Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales

Transcripción

1 Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales Andy Barrientos A. Laboratorio de Termometría

2 01. Introducción.

3 La presentación propone considerar funciones interpoladoras del tipo polinomial; así mismo de un criterio eperimental para verificar si dicha función es la adecuada para representar el comportamiento de las correcciones de un termómetro digital.

4 02. FUNDAMENTO TEÓRICO

5 - Funciones Interpoladores - Mínimos Cuadrados - Calidad de Ajuste * Incertidumbre de la curva de ajuste

6 Funciones Interpoladores Muchas veces se recurre a funciones interpoladores para representar el comportamiento de las correcciones; errores; valores; etc; de un instrumento determinado (termómetros; manómetros; etc.) Definición.- Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas 0, 1,.. m, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio p m () de grado menor o igual a m, cumpliendo: p m k = f k, k = 0,1,, m A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f

7 Elección de una función Interpoladora Los criterios de selección del tipo de curva y grado de polinomio son diversos: Eperiencia, propia o de otros laboratorios, usuarios o fabricantes; Modelo, empírico o teórico del fenómeno; Análisis de consistencia gráfica de los residuos, que requiere que la distribución de los residuos respecto a la curva ajustada sea aleatorio (idealmente distribución normal), la dispersión de los residuos debe mantenerse a lo largo de la curva de regresión; Análisis estadístico, en el cual se aumenta el grado del polinomio hasta encontrar la máima potencia que cumpla: a m ua m t 95, 5%(υ) donde: a m es el coeficiente de la potencia ua m es la incertidumbre (desviación estándar eperimental de la media o del error)

8 El grado del polinomio queda entonces como m. El número de grados de libertad para la t de Student es igual al número de puntos menos el grado del polinomio menos 1. ν = N m 1 En ocasiones es posible usar la regresión lineal, lineal múltiple o polinómica haciendo cambios de variable, por ejemplo, si se tiene un comportamiento eponencial cambiar a logaritmos permite aplicar una regresión lineal.

9 Mínimos cuadrados Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

10 Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados). La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden epresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maimizando la entropía.

11 Criterio de Mínimos Cuadrados Este método está basado en minimizar la variación entre el ajuste y los datos tomados; es objetivo es encontrar los parámetros aj que minimicen el error debido a la función interpoladora. Q = N i y i a 1 + a 2 t 1 + a m t i m 2 Al minimizar la función Q, se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones: y = a T X

12 Criterio de Mínimos Cuadrados Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales donde y = y, y, y 2 y 2 T a = a 0, a 1, a 2,, a m T Al minimizar la función Q, se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones: además: m m m m m m m m N ] [

13 Criterio de Mínimos Cuadrados Funciones de Interpolación para Termómetros Digitales Cálculo de Coeficientes a = y T C C = X 1 Donde: además: C i,j con i, j =0,1,,m y y y y N a a a a Un caso particular es con m = 3:

14 Calidad de Ajuste Incertidumbre de la curva de Ajuste (Interpolación) s N i y i m ( a1 a2ti.. amti ) N m 2 donde: N: Número de Puntos medidos m: grado del polinomio Si los residuos parecen comportarse de forma aleatoria, es un indicativo que el modelo podría ajustarse bien los datos. Por otro lado, si fuera una estructura no aleatoria evidente en los residuos, seria una señal de que el modelo ajusta mal los datos.

15 - 03. CRITERIO DE ANÁLISIS

16 Criterio de la coherencia en base a la incertidumbre combinada de la diferencia Considerando el suficiente número de puntos para realizar un ajuste adecuado; un punto intermedio (no considerado en el ajuste) será coherente con la curva inicial cuando la diferencia entre este nuevo punto y la curva de interpolación inicial sea menor que la incertidumbre combinada del ajuste de la curva inicial y la debida a las componentes aleatorias. 2 2 Y i f( i ) u Ajuste + u Aleatorias Donde la componente de la aleatoriedad es debida a la aleatoriedad de los puntos considerados en el ajuste y a la aleatoriedad del nuevo punto en análisis; la cual es debida a la resolución del termómetro a calibrar.

17 Entonces: Y i f i s Resol Esta prueba también puede aplicarse a puntos considerados sospechosos al realizar la calibración o cuando se reciba un certificado.

18 - 04. EJEMPLOS

19 EJEMPLO 1 Temperatura Indicada, C T.C.V. C Correcciones C Incertidumbre C 50 49,91-0,09 0, ,51-0,49 0, ,22-0,78 0, ,95-1,05 0, ,91-1,09 0,16

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23 EJEMPLO 2 Resultados Obtenidos Temperatura Indicada, C T.C.V C Corrección C 0,0 0,01 0,01 0,04 10,0 9,99-0,01 0,04 20,0 20,03 0,03 0,04 30,0 29,97-0,03 0,04 40,0 39,97-0,03 0,04 50,0 49,99-0,01 0,04 Incertidumbres C

24 EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO Resultados Obtenidos

25 EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO

26 EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO

27 EJEMPLO DE ANÁLISIS REALIZADO A DATOS ANTES DE EMITIR CERTIFICADO

28 - 05. ERRORES COMUNES AL REALIZAR INTERPOLACIONES

29 Aglomeración de Puntos

30 Insuficientes puntos

31 Confiar en r²=1

32 - 05. CONCLUSIONES

33 CONCLUSIONES EL CRITERIO DE LA COHERENCIA DE LA INCERTIDUMBRE DE LA DIFERENCIA, es un buena herramienta para garantizar si los resultados medidos u obtenidos en una calibración son consistentes. El criterio propuesto ayuda a decidir en la distribución de puntos para tener una buena interpolación. Teniendo una buena distribución de puntos se pueden reducir costos.

34 Gracias