Apellidos: Nombre: NIF:

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1 Universidad de Oviedo EPS de ingeniería de Gijón Dpto. Matemáticas Algebra Lineal 7/06/008 Segunda parte Apellidos: Nombre: NIF: Ejercicio 1 Sea f : R 3 R [x] una aplicación lineal definida en las bases B 1 = 1, 1, 1),, 1, 1), 1, 1, 0)} de R 3 y B = 1 + x + x, 1 + x + x, + x x } de R [x] por la matriz A = a) Calcula la matriz asociada a f en las bases canónicas b) Calcula la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones paramétricas del subespacio Imf) c) Calcula la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones paramétricas del subespacio kerf) d) Calcula, en caso de que exista f x + x, 1 + x + x e) Existe algún vector de R 3 cuya imagen sea 1 x? Razona tu respuesta. Solución: a) La matriz de cambio de base en R 3, considerando como base antigua la base canónica y como base nueva la base B 1 es: P = R 3 B 1 P R 3 B c X PX La matriz de cambio de base en R [x], considerando como base antigua la base canónica y como base nueva la base B es: Q = R [x] B Q R [x] Bc Y QY 1 1 Por lo que: R 3 B1 A R [x] B P Q R 3 Bc M R [x] Bc se tiene que la matriz pedida es M = QAP 1 y M =

2 b) Para calcular una base de la imagen, recordemos que un sistema generador es la imagen de una base cualquiera, es decir, 4, 6) 5, 7, 3) 3, 4, 1) Imf) =, 4, 6) B, 5, 7, 3) B, 3, 4, 1) B F 1/ 1,, 3) 5, 7, 3) 3, 4, 1) 1,, 3) 0, 1, 6) 0,, 8) 1,, 3) F 5F 1 0, 3, 18) F 3+3F 1 0,, 8) 1,, 3) F 3 F 0, 1, 6) 0, 0, 4) F / 3) por lo que le sistema es libre, y en consecuencia es una base de Imf), por lo tanto dim Imf)) = 3 = dim R [x]. Una base puede ser: B c = 1, x, x } No tiene ecuaciones implícitas, ya que si hubiese restricciones no tendría dimensión máxima. Unas paramétricas serían, dado un polinomio genérico px) = a + bx + cx : a = α b = β, α, β, δ R c = δ c) Por el teorema del rango, se tiene que 3 = dim R 3 ) = dim Imf)) + dim kerf)) dim kerf)) = 0 Por lo que no tiene base, y sus ecuaciones paramétricas, o implícitas son, dado un vector x, y, z) R 3 x = 0 y = 0 z = 0 d) f x + x, 1 + x + x = x 1, x, x 3 ) R 3 /fx 1, x, x 3 ) = α1 + x + x ) + β1 + x + x ), α, β R } Para poder aplicar la matriz A, debemos escribir los polinomios dados como combinación lineal de la base B : 1 + x + x = 1, 1, ) Bc = 1, 0, 0) B 1 + x + x = 1, 1, 1) Bc = 0, 1, 0) B Por lo que, para resolver este apartado, debemos resolver el sistema lineal siguiente: a b = α β c 0 0 para ello calculamos la matriz ampliada y su matriz escalonada reducida: 5 3 α β F F1 5 3 α 0 3 α + β F3+6F 5 3 α 0 3 α + β F F α α + 6β F 3/4 5 3 α 0 3 α + β α/4 + 3β/ 5 0 3α/4 + 9β/ α/6 + β/ α/4 + 3β/ F F3 F 1+3F 3 F1 5F 5 0 3α/4 + 9β/ α/ β α/4 + 3β/ α/1 + 7β/ α/6 + β/ α/4 + 3β/ F/ 3) F1/

3 Por lo tanto: f x + x, 1 + x + x = α/4 + 7β/ α/6 + β/ α/4 + 3β/ x 9 4 x, x + 3 x e) Sí, ya que la aplicación es suprayectiva, y todo elemento del conjunto final es imagen de algún elemento del inicial, en particular el polinomio dado. Ejercicio En la base B = e 1, e, e 3 } de R 3 se tiene la siguiente forma cuadrática q α x, y, z) = x + 4xy + αy xz + z a) Decir para qué valores de α es q α un cuadrado escalar. b) Eligiendo el menor α R para el que q α es un cuadrado escalar, calcular una base B 1 = v 1, v, v 3 } de vectores ortogonales de R 3 que diagonalice q α. c) Calcular la proyección ortogonal de w = v 1 + v sobre v, v 3. Solución: a) Utilizando el método de Gauss q α x, y, z) = x + 4xy + αy xz + z = x + xy xz ) + αy + z = = x + y z ) y z + αy ) + z = = x + y z ) y z + yz + αy + z = = x + y z ) + α )y + yz + z = α > } = x + y z ) + α ) y + ) α yz + z = = x + y z ) + α ) y + 1 ) α z 1 α z + z = = x + y z ) + α ) y + 1 ) α z 1 α z + z = = x + y z ) + α ) y + 1 ) α z + α 4 α ) z A la vista del resultado del método de Gauss, la forma cuadrática es un cuadrado escalar si α > 0 α 4 α ) > 0 α > α > 4 α > 4

4 En la base B = e 1, e, e 3 } la matriz asociada a la forma cuadrática es A = α b) El menor α N para el que q α es un cuadrado escalar es α = 5. Para este valor la forma cuadrática es q x, y, z) = x + y z ) + 3 y + 1 ) 3 z z y haciendo el cambio de variable X = x + y 1 z Y = y z Z = z x = X Y Z y = Y 1 3 Z z = Z queda q X, Y, Z) = X + 3Y Z Se cumple que x y z = X 3 Y Z, P = siendo P la matriz de cambio de base de la base B = e 1, e, e 3 } a la base B 1 = v 1, v, v 3 } de vectores ortogonales, en la que la matriz asociada es D = por tanto y D = P t AP v 1 = e 1 v = e 1 + e v 3 = 5 6 e e + e 3 c) La proyección ortogonal de w = v 1 + v sobre v, v 3 es p = α v + β v 3. Para calcularla se tiene en cuenta que w p v, v 3, es decir que w p) v = 0 w p) v 3 = 0 w v = p v w v 3 = p v 3 w v = α v + β v 3 ) v w v 3 = α v + β v 3 ) v 3 v = α v 0 = β v 3 α = 1 β = 0 p = v Ejercicio 3 Una granja avícola de Gijón cria pollos de tres tamaños: pequeño, mediano y grande a los que se alimenta con tres tipos de piensos sin dioxina. Cada pollo pequeño consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento y unidades del alimento 3. Cada pollo mediano consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del y 5 del 3. Para un pollo grande, el promedio semanal de consumo es unidades del alimento 1, 1 del y 5 del 3. Cada semana se proporcionan a la granja 5000 unidades del alimento 1, 0000 del y del 3. Si se supone que los pollos comen todo el alimento. Se quiere saber:

5 a) Qué relación hay entre el número de pollos pequeños, medianos y grandes que pueden coexistir en la granja? b) Podría haber una población de pollos grandes? Y una población de del mismo tamaño?. c) Cuál es la población máxima y mínima de pollos de cada tamaño?. De qué tamaño puede haber el mayor número de animales? d) Sin variar los hábitos alimenticios de los pollos, Existe algún modo de que el número de pollos de cada tamaño sea independiente del de los demás? e) Considerando el conjunto A formado por los vectores solución del sistema planteado, calcular una base de A. Todos los elementos de A pueden representar poblaciones de pollos de la granja?. Solución: a) Llamando x al número de pollos pequeño, y al número de pollos medianos y z al número de pollos grandes, se cumple 5000 = x + 3y + z 0000 = x + 4y + z = x + 5y + 5z que se resuelve por el método de Gauss F F1 F 3 F que proporciona un sistema equivalente que da una relación entre el número de pollos pequeños, medianos y grandes que pueden coexistir en la granja 5000 = x + 3y + z 5000 = y z x = z y = z 5000 b) Una población de 6000 pollos grandes equivale a hacer z = 6000, con lo que y = 1000 y x = 10000, es decir habría 1000 pollos medianos y pollos pequeños. Pero una población de 4000 pollos grandes no es posible porque para ello debería haber una población negativa de pollos medianos, lo que es imposible. c) La población máxima de pollos grandes es de 5000, lo que haría mínima nula) la población de pollos medianos y la población de pollos pequeños con ejemplares. El mayor número de animales corresponde a la población de pollos pequeños, con una población mínima de y una población máxima de que supondría una población nula de pollos grandes. d) No. Se trata de un sistema compatible indeterminado y la población de dos tamaños de pollos depende de la cantidad de pollos del tercer tamaño. e) El conjunto A de los vectores genéricos cuyas coordenadas son las poblaciones de pollos pequeños, medianos y grandes respectivamente relacionadas como se dijo en el primer apartado es A = x, y, z) / x = z, y = z 5000} No es un subespacio vectorial ya que el vector nulo no pertenece a A. El conjunto A es A = z, z 5000, z) / z R} = 40000, 5000, 0) + z 5, 1, 1) / z R}

6 El conjunto A es A = 40000, 5000, 0), 5, 1, 1) = α 40000, 5000, 0)+ β 5, 1, 1) / α, β R} y una base es 40000, 5000, 0), 5, 1, 1)} No todos los elementos de A pueden representar poblaciones de pollos de la granja, como se puede apreciar en las combinaciones lineales α 40000, 5000, 0)+ β 5, 1, 1) Por ejemplo, con β = 0 y α cualquiera no estaría representada una población de pollos, al igual que con α = 0 y β cualquiera.