14 Probabilidad. Qué tienes que saber? Actividades finales. Sugerencias didácticas. Soluciones de las actividades

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1 14 Probabilidad Qué tienes que saber? 14 QUÉ tienes que saber? ctividades Finales 14 Ten en cuenta Un experimento aleatorio es aquel que tiene un resultado que no se puede predecir. Los sucesos aleatorios de un experimento son las distintas situaciones que se pueden estudiar relacionadas con él. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral, E. Ten en cuenta La probabilidad de un suceso es un número que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir. Regla de Laplace. Si los sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso,, es el cociente del número de casos favorables a que ocurra por el número de casos posibles del experimento. Ten en cuenta Para cualquier suceso aleatorio,, se verifica que: 0 P() 1 P () = 1 P () Si B =, entonces: P( B) = P() + P(B) Si y B son dos sucesos aleatorios: P( B) = P() + P(B) P( B) Experimentos aleatorios. Sucesos l lanzar un dado octaédrico, se consideran los siguientes sucesos: = obtener un número mayor que B = obtener un múltiplo de C = obtener un número menor o igual que Describe el espacio muestral y los sucesos B C, B y B. El espacio muestral está formado por todas las puntuaciones que podemos obtener: E = {1,,, 4, 5,, 7, 8} Los sucesos son: = {, 4, 5,, 7, 8} B = {, } C = {1,, } El suceso unión de B y C consiste en obtener un múltiplo de o un número menor o igual que, es decir: B C = {1,,, }; es un suceso compuesto. B y C son compatibles. El suceso intersección de y B ocurre al obtener un número mayor que y múltiplo de, esto es: B = {, }, un suceso compuesto. La intersección del suceso contrario de y B consiste en obtener un número menor o igual que y múltiplo de. Como no hay ninguna puntuación del dado que cumpla ambas condiciones, obtenemos el suceso imposible: B =. y B son incompatibles. Regla de Laplace Si colocamos al azar las letras de la palabra EV, cuál es la probabilidad de que obtengamos la palabra VE? Para examinar los sucesos que forman el espacio muestral, podemos elaborar un diagrama de árbol con todos los casos que pueden darse. E V Dado que todos los sucesos elementales son equiprobables, podemos aplicar la regla de Laplace. V E Para calcular el número total de los casos posibles usamos E el factorial. El número de casos posibles es: V! = 1 = E V sí, la probabilidad es: E P(obtener VE) = 1 V Propiedades de la probabilidad En una bolsa se han colocado siete bolas numeradas. Las bolas con los números 1, y 4 son azules, y las demás son rojas. Considera los sucesos: = extraer una bola azul C = extraer una bola con un número par B = extraer una bola con un número mayor que 5 D = extraer una bola roja Calcula la probabilidad de, D, B y C. P() = P (D) = P () = 1 P () = = 4 7 B = P( B) = P() + P(B) = = 5 7 La bola con el número 4 es azul y tiene un número par, así que: C P( C) = P() + P(C) P( C) = = 5 7 Experimentos aleatorios. Sucesos Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios: a) El calentamiento de un litro de agua hasta alcanzar el punto de ebullición. b) El sorteo de la lotería de Navidad. c) La diferencia de presión entre dos puntos de una piscina llena de agua situados a 50 cm y 1,5 m de la superficie, respectivamente. d) La cantidad de tiempo que funcionan las bombillas de un cierto lote. Estefanía lanza cuatro monedas iguales al aire y anota los resultados. a) Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio. Cuántos sucesos elementales forman este espacio? b) Utiliza los sucesos elementales del espacio muestral para describir el suceso : obtener al menos dos caras. c) Qué sucesos elementales constituyen el suceso B: obtener dos caras y dos cruces? Se han colocado cuatro bolas azules numeradas en una urna y tres bolas rojas también numeradas en otra. Se realiza el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de cada urna y anotar el resultado. a) Copia en tu cuaderno y completa esta tabla para construir el espacio muestral. b) Qué sucesos elementales forman el suceso = obtener una pareja de bolas en la que al menos una tenga un? Y cuáles forman? Cuál es el mínimo número de cartas de la baraja española que debemos extraer, sin reemplazamiento, para que obtener al menos dos cartas del mismo palo sea un suceso seguro? Rodrigo lanza un dado octaédrico y anota el resultado. Expresa los siguientes sucesos de este experimento aleatorio utilizando sus sucesos elementales. a) = obtener un número par b) B = obtener un número múltiplo de 4 c) C = obtener un número divisor de d) D = obtener un número primo lan lanza cinco monedas iguales al aire y anota los resultados. Si considera los sucesos: = obtener más caras que cruces B = obtener 4 cruces y 1 cara C = obtener caras y cruces a) Cómo puede expresar los sucesos B y B? b) Puede asegurar que C es un suceso imposible? Un experimento aleatorio consiste en extraer una carta de una baraja española, considerando los siguientes sucesos. = sacar una carta de espadas B = sacar un as C = sacar una figura Describe estos sucesos. a) B c) B b) C d) C l medir a los alumnos de dos clases de.º de ESO, observamos que todos los resultados se encuentran entre 1,55 m y 1,75 m. Dados los sucesos. = tener una estatura superior a 1, m B = tener una estatura inferior a 1,7 m C = tener una estatura de entre 1, m y 1,7 m Describe las siguientes operaciones. a) B b) B C c) B C d) C En una urna hemos colocado 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se realiza un experimento aleatorio consistente en extraer una bola y anotar el número correspondiente, considerando estos sucesos. = obtener un número múltiplo de 11 B = obtener un cuadrado perfecto C = obtener un número mayor que D = obtener un cubo perfecto Describe en términos de los sucesos elementales del experimento las siguientes operaciones. a) g) C D b) B h) B C c) C i) B C d) D j) D e) C k) B f) C D l) C Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido al terminar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Distinguir los experimentos aleatorios de los deterministas y definir el espacio muestral asociado a un experimentos aleatorio. Efectuar la unión e intersección de sucesos y determinar qué sucesos elementales constituyen el contrario de un suceso dado. Emplear la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso aleatorio. plicar las propiedades de la probabilidad de sucesos. ctividades finales Soluciones de las actividades 4 Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios: a) El calentamiento de un litro de agua hasta alcanzar el punto de ebullición. b) El sorteo de la lotería de Navidad. c) La diferencia de presión entre dos puntos de una piscina llena de agua situados a 50 cm y 1,5 m de la superficie, respectivamente. d) La cantidad de tiempo que funcionan las bombillas de un cierto lote. Los sucesos b) y d) son aleatorios porque no podemos predecir su resultado, mientras que a) y c) no lo son, ya que se pueden determinar las magnitudes físicas para las condiciones dadas. 454

2 Probabilidad Estefanía lanza cuatro monedas iguales al aire y anota los resultados. a) Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio. Cuántos sucesos elementales forman este espacio? b) Utiliza los sucesos elementales del espacio muestral para describir el suceso : obtener al menos dos caras. c) Qué sucesos elementales constituyen el suceso B: obtener dos caras y dos cruces? a) E = {(C, C, C, C), (C, C, C, X), (C, C, X, C), (C, X, C, C), (X, C, C, C), (C, C, X, X), (C, X, C, X), (C, X, X, C), (X, C, C, X), (X, C, X, C), (X, X, C, C), (C, X, X, X), (X, C, X, X), (X, X, C, X), (X, X, X, C), (X, X, X, X)} El espacio muestral está formado por 1 sucesos. b) = {(C, C, C, C), (C, C, C, X), (C, C, X, C), (C, X, C, C), (X, C, C, C), (C, C, X, X), (C, X, C, X), (C, X, X, C), (X, C, C, X), (X, C, X, C), (X, X, C, C)} c) B = {(C, C, X, X), (C, X, C, X), (C, X, X, C), (X, C, C, X), (X, C, X, C), (X, X, C, C)} 48 Se han colocado cuatro bolas azules numeradas en una urna y tres bolas rojas también numeradas en otra. Se realiza el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de cada urna y anotar el resultado. a) Copia en tu cuaderno y completa esta tabla para construir el espacio muestral. b) Qué sucesos elementales forman el suceso = obtener una pareja de bolas en la que al menos una tenga un? Y cuáles forman? a) E = {(1, 1), (, 1), (, 1), (4, 1), (1, ), (, ), (, ), (4, ), (1, ), (, ), (, ), (4, )} b) = {(1, ), (, 1), (, ), (, ), (, ), (4, )} = {(1, 1), (1, ), (, 1), (, ), (4, 1), (4, )} 49 Cuál es el mínimo número de cartas de la baraja española que debemos extraer, sin reemplazamiento, para que obtener al menos dos cartas del mismo palo sea un suceso seguro? El mínimo número de cartas que debemos extraer es 5. Puesto que la extracción se realiza sin reemplazamiento, el resultado es el mismo que si sacáramos las cartas a la vez, y por tanto, las 5 cartas extraídas son distintas. Si sólo extraemos 4 puede que sean una de cada palo; sin embargo al haber 4 palos es seguro que al extraer 5 cartas distintas al menos dos de ellas son del mismo palo. 50 Rodrigo lanza un dado octaédrico y anota el resultado. Expresa los siguientes sucesos de este experimento aleatorio utilizando sus sucesos elementales. a) = obtener un número par c) C = obtener un número divisor de b) B = obtener un número múltiplo de 4 d) D = obtener un número primo a) = {, 4,, 8} b) B = {4, 8} c) C = {, } d) D = {,, 5, 7} 51 lan lanza cinco monedas iguales al aire y anota los resultados. Si considera los sucesos: = obtener más caras que cruces B = obtener 4 cruces y 1 cara C = obtener caras y cruces a) Cómo puede expresar los sucesos B y B? b) Puede asegurar que C es un suceso imposible? a) Si = obtener más cruces que caras, entonces: B = obtener o 5 cruces Si sucede B también sucede, luego B = b) C no es el suceso imposible; por ejemplo, el suceso elemental formado por 5 caras verifica que sucede pero no sucede C. 455

3 14 Probabilidad 5 Un experimento aleatorio consiste en extraer una carta de una baraja española, considerando los siguientes sucesos. = sacar una carta de espadas B = sacar un as C = sacar una figura Describe estos sucesos. a) B b) C c) B d) C a) B = sacar el as de espadas b) C = sacar la sota, el caballo o el rey de espadas c) B = sacar el as de oros, de copas o de bastos d) C = sacar la sota, el caballo o el rey de oros, la sota, el caballo o el rey de copas o la sota, el caballo o el rey de bastos 5 l medir a los alumnos de dos clases de.º de ESO, observamos que todos los resultados se encuentran entre 1,55 m y 1,75 m. Dados los sucesos. = tener una estatura superior a 1, m B = tener una estatura inferior a 1,7 m C = tener una estatura de entre 1, m y 1,7 m Describe las siguientes operaciones. a) B b) B C c) B C d) C a) B = C b) B C = tener una estatura de 1,7 m c) B C = C d) C = 54 En una urna hemos colocado 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se realiza un experimento aleatorio consistente en extraer una bola y anotar el número correspondiente, considerando estos sucesos. = obtener un número múltiplo de 11 B = obtener un cuadrado perfecto C = obtener un número mayor que D = obtener un cubo perfecto Describe en términos de los sucesos elementales del experimento las siguientes operaciones. a) e) C i) B C b) B f) C D j) D c) C g) C D k) B d) D h) B C l) C a) = {11,,, 44} b) B = {1, 4, 9, 1, 5,, 49} c) C = {1,,, 4, 5, } d) D = {1, 8, 7} e) C = f) C D = {8, 7} g) C D = {1} h) B C = {9, 1, 5,, 49} i) B C = {1, 4} j) D = k) B = {1, 4, 9, 11, 1,, 5,,, 44, 49} l) C = {7, 8, 9, 10, 1, 1, 14, 15, 1, 17, 18, 19, 0, 1,, 4, 5,, 7, 7, 9, 0, 1,, 4, 5,, 7, 8, 9, 40, 41, 4, 4, 45, 4, 47, 48, 49} 45

4 Probabilidad Probabilidad ctividades Finales 14 Regla de Laplace. Propiedades de la probabilidad 55 Calcula la probabilidad de obtener una puntuación inferior a 7 al hacer girar esta ruleta En una bolsa tenemos tres bolas de colores diferentes. Una de ellas es blanca. Cuál es la probabilidad de que, al sacar simultáneamente dos bolas de la bolsa, ninguna de ellas sea blanca? Un mago ha separado los cuatro ases de una baraja francesa y los ha colocado bocabajo sobre una mesa. Cuál es la probabilidad de que acierte cuál es cuál con las cuatro cartas? En el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda al aire tres veces, cuál es la probabilidad de que salgan exactamente dos caras seguidas? l matemático D lembert le preguntaron cuál era la probabilidad de obtener alguna cara al lanzar dos monedas al aire y su respuesta fue. Es correcta? 7 77 Una urna contiene el mismo número de bolas rojas que blancas. En otra urna hay el doble de bolas rojas que de bolas blancas. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola también al azar, cuál es la probabilidad de que sea roja? l introducir una canica en cada uno de los siguientes laberintos, esta puede seguir cualquiera de los caminos con la misma probabilidad. 8 8 Una bolsa contiene 1 bola blanca y bolas negras. Otra bolsa tiene bolas blancas y 1 bola negra. Si sacamos una bola de la primera bolsa al azar y la introducimos en la segunda, cuál es la probabilidad de que, al extraer una bola de esta última bolsa, sea blanca? La experiencia dice que, si en Barcilandia hace un día soleado, la probabilidad de que el día siguiente también lo sea es de cinco sextos, mientras que, si está nublado, la probabilidad de que el siguiente esté igualmente nublado es de dos tercios. Si un domingo hace un día soleado, cuál es la probabilidad de que el siguiente martes haga también sol? 5 Por qué? 5 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados al aire, cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 5? Y de que sea igual a 7? Y menor o igual que 8? 9 70 Cuál es la probabilidad de obtener un número impar de cruces al lanzar 5 veces una moneda equilibrada? Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un número de cinco cifras distintas formado por los dígitos 5,, 7, 8 y 9, sea par? Frecuencia y probabilidad Qué es más probable al lanzar dos dados: que la suma de las puntuaciones sea 9 o que valga 10? Cuál es la probabilidad de que, al lanzar tres monedas equilibradas, se obtengan dos caras y una cruz? Cuál es la probabilidad de que, al lanzar dos dados, el producto de las puntuaciones de ambos sea mayor o igual que 18? Un dado equilibrado se lanza dos veces consecutivas. Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 4? Dos personas eligen al azar un número del 1 al 9. Cuál es la probabilidad de que ambas hayan elegido el mismo número? Si colocamos al azar las letras de la palabra TLS, cuál es la probabilidad de que obtengamos la palabra SLT? Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cuatro cifras con los dígitos, 4, y 7, el resultado sea un múltiplo de 11? Dentro de un círculo de radio 1 se inscribe un triángulo equilátero. Cuál es la probabilidad de que, al elegir un punto en el interior del círculo, no esté situado dentro del triángulo? Un estudio estadístico ha puesto de manifiesto que el 7 % de los ciudadanos de un país lee el periódico, el 15 % prefiere el periódico B y un 8 % lee ambos. Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un ciudadano de este país, no sea lector de ninguno de los dos diarios? En un experimento aleatorio, razona si pueden existir dos sucesos, y B, tales que: P( B) = 1 y P ( B ) = Indica de forma razonada si es cierto que, si la probabilidad de que dos sucesos ocurran simultáneamente no supera 1, entonces la suma de sus probabilidades es menor o igual que. Dos sucesos, y B, son incompatibles de un mismo experimento aleatorio y verifican que: P () = y P(B) = 1 cuál es la probabilidad de B y B? Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas. Una conduce al recinto, en el que hay coches, de los que solo 4 tienen gasolina en el depósito. La otra puerta lleva al recinto B, en el que hay 4 coches, solo uno de los cuales tiene gasolina. Si el ladrón elige una puerta y un coche al azar, cuál es la probabilidad de que este le permita escapar? Halla, en forma de porcentaje, la probabilidad de que una canica salga por el canal en cada caso. Gema lleva dos monedas de y tres de 10 CENT. en el bolsillo derecho, mientras que en el izquierdo tiene una moneda de, otra de 0 CENT. y tres de 10 CENT. Si elige un bolsillo al azar y saca de él una moneda también al azar, qué probabilidad hay de que sea una de? En una galería hay expuestos 0 cuadros, de los cuales 1 son originales y 4 son reproducciones. Para contratar a un nuevo empleado, el dueño de la galería establece que un aspirante debe reconocer la autenticidad de un cuadro con una fiabilidad del 90 %. Cuál es la probabilidad de que, al elegir un cuadro al azar, un aspirante afirme que es original? De una bolsa que contiene 5 bolas negras y bolas blancas se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos bolas. Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea negra y la segunda sea blanca? Un experimento aleatorio consiste en extraer bolas de una urna que contiene bolas blancas y bolas negras. a) Si se extrae una bola, se anota su color y se devuelve a la urna, cuál es la probabilidad de que, al extraer una segunda bola, tenga distinto color que la primera? b) Si se extraen dos bolas a la vez, cuál es la probabilidad de que tengan colores diferentes? Coincide con la del apartado anterior? De los 500 niños a los que se les preguntó su tipo de helado preferido, 00 contestaron que el de chocolate, 150 el de fresa y el resto el de vainilla. a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos anteriores. b) Representa los datos en un diagrama de barras. c) Calcula la probabilidad de que, al elegir un niño al azar, su helado preferido sea el de fresa. En el siguiente diagrama de barras están representados los resultados obtenidos al lanzar un dado 4 veces y anotar las puntuaciones Puesto que el tiene una mayor frecuencia, se puede afirmar que el dado está trucado? Por qué? En un laboratorio se han tomado muestras de las cuales 00 fueron positivas, 50 negativas y 150 nulas. a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos. b) Representa los datos en un diagrama de sectores. c) Se toma una muestra. Cuál es la probabilidad de haber elegido una muestra negativa? Calcula la probabilidad de obtener una puntuación inferior a 7 al hacer girar esta ruleta. La probabilidad pedida es: 4 8 = 1 5 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados al aire, cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 5? Y de que sea igual a 7? Y menor o igual a 8? La probabilidad de que la suma sea 5 es: 4 = 1 9 La de que sea igual a 7 es: = 1 Y la de que sea menor o igual a 8 es: = Qué es más probable al lanzar dos dados: que la suma de las puntuaciones sea 9 o que valga 10? La probabilidad de que la suma sea 9 es: 4 = 1 y la de que sea 10 es: 9 = 1 1 Por tanto, es más probable que la suma sea Cuál es la probabilidad de que, al lanzar tres monedas equilibradas, se obtengan dos caras y una cruz? La probabilidad pedida es: 8 59 Cuál es la probabilidad de que, al lanzar dos dados, el producto de las puntuaciones de ambos sea mayor o igual que 18? La probabilidad pedida es: 10 =

5 14 Probabilidad 0 Un dado equilibrado se lanza dos veces consecutivas. Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 4? La probabilidad pedida es: 1 11 = 5 1 Dos personas eligen al azar un número del 1 al 9. Cuál es la probabilidad de que ambas hayan elegido el mismo número? La probabilidad pedida es: 9 81 = 1 9 Si colocamos al azar las letras de la palabra TLS, cuál es la probabilidad de que obtengamos la palabra SLT? El número de ordenaciones posibles de las letras de la palabra TLS es: 5! = 10 De estas posibilidades, como la palabra SLT tiene dos letras iguales, por tanto, hay dos ordenaciones con este resultado. Luego, la probabilidad pedida es: 10 = 1 0 Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cuatro cifras con los dígitos, 4, y 7, el resultado sea un múltiplo de 11? Con los dígitos, 4, y 7 se pueden escribir 4! = 4 números distintos. Un número es múltiplo de 11 si la diferencia de la suma de sus cifras en lugar par y de la de sus cifras en lugar impar es múltiplo de 11. Con los dígitos, 4, y 7, las únicas opciones son: + 7 = 4 + = 10, de modo que ( + 7) (4 + ) = 0. sí, los múltiplos de 11 son: 47, 74, 47, 47, 47, 74, 74 y 74 Luego, la probabilidad pedida es: 8 4 = 1 4 Dentro de un círculo de radio 1 se inscribe un triángulo equilátero. Cuál es la probabilidad de que, al elegir un punto en el interior del círculo, no esté situado dentro del triángulo? El área del círculo es: 1 = l inscribir el triángulo equilátero en el círculo de radio 1, como su centro coincide con el baricentro, la altura del triángulo mide 1,5. Si x es la medida del lado del triángulo, aplicando el teorema de Pitágoras: x = + x 4 x = 9 + x x = Como la medida del lado es un número positivo: x = Entonces el área del triángulo es: 1 = Luego la probabilidad de que un punto no esté dentro del triángulo es: 1 4 = 1 4 = 0,59 5 En una bolsa tenemos tres bolas de colores diferentes. Una de ellas es blanca. Cuál es la probabilidad de que, al sacar simultáneamente dos bolas de la bolsa, ninguna de ellas sea blanca? 4 La probabilidad pedida es: 1 = 1 Un mago ha separado los cuatro ases de una baraja francesa y los ha colocado bocabajo sobre una mesa. Cuál es la probabilidad de que acierte cuál es cuál con las cuatro cartas? La probabilidad pedida es: = En el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda al aire tres veces, cuál es la probabilidad de que salgan exactamente dos caras seguidas? La probabilidad pedida es: 8 = l matemático D lembert le preguntaron cuál era la probabilidad de obtener alguna cara al lanzar dos monedas al aire y su respuesta fue. Es correcta? Por qué? 458

6 Probabilidad 14 La respuesta de D lembert es incorrecta, ya que consideró que el espacio solo lo forman tres sucesos equiprobables: que no se obtengan caras, que se obtenga una cara y que se obtengan dos caras, pero realmente el espacio muestral de este experimento aleatorio está formado por cuatro sucesos: E = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} y la probabilidad de obtener alguna cara es 4. 9 Cuál es la probabilidad de obtener un número impar de cruces al lanzar 5 veces una moneda equilibrada? La probabilidad pedida es: 1 70 Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un número de cinco cifras distintas formado por los dígitos 5,, 7, 8 y 9, sea par? El total de los números de cinco cifras distintas es: 5! =10. Los números pares son los que acaban en o en 8: 4! + 4! = 48 Luego la probabilidad pedida es: = 5 71 Un estudio estadístico ha puesto de manifiesto que el 7 % de los ciudadanos de un país lee el periódico, el 15 % prefiere el periódico B y un 8 % lee ambos. Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un ciudadano de este país, no sea lector de ninguno de los dos diarios? = leer el periódico B = leer el periódico B P ( B ) = P ( B) = 1 P( B) = 1( P ( ) + P (B) P ( B) ) = 1 (0,7 + 0,15 0,08) = 0, 7 En un experimento aleatorio, razona si pueden existir dos sucesos, y B, tales que: P ( B) = 1 y P ( B ) = P ( ) = P( ( B) ( B )) = P( B)+ P( B ) = 1 + = 7 > 1 No pueden existir dos sucesos en estas condiciones porque la probabilidad de cualquier suceso es menor o igual que 1. 7 Indica de forma razonada si es cierto que, si la probabilidad de que dos sucesos ocurran simultáneamente no supera 1, entonces la suma de sus probabilidades es menor o igual que. Si P ( B) 1, y como P( B) 1 por ser B un suceso del experimento aleatorio, se verifica que: P ( B) = P ( ) + P (B) P ( B) P ( ) + P (B) = P ( B) + P ( B) 1+ 1 = Luego es cierto que la suma de las probabilidades de ambos sucesos es menor o igual que. 74 Dos sucesos, y B, son incompatibles de un mismo experimento aleatorio y verifican que: P ( ) = y P( B) = 1 cuál es la probabilidad de B y B? Si y B son incompatibles: P( B) = 0 Si P ( ) = P( ) = 1 = 1 Entonces: P ( B) = P ( ) + P (B) = = 5 Como B y B son también sucesos incompatibles: P( ( B) ( B) ) = 0 Luego: P( ( B) ( B) ) = P( B)+ P ( B) = 0 + P ( B) P ( B) = P ( B ) = 1 459

7 14 Probabilidad 75 Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas. Una conduce al recinto, en el que hay coches, de los que solo 4 tienen gasolina en el depósito. La otra puerta lleva al recinto B, en el que hay 4 coches, solo uno de los cuales tiene gasolina. Si el ladrón elige una puerta y un coche al azar, cuál es la probabilidad de que este le permita escapar? = elegir una puerta y un coche que permita escapar P ( ) = = Una urna contiene el mismo número de bolas rojas que blancas. En otra urna hay el doble de bolas rojas que de bolas blancas. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola también al azar, cuál es la probabilidad de que sea roja? R = extraer una bola roja P (R) = = l introducir una canica en cada uno de los siguientes laberintos, esta puede seguir cualquiera de los caminos con la misma probabilidad. Halla, en forma de porcentaje, la probabilidad de que una canica salga por el canal en cada caso. = la canica sale por el canal En el primer laberinto: P ( ) = = 1 = 50 % En el segundo: P ( ) = = 4 = 75 % 78 Gema lleva dos monedas de y tres de 10 CENT. en el bolsillo derecho, mientras que en el izquierdo tiene una moneda de, otra de 0 CENT. y tres de 10 CENT. Si elige un bolsillo al azar y saca de él una moneda también al azar, qué probabilidad hay de que sea una de? D = extraer una moneda de P (D) = = En una galería hay expuestos 0 cuadros, de los cuales 1 son originales y 4 son reproducciones. Para contratar a un nuevo empleado, el dueño de la galería establece que un aspirante debe reconocer la autenticidad de un cuadro con una fiabilidad del 90 %. Cuál es la probabilidad de que, al elegir un cuadro al azar, un aspirante afirme que es original? = afirmar que el cuadro elegido es original P ( ) = = De una bolsa que contiene 5 bolas negras y bolas blancas se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos bolas. Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea negra y la segunda sea blanca? N 1 = extraer una bola negra en primer lugar B = extraer una bola blanca en segundo lugar P (N 1 B ) = = Un experimento aleatorio consiste en extraer bolas de una urna que contiene bolas blancas y bolas negras. a) Si se extrae una bola, se anota su color y se devuelve a la urna, cuál es la probabilidad de que, al extraer una segunda bola, tenga distinto color que la primera? b) Si se extraen dos bolas a la vez, cuál es la probabilidad de que tengan colores diferentes? Coincide con la del apartado anterior? N 1 = extraer una bola negra en primer lugar N = extraer una bola negra en segundo lugar B 1 = extraer una bola blanca en primer lugar B = extraer una bola blanca en segundo lugar a) P (N 1 B ) + P (B 1 N ) = = 1 b) P (N 1 B ) + P (B 1 N ) = = El resultado es distinto porque si se extraen dos bolas a la vez el experimento coincide con una extracción sin reemplazamiento, en la que la segunda bola tiene una probabilidad diferente a la primera. 40

8 Probabilidad 14 8 Una bolsa contiene 1 bola blanca y bolas negras. Otra bolsa tiene bolas blancas y 1 bola negra. Si sacamos una bola de la primera bolsa al azar y la introducimos en la segunda, cuál es la probabilidad de que, al extraer una bola de esta última bolsa, sea blanca? N 1 = extraer una bola negra de la primera bolsa B 1 = extraer una bola blanca de la primera bolsa B = extraer una bola blanca de la segunda bolsa P (N 1 B ) + P (B 1 B ) = = La experiencia dice que, si en Barcilandia hace un día soleado, la probabilidad de que el día siguiente también lo sea es de cinco sextos, mientras que, si está nublado, la probabilidad de que el siguiente esté igualmente nublado es de dos tercios. Si un domingo hace un día soleado, cuál es la probabilidad de que el siguiente martes haga también sol? S 1 = tener un lunes soleado S = tener un martes soleado N 1 = tener un lunes nublado P ( S 1 S ) + P (N 1 S ) = = 4 84 De los 500 niños a los que se les preguntó su tipo de helado preferido, 00 contestaron que el de chocolate, 150 el de fresa y el resto el de vainilla. a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos anteriores. b) Representa los datos en un diagrama de barras. c) Calcula la probabilidad de que, al elegir un niño al azar, su helado preferido sea el de fresa. a) f i b) f i c) F = elegir un niño que prefiera fresa Chocolate P (F ) = = Fresa Vainilla 50 Choc. Fre. Vain. Tipo de helado 85 En el siguiente diagrama de barras están representados los resultados obtenidos al lanzar un dado 4 veces y anotar las puntua- 7 ciones. 5 Puesto que el tiene una mayor frecuencia, se puede afirmar 4 que el dado está trucado? Por qué? No se puede afirmar, a la vista exclusivamente de los datos recogidos, que el dado está trucado, porque el número de veces que se ha repetido el experimento es muy pequeño. En tales casos, la frecuencia relativa y la probabilidad no permiten obtener conclusiones En un laboratorio se han tomado 1000 muestras de las cuales 00 fueron positivas, 50 negativas y 150 nulas. a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos. b) Representa los datos en un diagrama de sectores. c) Se toma una muestra. Cuál es la probabilidad de haber elegido una muestra negativa? a) f i b) 150 c) N = elegir una muestra negativa Positivas 00 Positivas Negativas Negativas 00 Nulas P (N ) = = 1 4 Nulas