Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Práctica 6: Integración. Primer cuatrimestre de (e) f(x) = cos x. F(x) = arccosx. Ejercicio 1.

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1 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 29 Práctica 6: Integración Ejercicio. Hallar en cada caso una función g : R R que cumpla (i) g () = 2 (ii) g () = (iii) g () = sen (iv) g () = cos (v) g () = 2 (vi) g () = e (vii) g () = + 2 (viii) g () = n Son únicas la funciones halladas? Para cada uno de los items (i) a (iv) hallar una función g que cumpla, además, g() = 5. Para cada uno de los items (v) a (viii) hallar una función g que cumpla, además, g() =. Ejercicio 2. Verifique en cada caso que F(X) +C (para C R) son primitivas de f(). f() = α, α = f() = f() = e f() = sen f() = cos f() = f() = 2 2 F() = α+ α + F() = ln F() = e F() = cos F() = sen F() = arcsen F() = arccos f() = + 2 F() = arctg /7

2 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 29 Práctica 6 (i) f() = cos 2 (j) f() = sen 2 F() = tg F() = cotg Ejercicio. Calcule las siguientes primitivas 2 ( ) +2 e 2 ( + ) ( 2 + ) 2 ( cos +2 sen ) cos 2 sen 2 Ejercicio 4. Aplicando el método de sustitución calcule las siguientes primitivas 5 cos(5) (j) ( 2 +) cos( +5) (k) cos sen 2 sen(7) (l) (5 2) (t +)(t 2 +2t +) 2 dt (m) cos 2 (2) e (n) cos(ln ) ( +) (ñ) ( + 2 ) ln (o) ( +y 2 ) 2 dy ( +) ln( +) (p) ( ) (i) e 2 (q) (6 + 4 ) Ejercicio 5. Calcule las siguientes primitivas aplicando el método de integración por partes. sen cos ( 2 2)e ln 2/7

3 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 29 Práctica 6 2 ( +4) 2 arccos (t 2 +t)(t +) 5 dt (i) e cos ln (j) e 2 sen() Ejercicio 6. Mediante la descomposición de funciones racionales en fracciones simples, calcule las primitivas de cada una de las siguientes funciones. f() = 2 ( +2)( +) f() = 4( 2) ( ) f() = f() = 2 2 f() = ( +)( 2)( +) f() = ( 2 ) 2 f() = f() = +7 8( +)( + 2 )2 (i) f() = 2(22 +) ( 2 +)( ) (j) f() = ( )( +2) Ejercicio 7. Calcule las siguientes primitivas: ln (j) (k) ( + 2 ) ln arcsen ( +cos2) 2 sen (l) (m) (n) ( sen 5 ) ( cos 6 6) arctg ln( 2 +) (i) (sen 2)cos sen 2 +sen 2 e e tg ln(cos) (sen + 2 cos) 2 sen (ñ) (o) (p) (q) e +e 2 e 2 e ln + (ln 2 ln) ( +)cos( 2 +) /7

4 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 29 Práctica 6 (r) e + (t) tg (s) cos +cos 2 Ejercicio 8. Hallar f() tal que f () = 2(sen) cos y f() =. Hallar g() tal que g () = t sen(5t) y g( π 2 ) =. Hallar h() tal que h () = y h() =. Ejercicio 9. Sea f : R R derivable. Sabemos que f tiene un punto crítico en = 2, que el gráfico de f pasa por el punto (2;) y que f () = +a para cierto a R. Hallar f(). Ejercicio. Aplicando la Regla de Barrow, calcular e t dt cos tdt π 2 sen tdt 2 t dt t r dt (donde > ) Ejercicio. Sea a R y sea f : R R definida por f() = a. Sabemos que 2 es un factor de f. Determine a y factorice f() totalmente. Haga un gráfico aproimado de f(). Calcule 2 f() ; 2,5 2 f() ; 2,5 f(). Ejercicio 2. Aplicando los métodos de sustitución e integración por partes calcule las siguientes integrales definidas. 2 ( 2 +) 4 cos(ln ) π 4 ( +cos 2) 2 sen(2) e (4 +e ) 7 ln ( + 2 )( ) 2 e (e 2 +e +) 4/7

5 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 29 Práctica 6 Ejercicio. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones. f () = f 2 () = f () = f 4 () = 2 tg 2 e t2 dt +t 2 dt cos t +t 2 dt arctgtdt con ( π 2 ; π 2 ) f 5 () = f 6 () = f 7 () = f 8 () = sen e cos sent +t dt t 2 +t 2dt cos(t 2 )dt t 2 dt Ejercicio 4. Determine los máimos y mínimos locales de la función g : R R definida por g() = e t2 t 2 (t )(t 4) dt Ejercicio 5. Sea f : [,6] R una función continua, y sea F() = F() es el que aparece a continuación f(t)dt. Si el gráfico de Calcule 6 f(t) dt. Verifique que f() =. Verifique que f() > en [;), y f() < en (;6]. Demuestre que 6 f(t) dt = 2 f(t) dt = 6. Ejercicio 6. Calcule el área de la región limitada por: La parábola y = 2 2, el eje y las rectas =, = 2. 5/7

6 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 29 Práctica 6 La recta y = +5, el eje y las rectas = 6, = 9. Ejercicio 7. En cada caso, determine el área de la región encerrada por la curva, el eje y las rectas verticales indicadas. y =, = 2, = 5. y = 2 +, =, =. y = +, =, = 2. Ejercicio 8. Determine a R > tal que el área de la región encerrada entre el eje, el gráfico de f() = sen y las rectas verticales = y = a sea 5 2. Ejercicio 9. Calcule el área de la región acotada limitada por las curvas dadas en cada caso y = 2 7, y = y 2 =, y = 2 y = /, =, y = y = e, y = e, =, = y = /2, y = 2, = y = 2, y = y =, y = y = y la recta tangente a dicha curva en =. (i) y 2 y =, 2y 2 2y = Ejercicio 2. Sean p(t) y v(t) la posición y la velocidad instantánea de una partícula de trayectoria rectilínea, cuya aceleración instantánea es a(t) = 4t 6 y tal que la posición inicial era p() =, y la velocidad inicial v() =. Determinar v(t) y verificar que la velocidad es nula para t =. Obtener la epresión de p(t) y calcular la posición para t =. Ejercicio 2. Un móvil se desplaza por un camino recto y su aceleración en el instante t está dada por a(t) = t(t ). En el instante inicial el móvil estaba en la posición s, y su velocidad inicial era 25. Cuál es la posición s(t) para < t <? 6/7

7 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 29 Práctica 6 Ejercicio 22. Una nave espacial está en reposo en el instante t =. Mediante mediciones en el interior de la nave se comprueba que recibe una aceleración instantánea a(t) = t /2 + cuando t >, donde el tiempo se mide en segundos y la aceleración en m/s 2. Qué velocidad lleva la nave cuando pasaron 64 segundos desde el arranque? A qué distancia del punto de partida está en ese instante? Ejercicio 2.Elcorredor H,queesespecialistaenlos metrosllanosdesarrollaunavelocidad instantánea v (t) = ( e t ) donde la distancia se mide en metros y el tiempo en segundos. Un segundo corredor H 2 tiene una velocidad instantánea v 2 (t) = 2 2 ( e t ). Qué distancia recorre cada corredor en los primeros segundos de carrera? Y en los primeros 2 segundos? Cuál de los corredores ganaría una carrera de metros? Y una carrera de 2 metros? 7/7