1.1 INTRODUCCIÓN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 2 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

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1 1.1 INTRODUCCIÓN Sabemos que las matemáticas son una herramienta fundamental para realizar cálculos, operaciones y obtener resultados. Por lo tanto dentro del estudio de investigación de operaciones es recurrente la utilización de este instrumento. Partiendo de un modelo matemático intervienen distintos coeficientes estos pueden estar sujetos a cambios, fluctuaciones o errores. Por ello, su conocimiento no siempre es preciso y pueden cambiar en muchas ocasiones. Un uso común es el caso en el que hemos obtenido la solución óptima y deseamos encontrar la nueva solución primordial cuando hayan cambiado, por ejemplo, las disponibilidades de los recursos (b i ), los precios ó costos unitarios por unidad (C j ), cambio en los coeficientes tecnológicos (a ij ), incorporación de una nueva variable (Nuevo producto X j ) y adición de una nueva restricción. Esto es necesario para que el encargado de llevar a cabo la toma de decisiones conozca en que rango se puede mover los distintos coeficientes mencionados, manteniéndose la presente solución óptima; ello le da una ventaja competitiva frente a otro tomador de decisiones que no ha utilizado este modelo matemático. En éste trabajo de investigación se a bordara sobre lo que es el análisis de sensibilidad sus características y la resolución de un problema presentando los argumentos pertinentes y una metodología práctica y rápida en su aplicación; así como encontrar la solución optima y brindar un panorama general del software WinQsb que facilita la obtención de resultados de una forma rápida. Para ello se usara un ejemplo, que en el transcurso del presente trabajo se hará mención al que inicialmente encontraremos la solución óptima mediante el método de programación lineal PL y posteriormente se hará uso del citado software para su comprobación. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 2 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

2 1.2 DEFINICIÓN En forma genérica, el análisis de sensibilidad busca investigar los efectos producidos por los cambios del entorno sobre el sistema. El propósito general es identificar los parámetros relativamente sensibles (es decir, aquellos que no pueden cambiarse mucho sin cambiar la solución óptima), con el fin de estimarlos con mayor precisión y seleccionar entonces una solución que siga siendo buena sobre los intervalos de valores probables de los parámetros sensibles. Desde el punto de vista de la programación lineal, el análisis de sensibilidad, llamado también análisis paramétrico, es un método que permite investigar los efectos producidos por los cambios en los valores de los diferentes parámetros sobre la solución óptima. Es necesario no perder de vista que los cambios en la solución del primal repercuten automáticamente en la solución de su modelo dual. Por lo tanto, puede elegirse qué modelo (primal o dual) se va a utilizar para investigar los efectos, gracias a las relaciones primal-dual estudiadas en el capítulo anterior. 1 El objetivo del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos datos que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambie. 1 González Ariza, Ángel León, Manual práctico de investigación de operaciones1 3ra edición barranquilla: ediciones Uninorte, 2003, Pág 148 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 3 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

3 1.3 IMPORTANCIA Dado que los parámetros que se muestran en el modelo utilizan valores estimados basados en una predicción de las condiciones futuras, los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones son bastante imperfectos; por esto pueden tomar otros valores posibles. De ahí la importancia de este análisis. El análisis de sensibilidad es una herramienta efectiva, por dos razones fundamentales. Primera: los modelos de programación lineal son con frecuencia grandes y costosos; por lo tanto no es recomendable utilizarlos para un solo caso. Segunda: los elementos que se dan como datos para un problema de programación lineal, la mayoría de las veces son estimaciones; por lo tanto es necesario investigar o tener en cuenta más de un conjunto de casos posibles. 2 Las labores del equipo de investigación de operaciones aun no concluye o se ha realizado, sino, cuando ya se ha aplicado con éxito el método simplex o la programación lineal a fin de identificar una solución óptima para el modelo matemático. Esto quiere decir que, los valores usados en el modelo normalmente sólo son estimaciones o pronósticos basadas en una serie de predicciones futuras. Los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones a menudo son un tanto imprecisos o inconsistentes. Sin embargo, pueden representar sobreestimaciones deliberadas o esporádicas para proteger el interés de quienes los estiman. Por tal motivo estas circunstancias que se presentan deja algunos cabos sueltos, por eso importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad para investigar el efecto sobre la solución óptima proporcionada por la programación lineal, para verificar si los parámetros sufren una variación y toman otros valores posibles. 2 González Ariza, Ángel León, Manual práctico de investigación de operaciones1 3ra edición barranquilla: ediciones Uninorte, 2003, Pág. 149 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 4 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

4 1.4 INSTRUMENTOS PARA EL CÁLCULO DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Para resolver un problema de investigación de operaciones en donde se pida la obtención del análisis de sensibilidad se recomienda dos formas diferentes para su solución las cuales consisten en: Si se dispone de una calculadora programable o computadora en el cual se pueda instalar algún software que calcule datos de programación lineal en este caso recomendable el WinQsb facilitaría mejor la labor del gestionador de toma de decisiones y la ventaja de utilizar los instrumentos de tecnología es que permite realizar modificaciones en valores de forma inmediata y realizar tantos cálculos se deseen para su posteriormente llegar a su análisis siempre y cuando el problema no sea extenso o complejo. 1.5 CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DEL MODELO El análisis de sensibilidad se lleva a cabo en: Cambios en los niveles de recursos escasos. Cambios en los coeficientes de la función objetivo (coeficientes de variables básicas y coeficientes de variable no básicas). Cambios en los coeficientes tecnológicos (variaciones en las a ij para variables básicas y no básicas). Supresión y adición de restricciones. Adición de nuevas variables. 3 3 González Ariza, Ángel León, Manual práctico de investigación de operaciones1 3ra edición barranquilla: ediciones Uninorte, 2003, Pág. 149 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 5 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

5 1.5.1 CAMBIOS EN LOS NIVELES DE RECURSOS ESCASOS B i La sensibilidad de la solución óptima de un problema de programación lineal se mide a través de una cota superior y una inferior para el nivel de los recursos que se modifican. En otras palabras, se busca un rango de factibilidad para el cual la solución sigue siendo óptima y solamente se vea afectada la columna de los B i, donde aparecen los valores de las variables básicas y el valor de la función objetivo. En forma gráfica, la variación en el nivel de recursos sirve para desplazar una línea, que representa la restricción, de manera que se reduzca o aumente la región factible. 4 Un ejemplo puede apreciarse en la siguiente gráfica: 4 González Ariza, Ángel León, Manual práctico de investigación de operaciones1 3ra edición barranquilla: ediciones Uninorte, 2003, Pág. 150 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 6 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

6 1.6 ANÁLISIS DE LA GRÁFICA ANTERIOR Suponga que BC representa l nivel de recurso b i, y que B es el punto extremo que representa la solución óptima y, además, ABCD son os puntos extremos que demarcan la región factible o conjunto convexo. Ahora se supone que el nivel de recursos tiene un incremento AB i, el cual hace que la línea que lo representa sea B C. La solución óptima se encuentra en B y los puntos que siguen siendo una combinación X,Y con valores diferentes, que conllevan a un nuevo valor óptimo de la función objetivo. Si se representa una nueva suposición, pero ya no de incremento de b i sino de una disminución, o sea, -Ab i, Cuál sería la nueva solución? Si se observa la gráfica, la combinación óptima X, Y anterior ya no es óptima por que los puntos óptimos factibles son o A o C. Por lo anterior, hay necesidad de hallar el rango de factibilidad para poder estudiar las variaciones en la columna de cantidades, de forma que la solución inicial siga siendo óptima. Hay dos formas de proceder para establecer el rango de factibilidad: Primera. A partir de la solución optima y tomando los valores de las variables básicas sumarle algebraicamente el coeficiente a ij multiplicado por el Δ incremento, positivo o negativo, según sea aumento o disminución del nivel del recurso en estudio; luego, a estas expresiones resultantes deben ser > 0, y finalmente se establece el rango de factibilidad. El rango de factibilidad puede utilizarse para determinar el rango de disponibilidad del recurso analizado y proceder a hallar el efecto sobre la solución óptima. La solución óptima nueva se estima con las fórmulas 1 y González Ariza, Ángel León, Manual práctico de investigación de operaciones1 3ra edición barranquilla: ediciones Uninorte, 2003, Pág. 151 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 7 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

7 El análisis de Sensibilidad también permite analizar, entre otras cosas: Cambios en los b i (lo que implica cambios en las pendientes de las restricciones. Cambios en los coeficientes de una variable no básica. Cambios en los coeficientes de una variable básica Cambios en los c i (lo que implica cambios en la pendiente de la función objetivo). Introducción de una nueva variable. Introducción de una nueva restricción. 1.7 GRAFICO DE SENSIBILIDAD Para determinar si la base actual todavía es óptima después de cambiar un coeficiente de la función objetivo, obsérvese que al modificar el coeficiente de la función objetivo de una variable cambia la pendiente de la recta de isoutilidades. La base actual continúa siendo óptima siempre que la solución óptima actual sea el último punto en la región factible que tenga contacto con las rectas de isoutilidades a medida que uno se desplaza en la dirección en que se incrementa z (para un problema de maximización). Si la base actual es óptima, los valores de las variables de decisión se conservan sin cambio, pero sí podría cambiar el valor óptimo de z. Para determinar si la base actual sigue siendo óptima después de cambiar el segundo miembro de una restricción, empiece por encontrar las restricciones (posiblemente restricciones de signo) que son activas para la solución óptima actual. Como cambiamos el segundo miembro de la restricción, la base actual sigue siendo óptima siempre que el punto donde las restricciones son actividades se conserve factible. Incluso si la base actual continúa siendo óptima, podrían cambiar los valores de las variables de decisión y el valor óptimo de z. 6 6 Wayle l. Winston, Investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos, cuarta edición Editorial Internacional Thompson, 2006, Pág. 252 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 8 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

8 1.8 PROBLEMA 1 Alagh le Cheve 7 vende cuatro tipos de licores (productos). Los recursos necesarios de cada uno y los precios de venta se presentan en la tabla. En la actualidad se dispone de 4600 unidades de materia prima y 5000 horas de mano de obra. Para cumplir con la demanda de los clientes, se tienen que producir exactamente un total de 750 botellas de licor. Los clientes demandan también que por lo menos se elaboren 550 unidades de licor de la botella 4. Determine una programación lineal con el cual se maximicen los ingresos por las ventas de Alagh le cheve. MODELO MATEMATICO Costos y recursos necesarios para ALAGH LE CHEVE x1 x2 x3 x4 Recursos Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Materia prima Horas de mano de obra Precio de venta (Dólares) SOLUCIÓN Función objetivo Max Z = 5x1 + 8x2 + 10x3 + 12x4 Restricciones x1 + x2 + x3 + x4 = 750 (PRODUCTO 1, 2, 3, 4) x4 550 (PRODUCTO 4) 2x1 + 3x2 + 4x3 + 7x (PRODUCTO 1, 2, 3, 4) 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x (PRODUCTO 1, 2, 3, 4) x1, x2, x3,x4 0 NO NEGATIVIDAD 7 Marca patentada por los alumnos de Ingeniería Industrial 5to semestre. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 9 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

9 Restricciones X1 + x2 +x3 +x4 =750 X1 =750 X2 =750 Coordenadas (750,750) (750,750) x1 x2 x3 x4 X3 =750 X4 =750 2x1 + 3x2 +4x3 +7x x COORDENADAS X1 =4600/2 X1 =2400 3x (2400, ) X2 =4600/3 x1 x2 X2 = x X3 =4600/4 X3= 1150 (1150, ) 7x X3 X4 X4 =4600/7 X4= x1 + 4x2 + 5x3 + 6x x X1 5000/3 ( , 1250) X1 = X1 X2 4x X2 5000/4 X2 = x X3 5000/5 X3 = 1000 (1000, ) 6x X3 X4 X4 5000/6 X4 = INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 10 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

10 1.9 RESOLUCIÓN DE PROBLEMA CON EL SOFTWARE WINQSB Ya que se tiene el modelo matemático se procede abrir el programa de programación lineal y entera (Linear and Integer Programming) en el menú inicio, programas, WinQSB Linear and Integer Programming. En el menú Archivo (File) seleccionar Nuevo problema (New Problem) para ingresar los aspectos generales del problema: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 11 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

11 A continuación ilustraremos la ventana inicial, en donde introducimos los datos generales del problema, luego, la ventana de captura de los datos correspondientes a la función objetiva y las restricciones y por último la ventana que nos muestra los resultados de la solución óptima. Ventana inicial Se ingresa el título del problema (problema title), se numeran las variables que intervienen en el problema en este caso son 4 (x1, x2, x3, x4) y el número de restricciones que están condicionando o limitando nuestro problema en este caso son 4. Se selecciona el criterio objetivo, y como menciona la función objetivo es: maximizar (maximization).ahora como se muestra en la restricción x1, x2 0, denota que es una restricción de no negatividad (nonnegative continuous), de esta manera, se selecciona dicha opción de el área de tipo de variable (Default variable type). Una vez llenados todos los campos se presiona el botón OK, generando una tabla como se muestra a continuación. 8 # Variables Maximizar Minimizar Continua positiva Formato de matriz Formato normal # Restricciones Continua positiva Entera positiva Binario (0,1) Irrestricta 8 Quesada Ibarüen, V. M., & Vergara Schmalbach, J. C. (14 de Junio de 2008). Análisis Cuantitativo Con WinQSB. Cartagena, Bolívar, Colombia./Investigación de operaciones 1 Ing. José Ernesto Domínguez Herrera INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 12 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

12 El número de restricciones no incluye las restricciones de NO-NEGATIVIDAD. Se recomienda el formato de matriz de hoja de cálculo por ser la más didáctica. Con doble clic del ratón se puede cambiar el sentido de la desigualdad ó convertirla en igualdad, y el tipo de variable. También se puede restringir el valor de cada variable, cambiando su valor mínimos y máximo. Para solucionar el problema se da clic sobre el icono que aparece en la parte superior. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 13 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

13 Ya que aparece la ventana donde se anotaran los datos, la primera fila (Variable ) corresponde a los encabezados de las variables (en gris) definidas en este caso por el usuario (son las cuatro variables del problema), seguido por el operador de relación (Direction) y la solución condicional de las restricciones o lado de la mano derecha (Right Hand Side -R. H. S). La segunda fila (Mazimize) permite introducir los coeficientes de la función objetivo. Luego aparecen una serie de filas identificadas por la letra C y un consecutivo, las cuales corresponden a la cantidad de restricciones con que cuenta el modelo que son 4 en este caso. Por último aparecen tres filas donde definimos el valor mínimo aceptado por cada variable (Lower Bound), el valor máximo (Upper Bound) y el tipo de variable (Variable Type). En el caso del valor máximo, M significa que la variable podrá recibir valores muy grandes (tendientes a infinito). 9 Sentido de desigualdad 9 Quesada Ibarüen, V. M., & Vergara Schmalbach, J. C. (14 de Junio de 2008). Análisis Cuantitativo Con WinQSB. Cartagena, Bolivar, Colombia./Investigación de operaciones 1 Ing. José Ernesto Domínguez Herrera. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 14 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

14 y posteriormente de haber agregado los datos en la tabla se procede a dar solución donde aparece un cuadro de dialogo que mostrara en la gráfica siguiente el resultado optimo. Para ver el grafico se tiene que ir al menú solución y análisis y darle click en método grafico o desde la barra de menú se puede accesar a esta ventana donde se escogen las variables que se quieren visualizar en el grafico. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 15 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

15 En la siguiente ventana se nos ofrece la solución óptima y algunos datos del análisis de sensibilidad, cuyo significado, entramos a explicar. Para efectos de una interpretación que guarde mayor relación con la realidad, supondremos que las variables X1, X2, x3, x4 representan las cantidades a producir de los licores 1,2,3,4. Las restricciones representan la cantidad de recursos disponibles del tipo mano de obra y materia prima la función objetiva son las utilidades logradas. Restricciones y su interpretación INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 16 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

16 La ventana la hemos dividido en dos, mediante una línea de color verde, en la parte superior de dicha línea, se encuentra la información relacionada con las variables básicas, y la función objetivo. En la parte inferior de la línea verde, se encuentra la información referente a cada una de las restricciones y su interpretación INTERVALOS PARA LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Dentro de la ventana grafica que arroja el software podemos encontrar algunos indicadores del análisis de sensibilidad como es ALLOWABLE MIN ( Minino permisible) y este señala la cantidad que puede disminuir un coeficiente de la función objetivo sin que la base actual deje de ser óptima. Del mismo modo ocurre con el término ALLOWABLE MAX (Máximo permisible) y este señala la cantidad que puede aumentar el coeficiente de una función objetivo sin que la base estructural deje de ser óptima. La parte de REDUCED COST (Costo reducido) nos brinda información acerca de cómo cambia la solución óptima de la programación lineal. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 17 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

17 Aquí se muestra el reporte combinado de los análisis de sensibilidad INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 18 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

18 1.11 INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS En la parte superior en esta tabla contiene los resultados óptimos del modelo matemático que se ingresó. La columna Valores de la solución (Solution Value) presenta los valores óptimos encontrados. En este ejemplo se tiene que X1 la botella de licor 1 no debe producir, la botella 2 tiene 50 demandas para producir, la botella 3 tiene una demanda de 150 y la botella 4 tiene una demanda de 550. La columna Costo o Utilidad Unitaria (Unit Cost or Profit) muestra los coeficientes de la función objetivo para cada variable. La columna Contribución Total (Total Contribution) representa el costo o utilidad generado por cada variable. Por ejemplo, si el valor de la variable X3 (botella de licor 3) es 150 veces su demanda y el valor unitario o costo en dólares por botella $$ es 10, el beneficio total resultará de la multiplicación de ambos valores dando como resultado 1.500,0000 dólares. Justo debajo de la última contribución aparece el valor de Z óptimo (8.500,0000). que es el total de contribución o ganancia que puede tener por la venta de sus cuatro productos de botellas de licor Alagh le Cheve. El costo reducido para los productos de licor 2,3,4 es de $0 por lo que no tendrá perdidas de utilidades o saldos rojos sí es que se quieren producir unidades y del producto 1 por cada unidad producida se perdería -$1 de utilidades. En la siguiente casilla a la derecha, se nos informa que ésta variable es básica. En las dos últimas casillas de ésta fila, se muestra el análisis de sensibilidad para x1,x2,x3,x4 que nos indica que la utilidad por unidad del producto 1 debe estar en el rango de: - < x1 < 6,0000 para producto 2 debe estar en el rango 7,5000<x2<9,3333, para producto 3 el rango es 9,000 <x3<11,0000 y finalmente para producto 4 el rango es - <x4<16,0000 para que la solución actual se mantenga óptima. Superior INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 19 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

19 Inferior En la parte inferior se muestra que la fila 1 corresponde a la restricción 1, referente a la disponibilidad del recurso A, para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso A se utilizará 750 unidades, de las 750 disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de cero unidades. El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso A, ello ocasionará un incremento en la utilidad de $2 ; Siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 737,500 < b1 < 800,0000 ; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible. La fila 2 corresponde a la restricción 2, referente a la disponibilidad del recurso B, para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso B se utilizan 4, unidades, de las 4, disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de 0 unidades. El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso B, ello ocasionará una perdida en la utilidad de -$4 siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 533,3333 < b2 < 587,5000 ; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible. La fila 3 corresponde a la restricción 3, referente a la disponibilidad del recurso C, para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso C se utilizan 550 unidades, de las 550 disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de 0 unidades. El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso C, ello ocasionará un incremento en la utilidad de $2 siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 4, < b3 < 4, ; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 20 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

20 La fila 4 corresponde a la restricción 4, referente a la disponibilidad del recurso D, para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso D se utilizará 4, unidades, de las 5, disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de 750,000 unidades. El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso D, ello ocasionará un incremento en la utilidad de $0 ; Siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 4, < b4 < ; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible. La solución optima de cada botella de licor es la para la botella de licor X1 no conviene producir, la botella 2 tiene 50 demandas para producir, la botella 3 tiene una demanda de 150 y la botella 4 tiene una demanda de 550. Lo cual quiere decir que la botella 4 es la que mejor maximizara las ganancias. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 21 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

21 CONCLUSIÓN La materia de Investigación de operaciones es importante en el desarrollo integral del alumno ya que le ayuda a plantear modelos matemáticos, así como la toma de decisiones sobre distintas problemáticas que se pueden enfrentar en cualquier ambiente ya sea en el hogar, escuela, trabajo y en el área laboral productiva como son las aerolíneas, industrias, etc. Dentro de los temas que abarca esta rama de la investigación el alumno es capaz de desarrollar habilidades de análisis, pensamiento crítico, agilidad mental y responsabilidad. Por ende el tema primordial de este trabajo análisis de la sensibilidad es una herramienta que ayuda a profundizar más sobre los problemas arrojando márgenes mas sólidos en cuanto a soluciones óptimas se refiere con esto el alumno podrá comparar dentro de las distintas opciones cual es la que mejor satisfaga a los requerimientos que plantee la problemática y dependiendo de la función que se desee obtener ya sea de maximizar o minimizar. Por último cabe mencionar que existen varias métodos para los distintos problemas a resolver como son teoría de colas, arboles de decisión, teoría de los juegos, programación de metas, simulación, análisis de redes, procesos de markov, análisis de reposición, programación lineal, etc. El último método mencionado fue en este caso el que se utilizo para la realización del problema de este trabajo el cual cumplió con nuestras expectativas propuestas. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 22 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

22 FUENTES DE INFORMACIÓN BIBLIOGRAFICA BIBLIOGRAFIA J., G. H. (1999). BREVE INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES. SAN LUIS POTOSI: UNIVERSITARIA POTOSINA. LEON, G. A. (2003). MANUAL PRACTICO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES 1. BARRANQUILLA: EDICIONES UNINORTE. WINSTON, W. L. (CUARTA EDICION 2006). INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICACIONES Y ALGORITMOS. UNIVERSIDAD INDIANA: INTERNACIONAL THOMSON. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 23 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

23 TABLA DE CONTENIDO 1.1 INTRODUCCIÓN DEFINICIÓN IMPORTANCIA INSTRUMENTOS PARA EL CÁLCULO DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DEL MODELO CAMBIOS EN LOS NIVELES DE RECURSOS ESCASOS B i ANÁLISIS DE LA GRÁFICA ANTERIOR GRAFICO DE SENSIBILIDAD PROBLEMA RESOLUCIÓN DE PROBLEMA CON EL SOFTWARE WINQSB INTERVALOS PARA LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS CONCLUSIÓN BIBLIOGRAFIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 24 INGENIERIA INDUSTRIAL 5TO SEM

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