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1 MsMtscom Intgrls Clculr l intgrl: ++ + (-) (+) ln - cos sn (+) ln ln 7 8 cos ln Ls gráfic (i), (ii) y (iii) corrspondn, no ncsrimnt por s ordn, ls d un función drivbl f, su función drivd f y un primitiv F d f Indntific cd gráfic con su función, justificndo l rspust (i) (ii) (iii) sn () Clculr l intgrl rlizndo l cmbio d vribl cos = t cos () Clculr l mism intgrl dl prtdo ntrior pro hcindo l cmbio d vribl tg = u () S obtin l mismo rsultdo n mbos csos? Justific l rspust D un función f:r R s sb qu su gráfic cort l j O n =, l gráfic d su drivd ps por l orign y l gráfic d su sgund drivd s l rct y = Dtrminr l función Hllr un función f sbindo qu tin un máimo n l punto M(,) y su sgund drivd s f () = + Hllr un función f, sbindo qu l rct +y- = s tngnt su gráfic n l punto (,-) y su sgund drivd s f () = 7 D un función f:r R s sb qu su rprsntción gráfic ps por l punto (,) y s tngnt n dicho punto l rct +y = Tmbién s sb qu n culquir punto s vrific f () = - Dtrminr l función 8 D l función f:r R s sb qu f () = ++ y qu su gráfic tin tngnt horizontl n l punto P(,) Hllr l prsión d f D l función polinómic f s sb qu su función drivd tin como rprsntción gráfic l rct d cución -y+ = () Tin f lgún trmo locl? Si l rspust s firmtiv, indic si s trt d un máimo o d un mínimo y n qué vlor d s lcnz () Si s f() =, ncuntr l prsión nlític d f [s dcir, ddo R, dtrmin l vlor d f()] d nro d Págin d 7

2 MsMtscom Intgrls Encontrr l función drivbl f:[-,] R qu cumpl: f() = - y f () = - si - < - si L función drivd d un función drivbl f:r R vin dd por l gráfic d l figur Admás, s sb qu f(-) = () Dtrminr un prsión lgbric d f () Clculr lim f() - Sindo Ln() l logritmo nprino d, considrr l función f: (,+ ) R dfinid por f() = Ln() Clculr: () f() (b) Un primitiv d f cuy gráfic ps por l punto (,) Clculr un primitiv d l función f:r R dfinid por f() = sn() cuy gráfic ps por l orign d coordnds Clculr l intgrl: Hcindo l cmbio d vribl t =, clculr + + Hllr un función polinómic d º grdo, sbindo qu f()=f()= y qu f() = 7 Considrr l función f:r R dfinid por f() = +- Clcul α, α <, d form qu f() α = 8 () Dscribir l procdiminto d intgrción por prts () Clculr Ln() Considrr l función vlor bsoluto, s dcir, l función f:r R dd por f() = () Estudir l drivbilidd d f () Dibujr l gráfic d f () Hllr - -, - Dd l función f dfinid por f() =, - < <, () Estudir l continuidd y drivbilidd d nro d Págin d 7

3 MsMtscom Intgrls () Clculr f() - y f() - S f:r R l función dfinid por f() = - () Esbozr l gráfic d f (b) Estudir l drivbilidd d f (c) Clculr f() () Clculr los trmos rltivos y bsolutos d l función f:[-7,] R dfinid por f() = + + () S β l punto n l qu f lcnz su máimo bsoluto Clculr si < S f:r R l función dfinid por f() = - -m- si () Dtrminr m sbindo qu f s drivbl (b) Clculr f() - S sb qu l función f:r R dd por f() = ++b, si < c, si puntos = y = tom l mismo vlor () Hllr, b y c () Clculr f() () Dmostrr qu si f s función pr, s cumpl: () Dmostrr qu si f s función impr, s cumpl: f() = - f() = - -7 f() β f() () Dscribir l procdiminto d intgrción por cmbio d vribl () Hcindo l cmbio d vribl = +t, clculr l intgrl - s drivbl n todo su dominio y qu n los 7 Ls coordnds (,b) dl cntro d grvdd d un lámin d dnsidd uniform qu stá limitd por l curv y = sn() y l porción dl j O comprndid ntr = y = π, vinn dds por: = b = π/ (sn()) π/ sn() () Dscribir l método d intgrción por prts π/ sn() π/ sn() y d nro d Págin d 7

4 MsMtscom Intgrls π/ () Utilizr dicho método pr clculr l cntro d grvdd d l lámin, sbindo qu (sn()) = π 8 D ls funcions f,g:r R s sb qu f()+g() =, Clculr, si s posibl, g() y, si no s posibl, dcir por qué f()-g() =, f() = y f() = Un objto s muv lo lrgo d un lín rct dbido l cción d un furz F qu dpnd continumnt d l posición dl objto n dich lín rct S sb qu l trbjo rlizdo por l furz pr movr l objto dsd b = hst = b vin ddo por W = F() () Si l furz s F() = clculr l trbjo pr ir dsd = hst = (-), () Dtrminr rzondmnt si l furz G() = rliz más o mnos trbjo qu l furz F ntrior pr + l mismo dsplzminto D un función intgrbl f:[-,] R s sb qu pr cd n dicho intrvlo s tin: f() < + D los númros -, -, -, y 7, cuáls pudn sr l vlor d l intgrl f() -? Justificr l rspust Clculr l drivd d l siguint función, sin fctur l intgrl: f() = snt dt Hllr los máimos y mínimos rltivos d l siguint función: f() = t +t- dt Considrr l función f:r R dfinid por f() = sn() () S F:R R l función dfinid por F() = l función F? () Hllr F(π) Clculr l ár dl rcinto limitdo por: f() Qué dic l torm fundmntl dl cálculo intgrl sobr L curv y = - y l j O L prábol y = - y l rct y = - L curv y = - y l j d bsciss Ls curvs y = y = L curv y = - +8 y l j O Ls gráfics d ls funcions y =, y = -, l j O y ls rcts d cucions = - y = 7 Ls curvs y = sn y = cos n l intrrvlo, π 8 L curv y = y l curd qu un los puntos d l curv d bsciss y d nro d Págin d 7

5 MsMtscom Intgrls L gráfic d l función f d l figur corrspond un función polinómic d º grdo () Dtrminr un prsión lgbric d l función f () Clculr l ár comprndid ntr l función y l sgmnto indicdo Dibujr l rgión (y clculr su ár) limitd por: L rct y+ = y l curv d cución y = ++ L curv d cución y = (-) y l rct d cución y = - Ls curvs d cucions y = y = - Ls gráfics d l funcions f() = y g() = - Ls curvs d cucions y = sn(), y = cos(), = y = π Ls curvs y = +, y = - y = 7 () Rprsntr ls curvs d cucions y = -+ y =, clculndo dónd s cortn () Hllr l ár dl rcinto limitdo por dichs curvs +, si - 8 S f:r R l función dfinid por f() = -+, si > - () Esbozr l gráfic d f () Clculr l ár d l rgión limitd por l gráfic d f, l j d bsciss y l rct = Considrr l función f:[,] R dd por f() = (+) - () Hllr l máimo y l mínimo d l función n l intrvlo ddo y los puntos n los qu s lcnzn dichos vlors () Clculr l ár d l rgión limitd por l curv y = f(), l j O y ls dos rcts cuys cucions son = y = S f:r R un función polinómic dd por f() = () Dtrminr l intrvlo [,b] n l qu f s crcint () Clculr l ár limitd por l prt d l gráfic d f corrspondint l intrvlo [,b], l j O y ls rcts = y =b Considrr l función f:r R dfinid por f() = (-) () Dtrminr los intrvlos n los qu l función s crcint () Dibujr l rgión limitd por l gráfic d f, l j d bsciss y ls rcts d cucions = y = () Hllr l ár d l rgión dscrit n l prtdo ntrior L vlocidd d un móvil, qu prt dl orign, vin dd, n m/s, por l gráfic qu s indic () Clculr l función spcio rcorrido () Dibujr l gráfic d l función spcio rcorrido () Probr qu l ár bjo l curv qu d l vlocidd coincid con l spcio totl rcorrido () Hllr l rct tngnt l curv d cución y = - n l punto d bscis = - () Dibujr l rcinto limitdo por dich tngnt y l curv dd y clculr su ár () Dibujr l rgión limitd por l gráfic d l función f:[,] R dfinid por f() = Ln(+), l rct tngnt l d nro d Págin d 7

6 MsMtscom Intgrls gráfic d f n l orign y l rct = (Not: Ln(t) s l logritmo nprino d t) () Hllr l ár d dich rgión S quir dividir l rgión pln ncrrd ntr l prábol y = y l rct y= n dos rgions d igul ár, mdint un rct y= Hllr l vlor d Clculr l volumn ngndrdo por l rotción dl rcinto dl primr cudrnt limitdo por l prábol y = y ls rcts = y = lrddor dl j O 7 Clculr l volumn dl curpo d rvolución ngndrdo por l rotción lrddor dl j O dl rcinto limitdo por l curv y = y ls rcts y =, = y = - Solucions c + ln + c + c (+) - + ln + c + c c 7 ln + + c c ln + c - + c rc sn sn + c rc sn + c rc tg + c (-) + c (ln - ) + c -ln - + c c 8 - sn + - cos + c ln - ln + + c 8 + ln + c - ln + + ln[- + c - ln + + ln - + c - - ln rc tg+ 7 7 = f() = si - < - - si sn - π () R-{} () c f: (i) ; f : (iii) ; F: (ii) () cos 7 f() = () f() = Mínimo rltivo: Máimo rltivo: - Mínimo bsoluto: -7 Máimo bsoluto: - + ln + + ln - + c + ln c + c () tg + c () Si f() = - f() = f() = () Mínimo n = , < - +, π 8 () () () - () 7 ln - ln 7 Continu n R Drivbl n R - {-,} -, - ó f () = sn mimo: - ; mínimo: F(π) = - π () ln - ; () f() = + + f() + c (b) ln - + F() = - cos ln 8 ln () 7, () - - () - (b) ln + 7 () - 7 ; ; () 7, π 8 () R - {-,} () () 8 () () mnos 8 (-) () f() = - + () () Máimo: (,) Mínimo:, () -- () [,] () () (,+ ) () () (-) () d nro d Págin d 7

7 MsMtscom Intgrls (t) = t, t < t -, t - t + t -, < t () - () y= () 7 () () - ln π 7 π - d nro d Págin 7 d 7

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