1 Métodos Matemáticos I. Parte: Integrales de ĺınea y superficie. I.T.I. en Mecánica

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1 1 Métodos Mtemáticos I Prte II Integrles de ĺıne y superficie Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

2 2 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en IR n Definición 66.- Se [, b] IR, diremos que α: [, b] IR n es un cmino en IR n si α es continu en [, b]. A los puntos α y αb de IR n los llmremos extremos del cmino. Si los extremos coinciden, es decir, si α αb, diremos que el cmino es cerrdo. Observción 67.- Ls funciones α que determinn los cminos son funciones vectoriles de vrible rel, luego α es continu y diferencible si lo son sus funciones componentes. En este último cso, como ls componentes de α α 1,..., α n son funciones reles de vrible rel, son diferencibles si son derivbles y, en consecuenci, suele usrse l expresión α es derivble en lugr de decir diferencible y se escribe α t α 1 t,..., α nt. Ejemplos 68.- L función α: [, 1] IR n dd por αt x+ty x es continu en [, 1], luego es un cmino en IR n. α x y α1 y, y l imgen de α en IR n es el segmento que une los puntos x e y de IR n. Suele denotrse por x y ó [[x, y]]. L función α: [, 2π] IR 2 definid por αt cos t, sen t es continu en [, 2π], por serlo sus funciones componentes, y α cos, sen cos 2π, sen 2π α2π. Luego es un cmino cerrdo en IR 2. Su imgen α[, 2π] son los puntos de l circunferenci unidd x 2 + y 2 1. Definición 69.- Dos cminos α: [, b] IR n y β: [c, d] IR n se dice que son equivlentes, y se escribe α β, si existe un plicción biyectiv u: [c, d] [, b] continu en [c, d], de clse 1 en c, d y u t pr todo t c, d, tl que β α u en [c, d]. Not: Es clro que, si u es continu en [c, d] y u es continu y no se nul en c, d, l función es estrictmente creciente o estrictmente decreciente, luego u es inyectiv, por lo que bst con segurrse que u es supryeciv o sobreyectiv, es decir, que Imgu [, b]. Además, si α β, tienen el mismo conjunto imgen pues α[, b] β[c, d]. Ejemplo 7.- Los cminos α: [, 2π] IR 2 y β: [, π] IR 2, con αt cos t, sen t y βt cos 2t, sen 2t, son equivlentes. En efecto, l función u: [, π] [, 2π], dd por ut 2t, verific que α ut αut cos ut, sen ut cos 2t, sen 2t βt; es continu, de clse 1 y u t 2, pr todo t, π; y es biyectiv, pues si s [, 2π], existe t s 2 [, π] tl que ut 2t 2 s 2 s, luego es sobreyectiv. Proposición 71.- L equivlenci de cminos verific ls siguientes propieddes 1.- Si α β, entonces β α 2.- Si α β y β γ, entonces α γ. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

3 3 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en IR n Demostrción: Si α β, entonces existe u: [c, d] [, b] tl que β α u. Por ser u continu y biyectiv en [c, d] existe l función invers continu y biyectiv u 1 : [, b] [c, d]; y por ser u de clse 1 y u t pr todo t c, d, por el teorem de l función invers, l función u 1 es de clse 1 y con derivd distint de cero en, b. Además, se verific que β u 1 α u u 1 α u u 1 α. b β α u y γ β v, entonces γ β v α u v α u v α w, donde w u v es continu y de clse 1 por ser composición de funciones continus y de clse 1. Además w t u vtv t pr todo t. Definición 72.- Al conjunto de todos los cminos equivlentes entre sí y, más comúnmente, l imgen común de todos los cminos equivlentes, se le llm curv en IR n. De cd uno de estos cminos, se dice que es un prmetrizción de l curv o que l curv está descrit o recorrid por dicho cmino. Observción 73.- Si α y β son equivlentes, l función u que d l equivlenci es estrictmente creciente o estrictmente decreciente, según que l derivd se positiv o negtiv. En consecuenci, pr u: [c, d] [, b], si u > entonces uc y ud b y si u <, se tiene que uc b y ud. Definición 74.- Sen α y β cminos equivlentes con β α u. Si u > se dice que α y β son positivmente equivlentes y si u < se dice que son negtivmente equivlentes. Se dice entonces, que α y β recorren l curv en el mismo sentido si son positivmente equivlentes y en sentidos contrrios si son negtivmente equivlentes. Proposición 75.- Se α: [, b] IR n, entonces el cmino α : [, b] IR n ddo por α t α + b t es negtivmente equivlente α. Demostrción: Se u: [, b] [, b] l función dd por ut + b t. L función u es continu, derivble y u t 1 pr todo t, b, luego l derivd es continu y u < en, b. Es sobreyectiv, pues cd c [, b] es imgen por u del punto + b c [, b], es decir, u + b c + b + b c c. omo α t α + b t αut pr todo t, los cminos α y α equivlentes. son negtivmente Longitud de un curv Se un curv prmetrizd por α: [, b] IR n, P { t < t 1 < < t m b} un prtición de [, b] y x i αt i IR n pr i,..., m. onstruimos l poligonl Π P que ps por los sucesivos puntos x i de. omo l longitud de cd segmento [[x k 1, x k ]] es x k x k 1, l longitud de tod l poligonl m m LΠ P x k x k 1 αt k αt k 1 k1 k1 será un proximción por defecto l longitud de l curv. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

4 4 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en IR n αt 4 αt 3 αb αt 2 αt 1 α Fig Aproximción por poligonles Si Q es un prtición de [, b] más fin que P, se verific que LΠ P LΠ Q, pues si t Q y no P se tiene que t i 1 < t < t i pr lgún i y, entonces, αt i αt i 1 αt i αt + αt αt i 1. Es decir, prticiones más fins producen mejores proximciones l longitud de l curv. Definición 76.- Se un curv prmetrizd por α: [, b] IR n. Diremos que l curv es rectificble si existe M > tl que LΠ P M pr tod prtición P P[, b]. Existe, entonces, el vlor L, b LΠ P que llmremos longitud de l curv. sup P P[,b] Observción 77.- Es obvio que l longitud no puede depender de l prmetrizción elegid. Si α β existe u tl que α β u y, pr cd prtición de [, b], los vlores s i ut i son un prtición de [c, d] tl que x i αt i βut i β s i ; y vicevers. Tmbién es clro que si < c < b, se tiene que L, b L, c + Lc, b. Proposición 78.- Se un curv descrit por α: [, b] IR n. Si α es de clse 1, entonces es rectificble y L, b b α t dt. Demostrción: Se P P[, b], entonces LΠ P m k1 intervlo [t k 1, t k ], existe e k [t k 1, t k ], tl que αt k αt k 1 y, como α es derivble en cd αt k αt k 1 α e k t k t k 1. Luego LΠ P m α e k t k t k 1 k1 m α e k t k t k 1 k1 m α e k t k t k 1. Por otr prte, α : [, b] IR es continu por serlo α y, si m k y M k son respectivmente el mínimo y máximo de l función α en [t k 1, t k ], se tiene que m k α e k M k k1 de donde L α m, P α e k t k t k 1 U α, P k1 Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

5 5 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.2 Integrl de ĺıne pr funciones reles y, por tnto, b α sup L α, P P P[,b] sup LΠ P P P[,b] inf U α, P P P[,b] b α. Luego es rectificble. Además, como α es integrble por ser continu, l integrl superior e inferior coinciden, y se tiene que L, b sup LΠ P P P[,b] b α u du. Definición 79.- Se{ un curv rectificble descrit por α: [, b] IR n. L función s: [, b] IR, si t definid por st se denomin función longitud de rco de l curv. L, t, si t > Proposición 8.- Se un curv descrit por α: [, b] IR n de clse 1, entonces 1.- st t α u du, pr cd t [, b]. 2.- s es derivble en, b y s t α t, pr todo t, b. Demostrción: 1.- Aplicndo l proposición nterior cd intervlo [, t] con t b, se tiene que, pr cd t [, b], st L, t t α u du. 2.- Por ser α continu y el teorem fundmentl del cálculo integrl. Observción 81.- Si α es un prmetrizción de l curv y es derivble en t, el vector α t es un vector tngente l curv en el punto αt. El sentido de ese vector tngente indic el sentido del recorrido de l curv y l norm indic, en un cierto sentido, cuánto se curv cerc de ese punto. α t 2 α 3 t 3 α t 1 α t 2 α t 1 Ejemplo 82.- Hllr l longitud y l función longitud de rco de l cicliode prmetrizd por α: [, 2π] IR 2 con αt t sen t, 1 cos t. Solución: En [, 2π], se tiene α t 1 cos t, sen t 21 cos t 2 sen t 2 2 sen t 2, luego st t α u du 2 t sen u 2 du 4 1 cos t Integrl de líne pr funciones reles y L s2π 8. Definición 83.- Se un curv de IR n prmetrizd por α: [, b] IR n de clse 1 y ϕ: IR cotd. Se define l integrl de ϕ respecto l longitud de rco lo lrgo de y recorrid en el sentido ddo por α, como ϕ ϕ ds b ϕαts t dt b ϕαt α t dt. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

6 6 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.2 Integrl de ĺıne pr funciones reles Proposición 84.- Se un curv de IR n y ϕ: IR cotd. Si α: [, b] IR n y β : [c, d] IR n son dos prmetrizciones de equivlentes, entonces b ϕαt α t dt Es decir, l integrl no depende de l prmetrizción elegid. d c ϕβ t β t dt. Demostrción: Si βt αut en [c, d], se tiene β t α utu t α ut u t, luego I d c ϕβt β t dt d c ϕαut α ut u t dt. Hciendo el cmbio u ut, se tiene que du u t dt. Entonces, si u > se tiene que u t u t, uc y ud b, de donde I d c ϕαut α ut u t dt b ϕαu α u du; y, si u <, se tiene que u t u t, uc b y ud, de donde d I c b ϕαut α ut u t dt ϕαu α u du b ϕαu α u du Aplicciones álculo de áres Sen un curv en IR 2, prmetrizd por α: [, b] IR 2 de clse 1, y ϕ: IR un función cotd y positiv. Si considermos l curv {x, y, ϕx, y : x, y } de IR 3, el áre de l superficie verticl S encerrd entre y, viene dd por AS ϕ ϕ ds b ϕαt α t dt. Generlizndo esto, si ϕ 1, ϕ 2 : IR, con ϕ 1 ϕ 2 en, entonces el áre verticl S encerrdo Fig Áre verticl entre curvs. entre ls curvs 1 {x, y, ϕ 1x, y : x, y } y 2 {x, y, ϕ 2x, y : x, y } es AS ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ds b ϕ 2 αt ϕ 1 αt α t dt. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

7 7 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.2 Integrl de ĺıne pr funciones reles Ejemplo 85.- lculr el áre de l superficie S del cilindro x 2 + y 2 4 limitd por los plnos z y x + z 2. Solución: L curv bse de l superficie es {x, y : x 2 + y 2 4} y α: [, 2π] IR 2 con αt 2 cos t, 2 sen t un prmetrizción suy; l función ϕ: IR viene dd por l ltur de cd punto del plno x + z 2, es decir, ϕx, y z 2 x. Entonces AS ϕ ds 2π Aplicciones l mecánic ϕαt α t dt 2π 2 2 cos t2 dt 8π. Si considermos un lmbre delgdo que tiene l form de un curv rectificble en IR n n 2 ó n 3, α: [, b] IR n es un prmetrizción de y l densidd del lmbre en cd punto x viene ddo por un función ϕ: IR, entonces: l ms totl de lmbre se obtiene de M ϕx ds. El centro de ms del lmbre ξ ξ 1,..., ξ n, de ξ k 1 M x k ϕx ds; pr cd 1 k n, con n 2 ó n 3. El momento de inerci l girr lrededor de l rect L, por I L δ 2 xϕx ds, donde δx es l distnci del punto x l rect L. Ejemplo 86.- Un lmbre tiene l form de l circunferenci x 2 + y 2 2. Determinr su ms y su momento de inerci respecto uno de sus diámetros, si l densidd en cd punto x, y es x + y. Solución: Un prmetrizción del lmbre es α: [, 2π] IR 2, donde αθ cos θ, sen θ, y ϕx, y x + y es l función densidd. Entonces, ϕαθ cos θ + sen θ y α θ sen θ, cos θ, luego M ϕx, y ds 2π π cos θ + sen θ dθ cos θ + sen θ dθ 8 2. Si tommos L el diámetro y, se tiene que δx, y y, luego I L δ 2 x, yϕx, y ds 2π sen θ 2 cos θ + sen θ dθ 2π 2π 4 sen 2 θ cos θ dθ + 4 sen 2 θ sen θ dθ π 3π 4 2 sen 2 2 2π θ cos θ dθ sen 2 θ cos θ dθ + sen 2 θ cos θ dθ+ π 3π 2 2 π 2π + sen 2 θ sen θ dθ sen 2 θ sen θ dθ 4 4. π Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

8 8 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.3 Integrl de ĺıne pr funciones vectoriles 3.3 Integrl de líne pr funciones vectoriles El trbjo relizdo por un cmpo de fuerzs f l mover un prtícul lo lrgo de un tryectori dd por α: [, b] IR n es T b fαt α t dt. En efecto, si l prtícul se desplz lo lrgo de l tryectori, es impulsd por l componente del cmpo en l dirección del vector tngente l curv en cd punto, y su vlor en cd punto se obtiene del producto esclr del vector fuerz con el véctor tngente normlizdo de norm 1, luego ϕαt fαt α t α t y, por tnto, el trbjo totl relizdo será b α t T ϕ ds fαt α α t dt t b fαt α t dt. Est plicción físic de l integrl de líne, nos sugiere extender l definición de integrl de líne ls funciones vectoriles. Definición 87.- Un cmino α: [, b] IR n se llm regulr si α es de clse 1 en, b y α t pr todo t, b. Definición 88.- Un cmino α: [, b] IR n se dice que es regulr trozos si existe un prtición P α { t < t 1 < < t m b} de [, b] tl que l restricción de α cd uno de los intervlos [t k 1, t k ] es regulr. Observción 89.- Si α: [, b] IR n es un cmino regulr trozos y P α l prtición socid por l definición, podemos considerr α como un conctención de subcminos regulres cuy curv imgen qued construid pegndo trozos de curvs. Si P α { t < t 1 < < t m b} y denotmos por α k α [tk 1,t k ] los subcminos, podemos describirlo usndo el símbolo pr indicr l conctención medinte l expresión α α 1 α 2 α m. Si β: [c, d] IR n es un cmino regulr trozos equivlente α, con β α u, entonces su prtición socid P β es de l form P β {c s < s 1 < < s m d}, donde us k t k si son positivmente equivlentes y us k t m k si son negtivmente equivlentes. Es decir, usndo l notción de conctención, β β 1 β 2 β m, donde β k α k u si son positivmente equivlentes y β k α m k u si son negtivmente equivlentes. Definición 9.- Se α: [, b] IR n un cmino regulr trozos y α[, b] IR n. Si f: IR n es cotd, se define l integrl de líne de f lo lrgo de α por b f f dα fαt α t dt, siempre que l integrl del segundo miembro exist. Ejemplo 91.- Se α: [, 2π] IR 2 definid por αt t sen t, 1 cos t y fx, y 2 y, x. Entonces, 2π 2π f dα fαt α t dt ft sen t, 1 cos t 1 cos t, sen t dt 2π 2π 1 + cos t, t sen t 1 cos t, sen t dt t sen t dt 2π. 2π 1 cos 2 t + t sen t sen 2 t dt Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

9 9 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.3 Integrl de ĺıne pr funciones vectoriles Observción 92.- Aunque en l construcción de est integrl de líne se indic l necesidd de que α de hí l introducción de los cminos regulres, l definición es válid y coherente pr cminos regulres trozos, pues el vlor de es integrl se obtiene como l sum de los vlores de integrles sobre cminos regulres. Es decir, si α: [, b] IR n es un cmino regulr trozos, con α α 1 α 2 α m se tiene que En efecto, b f dα t1 f dα fαt α t dt f dα 1 + t fαt α t dt + t1 t2 f dα f dα m t 1 fαt α t dt + + t1 fα 1 t α 1t dt + fα 2 t α 2t dt + + t t m f dα 1 + f dα f dα m f dα i. k1 m f dα i. k1 tm t m 1 fαt α t dt tm t m 1 fα m t α mt dt En consecuenci, los resultdos pr cminos regulres trozos, bstrá probrlos pr regulres, extendiendo el resultdo por linelidd cminos regulres trozos. Propieddes de l integrl de ĺıne 93.- Sen α: [, b] IR n un cmino regulr trozos, ls funciones f, g: α[, b] IR n cotds y λ, µ IR. λf + µg dα λ f dα + µ g dα. b Si < c < b y α 1 α [,c] y α 2 α [c,b], entonces Demostrción: f dα f dα 1 + f dα 2 λf + µg dα λ b b b b λfαt + µgαt α t dt λfαt α t + µgαt α t dt b λfαt α t dt + fαt α t dt + µ b µgαt α t dt gαt α t dt λ f dα + µ g dα. b Ver l observción 92 nterior. Proposición 94.- Sen α: [, b] IR n y β: [c, d] IR n cminos regulres trozos, dos prmetrizciones de un curv. Entonces, pr culquier función f: IR n se tiene que f dα ± f dβ según que α y β sen positiv o negtivmente equivlentes. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

10 1 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne Demostrción: Se αt βut y supongmos que α y β son regulres, pues si no lo fuern bst con dividir l integrl de líne en sum de integrles donde si son regulres. Entonces, b f dα b fαt α t dt b fβut β ut fβut β utu t dt u t dt I Hciendo el cmbio u ut, se tiene que du u tdt. Entonces, si u > se tiene que u c y ub d, de donde d I fβu β u du f dβ; y, si u <, se tiene que u d y ub c, de donde I c d c d fβu β u du fβu β u du c f dβ. Ejemplo 95.- lculr l integrl de líne de fx, y, z yz, xz, yx + x lo lrgo del triángulo de vértices,,, 1, 1, 1, b 1, 1, 1 recorrido en ese sentido. Solución: Por ls propieddes nteriores, si α 1 es un prmetrizción del segmento [[, ]], α 2 un prmetrizción del segmento [[, b]] y α 3 un prmetrizción del segmento [[b, ]], entonces, f dα f dα 1 + f dα 2 + f dα 3 omo α 1 : [, 1] IR 3, con α 1 t t t, t, t; α 2 : [, 1] IR 3, con α 2 t + tb 1 2t, 1, 1 2t; y α 3 : [, 1] IR3, con α 3 t tb t, t, t, se tiene que f dα f dα 1 + f dα 2 f dα t 2 +t dt + 12t 6 dt 3t 2 +t dt. 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de líne Recordemos que si S IR n es bierto y ϕ: S IR es un función que dmit derivds prciles en cd punto de S, l función ϕ : S IR n dd por ϕ x D 1 ϕx, D 2 ϕx,..., D n ϕx ϕ x 1 x, ϕ x 2 x,..., ϕ x n x se denomin función grdiente de ϕ y se denot hbitulmente por ϕ ó grd ϕ. Definición 96.- Se f: S IR n. Se dice que f es un grdiente en S, si existe un función ϕ: S IR tl que fx ϕx, x S. De ϕ, se dice entonces que es un función potencil de f en S. Definición 97.- Se dice que un conjunto S IR n es conexo si no existen dos biertos disjuntos A 1 y A 2 tles que A 1 S, A 2 S S A 1 A 2. Se dice que un conjunto S IR n es conexo por rcos si pr cd pr de puntos x, y S existe un cmino que los une cuy imgen está contenid en S. Es decir, si existe un cmino α: [, b] IR n tl que α x, αb y y α[, b] S. Not: Todo conjunto conexo por rcos es tmbién conexo pero no l revés, sin embrgo, un conjunto bierto y conexo es conexo por rcos. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

11 11 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne Segundo teorem fundmentl de ls integrles de ĺıne 98.- Se S IR n bierto y conexo luego conexo por rcos y ϕ: S IR de clse 1 en S. Entonces, pr todo pr de puntos x, y S y todo cmino regulr trozos α, cuy imgen esté contenid en S, que un x con y se tiene que ϕ dα ϕy ϕx. Demostrción: Se α: [, b] IR n con α x, αb y y α[, b] S y supongmos que α es regulr. onsideremos l función g: [, b] IR definid por gt ϕαt. L función g es de clse 1 por ser composición de funciones de clse 1 y, pr cd t [, b], g t ϕαt α t es continu. Entonces, b b ϕ dα ϕαt α t dt g t dt gb g ϕαb ϕα ϕy ϕx. Si α es regulr trozos y α α 1 α 2 α m, plicndo lo nterior cd un de ls curvs α k regulres y teniendo en cuent que el punto finl de l curv dd por α k es el punto inicil de l curv dd por α k+1, se obtiene el resultdo. Ejemplo 99.- Se fx, y, z yz, xz, xy y el segmento que une los puntos 1, 1, 1 y b 2,, 5. lculr f. Solución: Pr ϕx, y, z xyz, se tiene que ϕx, y, z yz, xz, xy fx, y, z, pr todo punto de IR 3, luego f ϕ ϕb ϕ 1 1. Definición 1.- Se S IR n un conjunto bierto y conexo y f: S IR n continu. Se dice que l integrl de líne de f es independiente del cmino en S, si pr todo pr de puntos x, y S y culesquier cminos α: [, b] IR n y β: [c, d] IR n en S que unn x con y, se verific que f dα f dβ. Primer teorem fundmentl 11.- Sen S IR n, bierto y conexo, y f: S IR n continu. Supongmos que l integrl de líne de f es independiente del cmino en S, entonces existe un función ϕ: S IR de clse 1 tl que ϕx fx, pr todo x S. Demostrción: Se x un punto fijo de S. Pr cd x S considermos l función ϕx es un cmino regulr trozos en S que une x con x. f dα x, donde α x El cmino α x existe pr todo x por ser S conexo por rcos. ϕ está bien definid, pues l integrl es independiente del cmino en S, y sólo depende del punto x. Vemos que D k ϕx f k x, pr cd x S y pr cd k 1,..., n: ϕx + he k ϕx 1 D k ϕx lím lím h h h h f dα x+hek f dα x. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

12 12 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne Ahor bien, como S es bierto, existe δ > tl que el Ex, δ S y pr los h IR tles que < h < δ el segmento que une el punto x con x+he k está contenido en Ex, δ S ; si prmetrizmos dicho segmento por α h : [, 1] IR n, con α h t x + the k y α h t he k, como l integrl es independiente del cmino en S podemos tomr α x+hek α x α h y entonces ϕx + he k ϕx h 1 h 1 h 1 h 1 h f dα x + f dα h fx + the k he k dt 1 h f k x + ue k du f dα x 1 f dα h h 1 f k x + the k h dt { } th u hdt du tomndo límites y teniendo en cuent que l función f k función integrl, se tiene es continu y, entonces, es derivble su ϕx + he k ϕx D k ϕx lím lím h h h h f k x + ue k du En consecuenci, ϕ f en S y, como f es continu, ϕ es de clse 1. h f k x + he k lím f k x. h 1 Ejemplo 12.- Se sbe que l función fx, y, z yz, xz, xy es independiente del cmino en IR 3. Encontrr ϕ tl que ϕ f en IR 3. Solución: Se,, fijo y se, pr cd x x, y, z en IR 3, α x : [, 1] IR 3 definid por α x t + tx tx tx, ty, tz. Entonces ϕx f dα x 1 ftx, ty, tz x, y, z dt 1 t 2 xyz + t 2 xyz + t 2 xyz dt 1 1 3t 2 xyz dt xyz tytz, txtz, txty x, y, z dt 1 3t 2 dt xyz. Proposición 13.- Se S IR n bierto y conexo por rcos y f: S IR n continu. Entonces, son equivlentes los siguientes sertos: L integrl de líne de f es independiente del cmino en S. b Existe ϕ: S IR de clse 1 tl que ϕ f en S. c L integrl de líne de f lo lrgo de culquier cmino en S cerrdo y regulr trozos es cero. Demostrción: b Es el primer teorem fundmentl. b c Por el segundo teorem fundmentl, f dα ϕ dα ϕx ϕx. c Se α: [, b] IR n y β : [c, d] IR n dos cminos en S regulres trozos que unen x con y. El cmino β t β c + d t que recorre l mism curv que β pero en sentido contrrio, une el punto y con x, luego el cmino γ α β es un cmino cerrdo regulr trozos. Entonces, En consecuenci, f dγ f dα + f dβ f dα f dβ. f dα f dβ y l integrl es independiente del cmino en S. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

13 13 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne Estudio de l función potencil ondición necesri pr l existenci 14.- Sen S IR n bierto, f: S IR n de clse 1 y ϕ: S IR n tl que ϕ f en S. Entonces, si f f 1,..., f n, pr todo x S y pr todos i, j, se verific que D i f j x D j f i x. Demostrción: omo f es de clse 1 en S, ϕ es de clse 2 en S y, por el teorem de Schwrtz, se tiene que D ij ϕx D ji ϕx pr todo x y todos i, j. Luego D i f j x D i D j ϕx D ji ϕx D ij ϕx D j D i ϕx D j f i x. Ejemplos 15.- L función f: IR 3 IR 3 dd por fx, y, z yz, xz, xy es un grdiente en IR 3, es de clse 1 y se verific, pr todo x, y, z IR 3, que D 1 f 2 x, y, z z D 2 f 1 x, y, z z D 1 f 3 x, y, z y D 3 f 1 x, y, z y D 2 f 3 x, y, z x D 3 f 2 x, y, z x. Por otr prte, l función f: IR 3 IR 3 dd por fx, y, z y, z, x, no puede ser un grdiente en IR 3, puesto que f es de clse 1 y D 1 f 2 x, y, z D 2 f 1 x, y, z 1. Observción 16.- L condición nterior es necesri pero no es suficiente, como puede verse en el siguiente contrejemplo ontrejemplo.- Se S IR 2 {, } y f: S IR 2 definid por fx, y y x,. x 2 +y 2 x 2 +y 2 L función f es de clse 1 en S y se verific que D 1 f 2 x, y y2 x 2 D x 2 +y f 1 x, y, pr todo x, y S. Sin embrgo, pr est función no puede existir función potencil y que si tommos es S el cmino cerrdo α: [, 2π] IR 2, con αt cos t, sen t, se tiene que 2π 2π 2π f dα fαt α t dt sen t, cos t sen t, cos t dt 1 dt 2π Definición 17.- Un conjunto S IR n se dice que es convexo si pr culesquier x, y S el segmento que los une está contenido en S. Es decir, si l imgen del cmino α: [, 1] IR n ddo por αt x + ty x está contenid en S. ondición suficiente pr l existenci 18.- Sen S IR n bierto y f: S IR n de clse 1. Si S es convexo y D i f j D j f i en S pr todos i, j, entonces existe ϕ: S IR de clse 2 tl que ϕ f en S. Demostrción: Se S. Pr cd x de S, el segmento que une y x está contenido en S y es l imgen del cmino α: [, 1] IR n con αt + tx. Definimos entonces, l función ϕ: S IR por 1 1 ϕx f dα fαt α t dt f + tx x dt onsideremos ψx, t f + tx x con ψ: S [, 1] IR, luego ϕx 1 ψx, t dt. omo D k ψx, t existe pr todo k y es ] D k ψx, t D k [f + tx x ] ] D k [f + tx x + f + tx D k [x por l regl de l cden se tiene que Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

14 14 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne ] ] f + tx D k [ + tx x + f + tx D k [x como D k x i i si i k y D k x k k 1 nos qued f + tx te t k x + f + tx e k t D k f 1 + tx,..., D k f n + tx x + f k + tx usndo l condición necesri, D i f j D j f i en S, t D 1 f k + tx,..., D n f k + tx x + f k + tx t f k + tx x + f k + tx, l función D k ψx, t es continu por ser f de clse 1 en S. Se, entonces, A un rectángulo, con x A S, tl que D k ψx, t es continu en A [, 1], por l proposición 49 sobre integrles dependientes de un prámetro, pr todo k, existe D k ϕx y D k ϕx 1 D k ψx, t dt 1 t f k + tx x + f k + tx dt. Si llmmos gt f k + tx, l función g: [, 1] IR es de clse 1 por serlo f k y g t f k + tx x. Luego 1 1 { } 1 D k ϕx tg t + gt dt tg u t, dv g t dt + gt dt tdt du dt, v gt tgt ] 1 En consecuenci, ϕ f en S. 1 gt dt + Ejercicio 19.- Demostrr que l función f: IR 3 IR 3 dd por 1 gt dt g1 f k + 1x f k x. fx, y, z y 2 cos x + z 3, 2y sen x 4, 3xz es un grdiente en IR 3 y determinr un función potencil de f. Solución: f es de clse 1 en IR 3 que es convexo y D 1 f 2 x, y, z x 2y sen x 4 2y cos x y y2 cos x + z 3 D 2 f 1 x, y, z D 1 f 3 x, y, z x 3xz z 2 z y2 cos x + z 3 D 3 f 1 x, y, z D 2 f 3 x, y, z y 3xz2 + 2 z 2y sen x 4 D 3f 2 x, y, z. Luego existe ϕ: IR 3 IR 3 tl que ϕ f. Pr clculr ϕ, como existe, podemos hcerlo de l siguiente mner: ϕ debe verificr que D 1 ϕx, y, z y 2 cos x + z 3, luego considerndo y y z como constntes, debe ser un primitiv de est, es decir, ϕx, y, z y 2 cos x + z 3 dx y 2 sen x + z 3 x + hy, z siendo hy, z constnte respecto x l constnte de integrción. ϕ tmbién debe verificr que D 2 ϕx, y, z 2y sen x 4, luego debe verificrse que 2y sen x 4 y y2 sen x + z 3 x + hy, z 2y sen x + y hy, z. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

15 15 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.4 Teorems fundmentles de ls integrles de ĺıne Por tnto, y hy, z 4 y considerndo z como constnte, hy, z debe ser un primitiv de 4, es decir, hy, z 4 dy 4y + kz siendo kz constnte respecto y l constnte de integrción. Luego ϕx, y, z y 2 sen x + z 3 x + hy, z y 2 sen x + z 3 x 4y + kz. Por último, ϕ tmbién debe verificr que D 3 ϕx, y, z 3xz 2 + 2, luego debe verificrse que 3xz z y2 sen x + z 3 x 4y + kz 3z 2 x + z kz. Por tnto, z kz k z 2 y por consiguiente, siendo IR l constnte de integrción. Se tiene entonces que kz 2 dz 2z + ϕx, y, z y 2 sen x + z 3 x 4y + kz y 2 sen x + z 3 x 4y + 2z Otrs notciones Es bstnte común l notción medinte forms diferenciles, en el siguiente sentido: Si denotmos por dx igulmente pr dy y dz l diferencil de l función proyección sobre l vrible π x x, y, z x igulmente π y x, y, z y y π z x, y, z z, el diferencil de culquier función ϕ diferencible, se puede expresr en l form dϕ ϕ ϕ ϕ dx + dy + x y z dz es decir, medinte sus coordends en l bse {dx, dy, dz}. Entonces, cd cmpo vectoril f f 1, f 2, f 2 se le puede socir un form diferencible f f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz y, se dice que f es exct, o dmite primitiv, si existe un función diferencible ϕ tl que dϕ f. on est notción, si α: [, b] IR 3 es un cmino regulr trozos, y l imgen de α, se define l integrl curvilíne lo lrgo de un cmino por pero esto no es más que f b b b f 1 x, y, z dx + f 2 x, y, z dy + f 3 x, y, z dz f 1 αtα 1t dt + f 2 αtα 2t dt + f 3 αtα 3t dt f 1 αt, f 2 αt, f 3 αt α 1t, α 2t, α 3t dt fαt α t dt f dα. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

16 16 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.5 Teorem de Green 3.5 Teorem de Green Definición 11.- Se un curv prmetrizd por α: [, b] IR n. Diremos que l curv es simple si αt 1 αt 2 cundo t 1 t 2, pr todo t 1, b y t 2 [, b]. Es decir, si l curv no se cort si mism slvo en los extremos cundo es un curv cerrd. Teorem de Green Se un curv simple, cerrd y regulr trozos de IR 2, A el conjunto encerrdo por y f: A IR 2 de clse 1. Entonces, si α: [, b] IR n es un cmino regulr trozos que recorre en sentido positivo ntihorrio, se verific que f f dα D 1 f 2 x, y D 2 f 1 x, y dx dy. A Ejemplo lculr l integrl de líne de l función fx, y y 2, x lo lrgo de l fronter del cudrdo A [ 1, 1] [ 1, 1], recorrid en sentido positivo. Solución: L fronter del cudrdo form un curv simple cerrd y regulr 1 trozos, l función f es de clse 1 en IR 2, luego en A fra. Entonces, si α es un prmetrizción de fra, A fra f f dα A 1 2y dx dy A Ejercicio Se fx, y D 1 f 2 x, y D 2 f 1 x, y dx dy y dy dx 4. y x,. lculr l integrl x 2 +y 2 x 2 +y 2 es un curv cerrd que no rode l origen ni ps por él. b es un curv cerrd que rode n veces l origen. Solución: L función f es de clse 1 en IR 2 {, } y verific que D 1 f 2 x, y y2 x 2 x 2 + y 2 2 D 2f 1 x, y f, cundo: 1 1 Si es simple, consideremos A el conjunto encerrdo por y. omo no rode l origen, l función f es de clse 1 en A IR 2 {}, luego por el teorem de Green, f D 1 f 2 x, y D 2 f 1 x, y dxdy dxdy A Si, no es simple, puede descomponerse en curvs cerrds y simples y, plicndo cd un de ells lo nterior, tmbién l integrl es cero. A 1 b Si es simple, como rode l origen, f no es de clse uno en A y, por tnto, no puede plicrse Green. Sin embrgo, consideremos un circunferenci H centrd en el origen de rdio tl que esté totlmente encerrd por y consideremos los segmentos del eje de bciss, α y β, que están entre mbs curvs, como en l figur de l derech. Sen A 1 y A 2 los conjuntos encerrdos, respectivmente por ls curvs γ 1 y γ 2 formds por 3 α 2 α A 1 H 2 A 2 1 H 1 β 3 β γ 1 1 α H 1 β γ 2 2 β H 2 α, Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

17 17 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.6 Ejercicios donde por α, β, H1 y H2 denotmos ls curvs α, β, H 1 y H 2 pero recorrids en sentido contrrio. Entonces, como ls curvs no roden l origen, plicndo l prte nterior, se tiene que f f ; luego que f + f, γ 1 γ 2 γ 1 γ 2 de donde f + 1 f + 1 f + 1 f + f + f + f + f + α H 1 β 2 β H 2 f f + f + f f f α H 1 β 2 β H 2 f f f f f. 2 H 1 H 2 H f + Luego l integrl de f en coincide con l integrl en H recorrids en el mismo sentido y entonces, como α: [, 2π] IR 2 con αθ r cos θ, r sen θ, es un prmetrizción de H, se tiene que 2π f f H r sen θ r 2 α α f, r cos θ 2π r 2 r sen θ, r cos θ dθ 1 dθ 2π. Por consiguiente, si d n vuelts lrededor del origen, puede descomponerse en n trozos simples cd uno de ellos dndo un vuelt lrededor del origen, luego se tiene que f n 2π 2nπ. 3.6 Ejercicios 3.1 lculr f ds en los csos: fx, y 2x, y est formdo por el rco 1 de l prbol y x2 de, 1, 1 seguido por el segmento de rect verticl 2 de 1, 1 1, 2. b fx, y, z xy 3 y es l curv, x 4 sen t, y 4 cos t, z 3t, con t π 2. c fx, y, z xz, y es l curv, x 6t, y 3 2t 2, z 2t 3, con t 1. d fx, y, z x 2 + y 2 + z 2 y l rect t,, ct desde el origen de coordends hst el punto 2π,, 2πc. 1 e fx, y, z y es l primer espir de l hélice: x cos t, y sen t, x 2 +y 2 +z 2 z bt. f fx, y xy, y el cudrdo x + y, con >. 3.2 L form del muro que rode un estdio circulr se h diseñdo cortndo el cilindro con bse l circunferenci del estdio, x 2 + y 2 4, con el cilindro prbólico z x lculr l superficie de dicho muro. 3.3 lculr el áre de l superficie del cilindro x 2 +y 2 2x limitd por el cono circulr z 2 x 2 +y Hllr l ms, el centro de mss y los momentos de inerci respecto los ejes coordendos, de un muelle que tiene l form de l hélice descrit por l función α: [, 2π] IR 3 dd por αt cos t, sen t, 2t y cuy densidd es homogéne, b proporcionl l cudrdo de su distnci l origen. f Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

18 18 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.6 Ejercicios 3.5 onsideremos el cmpo vectoril f : IR 2 IR 2, ddo por f x, y xy, x 2 y 2, y l circunferenci de rdio unidd y centroel origen, en l que el punto inicil es el punto 1, y recorrid en sentido positivo. Hllr f dα. 3.6 lculr xy 4 dx + x 2 y 3 dy, siendo el cmino que une los puntos O, y A 1, 1 lo lrgo de ls siguientes curvs: Quebrd de dos ldos prlelos los ejes con el primer ldo sobre el eje OX b Quebrd de dos ldos prlelos los ejes con el primer ldo sobre el eje OY c Segmento OA d y 3 x 3.7 lculr x dx + y dy + z dz, siendo γ el rco de hélice de ecuciones prmétrics x 4 cos λ, γ y 4 sen λ y z 3λ, pr λ 2π. 3.8 lculr z dz, siendo γ l curv intersección de l esfer x 2 + y 2 + z 2 2 con el cilindro γ x 2 + y 2 x situd en el primer octnte y tomndo como inicio de γ el punto de bcis x. 3.9 Estudir si los siguientes cmpos dmiten función potencil, y en cso firmtivo encontrrl: f x, y 4x 3 y 3 + 3, 3x 4 y b f x, y ye xy + x, xe xy + 3y c f x, y y 2 e x + 3x 2 y, 2ye x + x 3 d f x, y, z xz y, x 2 y + z 3, 3xz 2 xy e f x, y, z 3x 2 yz + x 2, x 3 z, x 3 y f f x, y, z 2xe y, cos z x 2 e y, y sen z 3.1 lculr z 2 dx + x 2 dy + y 2 dz, siendo el triángulo de vértices,,,,, y,, pertenecientes l esfer de centor el origen de coordends lculr 4,4 4,1 y dx+x dy y 2 lo lrgo de culquier tryectori que no cruce el eje OX Se un curv en IR 2 que une los puntos, y 2, 1. Hllr el vlor de f x, y sencos y, x sen y coscos y f dα, siendo 3.13 onsideremos el cubo [, 1] [, 1] [, 1] y se P un poligonl que v del punto,, 1 l punto, 1, siguiendo l menos seis rists del cubo. lculr 2xyz + z 3 cos x + dx y + x 1+x 2 z + rctg xdy + x 2 y + 3z 2 sen xdz lculr 3.15 lculr P x+ydx+y xdy, donde es l curv x 2 +y 2 2x recorrid positivmente. y cos x yx+1dx+ sen x+3x ln y+1 y 2 +1 dy, donde es l semielipse x2 4 + y2 9 1, con y, orientd positivmente lculr el vlor de y b pr que l integrl 2xyz + x 2 dx + x 2 z 3 dy + bx 2 yz 2 dz se independiente del cmino en IR 2. Pr dichos vlores, clculr l integrl lo lrgo del segmento que une el punto A 2,, 11 con el punto B 1, 7,. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic

19 19 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne 3.6 Ejercicios 3.17 lculr de dos forms distints 1 x 2 y dx+x1+y 2 dy, donde es l curv x 2 +y 2 r Un cmpo de fuerzs rdil o centrl, F, en el plno puede expresrse en l form F x, y frr, donde f es de clse 1, r x, y y r r. Demostrr que este cmpo es conservtivo lculr l integrl de líne de l función f x, y lnx 2 + y 2, rctg y x lo lrgo de l { } fronter del conjunto A x, y : y x; 4 x 2 + y 2 9 recorrid en sentido positivo. 3.2 Se fx, y x y,. lculr f, donde es un curv cerrd que no ps por el x 2 +y 2 x 2 +y 2 origen y está recorrid en sentido negtivo lculr l integrl de líne de f x, y, z y z, z x, x y lo lrgo de l curv intersección del cilindro x 2 + y 2 2 y el plno x + z b 1, con, b >. Mirndo desde el origen, el sentido del recorrido de l curv es el de ls gujs del reloj. xdy ydx 3.22 Probr que si l curv es l fronter del conjunto A, entonces AA 2. Aplicr este resultdo pr encontrr el áre encerrdo por l crdioide r 1 + cos θ con θ [, 2π] lculr el áre de l región limitd por: y x, y e y x x 2 de dos forms: Medinte integrles dobles. b Medinte integrles de líne. y 3.24 lculr dx x dy, siendo l elipse de ecución x2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 positivo y2 9 1, recorrid en sentido 3.25 Se R l región exterior l circunferenci de centro, que ps por el punto, e interior l circunferenci de centro, y rdio. Aplicr el teorem de Green l cmpo f x, y, x pr clculr el áre de dich región medinte un integrl de líne lculr 2x ydx + x dy, donde es el primer rco de l cicloide: x t sen t, y 1 cos t, recorrido en el sentido del crecimiento del prmetro t. lculr prtir de dich integrl el áre que el rco de cicloide determin en el primer cudrnte. Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic