MODELO DE RESPUESTAS

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1 PRIMERA PRUEBA INTEGRAL LAPSO /5 Universidad Nacional Abierta MATEMÁTICA III ( 734 ) Vicerrectorado Académico Fecha: 25/10/2 008 Cód. Carrera: MODELO DE RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a) Una persona invierte un total de dólares en bonos, papeles comerciales y en depósitos a plazo fijo que le producen intereses del 10%, 13% y 7,5%, respectivamente. La cantidad invertida en papeles comerciales es el doble de la invertida en bonos. Cuánto tiene en cada tipo de inversión si el interés total semestral es de 5 572,50 dólares? b) Sara compra un órgano electrónico dando un pago inicial de unidades monetarias (um) y el resto, um, deberá pagarlo en 60 días con una tasa de interés del 21,9% anual. Como Sara firmó un pagaré, el gerente del establecimiento lo descuenta al día siguiente en su banco, al 24,4%. Qué cantidad de dinero obtiene el gerente? NOTAS: Use en sus cálculos cuatro (4) cifras decimales. Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes de la pregunta. a) Antes de comenzar a escribir fórmulas y sacar cuentas, debemos tener claro dos cosas: que nos están dando, y que nos están pidiendo. Lo primero es inmediato, mientras que lo segundo requiere algo de cuidado. Nos están dando, la inversión total inicial, C = ; las tasas de interés involucradas, i 1 = 10%, i 2 = 13% e i 3 = 7,5%; el tiempo que duró la inversión, un semestre y el interés total ganado, I = 5 572,50. Respecto de lo segundo, lo que se nos pide es calcular la cantidad inicial invertida en cada uno de los tres instrumentos financieros, conocida la inversión total inicial. Todo lo anterior se traduce en lo siguiente: C = C 1 + C 2 + C 3 = I = I 1 + I 2 + I 3 = 5 572,50, donde C 1, C 2 y C 3 son las incógnitas. Para hallar los valores de las incógnitas, resolvamos sistema de ecuaciones antes planteado: C = C 1 + C 2 + C 3 = C 1 + 2C 1 + C 3 = 3C 1 + C 3 = I = I 1 + I 2 + I 3 = C 1 i 1 t + C 2 i 2 t + C 3 i 3 t = C 1 i 1 t + 2C 1 i 2 t + C 3 i 3 t = 5 572,50, Sustituyendo, nos queda 3C 1 + C 3 = (0,05 + 0,13)C 1 + 0,0375C 3 = 5 572,50. Luego de resolver el sistema obtenemos C 1 = , C 2 = y C 3 =

2 PRIMERA PRUEBA INTEGRAL LAPSO /5 Comentario: Nunca olvide que: la(s) tasa(s) dada(s) y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. b) Lo que nos están pidiendo es calcular un valor presente. En este problema están involucradas dos tasas, una de interés y otra de descuento. Con la primera calculamos el valor final del pagaré, necesario para calcular el valor presente que se mencionó al comienzo. Por lo tanto, utilizando que: M = C(1 + rt), obtenemos: M = , = , Ahora utilizamos este monto para calcular su valor presente, a la tasa de descuento dada y por un lapso de 59 días, que es el tiempo por el que se está descontando el pagaré. Así, utilizando que: A = M( 1 dt ), resulta: A = ,925 0, = ,9581 OBJ 2 PTA 2 a) José deposita dinero en el banco a un plazo de 2 años y una tasa de interés compuesto cada trimestre del 14% anual. Debido a una emergencia, debe retirar su dinero al cabo de 10 meses. Cuál será el monto que recibirá si depositó dólares y suponemos que no hay ningún tipo de penalización? b) Cuál es la tasa de interés nominal capitalizable cada mes equivalente a la tasa nominal del 38% capitalizable trimestralmente? c) Bruno debe las siguientes cantidades al señor García: dólares a pagar dentro de 2 meses dólares a pagar dentro de 5 meses dólares a pagar dentro de 9 meses. El día de hoy, Bruno recibió el fondo de ahorro de la empresa donde trabaja y desea liquidar su adeudo, de manera anticipada, con el señor García. Qué cantidad tendrá que pagar el día de hoy en sustitución del adeudo original, si la tasa de interés se fija en un 30% capitalizable cada mes? SUGERENCIA: Elabore un diagrama de tiempo. NOTAS: Use en sus cálculos cuatro (4) cifras decimales. Para lograr el objetivo debe responder correctamente exactamente dos de tres de las partes de la pregunta.

3 PRIMERA PRUEBA INTEGRAL LAPSO /5 a) Antes de comenzar con nuestros cálculos, recordemos una vez más que: la tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. En virtud de lo dicho anteriormente y puesto que la tasa de interés es convertible trimestralmente, llevaremos los 10 meses a trimestres. Aclarados algunos puntos, procedamos a calcular el monto M. Por lo tanto: M = (1 + 0,035) 3,333 = (1,035) 3,3333 = (1,1215) = ,2513 Comentarios: 14% convertible trimestralmente es equivalente a 3,5% trimestral. 10 meses es lo mismo que 3,3333 trimestres. b) Recordemos que: Dos (2) tasas de interés son equivalentes, si operando bajo modos de capitalización diferentes producen el mismo valor final, es decir, el mismo monto. Lo anterior expresa el hecho de que: El monto producido por un capital de Bs C a una tasa de interés del i% compuesto mensualmente, o lo que es lo mismo, i%/12 mensual, es igual al monto producido por ese mismo capital C a una tasa de interés del 38% capitalizable trimestralmente, esto es: C i 1+ = M = C Simplificando resulta que: 12 3 i 1+ = ( 1 + 0,095 ), 12 de donde despejando i y operando, nos queda: i = 12[(1,095) 1/3 1] = 12[(1,0307) 1] = 12(0,0307) = 36,8564%. Por lo tanto, la tasa de interés nominal capitalizable mensualmente equivalente al 38% capitalizable (convertible) trimestralmente es: i = 36,8564% Observación: Para hallar tasas equivalentes, no hace falta aprenderse las fórmulas, lo que realmente es importante aprender y entender, es la definición de equivalencia entre tasas. 4

4 PRIMERA PRUEBA INTEGRAL LAPSO /5 c) Planteemos la ecuación de valores, y tomemos como fecha focal la correspondiente al día de hoy (fecha cero), pudo haberse tomado cualquier otra fecha, sin embargo en el caso de interés compuesto, esto no afecta en lo absoluto el resultado. La ecuación de valor es: x = (1 + 0,025) (1 + 0,025) (1 + 0,025) - 9 = (0,9518) (0,8839) (0,8007) = , , ,4156 = 34634,2464 x representa la cantidad que tendrá que pagar Bruno al señor García. OBJ 3 PTA 3 Al momento de nacer su hija, un padre depositó Bs en una cuenta de ahorros que abona el 6% de interés anual convertible anualmente; dicha cantidad la sigue depositando cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumentó sus depósitos en un 100%. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. NOTA: Use en sus cálculos cuatro (4) cifras decimales. Ver Unidad 3, ejemplo 5, página 61, del problemario de Matemática III código 734. OBJ 4 PTA 4 El señor Salinas compra a crédito un automóvil usado que vale Bs Las condiciones de pago son las siguientes: 12% de enganche. 6 pagos mensuales iguales vencidos. Bs que se entregarán junto con el último pago. Si la tasa de interés es del 20% capitalizable cada mes, elabore la tabla de amortización. Como se puede apreciar del enunciado, esta es una renta inmediata, de la cual conocemos el valor actual A, la tasa de interés i y el número n de pagos. Por lo tanto, para el cálculo del pago mensual T, debemos resolver ecuación de valores: n 1 ( 1+ i ) A = T ( 1 + 0,0167 ) - 6 i Sustituyendo: ( 1+ 0,0167 ) = T ( 1,0167 ) - 6 0,0167

5 PRIMERA PRUEBA INTEGRAL LAPSO /5 El cuadro de amortización solicitado es: = ( 5,6537 )T ,1071 T = 9 716,0962 Período Cuota Interés Amortización Total Amortización Deuda , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2878 NOTA: El saldo insoluto (columna 6) al final del sexto mes debe ser cero. La diferencia de Bs 114,2878 se debe a los redondeos efectuados, comenzando por la cuota. FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS

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