Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier

Transcripción

1 Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier Dr. Miguel Angel Uh Zapata, Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida Facultad de Matemáticas, UADY Octubre 2015 Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 1/24

2 Contenido En esta lección el alumno conocerá las series y los coeficientes de Fourier y los usará en la resolución de ecuaciones diferenciales. Al final debemos de conocer: Teoremas de convergencia. Serie en senos, cosenos y completa. Diferenciación e integración término a término. Aproximación de una función por medio de sus serie de Fourier usando Maple. Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 2/24

3 Series de Fourier y condiciones iniciales Durante la solución de la ecuación de calor y la ecuación de onda con diversas condiciones de frontera nos hemos topado que las condiciones iniciales deben de satisfacer series infinitas de la forma donde f(x) = a (a k cos(kπx) + b k sen(kπx)). a k = b k = f(x) cos(kπx)dx, k = 0, 1, 2,... f(x) sen(kπx)dx, k = 1, 2, 3,... A estas series las llamamos Series de Fourier. Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 3/24

4 Definición: Funciones continuas a trozos Una función f es llamada continua a trozos en el intervalo [a, b] si esta es continua en todo el intervalo excepto en un número finito de puntos {x j } donde lím x x + f(x) y lím j x x f(x) existen. j Si asumimos que f una función continua a trozos definida en el intervalo [ 1, 1], entonces los coeficientes a k y b k de la serie de Fourier están bien definidos. Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 4/24

5 Suma infinita Sin embargo en este punto debemos de tener cuidado con la igualdad de la serie infinita f(x) = a (a k cos(kπx) + b k sen(kπx)). Esta significa que la sucesión de sumas parciales S N (f)(x) = a N (a k cos(kπx) + b k sen(kπx)) converge a f(x) cuando N. Como tenemos conocimiento de nuestros cursos de cálculo estas series no siempre convergen. De manera que debemos de estudiar que condiciones se necesitan para obtener esta convergencia y esta igualdad. Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 5/24

6 Definición: La serie de Fourier completa Definición Sea f una función continua a trozos definida en el intervalo [ 1, 1]. La serie infinita f(x) a (a k cos(kπx) + b k sen(kπx)) se refiere como la serie de Fourier completa de f, donde los coeficientes a k y b k están dados por a k = b k = f(x) cos(kπx)dx, k = 0, 1, 2,... f(x) sen(kπx)dx, k = 1, 2, 3,... El símbolo debe ser leido como tiene la serie de Fourier. Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 6/24

7 Extensiones a R Periodicidad Si g es una función p-periódica con período p entonces g(x + p) = g(x) Por otro lado, si g es una función definida sobre un intervalo de longitud p entonces este puede ser extendida de manera única a una función p periódica definida sobre todo R imponiendo la condición g(x + p) = g(x) Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 7/24

8 Extensiones a R OBSERVACIONES: Las funciones trigonométricas seno y coseno están definidas sobre todo R, entonces la suma parcial S N (f) también puede considerarse como una función definida sobre todo R. Desde que las funciones trigonométricas on 2π-periódicas, entonces las sumas parciales S N (f) son 2-periódicas. Por lo tanto, si S N (f) converge a f(x) sobre [ 1, 1], este convergerá a la extensión periódica de f sobre todo R. Entonces las series completas de Fourier pueden ser consideradas ya sea como una expansión de una función definida en [ 1, 1] o como una expansión de una función 2 periódica definida sobre todo R. Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 8/24

9 Funciones impares Ejemplos: x, sen(x) Propiedades: f( x) = f(x) 1 1 f(x)dx = 0 Extensión: Si f es una función definida en [0, 1], entonces f puede ser extendida a una función impar imponiendo la condición f( x) = f(x) Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 9/24

10 Funciones pares Ejemplos: x 2, cos(x) Propiedades: 1 1 f( x) = f(x) f(x)dx = f(x)dx Extensión: Si f es una función definida en [0, 1], entonces f puede ser extendida a una función impar imponiendo la condición f( x) = f(x) Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 10/24

11 Series de funciones impares y pares Lema Si f es una función impar definida en [ 1, 1], entonces f(x) b k sen(kπx) donde b k = 2 Lema 1 Si f es una función par definida en [ 1, 1], entonces f(x) a a k cos(kπx) donde a k = 2 0 f(x) sen(kπx)dx, k f(x) cos(kπx)dx, k 0 Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 11/24

12 La forma compleja La función exponecial compleja Las series de Fourier pueden ser escritas de forma más elegante y compacta introduciendo la función exponencial compleja. Entonces si y R entonces e iy = cos(y) + i sen(y) donde i = 1. Además es fácil ver que e iy = cos(y) i sen(y) De manera que obtenemos cos(y) = 1 ( e iy + e iy), sen(y) = 1 ( e iy e iy) 2 2i Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 12/24

13 La forma compleja La serie de Fourier completa Usando la representación compleja tenemos f(x) a ( a k e ikπx + e ikπx) 1 ( + b k e ikπx e ikπx) 2 2i y por lo tanto donde f(x) k= c k e ikπx y c k = 1 2 (a k ib k ), c 0 = a 0 2, c k = 1 2 (a k + ib k ), k > 0 c k = f(x)e ikπx dx Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 13/24

14 Cambiando la escala f definida en [ L, L] Otra pregunta muy obvia sería como definir nuestras series de Fourier para funciones definidas en intervalos diferentes a [ 1, 1]. Por ejemplo supongamos que f está definida en [ L, L] para L > 0. Simplemente re-escalamos el eje x. Definimos una nueva función f sobre [ 1, 1] por f(y) = f(yl) y usando la definición para f obtenemos f(y) a (a k cos(kπy) + b k sen(kπy)) Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 14/24

15 Cambiando la escala f definida en [ L, L] Entonces introduciendo x por y = x/l y f(x) = f(x/l) obtenemos Sea f una función continua a trozos definida en el intervalo [ L, L]. La serie infinita f(x) a ( ( ) ( )) kπx kπx a k cos + b k sen L L se refiere como la serie de Fourier completa de f, donde los coeficientes a k y b k están dados por a k = 1 L b k = 1 L L L L L ( ) kπx f(x) cos dx, k = 0, 1, 2,... L ( ) kπx f(x) sen dx, k = 1, 2, 3,... L Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 15/24

16 Ejemplos de desarrollo de series de Fourier Ejemplo 1 Consideremos f(x) = x para toda x [ 1, 1] Como es una función impar basta con calcular los coeficientes b k : b k = 1 1 f(x) sen(kπx)dx, k 1 = 1 kπ [x cos(kπx)] kπ = 2 kπ ( 1)k+1 Por lo tanto tenemos que x kπ ( 1)k+1 sen(kπx) f(x) cos(kπx)dx Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 16/24

17 Ejemplo 1 f(x) = x Si la serie de Fourier converge a x en el intervalo [ 1, 1], este converge a la extensión sobre todo R. x 2 kπ ( 1)k+1 sen(kπx) Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 17/24

18 Ejemplo 2 La función signo (salto) sign(x) = 1 x < 0, 0 x = 0, 1 x > 0. sign(x) π 4 1 2k 1 sen((2k 1)πx) Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 18/24

19 Ejemplo 3 El valor absoluto Considerar la siguiente función f(x) = x x π 2 ( ) 2 1 cos((2k 1)πx) 2k 1 Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 19/24

20 Diferenciación de las series de Fourier Término a término Una de las aplicaciones importantes de las series de Fourier es resolver ecuaciones diferenciales. En esas aplicaciones típicamente expresamos los coeficientes de las series de Fourier de f (x) por los términos de los coeficientes de f(x). Asumamos que f (x) es una función continua a trozos tal que y similarmente f (x) α (α k cos(kπx) + β k sen(kπx)) f(x) a (a k cos(kπx) + b k sen(kπx)) Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 20/24

21 Diferenciación de las series de Fourier Si pudiéramos derivar término a término tendríamos que α k = kπb k, y β k = kπa k Sin embargo en general estas identidades no siempre son ciertas. Por ejemplo consideremos f(x) = x. x kπ ( 1)k+1 sen(kπx) 2 kπ ( 1)k+1 cos(kπx) Pero la serie de Fourier de una constante es la misma, es decir 1 1 Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 21/24

22 Diferenciación de las series de Fourier El siguiente teorema proporciona un criterio para cuando los coeficientes de Fourier de f pueden ser determinados diferenciando término a término los coeficientes de la serie de Fourier de f. Teorema Asumamos que f es una función continua sobre [-1,1], f es una función continua a trozos y f( 1) = f(1). Si las series de Fourier están dadas por las expresiones anteriores, entonces α 0 = 0 y α k = kπb k, y β k = kπa k Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 22/24

23 Convergencia Diferentes nociones de convergencia Existen diferentes nociones de convergencia de secuencias de funciones. Entre estas podemos mencionar: Definición: convergencia uniforme La secuencia {f N } converge uniformemente a f en [a, b] si lím f N f = 0 N donde g = sup g(x) x [a,b] Definición: convergencia puntual La secuencia {f N } converge puntualmente a f en [a, b] si para todo x [a, b]. lím f N (x) = f(x) N Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 23/24

24 Convergencia Teorema Sea f una función definida sobre [ 1, 1] tal que su extensión 2-periódica es continua y diferenciable para todo x R. Entonces {S N (f)} converge puntualmente a f en [ 1, 1] y por lo tanto la extensión periódica de f sobre R. lím N f N (x) = f(x) para todo x [a, b]. Miguel Uh Lección: Ortogonalidad y Series de Fourier 24/24