Series de Fourier CAPITULO Funciones Seccionalmente Continuas 1.1. Preliminares sobre funciones continuas.

Transcripción

1 Contenidos Cpitulo. Series de Fourier 3. Funciones Seccionlmente Continus 3. Extensiones de Funciones Seccionlmente Continus 6 3. Cmbio de Intervlo 3

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3 CAPITULO Series de Fourier. Funciones Seccionlmente Continus.. Preliminres sobre funciones continus. Consideremos el R espcio vectoril C[, b] = {f : [, b] R R f es un función continu}. Sbemos que () f C[, b] = b Y del teorem fundmentl del Cálculo tenemos que f(x) dx R () b Además tenemos ls propieddes: f(x) dx = F(b) F() F (x) = f(x) () () (3) (4) (5) b b b b (f(x) + g(x)) dx = k f(x) dx = k f(x)) dx = c f(x)) dx = f(x)) dx = b b f(x) dx + f(x) dx f(x) dx + b f(x)) dx b c b g(x) dx f(x) dx ( c b) Ejemplo... () sin(nx) dx = ( n N) En efecto 3

4 4 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile sin(nx) dx = = = sin(nx) dx + sin(nx) dx ( ) n cos(nx) + ( n π) cos(nx) ( n ) [cos() cos( nπ)] + ( n ) [cos(nπ) cos()] = (cos( nπ) cos() + cos() cos(nπ)) n = Geométricmente, pr n =, signific lo siguiente: I = I = π Figur y = sin(x) y I = sin(x) dx y I = sin(x) dx () cos(nx) dx = ( n : n N) En efecto cos(nx) dx = = cos(nx) dx + cos(nx) dx ( ) n sin(nx) ( + n sin(nx) π) = n [sin() sin( nπ)] + [sin(nπ) sin()] n = [sin() sin( nπ) + sin(nπ) sin()] n =

5 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 5 Geométricmente, pr n =, signific lo siguiente: π Figur y = cos(x) (3) sin(nx)sin(mx) dx = ( n : n N); ( m : m N); (n m) En efecto cos(nx + mx) = cos(nx) cos(mx) sin(mx) sin(nx) cos(nx mx) = cos(nx) cos(mx) + sin(mx) sin(nx) sin(nx)sin(mx) = [cos(nx mx) cos(nx + mx)] Luego, sin(nx) sin(mx) dx = = π [cos(nx mx) cos(nx + mx)] dx cos (n m) x dx + }{{} Z cos (n + m) x dx }{{} Z..() = (4) sin(nx)cos(mx) dx = ( n : n N); ( m : m N) En efecto

6 6 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile sin(nx + mx) = sin(nx) cos(mx) + sin(mx) cos(nx) sin(nx mx) = sin(nx) cos(mx) sin(mx) cos(nx) sin(nx)cos(mx) = [sin(nx + mx) + sin(nx mx)] Luego, sin(nx) cos(mx) dx = = π [sin(nx + mx) + sin(nx mx)] dx sin(n + m) x dx + }{{} Z sin (n m) x dx }{{} Z..() = (5) cos(nx)cos(mx) dx = ( n : n N); ( m : m N); (n m) En efecto cos(nx + mx) = cos(nx) cos(mx) sin(mx) sin(nx) cos(nx mx) = cos(nx) cos(mx) + sin(mx) sin(nx) cos(nx)cos(mx) = [cos(nx + mx) + cos(nx mx)] Luego, cos(nx) cos(mx) dx = = π [cos(nx + mx) + cos(nx mx)] dx cos (n + m) x dx + }{{} Z cos (n m) x dx }{{} Z..() = (6) sin (nx) dx = π ( n : n N)

7 En efecto Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 7 sin (nx) = sin (nx) = =..() = ( cos(nx)) π ( cos(nx)) dx (π) dx cos(nx) dx = π (7) cos (nx) dx = π ( n : n N) En efecto cos (nx) = cos (nx) = =..() = ( + cos(nx)) π ( + cos(nx)) dx (π) dx + cos(nx) dx = π Conclusión... En el R espcio vectoril5 C[, π] y debido ls propieddes de l integrl tenemos que: (3) f, g = f(x)g(x) dx f = f, f,, es un producto interno y es l norm inducid por el producto interno. Si demás notmos Trigon(x) = {, sin(x), cos(x), sin(x), cos(x), sin(3x), cos(3x),... }

8 8 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile entonces Trigon(x) es un conjunto ortogonl respecto del producto interno definido en l fórmul (3). Si notmos W = Trigon(x) entonces como siempre W es un subespcio de dimensión no finit de C[, π] y debemos tener l proyección ortogonl P W, y pr f C[, π], (4) f(x) = + k cos(kx) + b k sin(kx) ( en medi) donde (5) (6) k = π b k = π f(x)cos(kx)dx (k =,,, 3...) f(x)sin(kx)dx (k =,, 3...) Y en medi signific que f(x) + k cos(kx) + b k sin(kx), f(x) + k cos(kx) + b k sin(kx) Definición..3. A (4) l llmremos l Representción en Serie de Fourier de l función f Ejemplo..4. () Se f(x) = x entonces plicndo (5) y (7) tenemos: Pr. = π = π = π = x ( π x dx π pi Pr k, (k ) () ) u = x : dv = cos(kx)dx du = dx : v = k sin(kx) = k = x π k sin(kx) π }{{} sin(kx) dx = } {{ }

9 Luego, Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 9 Pr b k, (k ) k = π u = x : dv = sin(kx)dx du = dx : v = k cos(kx) Luego, xcos(kx) dx = ( k; k N) = b k = π [ x k cos(kx) π + k ] cos(kx) dx b k = π [ π k cos(kπ) + π k cos(kπ) ] = k ( )k+ (k N) Así que: (7) ( ) k+ x = sin(kx) k Observción..5. () Sbemos que el gráfico de y = x es del tipo Figur 3 y = x (b) Si k = entonces tenemos que su gráfico es del tipo:

10 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile ( ) k+ Figur 4 y = sin(kx) k (c) Si k = entonces tenemos que su gráfico es del tipo: ( ) k+ Figur 5 y = sin(kx) k (d) Si k = 3 entonces tenemos que su gráfico es del tipo: ( ) k+ Figur 6 y = sin(kx) k (e) Si k = 5 entonces tenemos que su gráfico es del tipo Figur 7 y = 5 ( ) k+ sin(kx) k

11 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile Luego, podemos concluir que: L función f(x) = x y l función g n (x) = n ( ) k+ sin(kx) son distints ( n; n N) k L sucesión (g n ) n N no converge puntulmente l función f(x) = x en el intervlo [, pi] En efecto f(π) = π y g (π) = ( ) k+ sin(kπ) = k Sin embrgo de l norm inducid por el producto interno, sigue que: x g (x) = (x g (x)) dx = () Se f(x) = x ( < x < π) entonces en este cso tenemos que: = π Pr k = π u = x x dx = π x dx = π x cos kx dx con k N tenemos: : dv = cos(kx) dx du = dx : v = k sin(kx) = k = π ( x k sin(kx) π k ) sin(kx) dx Luego, k = k (cos(kπ) ) = π k π (( )k ) = Pr b k = π x sinkx dx con k N tenemos: 4 k π : si k impr : si k pr xsinkx dx b k = π xsinkx dx + π plicndo el método de integrción por prtes tenemos que: u = x : dv = sin(kx) dx du = dx : v = k cos(kx) u = x : dv = sin(kx) dx du = dx : v = k cos(kx)

12 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile Así que; b k = x π k cos(kx) cos(kx) dx x k k cos(kx) π + cos(kx) dx k }{{}}{{} = ( x π k cos(kx) x ) k cos(kx) π = ( π π k cos(kπ) π ) k cos(kπ) = Finlmente; (8) Observción..6. x = π 4 π () Sbemos que el gráfico de y = x es del tipo cos(k )x k Figur 8 y = x (b) Si k = entonces tenemos que su gráfico es del tipo: Figur 9 y = π 4 π cos(k )x (k )

13 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 3 (c) Si k = entonces tenemos que su gráfico es del tipo: Figur y = π 4 π cos(k )x (k ) (d) Si k = 3 entonces tenemos que su gráfico es del tipo: Figur y = π 4 π 3 cos(k )x (k ) (e) Si k = 5 entonces tenemos que su gráfico es del tipo Figur y = π 4 π 5 cos(k )x (k ).. Funciones Pres e Impres.

14 4 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile Antes de verificr ls propieddes intrínsecs de l representción en serie de un función, como l formuld en (4), es rzonble observr que el myor tiempo de cálculo, (cos reltiv; pues bst usr un máquin decud pr clculr...) es empledo en l resolución de ls integrles, pero ests poseen propieddes que gilizn su resolución cundo los integrndos, óse en este cso ls funciones, poseen lo que podemos tildr de buens propieddes. Entre otrs podemos considerr ls siguientes: Definición... Se F[, ] = {f : [, ] R f función} y f F[, ]. Diremos que f es un función pr si f( x) = f(x) ( x; x [, ]) f es un función impr si f( x) = f(x) ( x; x [, ]) Ejemplo... f pr () Se f(x) = x n (n N) entonces f impr : Si n pr : Si n impr En efecto Si n pr entonces n = s. Así que f( x) = ( x) s = (( x) ) s = (x ) s = x s = f(x) Por ejemplo: Figur 3 y = x Figur 4 y = x 4 Si n impr entonces n = s +. Así que

15 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 5 f( x) = ( x) s+ = ( x) s ( x) = x s ( x) = x s ( )x = ( )x s+ = f(x) Por ejemplo: Figur 5 y = x Figur 6 y = x 9 () f(x) = cos x es un función pr: Figur 7 y = cos(x) (3) f(x) = sin x es un función impr: Observción Figur 8 y = sin(x) () Supongmos que l función y = f(x) es un función pr en el intervlo rel [, ]. Supongmos tmbién que f es integrble en [, ] entonces

16 6 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile f(x) dx = = = = = f(x) dx + f( u) du + f(u) du + f(x) dx + f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx ( si u = x y du = dx) f( es pr) ( ver ls propieddes de l integrl definid) () Supongmos que l función y = f(x) es un función impr en el intervlo rel [, ]. Supongmos tmbién que f es integrble en [, ] entonces f(x) dx = = = = = f(x) dx + f( u) du + f(u) du + f(x) dx + f(x) dx f(x) dx ( si u = x y du = dx) f(x) dx f( es impr) f(x) dx ( ver ls propieddes de l integrl definid) (3) Se f F[, ] entonces f(x) = f(x) + f( x) f( x) + f(x) = f(x) + f( x) + f(x) f( x) = f(x) = f p {}}{ f(x) + f( x) + f i {}}{ f(x) f( x) ( ) L relción descrit en ( ) muestr que tod función f F[, ] se descompone en un sum de funciones, donde un es pr y otr es impr. En efecto, f p ( x) = = f( x) + f( ( x)) f( x) + f(x) = f(x) = f p es un función pr

17 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 7 Análogmente, f i ( x) = = f( x) f( ( x)) f( x) f(x) = f i (x) = f i es un función impr Si notmos (9) F p [, ] = {f : [, ] R f función pr} () F i [, ] = {f : [, ] R f función impr} entonces F p [, ] es un subespcio de F[, ] En efecto Si tommos f F p [, ] y g F p [, ] entonces (f + g)( x) = f( x) + g( x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) De donde (f + g) F p [, ] y (λf)( x) = λf( x) = λf(x) = (λf)(x) De donde (λf) F p [, ] pr (λ R) F i [, ] es un subespcio de F[, ] En efecto Si tommos f F i [, ] y g F i [, ] entonces (f + g)( x) = f( x) + g( x) = f(x) g(x) = (f + g)(x) De donde (f + g) F i [, ] y

18 8 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile (λf)( x) = λf( x) = λf(x) = (λf)(x) De donde (λf) F i [, ] pr (λ R) F p [, ] F i [, ] = En efecto f F p [, ] F i [, ] f F p [, ] f F i [, ] Así que f( x) = f(x) f( x) = f(x) ( x; x [, ]) f(x) = f(x) ( x; x [, ]) f(x) = ( x; x [, ]) f = () Conclusión..4. Se f C[, π]: F[, ] = F p [, ] F i [, ] f pr entonces b k = y k = π En efecto f(x)cos(kx) dx ( k; k N) (i) f pr y sin(kx) impr ( k; k N) entonces f(x)sin(kx) es impr (ii) f pr y cos(kx) pr ( k; k N) entonces f(x)cos(kx) pr f impr entonces k = y b k = π En efecto f(x)sin(kx) dx ( k; k N) (i) f impr y cos(kx) pr ( k; k N) entonces f(x)cos(kx) es impr (ii) f impr y sin(kx) impr ( k; k N) entonces f(x)cos(kx) pr..5. Ejercicios Propuestos de Funciones Pres e Impres. () Determine si cd un de ls funciones siguientes es pr o impr: () f(x) = tnx (b) f(x) = e x

19 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 9 (c) f(x) = cos 4x (d) f(x) = x + 3 x (e) f(x) = x 4 + x (f) f(x) = x + x 6 () Se f un función derivble en el intervlo [, ]. Demuestre que. () f función pr = f función impr (b) f función impr = f función pr (3) Se f un función integrble en el intervlo [, ],y define Demuestre que. F(x) = x () f función pr = F función impr (b) f función impr = F función pr f(t) dt ( x ) (4) Descomponer ls funciones en sum de un función pr y un impr () f(x) = x + 3 x (b) f(x) = x + x (c) f(x) = x, donde ( R ), (b R ) y (c R ) + bx + c.3. Funciones Seccionlmente Continus. Se f : [, b] R un función. Diremos que f es un función seccionlmente si: f es continu en el intervlo [, b], slvo en un número finito de puntos. Existen los límites lterles Ejemplo.3.. f(x + ) = f(x ) = lim f(x) x x + lim f(x) x x ( x ; x [, b)) ( x ; x (, b]) consideremos l función:

20 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile : si π < x < f(x) = : si < x < π Su gráfico es del tipo Figur 9 Clrmente en este cso, f( + ) = f( ) = Definición.3.. Si notmos SC[, b] = {f : [, b] R f seccionlmente continu} y si f SC[, b] entonces l diferenci S(x ) = f(x + ) f(x ) mide l mgnitud del slto de f en x. Observción.3.3. () En el ejemplo.3., S() = () Tenemos l importnte equivlenci. En prticulr, C[, b] SC[, b] f C[, b] S(x ) = ( x ; x [, b]) Observción.3.4. () Es clro que SC[, b] es un espcio vectoril rel con ls operciones usules de sum y producto por un esclr pr funciones. Así que C[, b] es un subespcio de SC[, b]. () Si f SC[, b] entonces clrmente b f(x) dx existe. (3) Se n(x) = slvo en un número finito de puntos de [, b] entonces n SC[, b] Por ejemplo,

21 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile b Figur y = n(x) (4) Si n SC[, b] entonces n SC[, b], y si n es como encim entonces su gráfico es del tipo b Figur y = n (x) (5) Luego b n (x) dx =. L conclusión de esto es que el producto interno definido en (3), pr ls funciones continus no es un producto interno pr el espcio SC[, b]. Porque un función no nul tiene un cudrdo nulo. (6) Pr slvr l situción, podemos hcer lo siguiente: () Define pr f SC[, b] y g SC[, b] l siguiente relción: () f R g f difiere de g en un número finito de puntos (b) Observen que si () represent l función nul, es decir ()(x) = ( x; x [, b]) entonces () R n, donde n es l función que no es nul en un número finito de puntos. (c) R es un relción de equivlenci en f SC[, b]. En efecto (i) Como f f = () entonces f R f. Así que R es un relción reflexiv.

22 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile (ii) Si f R g entonces f g = () slvo en un número finito de puntos en [, b] entonces f R g f g = () slvo en un número finito de puntos = (f g) = () slvo en un número finito de puntos = g f = () slvo en un número finito de puntos = g R f Luego, R es un relción simétric. (iii) Supongmos que f R g y g R h entonces f R g f g = () slvo en un número finito de puntos g R h g h = () slvo en un número finito de puntos f g + g h = () slvo en un número finito de puntos f h = () slvo en un número finito de puntos = f R h Luego, R es un relción trnsitiv. Así que R es un relción de equivlenci Entonces tenemos el conjunto clse de equivlenci (3) f = {g SC[, b] f R g} Y el conjunto de clses de equivlenci (4) SC[, b] / R = { f f SC} (d) Supongmos que f R g y h R r entonces f R g f g = () slvo en un número finito de puntos h R r h r = () slvo en un número finito de puntos (f + h) (g + r) = (f g) + (h r) = () slvo en un número finito de puntos f + h R g + r Análogmente,

23 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 3 fh gr = fh gh + gh gr = h(f g) + g(h r) = h () + g () slvo en un número finito de puntos = () slvo en un número finito de puntos fh R gr Conclusión.3.5. (i) L sum f + g = f + g es bien definid en SC[, b] / R (ii) El producto f g = f g es bien definid en SC[, b] / R (iii) (C[, b] / R +, ) es un R espcio vectoril. (iv) Además; f,f = b f (x) dx = f R () f = () (7) De hor en delnte, cundo decimos f SC[, b] estmos pensndo en f C[, b] / R Ejemplo.3.6. : si π < x < Determinemos su representción en serie de l función: f(x) = : si < x < π Solución, () El gráfico de l función es el siguiente: Figur () f es un función impr, luego k = ( k) y b k = π sin(kx) dx. Luego.

24 4 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile b k = ( k ) π π cos kx = ( k ) π (cos(kπ) ) = ( ( ) k) kπ 4 si k impr kπ = si k pr Así que l representción en el sentido ntes dicho (en medi) es l siguiente: (5) f(x) = 4 π sin(k )x k (3) Gráficmente l situción es l siguiente: Si k = entonces Figur 3 Si k = entonces Figur 4 Si k = 3 entonces

25 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile Figur 5 Si k = 4 entonces Figur 6 Si k = 5 entonces Figur Ejercicios Propuestos de Series de Fourier. () Desrrolle en Serie de Fourier en el intervlo [, π]ls siguientes funciones: () f(x) = e x (b) f(x) = sinx (c) f(x) = cos x (d) f(x) = (π x)(π + x) { x + π : si π < x < (e) f(x) = x π ; si < x < π

26 6 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile (f) f(x) = { : si π < x x ; si x < π Además demuestre que: (g) f(x) = { : si π < x x ; si x < π Además demuestre que: π 6 = i i= π 8 = (k ).. Extensión Periódic.. Extensiones de Funciones Seccionlmente Continus Se f SC[, π], hst hor ceptmos que l función f es posible de representr en Serie de Fourier, es decir tenemos que f se escribe como (4) f(x) = + k cos(kx) + b k sin(kx) Como ls funciones trigonométrics senos y cosenos son periódics de periodo π entonces f(x + π) = + k cos(kx + π) + b k sin(kx + π) = + k cos(kx) + b k sin(kx) = f(x) Esto permite definir l extensión periódic de f todos los reles como sigue: Definición... F(x) = f(x + π) ( x; x R), se llmrá l extensión periódic de f. Ejemplo... Si F(x) = x + π entonces su gráfico es de l form:

27 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 7 Figur 8 F(x) = x + π.. Extensión Pr e Impr. Se y = f(x) f SC[, π]. Siguiendo l ide nterior podemos construir ls extensiones pres e impres de funciones. En efecto () Define l función P f como sigue: P f (x) = { f( x) : si π x f(x) : si x π Entonces P f ( x) = P f (x) es decir, P f es un función pr en [, π] P f se llm l extensión pr de l función f. Respecto de l representción en Serie de Fourier de P f tenemos que: P f (x) = + k cos kx Representción en serie de Cosenos de f. () Define l función I f como sigue: I f (x) = { f( x) : si π x f(x) : si x π Entonces I f ( x) = I f (x) es decir, P f es un función impr en [, π] I f se llm l extensión impr de l función f. Respecto de l representción en Serie de Fourier de I f tenemos que: P f (x) = b k sinkx Representción en serie de Senos de f.

28 8 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile Ejemplo... Si f(x) = x ; ( < x < π) entonces su gráfico es de l form: Figur 9 f(x) = x : ( < x < π) () Pr l extensión pr, tenemos que y = P f (x) tiene el gráfico: Figur 3 P f (x) = x : ( < x < π) En este cso, x = + k cos kx, donde k = π = π = 3 π x cos kx dx (k ) x cos kx dx k = ( ) k 4 k (k ) Así que, ( P f (x) = ) 3 π 4 ( ) k+cos kx k

29 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 9 Su representción es: ( ) Figur 3 P f (x) = 3 π 4 ( ) k+cos kx k ( ) Figur 3 P f (x) = 3 π 4 ( ) k+cos kx k Figur 33 P f (x) = 3 π 4 ( () Pr l extensión impr, tenemos que y = I f (x) tiene el gráfico: ) ( ) k+cos kx k

30 3 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile Figur 34 I f (x) = { x : ( < x < ) x : ( < x < π) En este cso, I f (x) = b k sinkx, donde b k = π = π x sinkx dx (k ) x sin kx dx Así que, b k = π k π k 8 πk 3 : si k pr : si k impr I f (x) = π Su representción es: ( ) k+sinkx 8 k π ( ) k+sin(k )x (k ) Figur 35 I f (x) = π ( ) k+sin kx 8 k π ( ) k+sin(k )x (k )

31 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 3 Figur 36 I f (x) = π ( ) k+sin kx 8 k π ( ) k+sin(k )x (k ) Figur 37 I f (x) = π ( ) k+sin kx 8 k π ( ) k+sin(k )x (k ) 3... Ejercicios Propuestos de Series de Fourier Pres e Impres. () Determine ls extensiones pres e impres (en el intervlo [, π]) de ls funciones en SC[, π]: () f(x) = 3 (b) f(x) = (x + π) (c) f(x) = + x (d) f(x) = x 3 () Desrrolle en serie de Fourier de Senos f(x) = cos x ( < x < π). Use este resultdo pr demostrr que π 6 = ( ) k+ k (4k ) 3. Cmbio de Intervlo 3.. Intervlos Simétricos respecto del origen. Se f SC[ p, p] (p > ) entonces

32 3 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile f SC[ p, p ] p x p p πx πp πx p π Si hcemos u = πx, entonces y = f(u) y f SC[, π], y pr l nuev vrible u tenemos p representción en Serie de fourier, es decir: f(u) = + k cos ku + b k sinku, k = f(u)cos ku du b k = π π donde f(u)sin ku du Por otr prte, en virtud del cmbio de Vrible, tenemos que se obtiene l relción: u = πx p = x = up π du = π p dx ( ) Aplicndo (*) en k y b k tenemos los siguientes vlores: k = p Así que: p p ( ) kπx f(x)cos p u = = x = p x = p dx (k ) b k = p p p ( ) kπx f(x)sin p dx (k ) f(x) = + ( ) ( ) kπx kπx k cos + b k sin p p ( en medi) 3.. Intervlos rbitrrios. Se f SC[, b] con ( b). Si p = b tenemos que entonces [, b] = [, + p] intervlo centrdo. Así que Donde, f(x) = + k cos ( ) kπx + b k sin b ( ) kπx b ( en medi)

33 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile 33 k = b b k = b +p +p p ( ) kπx f(x)cos b ( ) kπx f(x)sin p dx k = b dx b k = b b b ( ) kπx f(x)cos dx b (k ) ( ) kπx f(x)sin dx b (k ) Ejemplo 3... Se f(x) = x, con ( < x < ) entonces f SC(, ), En este cso como b = tenemos que k = b k = xcos(kπx) dx (k ) xsin(kπx) dx (k ) Integrndo por prtes, obtenemos; =, k = y b k =. Así que tenemos l representción en Serie de kπ Fourier. f(x) = π ( ) kπx sin k ( en medi) Su representción en lgunos csos es l siguiente: Figur 38 f(x) = π ( ) kπx sin k Figur 39 f(x) = π ( ) kπx sin k

34 34 Ricrdo Sntnder Bez Universidd de Sntigo de Chile Figur 4 f(x) = ( ) kπx sin π k 3... Ejercicios Propuestos de Series de Fourier en intervlos no simétricos. () Determine el desrrollo en serie de Fourier de l función f(x) = : si < x < x : si < x < : si < x < () Determine el desrrollo en serie de Fourier de l función f(x) = { x : si < x < x : si < x < 3 f(x) = : si < x < 3 4 x : si 3 < x < 4 x 4 : si 4 < x < 5 : si 5 < x < 6