste La poteca de u cotraste de hpótess se defe como la probabldad de rechazar H 0 cuado es falsa o, equvaletemete, la probabldad de aceptar la hpótess alteratva cuado ésta es certa. P(Aceptar H H certa) = P(Rechazar H H falsa) a a = - P(No rechazar H H falsa) = - E alguos estudos, las característcas de la muestra seleccoada puede mpedr la deteccó de evdeca sgfcatva e cotra de la hpótess ula que se platea auque ésta sea falsa. E este setdo, la poteca del cotraste podría terpretarse como la probabldad de ecotrar e el estudo evdeca sgfcatva e cotra de la hpótess ula e el caso de que efectvamete la hpótess ula fuera falsa. Cuado la hpótess alteratva es ua hpótess smple (especfca u úco valor para el parámetro) el valor de β es úco. S embargo, cuado la hpótess alteratva es compuesta exstrá ua valor de β asocado a cada ua de las posbldades. Esto sugere la defcó de la que se deoma fucó de poteca de u cotraste de la forma: 60 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

61 Estadístca básca e Cecas de la Salud Fudametos para extraer coclusoes de los datos: La fereca estadístca () = p (rechazar H 0 ) dode θ represeta todas las posbldades del parámetro sobre el que se pretede cotrastar algua hpótess. Cuado susttumos θ por el valor que se especfca e la hpótess ula θ 0, la fucó de poteca toma el valor α. Por otra parte, cuado θ toma cualquer otro valor, la fucó de poteca quedará: () = p (rechazar H 0 ) = - () El cotraste de hpótess y el vel de sgfcacó α La posbldad de rechazar ua hpótess ula depede e gra parte de la magtud de la regó crítca de cotraste. El tamaño de esta regó crítca está determado por el valor del vel de sgfcacó del cotraste α. Por tato, el resultado del cotraste de hpótess será depedete del vel de sgfcacó elegdo, pudédose dar el caso e que se rechace la hpótess ula trabajado co u vel de sgfcacó α=0,05 y o rechazarse al vel α=0,045. Por otra parte, la aplcacó de la regla de decsó del cotraste ta sólo permte coclur s se cosgue o o se cosgue rechazar la hpótess ula pero o forma sobre la magtud de la evdeca e cotra de dcha hpótess. Ambos problemas puede solucoarse defedo el que se deoma vel crítco p, p-valor o vel de sgfcacó a posteror. El valor p o vel de sgfcacó a posteror El valor p se defe como la probabldad de observar, bajo la suposcó de que la hpótess ula es certa, u valor del estadístco de cotraste o medda de dscrepaca gual o más extremo que el observado e la muestra. Por tato, el valor de p o se fja a pror so que es calculado a partr de los datos de la muestra (a posteror). S se tee e cosderacó que e el ejemplo los valores más probables del estadístco de cotraste, s la hpótess ula fuera certa, se ecotraría stuados e la zoa cetral de la dstrbucó y que los más mprobables se ecotraría e los extremos, el valor de p estaría formado sobre la stuacó del valor del estadístco de cotraste co respecto a la dstrbucó. Así, valores muy pequeños de p estaría dcado que el estadístco de cotraste se ecuetra stuado e cualquera de los dos extremos de la dstrbucó y la evdeca e cotra de la hpótess ula sería patete. Además, cuato más pequeño sea el valor de p mayor será la evdeca e cotra de la hpótess ula. E el ejemplo el valor del estadístco de cotraste era t=8,39. El valor de p será la probabldad de observar u valor del estadístco o medda de dscrepaca gual o más extremo al observado. E el caso del cotraste ulateral se tedrá: p = p (t8,39) < 0,05 E el caso del cotraste blateral debe cosderarse tato la probabldad de que el estadístco de cotraste sea mayor o gual que 8,39 como la de que sea meor o gual que -8,39, ya que las dscrepaca etre lo que se afrma e la hpótess ula y lo observado e la muestra puede ser postva o egatva, depededo del extremo de la dstrbucó e que se stúe el estadístco de cotraste. Etoces el valor de p deberá calcularse: p = p (t -8,39) + p (t 8,39) =. p (t 8,39) <. 0,05 = 0,05 6 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

62 C A P I T U L O 4 QUE PRUEBA ESTADISTICA UTILIZAMOS? SELECCION DE PRUEBAS ESTADISTICAS DE INFERENCIA: APLICACIONES BASICAS E el capítulo 3 se ha descrto los fudametos y elemetos ecesaros para la aplcacó de los dos procedmetos ferecales báscos: la estmacó, especalmete la costruccó de tervalos de cofaza, como procedmeto para la cuatfcacó de parámetros descoocdos, y el cotraste de hpótess, como procedmeto para la toma de decsoes acerca de eucados o relacoes etre parámetros o característcas de las varables a estudo. El objetvo de éste capítulo es resumr los procedmetos estadístcos ferecales báscos, especalmete los relatvos a pruebas o cotrastes de hpótess, subrayado las stuacoes que da lugar a su utlzacó y estructurado los elemetos ecesaros para su aplcacó. Aspectos tales como la aturaleza de las varables estudadas, el objetvo del estudo, o las lmtacoes dervadas de los propos requermetos estadístcos, puede ayudar a seleccoar la prueba oportua. 4. VARIABLE RESPUESTA Y VARIABLES EXPLICATIVAS La aplcacó de los procedmetos ferecales se realzará sobre la formacó que los dferetes dvduos de la muestra os aporta a través de las observacoes de las varables a estudo. E geeral, el terés se cetrará e el estudo de característcas de algua varable, de forma geeral, o sea, e toda la muestra, e subgrupos de ésta, es decr, e dferetes submuestras, o e relacó a otra varable. La varable a estudo suele ser detfcada como varable depedete, metras que, cuado se aalza ésta e dferetes submuestras, o e relacó a otra varable, la varable que defe los grupos o submuestras o co la que se quere relacoar recbe el ombre de depedete. Los térmos depedete e depedete so utlzados para descrbr el papel de las varables e el aálss y o hace refereca a la codcó real de depedeca o relacó etre las varables. Por ello, e u leguaje más actual, es preferble detfcar las varables a estudo de acuerdo co su papel real. Así, la varable a estudo es deomada varable respuesta, metras que la varable depedete pasará a llamarse varable explcatva. Para compreder el papel de las varables, las stuacoes descrtas, y dferetes stuacoes a resolver a lo largo de este capítulo se preseta el sguete ejemplo:

63 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas E u estudo realzado e u cetro de salud sobre la efcaca de u programa educatvo para promocoar la lactaca matera se seleccoaro de forma aleatora 6 mujeres, embarazadas y prmíparas. Se regstró la edad, la acttud haca la lactaca matera ates y después del parto, clasfcada como postva y egatva, y el tempo que estuvero amamatado a sus hjos. De las 6 mujeres, 3 de ellas fuero asgadas aleatoramete a u programa educatvo de promocó de la lactaca matera. Los datos regstrados se preseta e la base que recoge el cuadro 4.. Alguas pregutas de terés sobre estos datos podría ser: 0 E Ac Pr Ac T 0 E Ac Pr Ac T Cuadro 4..- Datos(smulados) de u estudo sobre lactaca matera. Varables: O=N de orde, E=Edad, Ac=Acttud haca la lactaca postva egatva, ates del parto, Pr=Itervecó e u programa educatvo sobre lactaca matera o, s, Ac=Idem Ac pero tras el parto, T=Tempo de lactaca Cuál es la edad (varable respuesta) meda e la poblacó de la que procede las mujeres estudadas? Podemos decr que hay dferecas sgfcatvas e la edad (varable respuesta) meda etre las mujeres que preseta ua acttud ate la lactaca ates del parto (varable explcatva) postva y las que la preseta egatva? Las dferecas observadas e la proporcó de mujeres que preseta ua acttud egatva haca la lactaca ates del parto (varable respuesta) etre las sometdas al programa y las que o lo sgue (varable explcatva), podemos decr que so debdo al azar? El tempo de lactaca (varable respuesta), se ve fludo por la edad (varable explcatva) de la madre? Ha habdo varacó sgfcatva e la acttud haca la lactaca (varable respuesta) por el hecho de haber tervedo a través del programa educatvo? 63 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

64 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas 4. SELECCION DE PRUEBAS ESTADISTICAS La seleccó de la prueba estadístca a utlzar e ua stuacó cocreta de aálss depederá, e prmera staca, del objetvo persegudo e el aálss (estmacó de parámetros, comparacó del comportameto de ua varable, etc.). No obstate, la aturaleza de los datos y el tpo de varables estudadas sugerrá las pruebas estadístcas más oportuas. Los cuadros 4. y 4.3 preseta los procedmetos báscos más utlzados e stuacoes ferecales, depededo de la aturaleza de las varables estudadas. Así, el cuadro 4. hace refereca a aquellas stuacoes e las que se está teresado e ferr acerca del comportameto de ua varable respuesta segú ua varable explcatva categórca que defe el úmero de grupos. Icluye las stuacoes comparatvas habtuales, y, e caso de probar dferecas e el comportameto de la varable respuesta segú el úmero de grupos, se podrá hablar de relacó o asocacó etre ésta y la explcatva. El cuadro 4.3 recoge las stuacoes de estudo de la relacó etre dos varables para los casos e que ambas sea cualtatvas o categórcas, cuattatvas ordales o trasformadas e ragos, o cuattatvas cotuas. E estos casos, los procedmetos habtuales permte probar la exsteca de asocacó o relacó a través de algua prueba de hpótess global (como la prueba basada e el estadístco J-cuadrado para varables cualtatvas o categórcas) o a través de coefcetes o modelos que detecte la magtud y/o forma de la relacó etre las varables (caso del coefcete de correlacó de Spearma o el de Pearso y el modelo de regresó leal smple). A cotuacó pasamos a descrbr los dferetes procesos de fereca sugerdos e los cuadros mecoados. 4.3 ESTUDIO DE UNA VARIABLE RESPUESTA EN UNA POBLACION E este apartado se descrbe las característcas de las pruebas ferecales para el estudo de ua varable e u úco grupo. La seleccó de los procedmetos a utlzar depede de s la varable es cualtatva o cuattatva. Cuado es cualtatva, la proporcó de dvduos que verfca ua de sus categorías es el parámetro de terés más frecuete. E el caso de que sea cuattatva, la meda de la varable es el parámetro de terés más frecuete. Tato e uo como e otro caso, el objetvo suele ser estmar o cotrastar hpótess sobre sus valores. A cotuacó se desarrolla la solucó a la costruccó de tervalos de cofaza y cotraste de hpótess para las stuacoes descrtas, bajo u esquema que recorre los putos clave para obteer la solucó adecuada (ver fgura 4.). Stuacó/ Objetvo Suposcoes/ Requermetos Itervalo de cofaza Cotraste de hpótess Aplcacó sobre u ejemplo Fgura 4..- Esquema de presetacó de los procedmetos de fereca 64 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

65 Cuadro 4..- Clasfcacó de métodos estadístcos de fereca segú la aturaleza de la varable respuesta, para ua varable explcatva categórca, y segú su úmero de grupos Varable respuesta Nº de grupos (Varable explcatva) Dseño de los grupos Objetvo Pruebas estadístcas grupo Estmar la proporcó de ua categoría de la varable. Probar s la proporcó puede ser gual a algú(os) valor(es) predetermado(s) - Itervalo de cofaza y prueba z sobre proporcoes Cualtatva grupos Idepedetes Probar s hay dfereca e las proporcoes de algua de las categorías etre los grupos - Itervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes y prueba z de comparacó de proporcoes Apareados Probar s la proporcó de ua categoría de la varable es la msma e los dos grupos apareados - Prueba de McNemar > grupos Idepedetes Apareados Probar s hay dfereca e las proporcoes de las categorías de la varable etre los grupos Probar s las proporcoes de las categorías de la varable so las msmas e los grupos apareados - Prueba J-cuadrado - Prueba de Cochra (varable respuesta dcotómca) - Coefcete Kappa * grupo Estmar la meda de la varable. Probar s la meda puede ser gual a algú(os) valor(es) predetermado(s) - Itervalo de cofaza y prueba t sobre medas Cuattatva grupos Idepedetes Apareados Probar s hay dfereca e el comportameto de la varable etre los grupos Probar s hay dfereca e el comportameto de la varable etre los grupos apareados - Itervalo de cofaza para la dfereca de medas y prueba t de comparacó de medas - Prueba U de Ma-Whtey - Itervalo de cofaza para la meda de las dferecas y prueba t para datos apareados - Prueba de Wlcoxo por ragos > grupos Idepedetes Probar s hay dfereca e el comportameto de la varable etre los grupos - Aálss de la varaza de ua vía * - Prueba de Kruskal-Walls Apareados Probar s hay dfereca e el comportameto de la varable etre los grupos apareados - Aálss de la varaza de meddas repetdas * - Prueba de Fredma

66 Cuadro Procedmetos estadístcos para el estudo de la relacó etre dos varables, segú su tpo Tpo de varables Objetvo Prueba estadístca Cualtatvas Establecer s exste asocacó etre las categorías de la varable - Prueba J-cuadrado Cuattatvas trasformadas e ragos u ordales Establecer s exste relacó etre las varables, ua vez trasformadas e ragos o poscoes ordales - Coefcete de correlacó de Spearma Cuattatvas Establecer s exste relacó leal etre las varables. Costrur u modelo que dé forma leal a la relacó - Coefcete de correlacó leal de Pearso - Modelo de regresó leal smple

67 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas Itervalo de cofaza y cotraste de hpótess sobre ua proporcó Cuado la varable es cualtatva, el terés suele resdr e coocer aspectos relatvos a la proporcó de dvduos que verfca algua de sus categorías. Stuacó Se dspoe de ua muestra aleatora de tamaño, sobre la que se observa ua varable cualtatva dcotómca, co proporcó poblacoal p e ua de sus categorías, sedo pˆ la proporcó muestral de esa categoría Suposcoes/Requermetos Se requere que p y (-p) sea catdades mayores que 5 Itervalo de cofaza El tervalo de cofaza (IC) de vel -α para p se obtee como: (p) = pˆ z IC - / pˆ (- pˆ) co z -α/ coefcete de u modelo ormal para el vel de cofaza exgdo Cotraste de hpótess Para cotrastar la hpótess ula de que la proporcó p es gual a u valor especfcado p 0, el estadístco de cotraste es: z = pˆ - p 0 p0 (- p0) cuya dstrbucó muestral es ormal U ejemplo Sobre los datos recogdos e el cuadro 4., teresa coocer cuál es el tervalo de cofaza para la proporcó poblacoal de mujeres prmíparas co acttud postva haca la lactaca matera, ates del parto, y ates de que gua de ellas sea sometda al programa educatvo que se descrbe. Adcoalmete, teresa coocer s puede aceptarse o debe rechazarse que la proporcó descrta sea de 0,75. Se dspoe de ua muestra aleatora de =6 mujeres, de las que 37 (59,7%) mafesta teer ua acttud postva haca la lactaca matera. El requermeto para aceptar la ormaldad de las dstrbucoes muestrales utlzadas puede ser evaluado de forma aproxmada a través de: pˆ = 37 y (- pˆ) = 5 catdades superores a Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

68 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas El tervalo de cofaza, de vel 95%, para la proporcó poblacoal será: IC0,95 (p) = 0,597,96 = [ 0,597 0, 0,597 (- 0,597) 6 ] = [ 0,475, 0,79 por lo que la proporcó poblacoal se ecotrará etre 0,475 (47,5%) y 0,79 (7,9%) co segurdad 95%. Para decdr sobre la seguda preguta, cotrastaremos la hpótess ula de que la proporcó poblacoal pueda ser p 0 =0,75, resolvedo el cotraste a vel de sgfcacó α=0,05: ] z = 0,597-0,75 0,75 (- 0,75) 6 = -,78 valor que queda fuera de los valores crítcos -,96 y,96 que delmta la regó de aceptacó de la hpótess ula, por lo que debemos rechazar ésta, cocluyedo que la proporcó estudada debe ser dstta a 0.75, co p (probabldad a posteror de error tpo I) Itervalo de cofaza y cotraste de hpótess sobre ua meda Cuado la varable es cuattatva, la meda es el parámetro de localzacó de terés más frecuete. Stuacó Se dspoe de ua muestra aleatora de tamaño, y observacoes depedetes de ua varable cuattatva co meda μ y desvacó típca σ. La solucó tato para la costruccó del tervalo como del cotraste de hpótess depede de s σ es coocda o descoocda. No obstate, puesto que σ suele ser descoocda e la práctca totaldad de las ocasoes, sólo se abordará este caso. Se tedrá, x = = x y s = = (x - x ) - como estmadores muestrales de la meda y la desvacó típca de la varable, respectvamete (e adelate, las desvacoes típcas será sempre las correspodetes a las estmacoes muestrales descrtas e el capítulo precedete) Suposcoes/Requermetos Se requere que la varable respuesta sga u modelo de probabldad ormal, o, e su defecto, que sea mayor que 30. Itervalo de cofaza El tervalo de cofaza (IC) de vel -α para μ se obtee como: IC - ( ) = x t - / 68 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo s

69 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas co t exgdo. - / coefcete de u modelo t de studet co - grados de lbertad, para el vel de cofaza Cotraste de hpótess Para cotrastar la hpótess ula de que la meda μ es gual a u valor especfcado μ 0, el estadístco de cotraste es: x - t = 0 s/ cuya dstrbucó muestral es t de studet co - grados de lbertad. U ejemplo Sobre los datos recogdos e el cuadro 4., teresa coocer cúal es el tervalo de cofaza, de vel 95% para la meda poblacoal de la edad de las mujeres estudadas. Adcoalmete, teresa coocer s puede aceptarse o debe rechazarse que la edad meda es de 6 años. Se dspoe de ua muestra aleatora de =6 mujeres, para las que la edad alcaza e la muestra ua meda x = 6,95 años, y ua desvacó típca s = 5,0. El requermeto para costrur tervalos de cofaza o cotrastar hpótess se cumple, pues es mayor que 30. El tervalo de cofaza de vel 95%, para la meda poblacoal de edad será: 5, IC 0, 95 ( ) [6,95,0 ] [6,95,3] 6 [5,63 ; 8,7] por lo que la edad meda se ecotrará etre 5,63 años y 8,7 años, co cofaza 95%. Para decdr sobre s la edad meda puede ser de 6 años o o, cotrastaremos la hpótess ula de que la meda de edad pueda ser μ 0 =6 años, resolvedo el cotraste a vel de sgfcacó α=0,05, el estadístco de cotraste toma el valor: t = 6,95-6 5,/ 6 =,44 valor que queda cludo etre los valores crítcos - y, que delmta la regó de aceptacó e u modelo t de studet co -=6 grados de lbertad, para el vel de sgfcacó exgdo. Se cocluye que el valor 6 para la meda de la edad o puede ser rechazado, o hay sufcete evdeca e los datos para hacerlo. 4.4 ESTUDIO DE UNA VARIABLE RESPUESTA EN DOS POBLACIONES El estudo de ua varable e dos poblacoes suele persegur como objetvo habtual la comparacó de sus característcas etre los grupos estudados. Cuado la varable es cualtatva, el terés se cetra e comparar las proporcoes de algua de sus categorías, metras que s es cualtatva, la meda es el 69 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

70 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas parámetro que habtualmete se compara etre los grupos estudados. S embargo, el dseño utlzado para geerar las muestras de las respectvas poblacoes fluye de forma decsva sobre las pruebas a utlzar. Los posbles dseños depede de s etre los sujetos de las muestras estudadas exste vículos o exos que relacoe, por parejas, a cada dvduo de ua de las muestra co otro de la otra muestra, hablado etoces de muestras apareadas o emparejadas, o s, por el cotraro, los sujetos de cada ua de las muestras so seleccoados de las respectvas poblacoes de forma depedete, hablado etoces de muestras depedetes. Como ejemplos de estos posbles dseños, se puede cosderar los datos cludos e el cuadro 4.. S quséramos comparar la edad segú la acttud cal haca la lactaca matera, las mujeres que calmete preseta acttud postva y las que preseta acttud egatva puede cosderarse muestras depedetes, cada ua de ellas represetatva de la correspodete poblacó, puesto que o exste gú vículo etre las que verfca u resultado y las que verfca otro. S embargo, s queremos comparar la proporcó de acttud postva ates y después del programa educatvo, las muestras a utlzar será las de las 3 mujeres asgadas al programa educatvo, ates y después de recbrlo, es decr, las msmas mujeres, exstedo u vículo obvo etre los grupos estudados. Esta últma stuacó es u ejemplo de apareameto. El apareameto persgue como objetvo hacer que los grupos estudados sea lo más comparables etre sí, elmado la posbldad de que varables extrañas fluya sobre la tdez de los resultados de las comparacoes. Al gual que e el apartado ateror, la seleccó de procedmetos de fereca depederá de s la varable respuesta es cualtatva o cuattatva. La exposcó de los procedmetos báscos se guará por el esquema descrto e la fgura 4.. Comparacó de proporcoes de poblacoes depedetes Se supodrá grupos geerados de forma depedete. El terés se cetra e comparar las proporcoes de algua de las categorías de ua varable cualtatva etre las poblacoes estudadas. Stuacó Se dspoe de dos muestras aleatoras de tamaños y, de dos poblacoes depedetes, y ua varable cualtatva dcotómca, co proporcoes p y p para ua de las categorías de la varable, sedo pˆ y pˆ las correspodetes proporcoes muestrales. Suposcoes/Requermetos S el tamaño total de la muestra, = +, está compreddo etre 0 y 40, las catdades p, (-p ), p y (-p ) debe ser todas ellas superores a 5. Para feror o gual a 0, el procedmeto o es adecuado. Itervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes El tervalo de cofaza de vel -α para p - p se obtee como: IC - (p - p) = (pˆ - pˆ ) z / (- pˆ pˆ (- ) pˆ pˆ + ) co z -α/ coefcete de u modelo ormal para el vel de cofaza exgdo. Cotraste de hpótess para comparar las proporcoes Para cotrastar la hpótess ula de que las proporcoes p y p so guales ( p - p = 0), el estadístco de cotraste es: pˆ - pˆ z = pˆ (- pˆ) 70 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

71 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas co pˆ la proporcó muestral de la categoría estudada combado ambos grupos. El estadístco z sgue ua dstrbucó muestral ormal. U ejemplo Sobre los datos recogdos e el cuadro 4., queremos saber s hay dferecas e la proporcó cal de acttud postva haca la lactaca matera etre las mujeres que ha sdo asgadas al programa educatvo y las que o lo ha sdo. Se supoe que o debe haberlas, puesto que la asgacó ha sdo al azar. Para dscutr este objetvo costruremos el tervalo de cofaza de vel 95% para la dfereca de proporcoes, y cotrastaremos la hpótess ula de gualdad de proporcoes. Se dspoe de dos grupos depedetes (la asgacó se ha realzado al azar), co muestras de tamaños =3 (grupo que o es tervedo) y =3 (grupo que es tervedo). El tamaño total es =6. Los casos observados de acttud postva so 9 y 8, respectvamete, y, por cosguete, las proporcoes muestrales observadas so pˆ = 0,63 y pˆ = 0,58y la proporcó cojutapˆ = 0,596. El tervalo de cofaza para la dfereca de proporcoes será: IC0,95 (p- p) = (0,63-0,58),96 = [ 0,03 0,44 0,63 (- 0,63) 0,58(- 0,58) ] = [ - 0,, 0,76 ] e el que se observa que la dfereca puede ser a favor de ua de las proporcoes o de la otra, cluyedo el valor 0. Para decdr sobre la gualdad de proporcoes se cotrastará la hpótess ula de gualdad de proporcoes a través del estadístco: z = 0,63-0,58 0,596 (- 0,596) 3 3 = 0,57 valor que queda cludo e la regó de aceptacó de la hpótess ula para α=0,05, delmtada por los valores -,96 y,96 de la curva ormal. Coclumos que o podemos rechazar la gualdad de las proporcoes estudadas. Comparacó de proporcoes de poblacoes apareadas S la seleccó de los sujetos de los grupos a estudo se realza de forma apareada, es ecesaro utlzar procedmetos ferecales que cotemple esta stuacó. E otro caso, los procedmetos para grupos depedetes o será satsfactoros. Presetamos e este puto la prueba más utlzada para comparar proporcoes etre grupos apareados. Stuacó Se dspoe de dos muestras apareadas, co tamaño para cada ua de ellas ( pares de observacoes), y ua varable cualtatva dcotómca co proporcoes poblacoales p y p para ua de sus categorías. Los datos muestrales debe ser estructurados e la forma que refleja el cuadro 3.4. De los pares de observacoes, e a de ellos tato el dvduo del grupo como su pareja del grupo respode a la categoría + (represetacó de ua de las categorías de la varable a estudo), e b ocasoes el dvduo del grupo es - y el del grupo es +. E c ocasoes el dvduo del grupo es + y el del es -, metras que e d ocasoes ambos so -. La formacó relevate es la coteda e b y e c, puesto que la de a y b es rrelevate, dado que tato el dvduo de u grupo G r + u p o - Grupo + - a c Cuadro Estructura para datos apareados, varables cualtatvas b d 7 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

72 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas como su pareja del otro se comporta gual. Suposcoes/requermetos Es ecesaro que b+c sea mayor de 0. Cotraste de hpótess para comparar las proporcoes apareadas. Prueba de McNemar Para cotrastar la hpótess ula de gualdad de proporcoes de respuesta a ua de las categorías el estadístco de cotraste de McNemar es: (b - c) = b + c que sgue ua dstrbucó j-cuadrado co grado de lbertad. U ejemplo Sobre los datos recogdos e el cuadro 4., queremos comparar las proporcoes de acttud postva haca la lactaca matera, ates y después del programa educatvo, para evaluar su efecto. Se dspoe de dos grupos apareados (e realdad so el msmo), 3 mujeres ates y después del programa. Los datos observados, estructurados de acuerdo co la stuacó apareada so: Grupo + - G r + u p o - 7 dode el grupo so las 3 mujeres ates del programa de tervecó, y el grupo después del programa, exstedo 7 casos e los que la mujer tee acttud postva ates y después, casos e los que tee acttud egatva ates y postva después, caso al cotraro y casos co acttud egatva ates y después. Puesto que b + c =, los requermetos se cumple, y el estadístco del cotraste de McNemar será: (- ) = + = 8,33 cuyo valor, 8,33, debe ser comparado co el de u modelo j-cuadrado co grado de lbertad, obteedo que, para u cotraste blateral, se ecuetra fuera de la regó de aceptacó de la hpótess ula, delmtada por los valores 0,00098 y 5,04. Comparacó de medas de poblacoes depedetes Se supodrá grupos geerados de forma depedete. El terés resde e comparar las medas de ua varable cuattatva etre las poblacoes estudadas. 7 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

73 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas Stuacó Se dspoe de dos muestras aleatoras depedetes, de tamaños y, y ua varable cuattatva co medas μ y μ y desvacoes típcas σ y σ e las respectvas poblacoes. Suposcoes/requermetos - La varable respuesta es ormal e las dos poblacoes estudadas o los tamaños muestrales de ambos grupos, y, so mayores de 30. La solucó a los tervalos de cofaza y cotraste de hpótess depede de s las desvacoes típcas poblacoales, σ y σ so coocdas o descoocdas, y e este últmo caso s puede supoerse guales o se rechaza la gualdad, sedo dferetes. E este texto cosderaremos úcamete la posble dsyutva sobre s las desvacoes típcas so guales o dferetes, sedo descoocdas, puesto que la stuacó coocdas se preseta co escasa frecueca. Para dscutr la gualdad o dfereca de σ y σ recurrremos a u cotraste de hpótess de comparacó de varazas. La comparacó de medas se realzará e fucó de su resultado. Ua cosderacó es que el cotraste de comparacó de varazas requere ormaldad de la varable a estudo e cada uo de las poblacoes estudadas. Cotraste de comparacó de varazas Se cotrastará la hpótess ula de gualdad de varazas a través del estadístco de cotraste: s F = s Para u cotraste blateral, se stuará e el umerador la mayor de las varazas muestrales, y el resultado del estadístco se comparará co el valor crítco F -α/ de u modelo de probabldad F de Sedecor co - y - grados de lbertad (del umerador y del deomador), respectvamete. Itervalo de cofaza para la dfereca de medas El tervalo de cofaza para la dfereca de medas se obtee, segú el cotraste de gualdad de varazas poblacoales coduzca a aceptar la hpótess ula (gualdad de varazas) o a rechazarla (varazas dsttas) será:. Caso de varazas poblacoales descoocdas y supuestamete guales co IC - ( - ) = (x- x ) t / sp s p = ( - ) s + ( - ) s + - y t -α/ coefcete de ua t de studet co + - grados de lbertad. Caso de varazas poblacoales descoocdas y sgfcatvamete dsttas IC - ( - ) = (x- x ) t / s s + E este caso, t -α/ debe ser obtedo de ua dstrbucó t de studet co grados de lbertad f, aproxmados a través de la expresó: 73 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

74 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas ( s / + s / ) f = (s / ) (s / ) Cotraste de hpótess para comparar las medas Podemos cotrastar la hpótess de que las medas poblacoales μ y μ so guales, ( μ - μ = 0), segú las varazas poblacoales se supoga guales o sea dferetes a través de los estadístcos de cotraste correspodetes:. Caso de varazas poblacoales descoocdas y supuestamete guales t = (x x sp ) co s p defdo aterormete y el estadístco t sgue u modelo t de studet co + - grados de lbertad. Caso de varazas poblacoales descoocdas y sgfcatvamete dsttas t = ( x - x ) s s + El estadístco t sgue aproxmadamete ua dstrbucó t de studet co f grados de lbertad como se defó prevamete. U ejemplo Ua de las varables cluda e los datos del cuadro 4. es la edad de las mujeres estudadas. Iteresa averguar s exste dfereca sgfcatva e las medas de edad de las mujeres segú su acttud haca la lactaca matera, tras el parto, sea postva o egatva. Se desea cuatfcar la dfereca promedo de edad etre uo y otro grupo. Se dspoe de dos muestras aleatoras e depedetes de tamaños =43 (mujeres que tras el parto tee acttud postva) y =9 (mujeres que tras el parto preseta acttud egatva), co medas y desvacoes típcas muestrales de: x = 5,90,x = 9,3, s = 4,77,s = 5,47. Para decdr s las varazas muestrales se supoe guales o so dferetes se realzará el cotraste de hpótess de comparacó de varazas. Se cotrastará la hpótess ula de gualdad de varazas poblacoales a través del estadístco: 5,47 F = 4,77 =,3 74 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

75 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas valor que o resulta sgfcatvo e ua F de Sedecor co 4 y 8 grados de lbertad, para α = 0,05, supoedo etoces que las varazas poblacoales so guales. Para que el resultado obtedo sea rguroso es ecesaro supoer que la varable edad sgue u modelo ormal e ambos grupos. El valor de la varaza comú será sp = 4,90. El tervalo de cofaza, de vel 95%, será etoces: ( I0,95 - ) = (5,90-9,3),00 = [ - 6,6, - 0,66 ] 4, habedo obtedo el coefcete t e u modelo t de studet co 60 grados de lbertad, y sedo la meda de edad del grupo de respuesta postva desde 0,66 hasta 6,6 años feror al de respuesta egatva, co segurdad 95%. E promedo, las madres prmíparas co acttud postva haca la lactaca matera so más jóvees. El cotraste de la hpótess ula de gualdad de medas, μ - μ = 0, se basará e el estadístco: t = (5,90-9,3) 4,90 43 = -,48 que queda fuera de los límtes que delmta la regó de aceptacó de la hpótess ula, valores -,00,,00, de u modelo t de studet co 60 grados de lbertad, rechazado la hpótess de gualdad de medas. Para la valdez de los resultados es ecesaro supoer ormaldad de la varable e ambos grupos, pues e uo de ellos el úmero de efectvos es 9, feror a 30. Comparacó de medas de poblacoes apareadas E el caso de grupos apareados, la comparacó de medas se realzará a través de las dferecas etre cada valor de la varable sobre cada dvduo de uo de los grupos y el valor de la varable e su pareja. Stuacó Se dspoe de ua muestra de pares de observacoes, x, x ), =,...,, de ua varable cuattatva co ( medas μ y μ respectvamete. Se dspodrá la varable creada a partr de las dferecas : d = x varable co meda poblacoal μ d = μ - μ, y meda y desvacó típca muestrales xd, sd. - x, Suposcoes/Requermetos El modelo de probabldad segudo por la varable de las dferecas es ormal o es mayor que 30. Itervalo de cofaza para la dfereca de medas Podemos costrur el tervalo de cofaza para la dfereca de medas a través del tervalo para la meda de las dferecas: 75 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

76 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas IC - ( d) = x d t / sd co t -α/ coefcete de ua t de studet co - grados de lbertad Cotraste de hpótess para la dfereca de medas Se cotrastará la hpótess ula de gualdad de medas a través de la hpótess ula μ d = 0. El estadístco de cotraste es: x t = s / cuya dstrbucó muestral es la de ua t de studet co - grados de lbertad d d U ejemplo Los datos que se preseta e el cuadro 3.5 correspode a observacoes obtedas sobre 0 dvduos de la varable vel de ácdo úrco (mg/00ml) y la varable respuesta postva a u tratameto, e tres mometos dsttos del tempo. Las varables UR, UR y UR3 cotee los datos sobre ácdo úrco e los tempos que geércamete se detfcará como, y 3. Se pretede comparar los veles medos de ácdo úrco etre los tempos y 3, para saber s se ha producdo ua dsmucó sgfcatva. Se dspoe de dos muestras apareadas, pues se trata de los msmos dvduos, referdas a los states y 3. La varable de las dferecas etre los veles de ácdo úrco del mometo y el 3 preseta ua meda y desvacó típca de xd =,97, sd =,39, y el tervalo de cofaza para la meda de las dferecas, μ d = μ - μ, de vel 95% será:,39 IC0.95 ( d) =,97,093 0 =[,85, 4,09 ] UR UR UR3 R R R Cuadro Observacoes sobre 0 dvduos por lo que se puede afrmar, co segurdad 95%, que se produce ua dsmucó meda etre,85 y 4,09 mg/00ml e el vel de ácdo úrco. A través del cotraste de hpótess para la hpótess ula de que la meda de las dferecas es cero, μ d = μ - μ = 0, tedremos:,97 t =,39 / 0 = 5,55 valor que, para u vel de sgfcacó α = 0,05, excede los límtes de la regó de aceptacó de la hpótess ula, delmtada por los valores -,093 y,093, obtedos de ua t de studet co 9 grados de lbertad, detectado dferecas sgfcatvas etre las medas. Tato para el tervalo de cofaza como 76 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

77 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas para el cotraste de hpótess es ecesaro supoer ormaldad de la varable vel de ácdo úrco, puesto que el tamaño muestral es 0, feror a 30. Pruebas o paramétrcas para la comparacó de ua varable respuesta cuattatva e dos grupos E los apartados precedetes se ha establecdos las pruebas más habtuales para la comparacó de ua varable cuattatva e dos grupos, depedetes o apareados, a través de las medas de la varable respuesta. S embargo, las suposcoes y requermetos que se establece puede resultar de dfícl cumplmeto e alguas ocasoes, especalmete s el tamaño de los grupos estudados es pequeño. E estos casos puede recurrrse a la utlzacó de pruebas o paramétrcas o de lbre dstrbucó. La vetaja de estas pruebas estrba e que o ecesta apeas requermetos. S embargo, las hpótess que permte cotrastar o puede cosderarse equvaletes a las descrtas para los métodos precedetes, debedo teer presete que las coclusoes obtedas o so absolutamete equvaletes. E geeral, el mecasmo de fucoameto de estas pruebas se basa e la trasformacó de los valores de la varable cuattatva e poscoes ordales o ragos ua vez los hemos ordeado de meor a mayor. Así, u valor de 35 años para la varable edad pasaría, e ua stuacó cocreta, a ser, por ejemplo, el rago 84 de etre ua muestra de 300 observacoes, s ese valor ocupa el orde 84 ua vez hemos ordeado todas las edades de meor a mayor. Presetamos a cotuacó dos pruebas o paramétrcas útles para comparar ua varable respuesta cuattatva etre dos poblacoes, segú los grupos muestrales sea depedetes o apareados. La exsteca de dudas sobre el cumplmeto de los requermetos descrtos para las stuacoes cotempladas e los apartados precedetes, o la costatacó de que o se cumple, sugere la utlzacó de estas pruebas como procedmetos que ayudará a apoyar uestras coclusoes co el rgor estadístco ecesaro. Prueba U de Ma-Whtey para grupos depedetes Esta prueba permtrá comparar las medaas de ua varable e dos grupos depedetes. Hay que teer e cueta que s la dstrbucó de la varable es aproxmadamete smétrca, la comparacó de medaas será aproxmadamete equvalete a la de medas. Stuacó Se dspoe de dos muestras aleatoras depedetes de tamaños y, extraídas de cada ua de las poblacoes a estudo y ua varable cuattatva co medaas Md y Md e las respectvas poblacoes. Suposcoes/Requermetos La varable a estudo es cuattatva, al meos ordal. Cotraste de hpótess U de Ma-Whtey Se cotrastará la hpótess ula de gualdad de medaas, Md = Md, a través del estadístco: ( + ) U = S - co S la suma de los ragos asgados a las observacoes de la muestra del grupo (es dferete costrur el estadístco e fucó del grupo ). Para valores de y ferores a 6, el estadístco calculado debe ser cosultado e tablas de percetles adecuadas para el estadístco (ver bblografía recomedada), obteedo los valores crítcos w α/ y w -α/ que delmta la regó de aceptacó de la hpótess ula. E geeral, cuado y so superores a 6, se trasforma el estadístco U e: 77 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

78 Estadístca básca e Cecas de la Salud z Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas U ( ( / ) ) cuya dstrbucó es aproxmadamete ormal. U ejemplo E el apartado de comparacó de medas co grupos depedetes ateror se compararo las medas de edad de las mujeres, tras el parto, segú la acttud haca la lactaca, habedo ecotrado dferecas sgfcatvas, p<0.05, e las medas de edad de ambas poblacoes. Se desea comparar las medaas a través de la prueba U de Ma-Whtey. Se dspoe de dos muestras depedetes de tamaños =43 y =9, ambos mayores de 6. El estadístco U valdrá: 43 ( 43 + ) U = 99 - = 53 tomado como refereca para calcularlo el grupo, para el que la suma de los ragos de las edades de las mujeres que lo forma es: S =99. La trasformacó ormal del estadístco toma el valor: z = 53 - (43. 9) / = -, ( )/ que, para α = 0,05, se ecuetra fuera de la regó de aceptacó de la hpótess ula de gualdad de medaas, delmtada por los valores -,96 y,96. Se rechazará la hpótess ula, cocluyedo dferecas sgfcatvas e las medaas de la edad etre los grupos estudados. A dfereca de la comparacó de medas, o es ecesara gua suposcó adcoal para sustetar el resultado obtedo. Prueba de Wlcoxo por ragos para grupos apareados Prueba para comparar las medaas de poblacoes apareadas. Stuacó Se dspoe de ua muestra de pares de observacoes, ( x, x ), =,...,, de ua varable cuattatva, co medaas Md y Md e las respectvas poblacoes. Suposcoes/Requermetos Se preseta la prueba úcamete e su aproxmacó por u modelo ormal. E este caso, se requere que > 5. Para 5, puede ser cosultada la prueba exacta e la bblografía recomedada. El estadístco que se obtee e este caso debe ser cotrastado e las tablas pertetes. Cotraste de hpótess de Wlcoxo por ragos Se cotrastará la hpótess de gualdad de medaas, Md = Md, a través del estadístco: 78 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

79 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas z = T k (k + ) (k + ) 6 co: D = x - x T = r+ r rk r = Rago(D ) s D > 0 = - Rago(D ) s D < 0 ; k = de dferecas o ulas El estadístco z sgue ua dstrbucó ormal. U ejemplo E el ejemplo de comparacó de medas co datos apareados ateror se obteía dfereca sgfcatva e las medas de los grupos apareados, para la varable vel de ácdo úrco etre los states temporales y 3, sedo ecesaro supoer ormaldad de la varable para aceptar co rgor el resultado. Puesto que =0, se comparará las medaas de ambos grupos a través de la prueba de Wlcoxo. Los datos para las varables U y U3, sus dferecas, ragos, y ragos co sgo se puede observar e la tabla adjuta El estadístco de cotraste tomará el valor: U U3 D Rago(D ) r z = 08 0 (0 + ) (. 0 + ) 6 = 3,88 que queda fuera de los límtes de aceptacó de la hpótess ula, -,96 y,96, para vel de sgfcacó 0,05. Se rechaza la gualdad de medaas cocluyedo que estas so dsttas. 79 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

80 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas 4.5 ESTUDIO DE UNA VARIABLE RESPUESTA EN MAS DE DOS POBLACIONES Las stuacoes descrtas e el apartado ateror puede ser geeralzadas a más de dos poblacoes. El objetvo habtual, al gual que e el caso de dos poblacoes suele ser la comparacó de las característcas de la varable respuesta etre los grupos estudados, ecotrado stuacoes smlares a las descrtas e el apartado ateror. Así, el tpo de varable respuesta, cualtatva o cuattatva o el dseño de las muestras estudadas, apareadas o depedetes, codcoará las pruebas a utlzar. Exstrá gualmete la posbldad de utlzar, cuado proceda, pruebas o paramétrcas, co requermetos más débles que las paramétrcas. Prueba J-cuadrado para la comparacó de proporcoes e más de dos poblacoes depedetes. Asocacó o relacó etre varables Cuado la varable respuesta es cualtatva, el terés suele resdr e la comparacó de las proporcoes de algua de sus categorías etre los grupos estudados o, equvaletemete, la deteccó de asocacó sgfcatva etre la varable respuesta y la explcatva. Stuacó Para expoer esta stuacó supodremos ua varable respuesta co I categorías, estudada e J grupos depedetes, co tamaños muestrales j, j=,,...,j, sedo el tamaño muestral total,, la suma de los tamaños de los J grupos. Los datos puede ser estructurados e ua tabla de doble etrada o tabla de cotgeca como: dode o j represeta la frecueca observada para la stuacó cojuta {categoría de la varable respuesta, grupo o categoría j de la varable explcatva}, y p /j represeta la proporcó poblacoal de la categoría e el grupo j. E ua stuacó geérca, co tabla de dmesó I x J, I flas y J columas, se tee: Varable explcatva: grupos... j... J o p / o p / o J p /J V r a e r s p a u b e l s e t a.... o p / o p /..... o j p /j..... o J p /J I o I p I/ o I p I/ o IJ p I/J oj pˆ = ; = o = /j j +j o o +j I = j ; =,,..., I ; j =,,..., J 80 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

81 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas y, de maera smlar, se podría obteer: oj pˆ = ; o = j/ + o o + J j= j ; =,,..., I ; j =,,..., J La gualdad de proporcoes se producrá cuado para cada categoría de la varable respuesta, por ejemplo la, suceda que las proporcoes correspodetes a cada uo de los grupos, p /j sea guales (para j=,,..., J). Esta stuacó es equvalete a afrmar que o exste asocacó etre la varable respuesta y la explcatva, puesto que las proporcoes de ocurreca de sus dferetes categorías so guales e todos los grupos estudados. S esto o sucede, y exste dferecas sgfcatvas e las proporcoes, se podrá de hablar de asocacó o relacó etre la varable respuesta y la explcatva, e el setdo de que alguas proporcoes de algua o alguas categorías dfere etre los grupos estudados, asocádose categorías y grupos (uas combacoes preseta mayor y otras meor proporcó). Suposcoes/Requermetos Se requere que las frecuecas esperadas (ver después) sea superores o guales a 5. S la tabla es de dmesó superor a x, puede aceptarse frecuecas esperadas ferores a 5 pero superores a como máxmo e el 0% de las celdas. Cotraste de hpótess de gualdad de proporcoes o auseca de asocacó. Prueba Jcuadrado Podemos cotrastar la hpótess ula de que las proporcoes poblacoales p /j so guales, j=,...,j, o, equvaletemete, que o exste asocacó etre la varable respuesta y la explcatva a través del estadístco: = I J = j= ( o - e ) j e j j ; o+ o ej = +j dode e j represeta las frecuecas esperadas e cada ua de las celdas bajo la hpótess ula de o asocacó etre las varables. E el caso de tablas de dmesó x, el cotraste j-cuadrado es equvalete a la prueba z de comparacó de proporcoes. U ejemplo A partr de los datos del cuadro 4., se ha clasfcado las mujeres estudadas e 'lactaca matera baja' s el tempo de lactaca ha sdo feror a 6 meses, y 'lactaca matera ormal' s el tempo ha sdo superor o gual a 6 meses. Se desea averguar s exste asocacó etre esta ueva varable, lactaca matera, y la acttud haca la lactaca matera, evaluada después del parto. La tabla adjuta preseta las frecuecas observadas para las varables estudadas: Lactaca matera Baja Normal A c + t t u - d Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

82 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas metras que la sguete tabla cotee los porcetajes de las categorías de lactaca matera segú la acttud, y las frecuecas esperadas para la hpótess ula de o asocacó etre las varables (cursva), o, lo que es lo msmo, proporcoes de las categorías de lactaca matera guales segú acttud: Lactaca matera Baja Normal A c + t t u - d 6 30,5 60,5% 8 3,5 94,7% 7,5 39,5% 5,5 5,3% habedo obtedo las frecuecas esperadas como el producto del total de la fla por el total de la columa dvddo por 6 ( total) (p. ej., e la prmera celda, la frecueca esperada será [43 x 44]/6, cuyo resultado es 30,5). Se observa dferecas muestrales mportates e los porcetajes de lactaca matera ormal segú la acttud sea postva o egatva (39,5% frete a 5,3%). Para costatar s esas dferecas so sgfcatvas, o, lo que es lo msmo, s las varables se asoca, el estadístco de cotraste será: ( 6-30,5 ) = 30,5 + ( 8-3,5 ) + 3,5 = 7,5 ( 7 -,5,5 ) + ( - 5,5 ) 5,5 valor que, cotrastado co el de u modelo J-cuadrado co (-) x (-) = grados de lbertad, resulta sgfcatvo para α = 0,05, puesto que el valor crítco es 3,84. Prueba de Cochra para la comparacó de proporcoes e más de dos poblacoes apareadas La stuacó resuelta co la prueba j-cuadrado, para poblacoes depedetes, o es aplcable cuado los grupos ha sdo apareados. E este caso, hay que recurrr a ua prueba que cotemple la formacó debda al apareameto. La prueba que se preseta es válda cuado la varable respuesta es cualtatva pero dcotómca. Stuacó Se dspoe de 3 o más muestras apareadas, obtedas aleatoramete de las correspodetes poblacoes, co observacoes e cada ua de ellas de ua varable cualtatva dcotómca. Cada grupo de tres, cuatro, o más dvduos apareados recbrá el ombre de estrato de apareameto. Así, s el úmero de grupos es k, e cada estrato habrá k dvduos apareados. Suposcoes/Requermetos Se requere que '.k 5, dode ' es el úmero real de estratos que tervee e el aálss (todos aquellos para los que exsta dferecas de respuesta etre los dvduos que lo compoe), ', y k es el úmero de grupos de apareameto. Cotraste de hpótess de Cochra para la comparacó de proporcoes apareadas Para el cotraste de la hpótess ula de gualdad de proporcoes de respuesta a ua de las categorías de la varable respuesta el estadístco de cotraste de Cochra es: 8 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

83 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas Q k k j C kt j T F (k ) C j = Respuestas a la categoría a studo e el grupo j F = Respuestas a la categoría a estudo e el estrato T k j C j F El estadístco Q sgue ua dstrbucó j-cuadrado co k- grados de lbertad. U ejemplo E los datos del cuadro 4.5 se cluye observacoes sobre 0 dvduos de la respuesta a u tratameto e tres mometos dsttos (varables R, R, y R3) e las que el valor represeta respuesta postva. Se pretede comparar las proporcoes de respuesta postva e los tres grupos. Se dspoe de tres grupos apareados (so los msmos dvduos). Se cotrastará la hpótess ula de gualdad de proporcoes de respuesta postva a través del estadístco de Cochra: 3 ( + ) - 3 Q = ( ) ( 3 - ) = 4,35 R R R3 F C =7 C = C 3 =4; T=3 sedo las catdades C, F y T las que aparece e la tabla adjuta: El valor del estadístco Q, para α = 0,05, está por debajo del valor crítco de ua j-cuadrado co 3 - = grados de lbertad, que resulta ser 5,99, o pudedo rechazar la hpótess ula de gualdad de proporcoes de respuesta postva. 83 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

84 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas Comparacó de medas de poblacoes depedetes Cuado la varable respuesta es cuattatva, y al gual como fue expuesto e el apartado prevo de comparacó, las medas suele ser los parámetros de terés para comparar el comportameto de ua varable e 3 o más grupos. Los procedmetos que se preseta a cotuacó so la geeralzacó atural de los presetados aterormete para dos grupos. S embargo, alguos de ellos, o será expuestos co detalle, sugredo al lector la cosulta de la bblografía recomedada, e la que podrá ecotrar los detalles de tales procedmetos. Aálss de la varaza de ua vía Es la prueba paramétrca adecuada para la comparacó de medas de ua varable respuesta cuattatva e tres o más poblacoes. Permte cotrastar la hpótess ula de gualdad de medas frete a la alteratva de que algua o alguas de las medas so dferetes. Debdo al carácter básco de este texto, se preseta a cotuacó la stuacó y suposcoes/requermetos de la prueba, recomedado al lector la cosulta de la bblografía recomedada para la aplcacó de la prueba. Stuacó Se dspoe de k muestras (k>) depedetes, cada ua de ellas aleatoramete seleccoada de su respectva poblacó, co observacoes de ua varable cuattatva e el grupo (=,..., k). La varable posee medas poblacoales μ e cada ua de las poblacoes. Suposcoes/Requermetos Se requere que la varable respuesta sga u modelo de probabldad ormal e cada ua de las poblacoes estudadas, co la msma varaza e cada ua de ellas. Las observacoes de la varable e cada uo de los grupos so depedetes. Prueba de Kruskal-Walls para la comparacó de tres o más poblacoes depedetes Esta prueba permtrá comparar las medaas de ua varable e tres o más grupos. Puede ser cosderada ua geeralzacó de la prueba U de Ma-Whtey para dos grupos. Stuacó Se dspoe de k (k>) muestras aleatoras depedetes de tamaños (=,..., k), cada ua de ellas seleccoada de su respectva poblacó, y ua varable cuattatva co medaas Md, e cada ua de las poblacoes. Suposcoes/Requermetos Al meos e alguo de los grupos estudados, el tamaño muestral es superor a 5. Cotraste de hpótess de Kruskal-Walls Se cotrastará la hpótess ula de gualdad de medaas, Md = Md =... = Md k, a través del estadístco: R H = ( + ) k = R - 3 ( + )... = Suma de ragos del grupo k 84 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

85 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas para el que las observacoes debe ser prevamete ordeados, asgado sus correspodetes ragos. La dstrbucó muestral del estadístco es j-cuadrado co k- grados de lbertad. U ejemplo A partr de los datos recogdos e el cuadro 4., se ha creado ua varable categórca tomado como base la edad de las mujeres. Esta varable defe tres grupos: edad feror a 4 años, edad etre 4 y 30 años y edad superor o gual a 30 años, de tamaños =8, =5 y 3 =9, e depedetes. Se desea comparar el tempo de lactaca etre estos tres grupos. Se dspoe de tres grupos depedetes, y ua varable cuattatva, el tempo de lactaca. La comparacó de medas etre los tres grupos a través de ua aálss de la varaza requerría ormaldad de esta varable e cada grupo y homogeedad de varazas. Además, los tamaños muestrales so pequeños, dfcultado la comprobacó de estos requermetos. Se procederá a cotrastar la hpótess ula de gualdad de medaas etre los tres grupos, a través del estadístco de cotraste de Kruskal-Walls: H = 6 ( 6 +) ( 6 +) =,74 Las sumas de los ragos de cada uo de los grupos se ha obtedo tras ordear las 6 observacoes y asgar a cada tempo su rago. El resultado obtedo excede al valor crítco de ua j-cuadrado co grados de lbertad para α = 0,05, que es 5,99, por lo que rechazaremos la hpótess ula de gualdad de medaas, cocluyedo tedeca e uos grupos a alcazar valores más elevados del tempo de lactaca que e otros. Comparacó de medas de poblacoes apareadas Al gual que e el apartado ateror, se preseta los procedmetos habtuales a este f. Aálss de la varaza de meddas repetdas Cuado e ua stuacó se observa dos o más meddas sobre los msmos sujetos estudados puede hablarse de meddas repetdas. El aálss de la varaza ates descrto pasa a ser deomado de meddas repetdas. E realdad, se puede pesar que se trata de ua geeralzacó de la prueba t para datos apareados, pero co más de dos grupos que se correspode co las sucesvas repetcoes de las observacoes de los sujetos. Al gual que e el caso del aálss de la varaza para poblacoes depedetes, se preseta a cotuacó la stuacó y los requermetos/suposcoes del procedmeto, dejado al lector la amplacó sobre esta prueba e la bblografía recomedada. Stuacó Se dspoe de ua muestra aleatora de sujetos, y k observacoes repetdas,, x x,..., x ), =,...,, ( k para cada uo de ellos. La varable a estudo posee medas,,..., ), y el objetvo es comparar tales ( k medas, es decr cotrastar la hpótess ula de gualdad de medas frete a la alteratva de que al meos algua dfere de las demás. Suposcoes/Requermetos De forma smlar al aálss de la varaza para poblacoes depedetes, se requere ormaldad de la varable a estudo y homogeedad de las varazas de los grupos. Adcoalmete, se requere que las correlacoes de la varable etre los grupos cosderados sea homogéeas. 85 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

86 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas Prueba de Fredma para la comparacó de tres o más poblacoes apareadas Esta prueba permte comparar las medaas de ua varable e tres o más grupos apareados. Stuacó Se dspoe de ua muestra de estratos de apareameto, y e cada uo de ellos de k observacoes de ua varable cuattatva, (, x x,..., x k ), =,...,. El valor k represeta el úmero de grupos de apareameto. La varable posee medaas Md e los grupos cosderados. Suposcoes/Requermetos Se requere que 8. Cotraste de hpótess de Fredma Se cotrastará la hpótess ula de gualdad de medaas, Md = Md =... = Md k, a través del estadístco: Q = k ( k + ) k = R - 3 ( k + ) R = Suma de ragos del grupo obtedos al asgarlos detro de cada estrato cuya dstrbucó de probabldad es j-cuadrado co k- grados de lbertad. U ejemplo A partr de los datos del cuadro 4.5, las varable U, U y U3 cotee las observacoes del vel de ácdo úrco sobre los 0 sujetos estudados e tres mometos de tempo dsttos. Iteresa averguar s exste dfereca sgfcatva e las medaas de esta varable etre los tres grupos estudados. Se dspoe de 0 estratos de apareameto de tamaño 3 (hay tres grupos). Se cotrastará la hpótess ula de comparacó de medaas a través del estadístco de Fredma: = ( ( 3 + ) Q ) ( 3 + ) = 7,9 cuyo valor excede a 5,99, valor de ua dstrbucó j-cuadrado co grados de lbertad para α = 0,05, rechazado la hpótess ula de gualdad de medaas ESTUDIO DE LA RELACION ENTRE VARIABLES E el cuadro 3.3 se descrbía los procedmetos para el estudo de la asocacó o relacó etre varables. A cotuacó se descrbe co mayor detalle estos procedmetos. Asocacó etre varables cualtatvas Cuado se dspoe de dos varable cualtatvas, la stuacó es la descrta a través de la solucó basada e la prueba de hpótess que cotrasta la hpótess ula de o asocacó etre las varables se obtee a partr del estadístco j-cuadrado descrto. 86 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

87 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas Relacó etre varables ordales o cuattatvas trasformadas e ragos S las varables so ordales o cuattatvas pero trasformadas e ragos, se trata de obteer ua medda que os permta establecer s las poscoes o ragos ocupadas por los dvduos para ua de las varables se correspode co las ocupadas para la otra varable. Stuacó Se dspoe de parejas de observacoes {x, y }, de dos varables X e Y. Ambas varables so cuattatvas u ordales. Los valores de las varables, s éstas so cuattatvas, so trasformados e ragos r,r ) Coefcete de correlacó de Spearma ( x y El estadístco que mde la relacó exstete etre los ragos ocupados por los sujetos e ua de las varables y los ocupados e la otra, sobre la muestra, es el de Spearma: r s 6 ( d ) d r y r x cuyo valor puede osclar etre - y +, y para el que los valores - y + represeta cocordaca perfecta etre los ragos ocupados e ambas varables, auque el valor - de setdo egatvo (mayor rago e ua meor e la otra), metras que el valor + de setdo postvo (mayor rago e ua mayor e la otra). El valor 0 represeta la auseca de relacó etre los ragos. Suposcoes/requermetos Se requere que o se produzca demasados solapametos (ragos détcos) e los ragos de cada varable. Se requere que 0. Cotraste de hpótess sobre la correlacó de Spearma Puede teer terés cotrastar la hpótess ula de auseca de correlacó de Spearma e la poblacó. S deotamos por ρ s al coefcete de Spearma poblacoal, se cotrastará la hpótess ula ρ s = 0. El cotraste de hpótess puede ser resuelto utlzado como estadístco: z = rs - cuya dstrbucó es ormal. U ejemplo E el cuadro 4.6 se preseta valores de las tasas de mortaldad ( x 00000) por todas las causas para las áreas de salud de la Comudad Valecaa, para hombres y mujeres. Se pretede averguar s exste relacó etre las tasas para hombres y las tasas para mujeres. Se dspoe de 0 parejas de observacoes (tasa hombres, tasa mujeres) de ua varable cuattatva (tasa de mortaldad) obtedas sobre las áreas de salud. E el cuadro 3.6 fgura los ragos de las dferetes tasas, tato e hombres como e mujeres. El coefcete de correlacó de Spearma será: 87 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

88 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas r s d ,77 0(0 ) dcado ua correlacó muestral elevada y postva etre los ragos de las áreas de salud e hombres y mujeres. El cotraste de la hpótess ula de correlacó poblacoal gual a 0, se realzará a través del estadístco: z = 0, = 3,36 valor que resulta sgfcatvo cuado es cotrastado co ua curva ormal (valores crítcos para α = 0,05, -,96,,96). Area Hombres Rago hombres Mujeres Rago mujeres Cuadro Ragos para el coefcete de correlacó de Spearma Relacó etre varables cuattatvas E el capítulo fue descrta la dea sobre la relacó etre varables cuattatvas. Como se expuso, o es posble separar las deas de magtud de la relacó (correlacó) de la forma de la relacó (regresó). A cotuacó se resumrá los aspectos más destacables de la regresó y correlacó leal para el estudo de la relacó etre dos varables cuattatvas. Regresó leal smple. Correlacó leal Se partrá de dos varables cuattatvas, X e Y, para las que se desea estudar s la relacó etre ellas puede ser de tpo leal, y = + x, y la magtud de ésta. Stuacó Se dspoe de ua muestra aleatora de observacoes de las varables cuattatvas X e Y, ( x, y ), obtedas sobre los sujetos. La varable Y es cosderada varable respuesta, metras que la X es la varable explcatva. Suposcoes/Requermetos Se requere que la dstrbucó de la varable Y para cada valor de X sea ormal, co la msma varaza, que las observacoes de Y so depedetes y que las medas de las dstrbucoes de Y se relacoa lealmete co X. Estmacó del modelo de regresó leal smple Se trata de obteer el modelo estmado, ŷ = ˆ + ˆ x a partr de la formacó muestral. El método de estmacó más frecuete es el coocdo como método de mímos cuadrados. Se trata de obteer la recta ( = de regresó para la que y - ŷ ) sea míma. Los estmadores de los coefcetes de la recta so etoces: 88 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

89 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas x y x x x y y x Coefcete de correlacó leal smple de Pearso El coefcete de correlacó de Pearso fue descrto e el capítulo. La expresó para su estmacó es: = r = = = x x - ( = = (x - x ) y = (x - x) (y - y) x ) = = - ( (y - y) x ) ( = = y ) y - ( = y ) Iferecas sobre el parámetro β de la ecuacó de regresó El coefcete β de la ecuacó represeta el efecto, e escala adtva, de la varable explcatva X sobre la varable respuesta. De hecho represeta el cremeto de Y por udad de cremeto de X. Puede resultar de terés calcular tervalos de cofaza o resolver pruebas de hpótess sobre él. Tato para los tervalos de cofaza como para los cotrastes de hpótess, será fudametal el error estádar del coefcete, SE( ˆ), cuya estmacó es: SE(ˆ) = s y.x ( - ) s x s x = = (x - x ) ( - ) ; s y. x = = (y - ŷ ) ( - ) El tervalo de cofaza de vel -α será: I = [ ˆ - ( ) t- / SE(ˆ) ] dode t -α/ es el coefcete de ua t de studet co - grados de lbertad para el vel de cofaza exgdo.se puede cotrastar la hpótess ula de que β tome u valor específco, β = β 0, a través del estadístco de cotraste: ˆ - 0 t = SE(ˆ) 89 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

90 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas cuya dstrbucó es ua t de studet co - grados de lbertad. Iferecas sobre el coefcete de correlacó S se dspoe del coefcete de correlacó leal de Pearso estmado, r, es posble cotrastar la hpótess ula de auseca de correlacó leal poblacoal, a través del estadístco: t = r - - r cuya dstrbucó es ua t de studet co - grados de lbertad. Esta prueba de hpótess es equvalete a la descrta para β, cotrastado la hpótess ula β = 0. U ejemplo E los datos del cuadro 4. se cluye las observacoes de las varables tempo de lactaca tras el parto y edad de la madre. Se desea speccoar la relacó leal exstete etre estas dos varables, tomado como varable respuesta el tempo de lactaca y explcatva la edad. Además, se desea cotrastar s exste relacó leal sgfcatva etre las varables estudadas, y cuatfcar el efecto de la edad sobre el tempo de lactaca. E relacó a la omeclatura descrta, X=Edad e Y=Tempo, sobre los datos recogdos e el cuadro, teemos las sguetes expresoes: = = x = 67 ; y = 6,5 ; = x y = = x y = 539,5 = ; = 6,75 ; por lo que los parámetros del modelo de regresó leal será estmados como: βˆ = , ,5 = - 0,307 6,5 67 αˆ = + 0,307 =, obteedo el modelo de regresó estmado: ŷ =,76-0,307 x El coefcete de correlacó leal de Pearso estmado valdrá: r = , , ,75-6,5 = - 0,574 represetado ua relacó leal muestral versa (a mayor edad meor tempo de lactaca).la hpótess ula de auseca de correlacó leal e la poblacó de la que procede los datos puede ser cotrastada 90 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

91 Estadístca básca e Cecas de la Salud Qué prueba estadístca utlzamos? Seleccó de pruebas estadístcas de fereca: Aplcacoes báscas a través del estadístco: t = r - - r = - 0, (- 0,574) = - 5,4 que, al ser comparado co ua t de studet co 60 grados de lbertad resulta sgfcatvo (los valores crítcos para α = 0,05 e prueba blateral so -,0 y,0). La correlacó leal etre las varables estudadas es sgfcatvamete dstta de 0 e la poblacó. El parámetro β represeta el efecto de la varable explcatva sobre la respuesta, por udad de cambo. Así, e este caso, represetará la dsmucó (el coefcete es egatvo) e el tempo de lactaca por cremetar u año la edad de la madre. El tervalo de cofaza para este parámetro cuatfcará su valor e la poblacó. Para vel de cofaza 95%, este tervalo será: = [ - 0,307 I0,95 (β) = [ βˆ t0,975 SE(βˆ) ]. 0,056 ] = [ - 0,49, - 0,95 ] pudedo afrmar, co segurdad 95%, que la dsmucó del tempo de lactaca se ecotrará etre 0,49 y 0,95 meses por u año más de la madre. 9 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

92 C A P I T U L O 5 PRECAUCIONES EN EL ANÁLISIS DE LOS DATOS E capítulos precedetes se ha vsto dferetes elemetos y procedmetos estadístcos de uso frecuete e el aálss de la formacó coteda e la vestgacó. La utlzacó de estos procedmetos como herrameta e el espectro geeral del método cetífco puede dar lugar a dversos errores atrbubles a dversas causas y e dferetes etapas de la aplcacó del método estadístco. Dversos autores ha revsado y costatado la exsteca de errores e la aplcacó de las téccas estadístcas e publcacoes de revstas cetífcas de prestgo. E el presete capítulo se pretede descrbr alguos de los aspectos de la secueca de aálss estadístco e los que, por su relevaca co vstas a la 'caldad' de la evaluacó de la formacó de la vestgacó, be por la caldad del proceso o be por su efecto sobre la extraccó de coclusoes correctas, debe ser prestada ua atecó especal. Alguos de los putos cosderados guarda relacó co la comucacó de los resultados obtedos, pues o debe ser olvdado que el lector de los resultados y coclusoes de la vestgacó debe ser formado de las téccas, crteros, etc. utlzados, a f de que pueda evaluarlos correctamete. 5. LA SELECCION DE LOS SUJETOS Es u aspecto prmordal e el aálss estadístco. Su efecto sobre la caldad de las ferecas estadístcas es esecal. Ua seleccó o asgacó aleatora es la mejor garatía para la geeralzacó de resultados y evta sesgos que cuestoaría ésta. Formalmete, a la hora de comucar los resultados de uestra vestgacó o es sufcete garatía para el lector el clur frases como 'el muestreo se realzó al azar', y se debe recomedar la descrpcó del proceso estrcto segudo para la seleccó de los sujetos. E alguos estudos del etoro de las cecas de la salud, fudametalmete clícos, es ecesaro especfcar los crteros de clusó o exclusó del estudo, cuado éstos exsta. Cuado requera segumeto de los sujetos, debe darse sufcete formacó acerca de los procedmetos utlzados para el segumeto, cfras de pérddas ocurrdas, y, s es posble, las característcas dferecales de los sujetos perddos. Cabe por últmo señalar que cuado exsta dudas acerca de la represetatvdad de la muestra, los métodos estadístcos, por sofstcados que sea, o ofrece garatía para la geeralzacó de los resultados. Este aspecto oblga a recoocer y dscutr la stuacó, establecedo las lmtacoes del estudo, y moderado así sus pretesoes ferecales.

93 Estadístca básca e Cecas de la Salud Precaucoes e el aálss de los datos 5. LA OBTENCION DE LAS OBSERVACIONES Los procedmetos utlzados e la medcó u observacó de los datos del estudo puede ser fuete de error. Debe ser utlzados métodos (aparatos de medda, cuestoaros, etc.) que haya sdo valdados prevamete, es decr cuyos resultados sólo esté sujetos a error aleatoro. E el caso de aparatos de medda o cuestoaros de uso comú, éstos debe ser detfcados, y ser utlzados co la segurdad de o producr medcoes u observacoes erróeas. Cuado los métodos de medcó u observacó o so de uso frecuete, e la comucacó de los resultados del estudo es ecesaro descrbrlos brevemete, a f de que pueda ser evaluada la caldad de las medcoes o la perteca de los cuestoaros que pueda ser utlzados. Alguos estudos requere la evaluacó subjetva por parte de observadores exteros como parte de la formacó ecesara. E estos casos es ecesaro establecer medcoes de la cocordaca etre los observadores, a f de poder asegurar que todos ellos evalúa co crteros semejates. 5.3 ALMACENAMIENTO Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACION La progresva formatzacó de los cetros de trabajo, estudo, etc., co la correspodete corporacó de los recursos formátcos a la vestgacó hace ecesara alguas cosderacoes, dado el efecto que la utlzacó de estos recursos puede teer sobre la produccó de errores e la etapa de aálss estadístco. U prmer aspecto se derva del almaceameto de la formacó e ua base de datos. Covee elegr para ello u programa de gestó y almaceameto de datos cotrastado y co la mayor versatldad. Se trata de que los datos pueda ser accesbles a través de los procedmetos de aálss que se utlzará, habtualmete programas de ordeador. El puto más delcado e el almaceameto de los datos derva de la propa trascrpcó desde el soporte orgal hasta u archvo formátco. Así, los errores de tecleo, cofusó sobre varables, etc., puede dar lugar a ua base de datos co gra catdad de errores e las observacoes que cotee. La trascedeca de estos errores sobre la caldad de las ferecas es crucal, pues, auque o exsta sesgos, los resultados será geeralzados erróeamete a la poblacó orge. Se debe utlzar procedmetos que garatce la caldad de la base de datos, tales como la troduccó duplcada o trplcada de los datos, co correccó de las compatbldades ecotradas, o la seleccó de ua muestra aleatora de las observacoes troducdas, a f de evaluar la catdad de errores cometdos, y sobre que varables se produce éstos, adoptado algú crtero para la repetcó de la troduccó cuado supere ua determada cfra. El segudo aspecto tee que ver co la aplcacó de los procedmetos estadístcos a través del ordeador. Covee asegurarse de que se utlza u programa o paquete de programas estadístcos cuya caldad e los cálculos está recoocda. Además es recomedable que el paquete sea lo más versátl posble, puesto que a meudo la aplcacó de uas u otras téccas puede depeder de requermetos que debe ser comprobados sobre los propos datos. E cualquer caso, o se debe partr uca de la premsa de que 'como lo ha hecho el ordeador debe estar be', pues la mayoría de procedmetos estadístcos requere de cosderacoes o cludas e los programas formátcos de aplcacó estadístca. 5.4 ANALISIS ESTADISTICO E la fase de aplcacó de los métodos estadístcos cada uo de los procedmetos utlzados respode a ua justfcacó matemátco-estadístca y tee uas propedades o característcas determadas que sugerrá su utlzacó o o, segú el f persegudo. No obstate, se remarca a cotuacó alguos putos de especal atecó, tato por su frecueca de uso como por la posbldad de error e su aplcacó. 93 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

94 Estadístca básca e Cecas de la Salud Precaucoes e el aálss de los datos Desvacó estádar y error estádar Los procedmetos estadístcos de fereca se fudameta e la varabldad e el muestreo de los estadístcos. Esta dea, auque suele requerr certa abstraccó para su compresó, pues debemos magar múltples muestras extraídas de ua poblacó, puede ser compredda s excesva dfcultad. S embargo, suele ser fuete de cofusó co la de varabldad de ua varable, basada úcamete e ua muestra, aquella de la que dspoemos e uestro estudo. Los coceptos error estádar, medda de la varabldad e el muestreo de u estadístco y desvacó estádar o típca, medda de la varabldad e ua muestra o poblacó cocreta de ua varable suele ser cofuddos, especalmete e lo referete a la presetacó de los resultados obtedos e ua muestra. Así, es frecuete ecotrar expresoes e la forma Meda ± Desvacó típca, ( x s ), dado a eteder que el tervalo compreddo etre la meda meos la desvacó típca y la meda más la desvacó típca da lugar a algú resultado cocreto, cuado sólo e varables ormales se puede afrmar el cotedo de ese tervalo (aproxmadamete el 68% de las observacoes muestrales), sedo u resultado descrptvo. S embargo, expresoes del tpo Meda ± Error estádar de la meda, ( x s ), so expresoes ferecales, de las que se puede deducr x rápdamete u tervalo de cofaza para la meda de la varable e la poblacó al dspoer del error estádar de la meda muestral. Metras que la prmera de las expresoes tee ua lectura esecalmete descrptva, la seguda permte la realzacó de ferecas. No determacó del tamaño de la muestra La determacó preva del tamaño de la muestra permte prever, cuado el aálss va a requerr de estmacoes por tervalos de cofaza o pruebas de hpótess, las codcoes e las que se desea resolver las aplcacoes. Así, e el caso de los tervalos de cofaza, permte establecer la cofaza y precsó deseadas para la estmacó, metras que e el caso de pruebas de hpótess permte defr los errores α y β deseados para la toma de decsoes. Estos aspectos so de gra relevaca puesto que la prevsó correcta del tamaño muestral permtrá retablzar al máxmo los resultados y por tato el esfuerzo realzado e la vestgacó. E otro caso, puede suceder que los resultados obtedos carezca de la precsó ecesara para aportarlos al etoro cetífco (caso de los tervalos) o o podamos coclur co sufcete evdeca a favor de la hpótess ula (caso de las pruebas de hpótess). No obstate, la determacó preva del tamaño muestral o está exeta de problemas. A meudo la formacó ecesara para su cálculo es dfícl de establecer o los objetvos del aálss so muy dversos y para cada uo de ellos el tamaño muestral es dferete. S embargo su prevsó aproxmada coduce a ua reflexó oblgada sobre los métodos estadístcos a utlzar y sobre las posbldades de realzacó de ferecas. No utlzacó de pruebas de fereca estadístca Los resultados descrptvos de u estudo so muy escasas veces sufcetemete evdetes para obvar la utlzacó de métodos ferecales. Hay que teer e cueta que las coclusoes basadas e la descrpcó de los resultados muestrales está sometdas a error aleatoro. La o cuatfcacó de éste puede dar lugar a coclusoes erróeas o cotradctoras. No detfcacó de las pruebas de fereca utlzadas Este es u problema que se observa co certa frecueca e la comucacó de los resultados y coclusoes de los estudos. Los autores establece la coclusó, cluso co valoracó estadístca, como por ejemplo el valor de p, pero o detfca las pruebas utlzadas para obteerlas. Esta detfcacó es de gra mportaca para el lector, pues es la úca forma de que pueda evaluar los resultados y juzgar la perteca de las coclusoes Utlzacó correcta de las pruebas de fereca estadístca 94 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

95 Estadístca básca e Cecas de la Salud Precaucoes e el aálss de los datos U prmer aspecto se derva de la o verfcacó de las suposcoes/requermetos que posee la mayoría de las pruebas de fereca. Hay que teer e cueta que estos requermetos so ecesaros para que las coclusoes que se despreda sea aceptadas co el rgor ecesaro. La cofusó sobre las coclusoes que puede desprederse de la aplcacó de ua prueba estadístca de fereca puede dar lugar a utlzacoes correctas de éstas. Es el caso, por ejemplo de la utlzacó de alguas pruebas o paramétrcas co coclusoes que so propas de otras pruebas paramétrcas. U problema frecuete es el dervado de la realzacó de pruebas de fereca múltples. Ua prmera stuacó que da lugar a que se produzca esta aplcacó correcta se da e el caso de realzar comparacoes etre múltples grupos a través de pruebas costrudas para la comparacó etre dos grupos. Como ejemplo, s deseamos comparar las medas poblacoales de ua varable etre 5 poblacoes, tetado coclur s so guales o algua o alguas dfere, la solucó basada e realzar las 5 = 0 comparacoes etre parejas de medas (combacoes de 5 tomadas de dos e dos), a través de pruebas t puede producr coclusoes erróeas. Para comprederlo, s se realza cada prueba t co vel de sgfcacó α = 0,05, la posbldad de actuar correctamete al rechazar la hpótess ula e cada ua de las pruebas será - α = 0,95, y, por tato, s aceptamos que cada prueba es depedete de las demás, la probabldad de actuar correctamete e las 0 pruebas realzadas será 0,95 0 = 0,599, por lo que vel de sgfcacó real para el cotraste de hpótess plateado será - 0,599 = 0,40, es decr, la probabldad de error al rechazar la hpótess ula de que todas las medas so guales será 0,40, valor exageradamete superor al vel de sgfcacó utlzado e cada ua de las pruebas t. La solucó a este problema pasa por utlzar ua prueba úca que permta resolver el cotraste de hpótess plateado, como es el caso del aálss de la varaza de ua vía para el problema susctado. Otras solucoes puede estar basadas e la correccó de los veles de sgfcacó de cada ua de las pruebas, dsmuyedo su valor pero su aplcacó resulta meos satsfactora que la mecoada. Ua seguda stuacó tee que ver co la realzacó de pruebas de fereca, por ejemplo comparacoes o asocacoes, sobre u gra úmero de varables, por ejemplo ua varable respuesta y 0 varables explcatvas para las que se desea estudar s se asoca o relacoa sgfcatvamete co la respuesta. Es lógco pesar que al examar muchas varables crece la probabldad de obteer resultados sgfcatvos por azar, auque cada prueba sea depedete de las demás. Desgracadamete sólo hay ua forma de resolver este problema, y es reducedo el vel de sgfcacó de cada ua de las pruebas. Pruebas de hpótess ulaterales E la mayoría de estudos observacoales o expermetales, las pruebas de hpótess para u vel de sgfcacó especfcado, dgamos α, debe ser blaterales o de dos colas, salvo e aquellos cotrastes que por su aturaleza de costruccó so sempre ulaterales (por ejemplo los de asocacó etre varables cualtatvas a través del estadístco j-cuadrado), puesto que el resultado que se pueda producr tras obteer y aalzar los datos, puede r e cualquer dreccó. Ello es así co depedeca de los deseos o tereses del vestgador. Hay que teer e cueta que es más fácl rechazar la hpótess ula de u cotraste s éste es ulateral, lo cual o es procedete s la aturaleza o garatza la ulateraldad. Además, la realzacó del cotraste de forma blateral o sgfca que o pueda ser dreccoado el resultado de acuerdo co la dreccó de los datos. Ua forma fácl de corregr este problema e la lectura de resultados e los que se cluye el valor de p para u cotraste ulateral es multplcarlo por u factor de dos para obteer la probabldad de error tpo I como cotraste de dos colas. Iterpretacó del valor de p Al realzar u prueba de hpótess, srva como ejemplo ua comparacó etre dos grupos, el valor p represeta la probabldad, a posteror, de que las dferecas observadas sea atrbubles al muestreo, y observadas s la hpótess ula fuese certa y o hubera dferecas. De algua forma p refleja la credbldad atrbuda al rechazo de la hpótess ula, pero de gua maera la credbldad co la que aceptamos que la hpótess ula es certa, es decr, que o hay dferecas. Por ejemplo, s p = 0,48, podemos rechazar la 95 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

96 Estadístca básca e Cecas de la Salud Precaucoes e el aálss de los datos hpótess ula co ua probabldad 0,48 de cometer error tpo I, es decr de error (por tato o debemos rechazarla). S embargo, p o mde ada más que eso; o es la probabldad de gú otro tpo de error. E realdad, el otro tpo de error posble, el de tpo II, el de error al aceptar la hpótess ula o puede ser meddo a través de p, y puede ser cluso muy grade. E deftva, u valor grade de p o excluye la posbldad de que se esté cometedo u error al aceptar la hpótess ula, y o se puede apoyar la aceptacó de la hpótess ula e el valor de p. Otra aprecacó relacoada co el valor de p es el límte establecdo para el rechazo de la hpótess ula. Hay que teer e cueta que el valor de α establecdo puede depeder de dferetes aspectos. Al meos o hay gua razó para que sempre se utlce el msmo. S supoemos ua stuacó cocreta e la que p = 0,06, es obvo que para α = 0,05, o podremos rechazar la hpótess ula. S embargo, sólo hay ua probabldad 0,06 de obteer valores ta o más extremos del estadístco de cotraste utlzado supoedo que la hpótess ula sea certa. A los ojos de muchos vestgadores, la dfereca etre u resgo de error de 0,05 y otro de 0,06 sería dfíclmete aprecable. S se ue a esta reflexó la del valor o estadístco so cetífco que pueda teer los resultados obtedos, quzás pueda ser más razoable el rechazo de la hpótess ula que su aceptacó. E deftva, resulta coveete reflexoar sobre la magtud del vel de sgfcacó e cada stuacó cocreta. Itervalos de cofaza o cotrastes de hpótess? Alguos autores suscta certa polémca sobre la mayor o meor coveeca de utlzar uo u otro procedmeto de fereca. Lo certo es que so procedmetos complemetaros. Los tervalos de cofaza, cuado su costruccó es posble, so útles y puede complemetar los resultados de ua prueba de hpótess por dferetes razoes. E prmer lugar posee capacdad para matzar coclusoes obtedas a través de ua prueba de hpótess. S se supoe ua prueba de hpótess, por ejemplo ua comparacó de medas, e la que la decsó os lleva a rechazar la hpótess ula, cocluyedo que las medas de la varable debe ser dferetes, el tervalo de cofaza para la dfereca de medas os ofrecerá la magtud de ésta, complemetado los resultados obtedos. E muchos estudos, tales como los esayos clícos, es ecesaro coocer la magtud del efecto, dferecas o asocacoes, o sedo sufcete la comprobacó de que ésta exste a través de ua prueba de hpótess. Se trata de reflexoar sobre el valor o estadístco de los hallazgos ecotrados. Esto se puede compreder fáclmete s se pesa e la comparacó de dos fármacos, uo de ellos de poco coste ecoómco y escasos efectos secudaros, metras que el otro es de coste elevado y grades efectos secudaros. La comparacó de algua varable respuesta para los dos fármacos evdeca dferecas sgfcatvas. Parece ecesaro coocer la magtud de las dferecas para recomedar el segudo fármaco, pues, s éstas so muy pequeñas tal vez o resulte acosejable su utlzacó. El tervalo de cofaza para las dferecas resulta mprescdble. Por otra parte, o debe ser olvdado que u tervalo de cofaza de vel de segurdad ( - α)% cotee todos los valores admsbles para el parámetro estudado a la segurdad establecda. Para ua prueba de hpótess sobre el parámetro e cuestó, realzada a vel de sgfcacó α de forma blateral, todos aquellos valores del parámetro cludos e el tervalo o podrá ser rechazados como valores para la hpótess ula, metras que los o cludos e el tervalo será rechazados. E deftva exste ua equvaleca etre la costruccó de u tervalo de cofaza para u parámetro y ua prueba de hpótess para algú valor de ese parámetro, de forma que los valores o cludos e el tervalo so valores para los que se rechazará la hpótess ula, co p α, sedo la prueba de hpótess blateral y el vel de cofaza del tervalo ( - α)%. 96 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

97 A N E X O TABLAS DE ALGUNOS MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD Tabla : Probabldad acumulada de ua ormal estádar (Pgs. -) Tabla : Percetles de ua ormal estádar (Pgs. 3-4) Tabla 3: Percetles de ua t de Studet (Pg. 5) Tabla 4: Percetles de ua J-Cuadrado (Pg. 6) Tabla 5: Percetles al 95% de ua F de Sedecor-Fsher (Pgs. 9-0)

98 Estadístca básca e Cecas de la Salud Tablas de probabldad Tabla : Probabldad acumulada P(Z z) de ua ormal estádar Z=N(0,) z 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0,00 z -3,90 0, , , , , , , , , , ,90-3,80 0, , , , , , , , , , ,80-3,70 0, , , , , , ,0000 0,000 0,0000 0,000-3,70-3,60 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0005 0,0006-3,60-3,50 0,0007 0,0007 0,0008 0,0009 0,0009 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,0003-3,50-3,40 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0, ,0003 0,0003 0, ,40-3,30 0, , , , , ,0004 0, , , , ,30-3,0 0, ,0005 0, , , , ,0006 0, , , ,0-3,0 0,0007 0, , , ,0008 0, , , , , ,0-3,00 0,0000 0,0004 0,0007 0,00 0,004 0,008 0,00 0,006 0,003 0,0035-3,00 -,90 0,0039 0,0044 0,0049 0,0054 0,0059 0,0064 0,0069 0,0075 0,008 0,0087 -,90 -,80 0,0093 0,0099 0,0005 0,00 0,009 0,006 0,0033 0,004 0,0048 0,0056 -,80 -,70 0,0064 0,007 0,0080 0,0089 0,0098 0, ,0037 0,0036 0, , ,70 -,60 0, , , ,0039 0,0040 0,0045 0,0047 0, , , ,60 -,50 0, , , ,0053 0, , , , , ,006 -,50 -,40 0, , , , ,0074 0, , , , ,0080 -,40 -,30 0,0084 0, , ,0094 0, , , ,007 0,0044 0,007 -,30 -,0 0,00 0,030 0,060 0,09 0,0 0,055 0,087 0,03 0,0355 0,0390 -,0 -,0 0,046 0,0463 0,0500 0,0539 0,0578 0,068 0,0659 0,0700 0,0743 0,0786 -,0 -,00 0,083 0,0876 0,093 0,0970 0,008 0,0068 0,08 0,069 0,0 0,075 -,00 -,90 0,0330 0,0385 0,044 0,0500 0,0559 0,069 0,0680 0,0743 0,0807 0,087 -,90 -,80 0,0938 0, , ,0344 0,036 0,0388 0,0336 0, ,0355 0, ,80 -,70 0, , , ,039 0, , ,048 0,047 0, , ,70 -,60 0,0455 0, , , , , ,0555 0,056 0, , ,60 -,50 0,0559 0, ,058 0, , ,0678 0,0630 0,0646 0,0655 0,0668 -,50 -,40 0,068 0, , ,075 0, , , , ,0797 0, ,40 -,30 0,086 0, , ,0869 0,0885 0,090 0,0976 0,0934 0,0950 0, ,30 -,0 0, ,007 0,004 0,0383 0,0565 0,0749 0,0935 0,3 0,34 0,507 -,0 -,0 0,70 0,900 0,00 0,30 0,507 0,74 0,94 0,336 0,3350 0,3567 -,0 -,00 0,3786 0,4007 0,43 0,4457 0,4686 0,497 0,55 0,5386 0,565 0,5866 -,00-0,90 0,609 0,6354 0,660 0,6853 0,706 0,736 0,769 0,7879 0,84 0,8406-0,90-0,80 0,8673 0,8943 0,95 0,9489 0,9766 0,0045 0,037 0,06 0,0897 0,86-0,80-0,70 0,476 0,770 0,065 0,363 0,663 0,965 0,370 0,3576 0,3885 0,496-0,70-0,60 0,450 0,485 0,543 0,5463 0,5785 0,609 0,6435 0,6763 0,7093 0,745-0,60-0,50 0,7760 0,8096 0,8434 0,8774 0,96 0,946 0,9806 0,3053 0, , ,50-0,40 0,307 0,356 0,398 0,376 0,3636 0,3997 0, ,3374 0, , ,40-0,30 0,3487 0,3597 0, ,3594 0,3637 0, , , ,3788 0,3809-0,30-0,0 0,3859 0, , , ,409 0,4057 0, ,494 0,4683 0,4074-0,0-0,0 0,4465 0,4858 0,435 0, , , ,4488 0,454 0,4560 0,4607-0,0 0,00 0,4644 0,468 0,470 0, , , , ,490 0,4960 0, ,00 z 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0,00 z 98 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

99 Estadístca básca e Cecas de la Salud Tablas de probabldad Tabla (Cot): Probabldad acumulada P(Z z) de ua ormal estádar Z=N(0,) z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z 0,00 0, , , ,597 0,5595 0,5994 0,539 0,5790 0,5388 0, ,00 0,0.0, , , ,557 0, ,5596 0, , ,574 0, ,0 0,0 0,5796 0,5837 0, , , ,5987 0,6057 0,6064 0,606 0,6409 0,0 0,30 0,679 0,67 0,655 0,6930 0, , , ,6443 0, ,6573 0,30 0,40 0,6554 0,6590 0,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , ,40 0,50 0,6946 0, , ,7094 0, , ,76 0,7566 0,7904 0,740 0,50 0,60 0,7575 0,7907 0,7337 0, ,7389 0,745 0, , ,7575 0, ,60 0,70 0, ,765 0,7644 0, , , , , ,7830 0,7854 0,70 0,80 0,7884 0,7903 0, , , ,8034 0,805 0, ,8057 0,837 0,80 0,90 0,8594 0,8859 0,8 0,838 0,8639 0,8894 0,8347 0, , ,8389 0,90,00 0,8434 0, ,8464 0, , ,8534 0, , , ,864,00,0 0, , , , ,8786 0, , , ,8800 0,8898,0,0 0, , , , ,895 0, ,8967 0, , ,9047,0,30 0,9030 0, , ,9084 0, ,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,30,40 0,994 0,9073 0,90 0,9364 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0, ,9389,40,50 0,9339 0, , , ,938 0, ,9406 0,9479 0,9495 0,94408,50,60 0,9450 0, , , , , ,9554 0,9554 0,9535 0,95449,60,70 0, , ,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,9637,70,80 0, , ,9656 0, ,967 0, , ,9696 0, ,9706,80,90 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,90,00 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869,00,0 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574,0,0 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,0,30 0,9898 0, , ,9900 0, ,9906 0, ,99 0,9934 0,9958,30,40 0,9980 0,990 0,994 0,9945 0,9966 0,9986 0, ,9934 0, ,9936,40,50 0, , ,9943 0, , ,9946 0, ,9949 0, ,9950,50,60 0, , , , , , , ,996 0,9963 0,99643,60,70 0, , , , , ,9970 0,997 0,9970 0,9978 0,99736,70,80 0, ,9975 0, , , ,9978 0, , ,9980 0,99807,80,90 0,9983 0,9989 0,9985 0,9983 0, ,9984 0, ,9985 0, ,9986,90 3,00 0, , , , ,9988 0, , , , , ,00 3,0 0, , ,9990 0,9993 0,9996 0,9998 0,999 0,9994 0,9996 0,9999 3,0 3,0 0,9993 0, , , , ,9994 0, , , , ,0 3,30 0,9995 0, , , , , ,9996 0,9996 0, , ,30 3,40 0, , , , ,9997 0,9997 0, , , , ,40 3,50 0, , , , , ,9998 0,9998 0,9998 0, , ,50 3,60 0, , , , , , , , , , ,60 3,70 0, , , , ,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,70 3,80 0, , , , , , , , , , ,80 3,90 0, , , , , , , , , , ,90 z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z 99 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

100 Estadístca básca e Cecas de la Salud Tablas de probabldad Tabla : Percetles zp de la dstrbucó Normal Z=N(0,) P(Z zp)=p p 0,000 0,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 p 0,000-3,090 -,878 -,748 -,65 -,576 -,5 -,457 -,409 -,366 0,000 0,00 -,36 -,90 -,57 -,6 -,97 -,70 -,44 -,0 -,097 -,075 0,00 0,00 -,054 -,034 -,04 -,995 -,977 -,960 -,943 -,97 -,9 -,896 0,00 0,030 -,88 -,866 -,85 -,838 -,85 -,8 -,799 -,787 -,774 -,76 0,030 0,040 -,75 -,739 -,78 -,77 -,706 -,695 -,685 -,675 -,665 -,655 0,040 0,050 -,645 -,635 -,66 -,66 -,607 -,598 -,589 -,580 -,57 -,563 0,050 0,060 -,555 -,546 -,538 -,530 -,5 -,54 -,506 -,499 -,49 -,483 0,060 0,070 -,476 -,468 -,46 -,454 -,447 -,440 -,433 -,46 -,49 -,4 0,070 0,080 -,405 -,398 -,39 -,385 -,379 -,37 -,366 -,359 -,353 -,347 0,080 0,090 -,34 -,335 -,39 -,33 -,37 -,3 -,305 -,99 -,93 -,87 0,090 0,00 -,8 -,76 -,70 -,65 -,59 -,54 -,48 -,43 -,37 -,3 0,00 0,0 -,7 -, -,6 -, -,06 -,00 -,95 -,90 -,85 -,80 0,0 0,0 -,75 -,70 -,65 -,60 -,55 -,50 -,46 -,4 -,36 -,3 0,0 0,30 -,6 -, -,7 -, -,08 -,03 -,098 -,094 -,089 -,085 0,30 0,40 -,080 -,076 -,07 -,067 -,063 -,058 -,054 -,049 -,045 -,04 0,40 0,50 -,036 -,03 -,08 -,04 -,09 -,05 -,0 -,007 -,003-0,999 0,50 0,60-0,994-0,990-0,986-0,98-0,978-0,974-0,970-0,966-0,96-0,958 0,60 0,70-0,954-0,950-0,946-0,94-0,938-0,935-0,93-0,97-0,93-0,99 0,70 0,80-0,95-0,9-0,908-0,904-0,900-0,896-0,893-0,889-0,885-0,88 0,80 0,90-0,878-0,874-0,87-0,867-0,863-0,860-0,856-0,85-0,849-0,845 0,90 0,00-0,84-0,838-0,834-0,83-0,87-0,84-0,80-0,87-0,83-0,80 0,00 0,0-0,806-0,803-0,800-0,796-0,793-0,789-0,786-0,78-0,779-0,776 0,0 0,0-0,77-0,769-0,765-0,76-0,759-0,755-0,75-0,749-0,745-0,74 0,0 0,30-0,739-0,736-0,73-0,79-0,76-0,7-0,79-0,76-0,73-0,70 0,30 0,40-0,706-0,703-0,700-0,697-0,693-0,690-0,687-0,684-0,68-0,678 0,40 0,50-0,674-0,67-0,668-0,665-0,66-0,659-0,656-0,653-0,650-0,646 0,50 0,60-0,643-0,640-0,637-0,634-0,63-0,68-0,65-0,6-0,69-0,66 0,60 0,70-0,63-0,60-0,607-0,604-0,60-0,598-0,595-0,59-0,589-0,586 0,70 0,80-0,583-0,580-0,577-0,574-0,57-0,568-0,565-0,56-0,559-0,556 0,80 0,90-0,553-0,550-0,548-0,545-0,54-0,539-0,536-0,533-0,530-0,57 0,90 0,300-0,54-0,5-0,59-0,56-0,53-0,50-0,507-0,504-0,50-0,499 0,300 0,30-0,496-0,493-0,490-0,487-0,485-0,48-0,479-0,476-0,473-0,470 0,30 0,30-0,468-0,465-0,46-0,459-0,457-0,454-0,45-0,448-0,445-0,443 0,30 0,330-0,440-0,437-0,434-0,43-0,49-0,46-0,43-0,4-0,48-0,45 0,330 0,340-0,4-0,40-0,407-0,404-0,40-0,399-0,396-0,393-0,39-0,388 0,340 0,350-0,385-0,383-0,38-0,377-0,375-0,37-0,369-0,366-0,364-0,36 0,350 0,360-0,358-0,356-0,353-0,350-0,348-0,345-0,34-0,340-0,337-0,335 0,360 0,370-0,33-0,39-0,37-0,34-0,3-0,39-0,36-0,33-0,3-0,308 0,370 0,380-0,305-0,303-0,300-0,98-0,95-0,9-0,90-0,87-0,85-0,8 0,380 0,390-0,79-0,77-0,74-0,7-0,69-0,66-0,64-0,6-0,59-0,56 0,390 0,400-0,53-0,5-0,48-0,46-0,43-0,40-0,38-0,35-0,33-0,30 0,400 0,40-0,8-0,5-0, -0,0-0,7-0,5-0, -0,0-0,07-0,04 0,40 0,40-0,0-0,99-0,97-0,94-0,9-0,89-0,87-0,84-0,8-0,79 0,40 0,430-0,76-0,74-0,7-0,69-0,66-0,64-0,6-0,59-0,56-0,54 0,430 0,440-0,5-0,48-0,46-0,43-0,4-0,38-0,36-0,33-0,3-0,8 0,440 0,450-0,6-0,3-0, -0,8-0,6-0,3-0, -0,08-0,05-0,03 0,450 0,460-0,00-0,098-0,095-0,093-0,090-0,088-0,085-0,083-0,080-0,078 0,460 0,470-0,075-0,073-0,070-0,068-0,065-0,063-0,060-0,058-0,055-0,053 0,470 0,480-0,050-0,048-0,045-0,043-0,040-0,038-0,035-0,033-0,030-0,08 0,480 0,490-0,05-0,03-0,0-0,08-0,05-0,03-0,00-0,008-0,005-0,003 0,490 p 0,000 0,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 p 00 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

101 Estadístca básca e Cecas de la Salud Tablas de probabldad Tabla (Cot.): Percetles zp de la dstrbucó Normal Z=N(0,) P(Z zp)=p p 0,000 0,00 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 p 0,500 0,000 0,003 0,005 0,008 0,00 0,03 0,05 0,08 0,00 0,03 0,500 0,50 0,05 0,08 0,030 0,033 0,035 0,038 0,040 0,043 0,045 0,048 0,50 0,50 0,050 0,053 0,055 0,058 0,060 0,063 0,065 0,068 0,070 0,073 0,50 0,530 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,530 0,540 0,00 0,03 0,05 0,08 0, 0,3 0,6 0,8 0, 0,3 0,540 0,550 0,6 0,8 0,3 0,33 0,36 0,38 0,4 0,43 0,46 0,48 0,550 0,560 0,5 0,54 0,56 0,59 0,6 0,64 0,66 0,69 0,7 0,74 0,560 0,570 0,76 0,79 0,8 0,84 0,87 0,89 0,9 0,94 0,97 0,99 0,570 0,580 0,0 0,04 0,07 0,0 0, 0,5 0,7 0,0 0, 0,5 0,580 0,590 0,8 0,30 0,33 0,35 0,38 0,40 0,43 0,46 0,48 0,5 0,590 0,600 0,53 0,56 0,59 0,6 0,64 0,66 0,69 0,7 0,74 0,77 0,600 0,60 0,79 0,8 0,85 0,87 0,90 0,9 0,95 0,98 0,300 0,303 0,60 0,60 0,305 0,308 0,3 0,33 0,36 0,39 0,3 0,34 0,37 0,39 0,60 0,630 0,33 0,335 0,337 0,340 0,34 0,345 0,348 0,350 0,353 0,356 0,630 0,640 0,358 0,36 0,364 0,366 0,369 0,37 0,375 0,377 0,38 0,383 0,640 0,650 0,385 0,388 0,39 0,393 0,396 0,399 0,40 0,404 0,407 0,40 0,650 0,660 0,4 0,45 0,48 0,4 0,43 0,46 0,49 0,43 0,434 0,437 0,660 0,670 0,440 0,443 0,445 0,448 0,45 0,454 0,457 0,459 0,46 0,465 0,670 0,680 0,468 0,470 0,473 0,476 0,479 0,48 0,485 0,487 0,49 0,493 0,680 0,690 0,496 0,499 0,50 0,504 0,507 0,50 0,53 0,56 0,59 0,5 0,690 0,700 0,54 0,57 0,530 0,533 0,536 0,539 0,54 0,545 0,548 0,550 0,700 0,70 0,553 0,556 0,559 0,56 0,565 0,568 0,57 0,574 0,577 0,580 0,70 0,70 0,583 0,586 0,589 0,59 0,595 0,598 0,60 0,604 0,607 0,60 0,70 0,730 0,63 0,66 0,69 0,6 0,65 0,68 0,63 0,634 0,637 0,640 0,730 0,740 0,643 0,646 0,650 0,653 0,656 0,659 0,66 0,665 0,668 0,67 0,740 0,750 0,674 0,678 0,68 0,684 0,687 0,690 0,693 0,697 0,700 0,703 0,750 0,760 0,706 0,7 0,73 0,76 0,79 0,7 0,76 0,79 0,73 0,736 0,760 0,770 0,739 0,74 0,745 0,749 0,75 0,755 0,759 0,76 0,765 0,769 0,770 0,780 0,77 0,776 0,779 0,78 0,786 0,789 0,793 0,796 0,800 0,803 0,780 0,790 0,806 0,80 0,83 0,87 0,80 0,84 0,87 0,83 0,834 0,838 0,790 0,800 0,84 0,845 0,849 0,85 0,856 0,860 0,863 0,867 0,87 0,874 0,800 0,80 0,878 0,88 0,885 0,889 0,893 0,896 0,900 0,904 0,908 0,9 0,80 0,80 0,95 0,99 0,93 0,97 0,93 0,935 0,938 0,94 0,946 0,950 0,80 0,830 0,954 0,958 0,96 0,966 0,970 0,974 0,978 0,98 0,986 0,990 0,830 0,840 0,994 0,999,003,007,0,05,09,04,08,03 0,840 0,850,036,04,045,049,054,058,063,067,07,076 0,850 0,860,080,085,089,094,098,03,08,,7, 0,860 0,870,6,3,36,4,46,50,55,60,65,70 0,870 0,880,75,80,85,90,95,00,06,,6, 0,880 0,890,7,3,37,43,48,54,59,65,70,76 0,890 0,900,8,87,93,99,305,3,37,33,39,335 0,900 0,90,34,347,353,359,366,37,379,385,39,398 0,90 0,90,405,4,49,46,433,44,447,454,46,468 0,90 0,930,476,483,49,499,506,54,5,530,538,546 0,930 0,940,555,563,57,580,589,598,607,66,66,635 0,940 0,950,645,655,665,675,685,695,706,77,78,739 0,950 0,960,75,76,774,787,799,8,85,838,85,866 0,960 0,970,88,896,9,97,943,960,977,995,04,034 0,970 0,980,054,075,097,0,44,70,97,6,57,90 0,980 0,990,36,366,409,457,5,576,65,748,878 3,090 0,990 p 0,000 0,00 0,00 0, ,005 0,006 0,007 0,008 0,009 p 0 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

102 Estadístca básca e Cecas de la Salud Tablas de probabldad Tabla 3: Percetles de la dstrbucó t de Studet P(t tp)=p grados de lbertad t 0,005 t 0,0 t 0,05 t 0,05 t 0,0 t 0,5 t 0,50 t 0,75 t 0,90 t 0,95 t 0,975 t 0,99 t 0,995-63,657-3,8 -,706-6,34-3,078 -,000 0,000,000 3,078 6,34,706 3,8 63,657-9,95-6,965-4,303 -,90 -,886-0,86 0,000 0,86,886,90 4,303 6,965 9,95 3-5,84-4,54-3,8 -,353 -,638-0,765 0,000 0,765,638,353 3,8 4,54 5,84 4-4,604-3,747 -,776 -,3 -,533-0,74 0,000 0,74,533,3,776 3,747 4, ,03-3,365 -,57 -,05 -,476-0,77 0,000 0,77,476,05,57 3,365 4,03 6-3,707-3,43 -,447 -,943 -,440-0,78 0,000 0,78,440,943,447 3,43 3, ,499 -,998 -,365 -,895 -,45-0,7 0,000 0,7,45,895,365,998 3, ,355 -,896 -,306 -,860 -,397-0,706 0,000 0,706,397,860,306,896 3, ,50 -,8 -,6 -,833 -,383-0,703 0,000 0,703,383,833,6,8 3,50 0-3,69 -,764 -,8 -,8 -,37-0,700 0,000 0,700,37,8,8,764 3,69-3,06 -,78 -,0 -,796 -,363-0,697 0,000 0,697,363,796,0,78 3,06-3,055 -,68 -,79 -,78 -,356-0,695 0,000 0,695,356,78,79,68 3, ,0 -,650 -,60 -,77 -,350-0,694 0,000 0,694,350,77,60,650 3,0 4 -,977 -,64 -,45 -,76 -,345-0,69 0,000 0,69,345,76,45,64, ,947 -,60 -,3 -,753 -,34-0,69 0,000 0,69,34,753,3,60, ,9 -,583 -,0 -,746 -,337-0,690 0,000 0,690,337,746,0,583,9 7 -,898 -,567 -,0 -,740 -,333-0,689 0,000 0,689,333,740,0,567, ,878 -,55 -,0 -,734 -,330-0,688 0,000 0,688,330,734,0,55, ,86 -,539 -,093 -,79 -,38-0,688 0,000 0,688,38,79,093,539,86 0 -,845 -,58 -,086 -,75 -,35-0,687 0,000 0,687,35,75,086,58,845 -,83 -,58 -,080 -,7 -,33-0,686 0,000 0,686,33,7,080,58,83 -,89 -,508 -,074 -,77 -,3-0,686 0,000 0,686,3,77,074,508,89 3 -,807 -,500 -,069 -,74 -,39-0,685 0,000 0,685,39,74,069,500, ,797 -,49 -,064 -,7 -,38-0,685 0,000 0,685,38,7,064,49, ,787 -,485 -,060 -,708 -,36-0,684 0,000 0,684,36,708,060,485, ,779 -,479 -,056 -,706 -,35-0,684 0,000 0,684,35,706,056,479, ,77 -,473 -,05 -,703 -,34-0,684 0,000 0,684,34,703,05,473,77 8 -,763 -,467 -,048 -,70 -,33-0,683 0,000 0,683,33,70,048,467, ,756 -,46 -,045 -,699 -,3-0,683 0,000 0,683,3,699,045,46, ,750 -,457 -,04 -,697 -,30-0,683 0,000 0,683,30,697,04,457, ,74 -,438 -,030 -,690 -,306-0,68 0,000 0,68,306,690,030,438, ,704 -,43 -,0 -,684 -,303-0,68 0,000 0,68,303,684,0,43, ,690 -,4 -,04 -,679 -,30-0,680 0,000 0,680,30,679,04,4, ,678 -,403 -,009 -,676 -,99-0,679 0,000 0,679,99,676,009,403, ,668 -,396 -,004 -,673 -,97-0,679 0,000 0,679,97,673,004,396, ,660 -,390 -,000 -,67 -,96-0,679 0,000 0,679,96,67,000,390, ,654 -,385 -,997 -,669 -,95-0,678 0,000 0,678,95,669,997,385, ,648 -,38 -,994 -,667 -,94-0,678 0,000 0,678,94,667,994,38, ,643 -,377 -,99 -,665 -,93-0,678 0,000 0,678,93,665,99,377, ,639 -,374 -,990 -,664 -,9-0,678 0,000 0,678,9,664,990,374, ,635 -,37 -,988 -,663 -,9-0,677 0,000 0,677,9,663,988,37, ,63 -,368 -,987 -,66 -,9-0,677 0,000 0,677,9,66,987,368, ,69 -,366 -,985 -,66 -,9-0,677 0,000 0,677,9,66,985,366, ,66 -,364 -,984 -,660 -,90-0,677 0,000 0,677,90,660,984,364,66 0 -,6 -,36 -,98 -,659 -,89-0,677 0,000 0,677,89,659,98,36,6 0 -,67 -,358 -,980 -,658 -,89-0,677 0,000 0,677,89,658,980,358, ,64 -,355 -,978 -,657 -,88-0,676 0,000 0,676,88,657,978,355, ,6 -,353 -,977 -,656 -,88-0,676 0,000 0,676,88,656,977,353,6 50 -,609 -,35 -,976 -,655 -,87-0,676 0,000 0,676,87,655,976,35, ,607 -,350 -,975 -,654 -,87-0,676 0,000 0,676,87,654,975,350, ,605 -,348 -,974 -,654 -,87-0,676 0,000 0,676,87,654,974,348, ,603 -,347 -,973 -,653 -,86-0,676 0,000 0,676,86,653,973,347, ,60 -,346 -,973 -,653 -,86-0,676 0,000 0,676,86,653,973,346, ,60 -,345 -,97 -,653 -,86-0,676 0,000 0,676,86,653,97,345,60 0 -,599 -,344 -,97 -,65 -,86-0,676 0,000 0,676,86,65,97,344, ,598 -,343 -,97 -,65 -,85-0,676 0,000 0,676,85,65,97,343, ,597 -,343 -,970 -,65 -,85-0,676 0,000 0,676,85,65,970,343, ,596 -,34 -,970 -,65 -,85-0,676 0,000 0,676,85,65,970,34, ,596 -,34 -,969 -,65 -,85-0,675 0,000 0,675,85,65,969,34,596 -,576 -,36 -,960 -,645 -,8-0,674 0,000 0,674,8,645,960,36,576 0 Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

103 Estadístca básca e Cecas de la Salud Tablas de probabldad Tabla 4: Percetles de la dstrbucó J-cuadrada P(χ<χp)=p grados de lbertad χ 0,005 χ 0,0 χ 0,05 χ 0,05 χ 0,0 χ 0,5 χ 0,50 χ 0,75 χ 0,90 χ 0,95 χ 0,975 χ 0,99 χ 0,995 0,000 0,000 0,00 0,004 0,06 0,0 0,455,33,706 3,84 5,04 6,635 7,879 0,00 0,00 0,05 0,03 0, 0,575,386,773 4,605 5,99 7,378 9,0 0, ,07 0,5 0,6 0,35 0,584,3,366 4,08 6,5 7,85 9,348,345, ,07 0,97 0,484 0,7,064,93 3,357 5,385 7,779 9,488,43 3,77 4, ,4 0,554 0,83,45,60,675 4,35 6,66 9,36,070,833 5,086 6, ,676 0,87,37,635,04 3,455 5,348 7,84 0,645,59 4,449 6,8 8, ,989,39,690,67,833 4,55 6,346 9,037,07 4,067 6,03 8,475 0,78 8,344,646,80,733 3,490 5,07 7,344 0,9 3,36 5,507 7,535 0,090,955 9,735,088,700 3,35 4,68 5,899 8,343,389 4,684 6,99 9,03,666 3,589 0,56,558 3,47 3,940 4,865 6,737 9,34,549 5,987 8,307 0,483 3,09 5,88,603 3,053 3,86 4,575 5,578 7,584 0,34 3,70 7,75 9,675,9 4,75 6,757 3,074 3,57 4,404 5,6 6,304 8,438,340 4,845 8,549,06 3,337 6,7 8, ,565 4,07 5,009 5,89 7,04 9,99,340 5,984 9,8,36 4,736 7,688 9,89 4 4,075 4,660 5,69 6,57 7,790 0,65 3,339 7,7,064 3,685 6,9 9,4 3,39 5 4,60 5,9 6,6 7,6 8,547,037 4,339 8,45,307 4,996 7,488 30,578 3,80 6 5,4 5,8 6,908 7,96 9,3,9 5,338 9,369 3,54 6,96 8,845 3,000 34,67 7 5,697 6,408 7,564 8,67 0,085,79 6,338 0,489 4,769 7,587 30,9 33,409 35,78 8 6,65 7,05 8,3 9,390 0,865 3,675 7,338,605 5,989 8,869 3,56 34,805 37,56 9 6,844 7,633 8,907 0,7,65 4,56 8,338,78 7,04 30,44 3,85 36,9 38,58 0 7,434 8,60 9,59 0,85,443 5,45 9,337 3,88 8,4 3,40 34,70 37,566 39,997 8,034 8,897 0,83,59 3,40 6,344 0,337 4,935 9,65 3,67 35,479 38,93 4,40 8,643 9,54 0,98,338 4,04 7,40,337 6,039 30,83 33,94 36,78 40,89 4, ,60 0,96,689 3,09 4,848 8,37,337 7,4 3,007 35,7 38,076 4,638 44,8 4 9,886 0,856,40 3,848 5,659 9,037 3,337 8,4 33,96 36,45 39,364 4,980 45, ,50,54 3,0 4,6 6,473 9,939 4,337 9,339 34,38 37,65 40,646 44,34 46,98 6,60,98 3,844 5,379 7,9 0,843 5,336 30,435 35,563 38,885 4,93 45,64 48,90 7,808,879 4,573 6,5 8,4,749 6,336 3,58 36,74 40,3 43,95 46,963 49,645 8,46 3,565 5,308 6,98 8,939,657 7,336 3,60 37,96 4,337 44,46 48,78 50, , 4,56 6,047 7,708 9,768 3,567 8,336 33,7 39,087 4,557 45,7 49,588 5, ,787 4,953 6,79 8,493 0,599 4,478 9,336 34,800 40,56 43,773 46,979 50,89 53, ,9 8,509 0,569,465 4,797 9,054 34,336 40,3 46,059 49,80 53,03 57,34 60, ,707,64 4,433 6,509 9,05 33,660 39,335 45,66 5,805 55,758 59,34 63,69 66, ,3 5,90 8,366 30,6 33,350 38,9 44,335 50,985 57,505 6,656 65,40 69,957 73, ,99 9,707 3,357 34,764 37,689 4,94 49,335 56,334 63,67 67,505 7,40 76,54 79, ,735 33,570 36,398 38,958 4,060 47,60 54,335 6,665 68,796 73,3 77,380 8,9 85, ,534 37,485 40,48 43,88 46,459 5,94 59,335 66,98 74,397 79,08 83,98 88,379 9, ,383 4,444 44,603 47,450 50,883 56,990 64,335 7,85 79,973 84,8 89,77 94,4 98, ,75 45,44 48,758 5,739 55,39 6,698 69,334 77,577 85,57 90,53 95,03 00,45 04, ,06 49,475 5,94 56,054 59,795 66,47 74,334 8,858 9,06 96,7 00,839 06,393 0, ,7 53,540 57,53 60,39 64,78 7,45 79,334 88,30 96,578 0,879 06,69,39 6, ,70 57,634 6,389 64,749 68,777 75,88 84,334 93,394 0,079 07,5,393 8,36, ,96 6,754 65,647 69,6 73,9 80,65 89,334 98,650 07,565 3,45 8,36 4,6 8, ,50 65,898 69,95 73,50 77,88 85,376 94,334 03,899 3,038 8,75 3,858 9,973 34, ,38 70,065 74, 77,99 8,358 90,33 99,334 09,4 8,498 4,34 9,56 35,807 40, ,550 78,458 8,867 86,79 9,47 99,666 09,334 9,608 9,385 35,480 40,97 47,44 5, ,85 86,93 9,573 95,705 00,64 09,0 9,334 30,055 40,33 46,567 5, 58,950 63, , 95,45 00,33 04,66 09,8 8,79 9,334 40,48 5,045 57,60 63,453 70,43 75, ,655 04,034 09,37 3,659 9,09 8,38 39,334 50,894 6,87 68,63 74,648 8,840 86, ,4,668 7,985,69 8,75 37,983 49,334 6,9 7,58 79,58 85,800 93,08 98, ,679,346 6,870 3,756 37,546 47,599 59,334 7,675 83,3 90,56 96,95 04,530 09, ,6 30,064 35,790 40,849 46,839 57,7 69,334 8,047 94,07 0,43 07,995 5,8, ,884 38,80 44,74 49,969 56,53 66,865 79,334 9,409 04,704,304 9,044 7,056 3, ,545 47,60 53,7 59,3 65,485 76,54 89,334 0,76 5,37 3,60 30,064 38,66 43, ,4 56,43 6,78 68,79 74,835 86,7 99,334 3,0 6,0 33,994 4,058 49,445 55, ,969 65,83 7,759 77,465 84,0 95,838 09,334 3,436 36,655 44,808 5,07 60,595 66, ,77 74,60 80,83 86,67 93,58 05,5 9,334 33,76 47,74 55,60 6,973 7,77 77, ,5 83,063 89,889 95,895 0,978 5,94 9,334 44,080 57,879 66,378 73,898 8,84 88, ,34 9,990 98,984 05,35,386 4,88 39,334 54,39 68,47 77,38 84,80 93, , ,6 00,939 08,098 4,39,806 34,577 49,334 64,697 79,050 87,88 95, ,940 3, Adreu Nolasco Bomatí, Joaquí Mocho Vasallo

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