Funciones trascendentes

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1 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte y cosecnte) Como los vlores de ls relciones trigonométrics dependen del vlor del ángulo, se puede estblecer un unción, donde l vrible independiente se el ángulo (medido en rdines) y l vrible dependiente el vlor de l relción trigonométric Obtenemos sí ls unciones: y sen, y cos, y tg, denominds directs, y tmbién, y cot g, y sec, y cos ec Si se llevn los vlores de y de y sobre los ejes crtesinos es posible obtener un representción crtesin de ls misms: Elbordo por l Pro Adrin Durte Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 1

2 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Función seno: El dominio de ést unción es el conjunto de números reles: D / Tmbién el Codominio es R: : / ( ) sen En cunto l conjunto imgen: como los vlores del seno de un ángulo osciln entre -1 y 1, tenemos I 1 ; 1 Se trt de un unción Impr, porque se cumple: ( ) ( ), D En eecto: ( ) sen( ) sen ( ) Es un unción periódic, de período p, porque se cumple: ( ) ( p) En este cso el período es, entonces: ( ) ( ), que es lo mismo decir que: sen ( ) sen( ) Ls imágenes de l unción tomn todos los vlores entre -1 y 1, (llmdo ciclo) cd Por ejemplo: si = 0, sen ( 0) sen(0 ) Intersecciones con los ejes: ) Ordend l origen: es el punto de coordends (0;0), porque ( 0) sen 0 0 b) Ceros: pr hllr los ceros se tiene que resolver l ecución sen 0 n, con n, por lo tnto, es un unción con ininitos ceros Asíntots No dmite síntots verticles, ddo que el dominio es R No dmite síntots horizontles, porque: lím sen no eiste, ddo que los vlores de l unción osciln constntemente entre -1 y 1 Función coseno: Al igul que l unción seno, el dominio de ést unción es el conjunto de números reles: D / Tmbién el Codominio es R: : / ( ) cos Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss

3 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 En cunto l conjunto imgen: como los vlores del seno de un ángulo osciln entre -1 y 1, tenemos I 1 ; 1 Se trt de un unción Pr, porque se cumple: ( ) ( ), En eecto: ( ) cos( ) cos ( ) D Es un unción periódic, de período, porque se cumple: ( ) ( ), que es lo mismo decir que: cos( ) cos( ) Ls imágenes de l unción tomn todos los vlores entre -1 y 1, (llmdo ciclo) cd Por ejemplo: si = /, sen ( ) sen( ) Intersecciones con los ejes: ) Ordend l origen: es el punto de coordends (0; 1), porque ( 0) cos 0 1 b) Ceros: pr hllr los ceros se tiene que resolver l ecución n1 cos 0, con n, por lo tnto, es un unción con ininitos ceros Asíntots No dmite síntots verticles, ddo que el dominio es R No dmite síntots horizontles, porque: lím cos no eiste, ddo que los vlores de l unción osciln constntemente entre -1 y 1 Función tngente: sen Est es un unción cociente, ddo que ( ) tg cos n 1 El dominio de ést unción es el conjunto : D /, con n, ddo n1 que los vlores, con n nuln l denomindor El Codominio es R Se trt de un unción Impr, porque : ( ) ( ), D sen( ) sen( ) En eecto: ( ) tg ( ) tg ( ) cos( ) cos( ) Es un unción periódic, de período, porque se cumple: ( ) ( ), que es lo mismo decir que: tg ( ) tg ( ) Intersecciones con los ejes: ) Ordend l origen: es el punto de coordends (0; 0), porque ( 0) tg 0 0 b) Ceros: pr hllr los ceros se tiene que resolver l ecución sen tg 0 0 sen 0 n, con n, por lo tnto, es un unción cos con ininitos ceros Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 3

4 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Asíntots Admite síntots verticles, ddo que: No dmite síntots horizontles, porque: osciln constntemente entre -1 y 1 lím (n1 ) tg lím tg Al tener síntots verticles, el conjunto imgen es R Tiene ininits síntots verticles no eiste, ddo que los vlores de l unción II) Función eponencil Se un potenci donde l bse es un número y el eponente un vrible Se obtiene sí un unción cuy regl es un potenci con ess crcterístics En símbolos: ( ), con 1 Dominio L unción está deinid pr todo rel, ddo que l ser un potenci de bse positiv, siempre tendrá un resultdo en R Es decir: D R Según l deinición, l bse puede ser: un número rel positivo myor uno, o un número rel positivo myor cero y menor 1 Si > 1: 1 1 Se cumple l condición:, 1 : si 1 ; y si 1 ; de unción creciente, que es l condición Además: l bse positiv, pr culquier eponente rel, d un resultdo positivo, es decir: 0, D Por ello, el conjunto imgen es: I Aplicndo límites, con, : lím 0 y lím Se puede irmr que l unción tiene síntot horizontl en y = 0, solmente cundo 0 L ordend l origen: (0) 1 punto (0;1) Los ceros: l potenci 0, pr culquier vlor de Por ello, l unción eponencil no tiene ceros Cso prticulr: Si l bse es el número rel e (bse de los logritmos nturles o neperinos), se tiene l unción eponencil ( ) e, de much utilidd práctic en diverss plicciones Si 0 < > 1: 1 1 Se cumple l condición:, 1 : si 1 ; y si 1 ; condición de unción decreciente, que es l Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 4

5 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 L bse positiv, pr culquier eponente rel, d un resultdo positivo, es decir: Por ello, el conjunto imgen es: I 0, D Aplicndo límites, con, : lím y lím 0 Se puede irmr que l unción tiene síntot horizontl en y = 0, solmente cundo 0 L ordend l origen: (0) 1 punto (0;1) Los ceros: l potenci 0, pr culquier vlor de Por ello, l unción eponencil no tiene ceros L representción gráic de mbos csos es: Función inyectiv Se un unción y = (), con dominio en el conjunto D y sen 1 y dos vlores de ese conjunto, con 1 L unción es inyectiv si se cumple que : ( 1) ( ), pr culquier pr de vlores de su dominio Tmbién se puede deinir diciendo que si ( 1 ) ( ) 1 Por ejemplo: L unción ( ) es inyectiv, ddo que si 1 1 En cmbio, l unción g( ) no es inyectiv, porque si 1, y se tom 1, se tiene que : ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1 ) Por lo tnto, no se cumple que ) ( ) ( 1 Función sobreyectiv Un unción y () es sobreyectiv, cundo su Conjunto imgen coincide (es igul) l Codominio Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 5

6 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Es decir: I Cd Por ejemplo, esto sucede pr l unción h ( ), porque I h Cdh Pero pr l unción g( ) no se cumple, ddo que Ig 0 y Cdg, siendo distintos Es decir, l unción g no es sobreyectiv Como siempre es posible modiicr el Codominio de un unción hciendolo igul l conjunto imgen de l unción, podemos proponer que, con l modiicción relizd, l unción será sobreyectiv Función Biyectiv Un unción es biyectiv si es inyectiv y sobreyectiv Si suponemos que es sobreyectiv (modiicndo decudmente el codominio), entonces l biyectividd dependerá unicmente de l inyectividd Función Invers Cundo un unción es inyectiv, dmite invers Es decir, dd un unción (inyectiv) eiste un unción 1 denomind invers de l primer, donde el Dominio de y l Imgen de 1 coincide con el Dominio de : D I y I D coincide con l Imgen de De cuerdo l gráico, y es imgen de trvés de y es imgen de y trvés de 1 Es decir: y () y 1 ( y) Teniendo en cuent esto, si es necesrio encontrr l epresión simbólic de l unción invers, bst con despejr l vrible, y ponerl en unción l vrible y Luego, si se requiere que ést unción quede en unción determind vrible, se reemplz y por l mism Por ejemplo: Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 6

7 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 y 5 Si y 5 Por último, si se requiere que l unción invers depend de tendrá l 5 epresión siguiente: ( ) y 1 El gráico nterior tmbién se puede considerr de l siguiente mner: Como el conjunto imgen de es igul l Dominio de ( 1 ), que es un unción que depende de y cuy imgen tmbién es 1, se puede encontrr l unción compuest Es decir: ( 1 1 )( ) ( ) ; o bien 1 1 ( )( ) ( ) Epresión que dice que l composición de un unción y su invers es igul l unción identidd Teniendo en cuent ést composición, obtenemos otro método pr hllr l invers de un unción dd En eecto, si seguimos con l unción del ejemplo nterior: 1 1 ( ) 5 ( ) 5 Y como 1 ( ), igulndo segundos miembros, tenemos: ( ) 5 ( ) Ejercicio: Encontrr l unción invers de l unción, siendo ( ) Solución: En primer lugr, l unción dd tiene D y I ;, no es inyectiv en su dominio nturl y no dmite invers Por lo tnto, hbrá que modiicrlo, tomndo como nuevo dominio los números reles positivos: D * Luego: ( ) ( ) Y demás: 1 ( ) ( ) ( ) ( ), entonces:, D ; e I 0 1 siendo Método pr obtener el gráico de l invers de un unción Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 7

8 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Hemos dicho que l composición de un unción y su invers es l unción identidd y, l que tiene como gráic un rect con pendiente uno Entonces, el gráico de l invers será simétrico con respecto ést rect Ejercicio: Encontrr gráicmente l unción invers de ( ) Solución: se gric l unción y trzndo l simetrí de cd punto con respecto l rect y =, se obtiene el gráico de su invers Problem: L medid de l tempertur en grdos Celsius, depende de l medid en grdos Fhrenheit, de cuerdo l unción: C 5 9 ( F 3) Cuántos grdos Fhrenheit corresponden 100º Celsius? Solución: En primer lugr, se obtiene l invers: F 9 5C 3 Luego, pr l tempertur C=100, el resultdo es: F Ls unciones estudids (potencis, polinómics, trigonométrics) tienen invers, unque en generl es diícil obtener su epresión simbólic En cso de ls trigonométrics, con ls restricciones l 1 dominio pr que sen inyectivs, ls unciones inverss son: ( ) rc sen (o sen 1 ( ) ), ( ) rc cos (o cos 1 1 ( ) ) y ( ) rctg (o tg 1 ( ) ) 1 IV) Función Logritmo Es l unción invers de l unción eponencil ( ), ddo que ést es inyectiv Entonces, el D y I 0;, por ello se cumple que 0; y I L epresión simbólic de l unción es: 1 1 Así: si ( ) ( ) log ( ) e 1 ( ) log e ( ) log D, donde es l bse del logritmo 1 ; si ( ) 10 ( ) log ; si ln (Logritmo de bse e: logritmo nturl o neperino) 1 1 En eecto: prtiendo de irmr que ( 1) ( ) 1, y se veriic l deinición de unción inyectiv Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 8

9 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Aplicndo límites, con,: Si > 1: lím log No tiene sentido hllr límite cundo, porque el Dominio de l unción no lo permite Si 0< < 1: lím log No tiene sentido hllr límite cundo, porque el Dominio de l unción no lo permite Aplicndo límite con 0 : Si > 1: lím log Si 0< < 1: 0 lím 0 log Se puede irmr que l unción tiene síntot verticl en = 0 L ordend l origen: ( 0) log 0 1 punto (1;0) En el siguiente gráico, se representn dos unciones logritmo, con bse y 1, respectivmente: Ejercicio: ) Hllr dominio, Imgen, síntots, ceros y ordend l origen de l unción ( ) Ln( ) b) Encontrr l epresión de su invers, su domino e imgen y representr mbs gráicmente Solución: Prte ) Dominio: Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 9

10 Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 L unción dd es compuest ( g, con g( ) y ( ) Ln ), por ello, pr estudir el dominio de l unción, se requiere segurr que l unción g ( ) 0 Esto se cumple si < Se obtiene sí como domino de l unción dd l intervlo ; Asíntots: Como l bse es el número e > 1, por ello los límites serán: lím Ln ( ) Ln lím ( ) Ln( ) lím Ln( ) Ln lím ( ) Ln (0) Entonces, hy síntot verticl en = Ceros: 0 Ln ( ) 0 ( ) e 1 L unción tiene un cero en el punto (1; 0) Ordend l origen: ( 0) Ln ( 0) Ln Ls coordends son: 0 ; Ln Imgen: Que eistn síntots verticles, segurn que el conjunto imgen es: I Prte b) L unción dd es inyectiv, ddo que Ln ( 1 ) Ln ( ) 1 Por lo tnto, dmite invers y y 1 Hcemos: y Ln ( ) e e Por ultimo: ( ) e El dominio D 1 I Sus representciones gráics son: 1 y l Imgen D ; I Guí teóric Funciones trscendentes e Inverss 10

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