TEORÍA DE GRUPOS (Parte 1)

Transcripción

1 TEORÍA DE GRUPOS (Parte 1 OPERACIONES BINARIAS Sea A un conjunto. Una relación de A A en A es una operación inaria (o ley de composición interna si es una función. La imagen del elemento (a, A A mediante la función suele denotarse tamién por a. Ejemplos y Preguntas: + : N N N dada por + : (a, a + (la adición ordinaria de números naturales. : Z Z Z dada por : (a, a (la sustracción ordinaria de números enteros. : R R R dada por : (a, a (la multiplicación ordinaria de números reales. : N N N definida por a = a + 1. : Z + Z + Z + definida por a = [a,, donde [a, denota al mínimo común múltiplo de a y. Si A es un conjunto cualquiera, las operaciones de unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica definidas de P(A P(A en P(A son operaciones inarias. En R 3, el producto vectorial (o producto cruz es una operación inaria. En R 3, el producto escalar no es una operación inaria. Sea A = {0, 1} y consideremos la relación : A A A. Si definimos la relación como: x y = x + y, es una operación inaria? x y = xy, es una operación inaria? Si A = { 1, 0, 1} y definimos la relación : A A A como: a = x donde x 2 = a, es una operación inaria? a a + (mód 3, es una operación inaria? a a (mód 3, es una operación inaria?

2 PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓN BINARIA Sea : A A A una operación inaria. Dicha operación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes propiedades: Conmutatividad: es conmutativa si y sólo si a = a, para todo a, A. Asociatividad: es asociativa si y sólo si (a c = a ( c, para todo a,, c A. Elemento Identidad o Neutro: posee elemento identidad o neutro si y sólo si existe algún elemento e A tal que a e = e a = a, para todo a A. Propiedad: Si e A es un elemento neutro para, entonces e es único. Demostración: Supongamos que e, e 1 A son elementos neutros para. Luego, e = e e 1 = e 1 Elementos Simetrizales: Si tiene elemento neutro e, diremos que un elemento a A es simetrizale, o tiene simétrico, por la operación si y sólo si existe a A tal que a a = a a = e. Propiedades: Supongamos que es asociativa y posee elemento neutro. Si a A tiene un simétrico, entonces dicho simétrico es único. (Bajo estas condiciones, en general, suele denotarse al simétrico de a como a 1, si tiene sentido multiplicativo, o como a, si tiene sentido aditivo. Demostración: Supongamos que a, a A son simétricos de a. Por tanto, a a = a a = e y a a = a a = e Aplicando las igualdades anteriores y utilizando la propiedad asociativa, tenemos que: a = a e = a (a a = (a a a = e a = a Si a A tiene simétrico a A, entonces a tamién posee simétrico y (a = a. Demostración: Como a es el simétrico de a, entonces a a = a a = e. Luego, por la misma definición de elemento simetrizale, tendríamos que el simétrico de a es a, es decir, (a = a. Si a, A tienen simétrico, entonces a tamién tiene simétrico y se tiene que Demostración: Oservemos que: (a = a. (a ( a = ((a a = (a ( a = (a e a = a a = e Esto significa que a es el simétrico de a, es decir, (a = a. 2

3 TABLA DE UNA OPERACIÓN BINARIA Si A = {a 1, a 2,..., a n } es un conjunto finito, es posile representar una operación inaria sore A mediante una tala de dole entrada, conocida como la tala de Cayley o tala de la operación. Esta tala está dada por: a 1 a 2 a j a n a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a j a 1 a n a 2 a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a j a 2 a n a i a i a 1 a i a 2 a i a j a i a n a n a n a 1 a n a 2 a n a j a n a n, donde el elemento que ocupa la posición (i, j es a i a j. Notemos que al ser una operación inaria en A, necesariamente se cumple que a i a j = a k, para algún k, con 1 k n. En una tala de Cayley se puede verificar fácilmente algunas propiedades de la operación. Si la operación posee elemento neutro, éste es el elemento que está en la intersección de la fila y la columna que son idénticas a la fila que está por encima de la línea horizontal y a la columna que está a la izquierda de la columna vertical, respectivamente. La tala muestra si la operación es conmutativa, pues, en este caso dicha tala es simétrica respecto a la diagonal principal. La propiedad asociativa no queda reflejada en la tala de Cayley de la operación y se dee comproar de manera minuciosa y exhaustiva, por lo que resulta muy tediosa. GRUPOS Sea G un conjunto no vacío y una operación inaria definida en G. Decimos que (G, es un grupo si satisface las siguientes propiedades: (a Para todo a,, c G se tiene que (a c = a ( c. ( Existe x G tal que a x = x a = a para todo a G. (c Para cada a G existe G tal que a = a = x. Si (G, es un grupo y la operación inaria satisface la propiedad conmutativa, esto es, a = a diremos que (G, es un grupo conmutativo o aeliano. A continuación, plantearemos las propiedades inmediatas que se derivan de la definición dada. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS GRUPOS Sea (G, un grupo y a,, c G, entonces: (1 Todos los elementos de G son cancelales, es decir, si a c = c, entonces a =. (2 La ecuación a x = tiene una única solución x = a 1 en G. 3

4 (3 La ecuación x a = tiene una única solución x = a 1 en G. (4 Si a a = a, entonces a = e. A continuación, analizaremos si los conjuntos dotados con sus operaciones inarias, determinan grupos. EJEMPLOS DE GRUPOS 1. Los conjuntos (Z, +, (Q, +, (Q,, (R, +, (C, +, (Z n, + con las operaciones indicadas, son algunos ejemplos de grupos aelianos. 2. Consideremos el conjunto G = R { 1} con la operación inaria definida por a = a++a. Lo primero que deemos comproar es que la operación es cerrada (es decir, que es una operación inaria. En efecto, dado que la suma y la multiplicación usual de números reales determina otro real podemos garantizar que a++a R. Sin emargo, el conjunto considerado excluye al 1, por tanto, deemos garantizar que este resultado es distinto de 1. Supongamos, por el asurdo, que a + + a = 1 con la condición que a, 1, entonces a + + a = 1 a(1 + = (1 + y como 1 entonces Por tanto, a G. Para a,, c G se tiene que: a = 1 ( (a c = (a + + a c = (a + + a + c + (a + + ac = a + + a + c + ac + c + ac = a + ( + c + c + a( + c + c = a + ( c + a( c = a ( c Una forma de determinar al neutro de un grupo es la siguiente: Podemos partir de la igualdad a e = a y luego comproamos si el resultado otenido satisface la otra identidad e a = a. pues a 1. Comproemos ahora que 0 a = a: Luego, 0 es el neutro de G. a e = a a + e + ae = a e(1 + a = 0 e = 0 0 a = 0 + a + 0 a = a 4

5 Para determinar el simétrico del elemento a G, podemos proceder de una manera similar al caso anterior pues a 1. Comproemos que a 1 + a a = 0: a x = 0 a + x + ax = 0 x(1 + a = a x = a 1 + a a 1 + a a = a 1 + a + a + a a + a(1 + a a2 a = 1 + a 1 + a = a = 0 Luego, a 1 = a 1 + a. Como la suma y la multiplicación usual de números reales es conmutativo, entonces a = a lo que significa que (R { 1}, es un grupo aeliano. 3. Sea X = {a, } y consideremos al conjunto P (X con la operación inaria (diferencia simétrica. Es claro que (P (A, es un grupo, pues saemos que la diferencia simétrica es asociativa, el elemento neutro es e =, 1 = {a} 1 = {a}, {} 1 = {} y {a, } 1 = {a, }. Tamién, como A B = B A, para todo A, B P (X, entonces (P (X, es un grupo aeliano. Crees que (P (X, es un grupo? 4. El conjunto G = {(1, 1, (1, 1, ( 1, 1, ( 1, 1} con la operación inaria definida por (a, (c, d = (ac, d, es grupo. {[ } a 5. Consideremos el conjunto G = /a R y R definimos la operación inaria [ [ [ a c a + c =. Veamos las propiedades que satisface este conjunto. d d [ a + c La operación dada es cerrada, en efecto: a + c R y d R, por tanto G. d La operación es asociativa. (Verificar. Determinemos [ [ el elemento [ neutro: a e1 a = e 2 [ [ [ e1 a a = e 2 [ [ a + e1 e De la primera identidad tenemos 2 a = y de acá otenemos el sistema { e 2 [ [ a + e1 e 2 = a e1 0 cuya solución es e e 2 = 1 = 0 y e 2 = 1, es decir =. Veamos que [ [ [ [ e a 0 + 1a a este elemento es el neutro = =

6 [ a Determinemos el simétrico del elemento [ [ [ a x 0 = [ x y y [ a = 1 [ 1 0 Al resolver el sistema asociado otenemos : ([ a 1 = Veamos que el grupo (G, no es aeliano, en efecto [ [ [ [ = = POTENCIACIÓN [ 1 1 a 1 [ Sea (G, un grupo y consideremos los elementos a 1, a 2,..., a n G. El siguiente resultado, (sin demostración, es una generalización de la propiedad asociativa: 1 2 Propiedad: Todos los productos de los elementos a 1, a 2,..., a n intersectando paréntesis aritrariamente son iguales, esto es: G, que pueden formarse p = a 1 a 2... a n = (... (... (a 1 a 2 a 3 a 4... a n Oservaciones: 1. Si a 1, a 2,..., a n son elementos cualesquiera de un grupo (G,, escriiremos el producto a 1 a 2... a n sin colocar parentesis. 2. Si a 1 = a 2 =... = a n = a, podemos halar de la potencia n-ésima del elemento a, esto es: a 1 a 2... a n = a a... a = a n Producto de n elementos de a, que puede efectuarse de cualquier forma. En un grupo (G,, las reglas de potenciación que consideraremos son: (a a n a m = a n+m ( (a n m = a nm (c a 0 = e, donde e es el neutro del grupo. (d a 1 = a (e (a 1 n = a n 6

7 Ejemplo: Consideremos al grupo R con la operación inaria a = a cuyo elemento neutro es e = 1 y a 1 = a 2, para cada a R. Vamos a resolver la ecuación 2 3 x 1 = 4 2. Como saemos, toda ecuación lineal en un grupo tiene solución única. En este caso, la solución está dada por x 1 = ( Usando las propiedades de potenciación tenemos que: 2 3 = (2 2 2 = ( = 5 2 = = = 4 4 = = 9 Por tanto, x 1 = = ( = ( 10 9 = = 0. Finalmente: x = (x 1 1 = 0 1 = 0 2 = 2 GRUPOS FINITOS Diremos que un grupo (G, es finito si G es un conjunto finito, en caso contrario, diremos que el grupo es infinito. Si G es finito, llamaremos orden de G, y lo denotaremos por o(g ó G, al cardinal del conjunto G, en este caso decimos que el grupo tiene orden finito. Si G es infinito, diremos que el grupo tiene orden infinito. Los grupos (Z, +, (Q, +, (Q,, (R,, (C, son ejemplos de grupos infinitos y los grupos (Z n, +, con n Z + {1}, son grupos finitos Teorema: Si (G, es un grupo finito, entonces en cada fila y en cada columna de la tala de Cayley de la operación no hay repetición de los elementos de G. Ahora representaremos algunos grupos finitos a través de su tala. 1. (Z 2, +, (Z 4, ; El grupo de Klein de define como el conjunto de símolos {a,, c, e} sujeto a las relaciones a 2 = 2 = c 2 = e, a = c, c = a y ca = e a c e e a c a a e c c e a c c a e 7

8 3. El grupo diédrico de orden 6, cuyos elementos son los símolos a i j con i = 0, 1, 2, j = 0, 1 y la operación multiplicación, dada por las relaciones a 3 = e, 2 = e, a = a 2. Este grupo lo vamos a denotar por D 6 e a a 2 a a 2 e e a a 2 a a 2 a a a 2 e a a 2 a 2 a 2 e a a 2 a a 2 a e a 2 a a a a 2 a e a 2 a 2 a 2 a a 2 a e 4. Consideremos el conjunto S = {1, 1, i, i} C, donde i es la unidad imaginaria que satisface i 2 = 1, es un grupo con la multiplicación usual. Su tala está dada por: 5. La tala de la estructura (Z 4, 1 1 i i i i i i i i i 1 1 i i i Qué oservamos? Qué conclusión podemos estalecer? Si en la tala de Cayley se repite un elemento en una fila o en una columna, entonces el conjunto considerado no es un grupo. GRUPO SIMÉTRICO Sea A un conjunto no vacío y consideremos al conjunto B(A = {f : A A : f es iyectiva} con la operación inaria composición de funciones, veamos que (B(A, es un grupo. En efecto: (a Si f, g B(A, entonces vamos a demostrar que g f B(A. En efecto, si x, y A y se tiene que (g f(x = (g f(y, entonces g(f(x = g(f(y. Como g es inyectiva, nos queda f(x = f(y y, por ser f inyectiva, resulta x = y. Es decir, g f es inyectiva. Vamos a proar ahora que g f es soreyectiva. Tomemos z A. Dado que g es sore, existe y A, tal que g(y = z y, como f tamién es sore, existe x A tal que f(x = y. Sustituyendo en la identidad anterior, otenemos g(f(x = z, que es el resultado deseado. Así, la operación dada es cerrada. ( Se compruea fácilmente que la composición de funciones es asociativa. 8

9 (c La aplicación identidad de A en A, que denotaremos por I A, es el elemento neutro de B(A. (d Finalmente, si f B(A, entonces f 1 B(A. En efecto, si f 1 (x = f 1 (y, tenemos que f(f 1 (x = f(f 1 (y, de donde se deduce que x = y y, por tanto, f 1 es inyectiva. Además, si y A, el elemento x = f(y satisface f 1 (x = f 1 (f(y = y. Así, se concluye que f 1 tamién es sore. Definición: Si A n es el conjunto de los n primeros enteros positivos, entonces a los elementos de B(A n los llamaremos permutaciones de n elementos. Al conjunto de las permutaciones lo denotaremos por S n y al grupo (S n, lo llamaremos grupo simétrico de n elementos. Un elemento de S n queda determinado si se conocen las imágenes de los n primeros números enteros positivos. Así, si σ S n, σ puede escriirse de la forma: ( n σ = σ(1 σ(2 σ(3 σ(n Para indicar la composición de permutaciones escriiremos, α β = αβ, cuando α, β S n Ejemplo Sean α y β dos permutaciones de S 3, dadas por: ( ( σ = y β = Entonces mientras que βα = αβ = ( ( ( ( = = ( ( Como podemos oservar, (S 3, es un grupo no aeliano. Puede demostrarse que (S 2, es un grupo aeliano, mientras que (S n, con n 3 es un grupo no aeliano. Además, el número de elementos de S n es n!. 9