TEMA 5 VARIABLE ALEATORIA. 5.1 Concepto de variable aleatoria. Función de distribución

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1 TEMA 5 VARIABLE ALEATORIA 5. Concepto de variable aleatoria. Función de distribución En muchas ocasiones vamos a estar interesados en alguna característica medible ligada a un eperimento aleatorio, como el número de puntos que se obtienen al lanzar dos veces un dado con las caras numeradas del uno al seis, o el peso de un paquete de un alimento precocinado elaborado mediante un determinado proceso de fabricación, o el número de automóviles que llegan en un periodo de minutos a una estación de servicio, o el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda. En todas estas situaciones los sucesos ligados a estas características se pueden representar mediante conjuntos de números reales. El concepto de variable aleatoria permite estudiar estas situaciones y desarrollar el modelo matemático de los eperimentos aleatorios utilizando resultados de las funciones numéricas. 5.. Concepto de variable aleatoria Consideramos un eperimento aleatorio con espacio de probabilidad (Ω, A, ). Una variable aleatoria asociada al eperimento aleatorio es una función que a cada suceso elemental le hace corresponder un número real y que permite definir un nuevo espacio de probabilidad cuyo espacio muestral es el conjunto de los números reales, R, y mantiene la estructura de la probabilidad definida por. ara ello hay que considerar una familia de subconjuntos de R que representen los sucesos y que tenga la misma estructura de A. Esta familia se llama campo de Borel, lo notamos por B, y tiene por elementos los intervalos de números reales de todo tipo, los conjuntos formados por un número finito o infinito numerable de números reales y las uniones e intersecciones de todos ellos. Definición: Sea (Ω, A, ) el espacio de probabilidad de un eperimento aleatorio. Una variable aleatoria definida sobre este espacio de probabilidad es una función, que notamos, que verifica: ω Ω ( ω) R y B B ( B ) A La variable aleatoria permite trasladar la estructura de la probabilidad definida por, porque se puede definir una función, que notamos, que se demuestra que es una función de probabilidad y que se le llama función de probabilidad inducida por la variable aleatoria o distribución de probabilidad de. La forma de definir es: B B ( B) ( ( B) ) odemos concluir que al definir una variable aleatoria se obtiene un nuevo espacio de probabilidad cuyo espacio muestral es el conjunto de los números reales, la familia de sucesos es el campo de Borel y la función de probabilidad es.

2 Ejemplo : Se considera la variable aleatoria : número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda. Sea C el suceso se obtiene cara al lanzar una moneda, entonces el espacio muestral del eperimento aleatorio tiene ocho sucesos elementales, y en el gráfico vemos los valores que la variable aleatoria le hace corresponder a cada suceso elemental. Obtenemos ( C, C, C ) ( C, C, C) ( C, C, C ) ( C, C, C ) ( C, C, C) ( C, C, C) ( C, C, C ) ( C, C, C) Ω R ({ }) { } ( C, C, C ) ({ }) { } ( C, C, C) U ( C, C, C ) U ( C, C, C ) ({ }) { } ( C, C, C) U ( C, C, C) U ( C, C, C) ({ }) { } ( ( C, C, C) ) ( (,] ) { } ( C, C, C ) U ( C, C, C) U ( C, C, C ) U ( C, C, C ) ( (,] ) { < } ( C, C, C) U ( C, C, C) U ( C, C, C ) U ( C, C, C) ) ( (, +) ) { > } { } 5.. Función de distribución de una variable aleatoria Definición: Sea una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, ) y sea (R, B, ) el espacio de probabilidad inducido por. F( (, ) { } R Se considera la función: ( ] Esta función, determinada por, se llama función de distribución de la variable aleatoria. ropiedades Se pueden demostrar las siguientes propiedades: ) F es una función monótona no decreciente, es decir, dados dos números reales y se verifica < F( F( ) F es continua por la derecha en todo punto, es decir, lim F( F( ) + R ) F puede ser discontinua por la izquierda ya que se verifica para cualquier número real, { } F( ) lim F( )

3 ) lim F( ; lim F ( ) + 5) El conjunto de puntos de discontinuidad de F es finito o infinito numerable. 6) La función de distribución determina la distribución de probabilidad de En efecto, ya que si se conoce la función F se puede determinar: a. a R { a} F(aa ) (utilizamos la definición de F ) b. a R { a} F ( a) lim F ( (utilizamos la propiedad ) a c. a, b R, si a < b {a < b} F( b) F( a). Esta igualdad se obtiene si consideramos que { b} { a} + {a < b}, por tanto { a < b} { b} { a} F( b) F( a) d. a, b R, si a < b {a b} { a} + { a < b} { a} + F( b) F( a) De forma análoga se puede determinar a < < b} y { a < b { } Ejemplo : Estudia la distribución dee probabilidad de la variable aleatoria cuya función de distribución es: < F( ; < F(,; < F(,; < F(,7; < F(,9; F( Esta función es continua ecepto para,,,, que presenta discontinuidad por la izquierda. Utilizando la propiedad 6b., deducimos que { }, { },,, { },7,, { },9,7, { },9, ara cualquier otro valor a,, la probabilidad es igual a cero También podemos calcular probabilidades de otros sucesos, por ejemplo: { } F,7 ; { > } { } { } 6 F,,6 ; < F F, Ejemplo : Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria cuya función de distribución es: < F( ; < F( ; F(

4 { < } F F { < 5} F( 5) F ; ; Esta función es continua en todos los números reales. Utilizando la propiedad 6b., deducimos que a R { a} F( a) lim F( F a F a a Sin embargo { < } F F( ) { < } F F {,5 <,5} F(,5) F(,5) { < } F F,5,,5 Ejemplo : : Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria cuya función de distribución es: < F( ; < F( ; F( 6 { < } F F { < 5} F( 5) F 5 6 ; ; Esta función es continua en todos los números reales. Utilizando la propiedad 6b. deducimos que a R { a} F( a) lim F( F a F a a Sin embargo { < } F F( ) 6 { < } F F { < } F F 6 6 {,5 <,5} F(,5) F(,5) 6,5, Ejemplo 5: : Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria cuya función de distribución es:,5 < F( ; F( e Esta función es continua en todos los números reales. Utilizando la propiedad 6b. deducimos a R { a} F( a) lim F( F a F a a Sin embargo e,5 { < } F F( ) { < } F F, 95, ,7769,7

5 { < } F F { < 5} F( 5) F, 999,99,95,7,99,9 ; ; { < } F F { 5 < 6} F( 6) F( 5),9975,99,6 ), Ejemplo 6: : Estudia la distribución de probabilidad de la variable aleatoria cuya función de distribución es: < F( ; < F( ; < F( ; F ( { < } F F { < 5} F( 5) F ; ; Esta función es continua ecepto para que presenta discontinuidad por la izquierda. Utilizando la propiedad 6b. deducimos { } F() lim F( { < } F F( ) { < } F F { < } F F {,5 <,5} F(,5) F(,5),5,5,5 En este gráfico se representa la función de distribución de una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor real. Ejercicio : La duración, en minutos, de las llamadas a móviles que realizan los empleados de la empresa EE, es una variable aleatoria con función de distribución F( ; F( m + n ' ( e ) > a) Determina razonadamente los valores de m y n utilizando las propiedades de la función de distribución. b) Determina la probabilidad de que una llamada dure más de minutos. c) Cuánto tiempo duran como máimo el 95% de las llamadas de menor duración? Razona la respuesta. 5

6 5. Distribuciones discretas y continuas 5.. Distribuciones de probabilidad discretas Sea una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, ) y sea (R, B, ) el espacio de probabilidad inducido por. Se dice que y su distribución de probabilidad son discretas o de tipo discreto si su función de distribución es constante por intervalos. Si D {, K i K} es el conjunto de los puntos de discontinuidad de F entonces D tiene un número finito o infinito numerable de elementos (propiedad 5 de la función de distribución) Si i es un elemento de D entonces { i } F( i ) lim F ( (propiedad de la función de i distribución) y si { i } pi entonces { i } pi Al conjunto variable con probabilidad distinta de cero. i i D se le llama soporte de la variable aleatoria ya que es el conjunto de valores que toma la Además se demuestra que si B es un elemento del campo de Borel, entonces Se puede definir una función, que notamos m (, llamada función masa de probabilidad de la variable aleatoria como { B} { }, K i k,los valores de la función masa de probabilidad que son distintos de cero se suelen escribir en una tabla Si el soporte de la variable aleatoria es finito, D { K } m( { m( i BI } i D L i L k p m ( p p L p i L p k i i () si D i si D La función masa de probabilidad determina la distribución de probabilidad de ya que, conocida m ( se puede determinar la función de distribución y la probabilidad de cualquier suceso, utilizando la igualdad (). 6

7 Ejercicio : La empresa EE vende baldosas en paquetes de unidades. Se ha determinado que el número de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria con función masa de probabilidad m (,,5,5 p, a) Calcula la probabilidad de que un paquete contenga más de una baldosa defectuosa b) Si al abrir un paquete la primera baldosa que aparece es defectuosa, determina razonadamente la probabilidad de que en ese paquete haya como máimo baldosas defectuosas. c) Determina y representa la función de distribución de la variable aleatoria. Ejercicio : Una panadería ha establecido que la demanda diaria del número de piezas de pan elaborado con aceite es una variable aleatoria con función masa de probabilidad 5 6 m,,,5,5,,6, a) Calcula la probabilidad de que la demanda en un día sea de al menos tres piezas de pan de este tipo. b) Si hasta las doce horas la demanda ha sido de una pieza de pan, determina la probabilidad de que la demanda en ese día sea de al menos tres piezas. c) Si al comienzo del día la panadería dispone de cuatro piezas de pan de este tipo, determina la distribución de probabilidad del número de piezas que no se han vendido al finalizar el día. d) Si el coste de cada pieza de pan de este tipo es de,5 euros, el precio de venta es de,5 euros y las piezas no vendidas se tiran, determina la distribución de probabilidad del beneficio de la panadería si al comienzo del día dispone de cuatro piezas de este tipo. Ejercicio : Una pequeña empresa de tais dispone de dos vehículos. A lo largo de un mes cada tai recibe multas de tráfico con probabilidad,5, multa de tráfico con probabilidad, ó multas de tráfico con probabilidad,. a) Determina razonadamente la distribución de probabilidad del número de multas de tráfico que recibe la empresa en un mes. b) Calcula la probabilidad de que la empresa reciba en un mes más de dos multas de tráfico. c) Cuál es el número más probable de multas de tráfico que recibirá la empresa el próimo mes? d) Si el primer día de un mes le han puesto una multa a uno de los tais, determina razonadamente la probabilidad de que en ese mes la empresa no reciba más de tres multas de tráfico. Ejercicio 5: En el trayecto de un estudiante a la Universidad hay tres semáforos. En la tabla se recoge la probabilidad de encontrar un número determinado de semáforos en rojo Nº de semáforos en rojo robabilidad,,6,,6 a) Calcula la probabilidad de que el estudiante tenga que pararse como máimo en un semáforo. b) Si el estudiante ha tenido que parar en dos semáforos, calcula la probabilidad de que el tercero también esté en rojo. c) Si el estudiante tarda minutos en recorrer el trayecto hasta la Universidad cuando no debe pararse y cada semáforo en rojo le retiene,5 minutos, determina razonadamente la distribución de probabilidad del tiempo que tarda el estudiante en recorrer este trayecto. 7

8 5.. Distribuciones de probabilidad continuas Sea una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, ) y sea (R, B, ) el espacio de probabilidad inducido por. Se dice que y su distribución de probabilidad son continuas o de tipo continuo si su función de distribución se puede epresar: La función ( R F ( f ( t) dt f se llama función de densidad y cumple las condiciones. f ( es una función no negativa. f ( es continua en R ecepto a lo sumo en un conjunto tal que todo intervalo finito contiene un número finito de elementos de dicho conjunto.. f ( d. El conjunto C { / f ( > } se llama soporte de la variable aleatoria porque es el conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria. Se pueden demostrar las siguientes propiedades:. F ( es continua en R. Si es un punto de continuidad de la función de densidad, entonces la función de distribución es derivable en dicho punto y se verifica que F ( ) f ( ). Estas propiedades nos permiten afirmar que: ** a R { a} por ser F ( continua en R (propiedad 6b. de la función de distribución) a ** a R { < a} { a} F( a) f ( d ** a, b R si a < b { a < < b} { a < b} { a b} { a < b} b { a < b} F( b) F( a) f ( d f ( d f ( d + f ( d f ( d a a b a a b a f ( d f( b a f ( ) d { a < b} a b

9 Ejemplo 7: Determina la función de densidad de la variable aleatoria cuya función de distribución es: Solución: Calculamos la derivada de F ( < F( ; < F( ; F( 6 < F 6 En ( ; < < F ( ; > F la derivada por la izquierda y por la derecha coinciden y por tanto F la derivada por la izquierda y por la derecha no coinciden y por tanto F( En punto. En este caso a la función de densidad en este punto se le asigna un valor no negativo. La epresión de la función de densidad es: f ( ; f ( en otro caso no es derivable en este Ejercicio 6: La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Suponga que las ventas semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria con función de distribución: F ( ; F( m + n < ; F( > a) Determina razonadamente los valores m y n utilizando las propiedades de la función de distribución. b) Eplica entre qué valores oscilan las ventas semanales de tomates de la cooperativa CC. c) Eplica si es una variable discreta o continua y determina su función de masa o de densidad. d) Determina la probabilidad de que las ventas en una semana no superen los 5. euros. e) Si el lunes la cooperativa ha tenido unas ventas de. euros, determina la probabilidad de que las ventas de esa semana sean como mínimo de 6. euros. f) Si el beneficio de la cooperativa asciende al % de las ventas, determina la probabilidad de que en una semana la cooperativa obtenga un beneficio de al menos. euros por la venta de tomates. g) Determina la distribución de probabilidad del beneficio semanal de la cooperativa por la venta de tomates Ejercicio 7: La duración, en miles de horas, de las bombillas de la marca BB es una variable aleatoria con función de densidad:, f ( ; f (,e > a) Determina la función de distribución de b) Calcula la probabilidad de que una bombilla de esa marca dure horas o menos. c) Calcula la probabilidad de que una bombilla de esa marca dure más de horas. d) Si una bombilla de esa marca lleva encendida horas, determina la probabilidad de que dure más de horas. e) Si el coste de fabricación de cada bombilla es de euros y el precio de venta es de 5 euros pero se le garantiza al cliente el reembolso total si la bombilla dura menos de horas, determina la distribución de probabilidad del beneficio que obtiene el fabricante por cada bombilla. 9

10 5. Características de la distribución de una variable aleatoria 5.. Esperanza matemática Definición: Sea una variable aleatoria, m( la función masa de probabilidad, si la variable es discreta, y f ( la función de densidad si es continua. Se define el valor esperado, media o esperanza matemática de la variable aleatoria y lo vamos a notar E [ ], como el valor real, si es que eiste, que se obtiene: a) b) es v. a. discreta es v. a. continua E E [ ] m( si m( < [ ] f ( d si f ( d < D D De la definición se deduce:. Si es una v.a. discreta con soporte finito ( D { L }) entonces [ ] eiste ya que se cumple la condición (), y E[ ] m( i { i}, L D i Ejemplo : Calcula el número medio de baldosas por paquete (ejercicio ) ara calcular E [ ] m( Obtenemos que [ ] i k k E siempre k i D Total m,,5,5,5, m,5,,5, E, el número medio de baldosas por paquete es dos.. Si es una v.a. acotada siempre eiste E [ ] es una v. a. acotada significa que M permite afirmar que se cumple () ó () ya que a) b) m( M m( M m( D D D f ( d M f ( d M f ( y por tanto eiste E[ ] p, siendo M un número real positivo, y esta condición M d M Ejemplo 9: Sea una v.a. con función de densidad f ; f Como es una v. a. acotada pues en otro caso, podemos afirmar que eiste [ ] E y su valor es i i

11 E 6 [ ] f ( d d. Si toma sólo valores positivos, entonces la convergencia en valor absoluto coincide con la convergencia de la serie o la integral y por tanto eiste E [ ] si la serie o la integral son convergentes. Ejemplo : Sea una v.a. con función de densidad: f ( ; f ( e > Como sólo toma valores positivos, para calcular E [ ] sólo tenemos que determinar E [ ] f ( d e d Definición: Sea una variable aleatoria, m( la función masa de probabilidad, si la variable es discreta, y f ( la función de densidad si es continua. Si g ( ) es una variable aleatoria función de la variable aleatoria (se demuestra que si la función real de variable real, g, es continua o monótona entonces g ( ) es una variable aleatoria), entonces se define E [ g( )], la esperanza matemática de ( ) g, como el valor real, si es que eiste, que se obtiene a) b) es v. a. discreta es v. a. continua E [ g( )] g( m( si g( m( E [ g( )] g( f ( d si g( f ( D D < d < 5... ropiedades de la esperanza matemática Enunciamos algunas de las propiedades de la esperanza matemática. Si es una variable aleatoria tal que { c}, entonces E [ ] E[ c] c.. Si es una variable aleatoria y g( ) es una variable aleatoria no negativa, entonces si eiste g E g E [ ] se verifica que [ ]. Si g( ) es una variable aleatoria función de la variable aleatoria y a es un número real, entonces g E a g y se verifica si eiste E [ ] también eiste [ ] E[ a g( )] a E[ g( )]. Si y a a son dos números reales y g ( ) y g( ) variable aleatoria entonces si eiste E[ g ( )] y E[ g( )] [ a g ( ) + a g ( )] y se verifica E son dos variables aleatorias función de la [ a g ( ) + a g ( )] a E[ g ( )] + a E[ g ( )] E también eiste

12 5.. Momentos de una distribución de probabilidad Vamos a considerar dos tipos de momentos, los momentos no centrales y los momentos centrales o respecto a la media Momentos no centrales Sea una variable aleatoria y r un número entero positivo, se define el momento no central de orden r de la distribución de probabilidad de, que notamos α r, como la esperanza matemática, si es que eiste, de r. or lo tanto: α E ; α E α E K [ ] [ ] [ ] K ; Se puede demostrar que si eiste inferior a él Momentos centrales α r para un valor fijo de r, entonces eisten todos los momentos de orden Sea una variable aleatoria, α su media y r un número entero positivo. Se define el momento central de orden r de la distribución de probabilidad de, que notamos que eiste, de ( α) r. or lo tanto: [ α ] µ E ( α ) E ; µ r, como la esperanza matemática, si es [ ] µ E[ ] KK µ ; α El momento central de orden dos recibe el nombre de varianza de la distribución de probabilidad de y µ V. σ utilizaremos la notación La raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación típica (utilizaremos la notación µ σ ) y es una medida de dispersión de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Los momentos centrales se pueden obtener a partir de los momentos no centrales, ya que si tenemos en cuenta las propiedades de la esperanza matemática y suponemos que eisten los correspondientes momentos no centrales, se verifican las siguientes igualdades: [ α ] E[ ] E α µ [( α ) ] E[ α + α ] E[ ] α E[ ] + α α α + α α α E µ [( α ) ] E[ α + α α ] E[ ] α E[ ] + α E[ ] µ E α α α + α α α α α + α α

13 Ejemplo : La empresa EE vende baldosas en paquetes de unidades. Se ha determinado que el número de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria con función masa de probabilidad m,,5,5,5, Calcula los momentos no centrales y centrales de orden menor o igual a tres Solución: ara determinar el valor de los momentos efectuamos las operaciones que se incluyen en la tabla Total m,,5,5,5,, m(,,5,,5, α E[ ] m( m( D E D E,,5,6,5,,9 α [ ] m(, 9,,5,,5 5,,6 α [ ] m(, 6 m( µ E µ E [ ( α) ] V ( ) ( α ) α α α,9,9 [ ] α α + α,6 9, ,6 9,6 Ejemplo : La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Si las ventas semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria con función de distribución: F ( ; F( m + n < ; F( > Calcula los momentos no centrales y centrales de orden menor o igual a tres Solución: En el apartado c) del ejercicio 6 hemos determinado la función de densidad f ( ; f ( en otro caso α E[ ] f ( d d 6 [ ] α 99 E f d d 6 99 [ ] f ( d d α E D

14 µ µ E E [( α ) ] V ( ) 6 α α 6 [( α ) ] α α α + α 7 + ropiedad de la media y de la varianza: Sea una variable aleatoria y cualesquiera. Se considera la variable aleatoria Y a + b. a, b dos números reales a) Si eiste E [ ] entonces eiste E [ Y ] y se verifica E [ Y ] ae[ ] + b b) Si eiste V ( ) entonces eiste V ( Y ) y se verifica V ( Y ) a V ( ) En efecto: a) E [ Y ] E[ a + b] Como E [ b] b (propiedad de la esperanza) y eiste E [ ], podemos aplicar la propiedad de la esperanza y obtenemos E [ a + b] ae[ ] + b. or tanto E [ Y ] E[ a + b] ae[ ] + b [ ] b) or definición V ( Y ) E ( Y E[ Y ]) V ( Y ) E ( Y E[ Y ]) y si desarrollamos esta epresión obtenemos [ ] E[ ( a + b ae[ ] b) ] E[ { a ( E[ ])} ] E[ a ( E[ ]) ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] ] a V ( ) Como eiste E ( E[ ]) ya que E ( E[ ]) V esperanza y obtenemos E a ( E[ ]) a E ( E ) or tanto V ( Y ) E ( Y E[ Y ]), podemos aplicar la propiedad de la [ ] E[ a ( E[ ]) ] a E[ ( E[ ]) ] a V ( ) odemos utilizar esta propiedad para calcular la media y la varianza de la variable aleatoria tipificada, Z, asociada a una variable aleatoria con media µ y desviación típica σ finitas. Se define Z µ σ σ µ σ entonces se verifica E V σ σ [ Z ] E[ ] µ µ µ σ σ σ σ ( Z ) V ( ) σ

15 Ejercicio : La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Suponga que las ventas semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria con función de distribución: F ( ; F( < ; F( > Si el beneficio de la cooperativa asciende al % de las ventas, determina razonadamente la media y la varianza del beneficio semanal de la cooperativa 5.. Mediana y cuantiles 5... Mediana Sea una variable aleatoria, se define la mediana de la distribución de probabilidad de, que notamos Me, como un valor real que verifica las siguientes desigualdades: { Me} ; { Me} Como { Me} { < Me}, entonces { Me} { < Me}, por tanto Si es una v.a. discreta, la mediana es el valor real que verifica las desigualdades Si es una v.a. continua entonces { Me} F( Me) las desigualdades { < Me} y { Me} se cumplen las dos últimas desigualdades si 5... Cuantiles { < Me} y { Me} que se pueden epresar <, y la mediana es el valor real que verifica F( Me) F ( Me) y F ( Me) pero sólo Sea una variable aleatoria y α un número real entre y, se define el cuantil de orden α de la distribución de probabilidad de, que notamos desigualdades α, como un valor real que verifica las siguientes { } α { } α ; α Como { } { < }, entonces { } α { < } α α α, por tanto α α α Si es una v.a. discreta, el cuantil de orden α es el valor real que verifica las desigualdades { < α } α y { α } α 5

16 Si es una v.a. continua entonces { } F que verifica las desigualdades. { < α } α y { α } α cumplen las dos últimas desigualdades si <, y el cuantil de orden α es el valor real α α que se pueden epresar F (α ) α y F (α ) α pero sólo se F ( α ) α Casos particulares: Cuartiles: se definen los cuartiles de la distribución de probabilidad que notaremos Q y Q, como los cuantiles, 5 y, 75 respectivamente. ercentiles: se definen los percentiles de la distribución que notaremos, K K99, como los cuantiles,,, K K, 99 respectivamente. Ejercicio 9: La empresa EE vende baldosas en paquetes de unidades. Se ha determinado que el número de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria con función masa de probabilidad m,,5,5,5, Calcula la mediana, los cuartiles y el percentil 77 Solución: Obtenemos la función de distribución < F( { } < F( { } { }, < F( { } { } + { }, < F( { } { } + { } + { }, 77 < F( { } { } + { } + { } + { }, 9 F( { } { } { } { } { } { } ara determinar la mediana, como es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores que cumplen { < Me} y { Me} Si analizamos los valores que toma la función de distribución, vemos que el menor valor mayor o igual a,5 es,77 y por tanto cualquier valor mayor o igual a cumple que { } Si { < } { } + { }, 6

17 ,77 y del mismo modo podemos,77 Si, { <,} { } + { } + { } razonar que si >, { < } { } + { } + { } or lo tanto Me ya que es el único valor que cumple { < }, y { },77 ara determinar el primer cuartil, como es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores que cumplen { < Q }, 5 y { Q }, 5 Razonando del mismo modo que en el caso de la mediana, podemos decir que Q ya que es el único valor que cumple { < },, 5 y { },77, 5 ara determinar el tercer cuartil, como es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores que cumplen < Q, y { Q }, 75 { } 75 Razonando del mismo modo que en el caso de la mediana, podemos decir que Q ya que es el único valor que cumple { < },, 75 y { },77, 75 ara determinar el percentil 77, como es una variable aleatoria discreta, debemos encontrar los valores que cumplen { < 77 }, 77 y { 77 }, 77 Si analizamos los valores que toma la función de distribución, vemos que { },77, 77 tanto cualquier valor mayor o igual a cumple que { }, 77 Si { < } { } + { },, 77 Si, { <,} { } + { } + { },77, 77, por y del mismo modo podemos razonar que si < { < } { } + { } + { },77, 77 Si { < } { } + { } + { },77, 77 Si, { <, } { } + { } + { } + { },9, 77 Hemos razonado que si { < }, 77 y { }, 77 es cada uno de los valores del intervalo [, ], por tanto el percentil 77 Ejercicio : La cooperativa CC comercializa tomates entre otros productos. Si las ventas semanales de tomates, en miles de euros, es una variable aleatoria con función de distribución: F ( ; F( < ; F( > Calcula la mediana, los cuartiles y el percentil 77 7

18 Solución: ara determinar la mediana utilizamos que F ( Me) ya que la variable aleatoria es continua Me F ( Me) Me Me 6 ara determinar el primer cuartil utilizamos que F ( Q ) ya que la variable aleatoria es continua Q,5 F Q Q Q ara determinar el tercer cuartil utilizamos que F ( Q ) ya que la variable aleatoria es continua Q,75 F Q Q 6 Q ara determinar el percentil 77 utilizamos que F ( 77 ), 77 ya que la variable aleatoria es continua,77 77 F 77,77 77,77 6,6 77,6 5.. Moda Definición: Sea una variable aleatoria, se define la moda de la distribución de probabilidad de, que notamos Mo, como el valor real que maimiza la función masa de probabilidad si la variable es discreta o la función de densidad si la variable es continua. En el caso de distribuciones de probabilidad discretas a la moda también se le llama valor más probable Simetría de una distribución de probabilidad Definición: Sea una variable aleatoria, m( la función masa de probabilidad, si la variable es discreta, y f ( la función de densidad si es continua. Se dice que la distribución de probabilidad de es simétrica respecto al número real c si se verifica: R m( c m( c + cuando es una variable aleatoria discreta R f ( c f ( c + cuando es una variable aleatoria continua ropiedades de las distribuciones simétricas. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria es simétrica respecto al valor c, entonces si eiste E [ ] se verifica E [ ] c

19 . Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria es simétrica respecto al valor c, entonces todos los momentos centrales de orden impar, si eisten, son nulos. Ejercicio : La empresa EE vende baldosas en paquetes de unidades. Se ha determinado que el número de baldosas defectuosas en un paquete es una variable aleatoria con función masa de probabilidad Estudia si la distribución es simétrica. m,,5,5,5, Solución: En el ejemplo obtuvimos que el número de baldosas defectuosas que se espera obtener en un paquete es dos. or tanto esta distribución será simétrica si se cumple que R m( m( + Observamos que ( ) m( + ), esto significa que se cumple la condición anterior para ( ) m( + ) esto significa que se cumple la condición anterior para m m() m m ( ) m() m ara el resto de valores la función masa de probabilidad es cero y se cumple la condición. or tanto, podemos afirmar que la distribución es simétrica ya que se cumple R m( m( Función generatriz de momentos Definición: Sea una variable aleatoria y t un número real. Si eiste E[ e ] t t ( c, c) número real positivo, se puede definir una función g( t) E e t [ ] c < t < c siendo c un A esta función se le llama función generatriz de momentos de la distribución de probabilidad de. Ejemplo : La duración, en miles de horas, de las bombillas de la marca BB es una variable aleatoria con función de densidad: f ( ; f (,e, > Determina la función generatriz de momentos de la distribución de probabilidad de Solución: + + t t t, [ ] e f d e,e d E e + (, t) (,e d 9

20 t + + (, t) Si t, E[ e ],e d, d [, ] + + t y por tanto no eiste E [ e ] + + t (, t), Si [ ] (, t ), [ (, t,, (, ) ) t E e e d t e d e ] +, t ara calcular el valor del límite consideramos dos casos (, t ) >, > t (, t) entonces lim + (, t ) <, < t E e t, t, e y por tanto [ ], t (, t) entonces e + +, La función generatriz de momentos es g ( t),, t, t t lim y por tanto no eiste E [ e ] t <, ropiedades de la función generatriz de momentos Se pueden demostrar las siguientes propiedades:. g ( ). Sea una variable aleatoria, a, b dos números reales y g (t) la función generatriz de momentos de. Entonces eiste la función generatriz de momentos de la variable aleatoria Y a + b y se puede epresar at g ( t) e g ( bt) Y. Sea una variable aleatoria y g (t) su función generatriz de momentos. Entonces se verifican las siguientes igualdades: g ( ) α ; g () α ; g () α KK. Si e Y son dos variables aleatorias tales que sus funciones generatrices de momentos g (t) y g Y (t) toman el mismo valor para cada t ( c, c), entonces las dos variables aleatorias tienen la misma distribución de probabilidad. Esta propiedad nos permite afirmar que la función generatriz de momentos determina unívocamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. Ejercicio : El número de ordenadores que vende un comercio semanalmente es una variable aleatoria con función masa de probabilidad 5 7 m a) Eplica si la distribución de es simétrica b) Calcula la probabilidad de que en una semana el número de ordenadores que vende el comercio sea superior a la media. c) Si el precio de venta de un ordenador es de 5 euros y el beneficio del comercio es del 5% sobre dicho precio, determina razonadamente el beneficio semanal que espera obtener el comercio debido a la venta de ordenadores. d) Determina la moda, la mediana, los cuartiles, el percentil y el percentil de la distribución de probabilidad de.

21 Ejercicio : El tiempo, en horas que tarda en fabricarse un electrodoméstico de cierto tipo es una variable aleatoria con función de densidad: ( f ( ; f ( < ; f ( en otro caso a) Determina la probabilidad de que un electrodoméstico de este tipo tarde más de tres horas en fabricarse. b) Determina la probabilidad de que un electrodoméstico de este tipo tarde menos de una hora en fabricarse. c) Estudia si la distribución de probabilidad de es simétrica y determina la moda, la mediana y los cuartiles. d) Si el coste de fabricación de un electrodoméstico de este tipo es de euros más euros por cada hora que tarda en fabricarse, determina el coste de fabricación esperado de un electrodoméstico. Ejercicio : Los ingresos diarios, en cientos de euros, de un comercio es una variable aleatoria con función de distribución F( ; F( m + n < 9; F( > 9 6 a) Determina razonadamente los valores de m y n utilizando las propiedades de la función de distribución. b) Razona si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: ** La media de es el doble de la varianza ** La distribución de es simétrica c) Determina razonadamente la probabilidad de que el comercio tenga en un día unos ingresos de al menos euros, si los ingresos al cerrar el comercio al mediodía eran de euros. Ejercicio 5: El porcentaje de vinagre que contienen las latas de gazpacho GG es una variable aleatoria con función de densidad: ( f ( k ; f ( en otro caso. a) Determina el porcentaje medio de vinagre que contiene una lata de gazpacho. b) Determina la función de distribución de la variable aleatoria. c) Si las latas que contienen más del % de vinagre tienen mal sabor, calcula la probabilidad de que una lata de gazpacho tenga mal sabor. d) Si una persona compra tres latas de gazpacho, determina la probabilidad de que una de ellas tenga mal sabor. e) Razona si el porcentaje medio de vinagre que contiene una lata de gazpacho es mayor que el porcentaje mediano Ejercicio 6: La probabilidad de que un hombre de años viva un año más es.99. Una compañía de seguros ofrece vender a un hombre de años una póliza de seguro de vida por. euros a un año y con una prima de euros. Cuál es la ganancia esperada de la compañía? Ejercicio 7: En una lotería hay un primer premio de. euros, tres segundos premios de. euros y seis terceros premios de 5 euros. Si la lotería tiene. boletos que se venden a 5 euros cada uno, determina la ganancia esperada de una persona que compra un boleto de esta lotería.

22 Ejercicio : Se ha determinado que el tiempo diario, en horas, que los funcionarios de cierta región están conectados a la red durante su jornada de trabajo es una variable aleatoria con función de distribución k F( ke > ; F( a) Utilizando las propiedades de la función de distribución, determina el valor de k y eplica si es una variable discreta o continua. Determina la función de masa o de densidad y el soporte de. b) Calcula la probabilidad de que un funcionario esté conectado a la red una hora o más en un día durante su jornada de trabajo. c) Calcula la probabilidad de que un funcionario esté conectado a la red durante su jornada de trabajo entre dos y tres horas. d) Si un funcionario lleva conectado a la red una hora, determina la probabilidad de que no esté conectado más de dos horas. e) Calcula el tiempo diario máimo que están conectados a la red durante su jornada de trabajo el % de los funcionarios que menos la utilizan. Ejercicio 9: El tiempo, en minutos, que tardan en un taller mecánico en efectuar la revisión de un automóvil, es una variable aleatoria con función de distribución: F ( k ; F( < + a) Determina, utilizando las propiedades de la función de distribución, el valor de k. b) Si el encargado del taller piensa iniciar la revisión de un vehículo minutos después de recibirlo en el taller, y le dice al cliente que estará listo en media hora, cuál es la probabilidad de que se equivoque? c) Si la reparación del vehículo se inicia en el momento de recibirlo, cuándo debe decirle el encargado al cliente que vuelva, para que, con una probabilidad de '95, éste no tenga que esperar? Ejercicio : Suponga que la cantidad diaria de gasolina, en miles de litros, que vende una gasolinera es una variable aleatoria con función de distribución: ( ; < F( k (,5 ; > F( F a) Determina el valor de k utilizando las propiedades de la función de distribución. b) Determina razonadamente la mediana de la distribución de probabilidad de y eplica el significado del valor obtenido. c) Si a las horas ya se han vendido litros de gasolina, determina la probabilidad de que ese día no se vendan más de litros. d) Si por cada litro de gasolina vendido se obtiene un beneficio de céntimos de euro, calcula razonadamente la probabilidad de que la gasolinera obtenga mañana más de 5 euros de beneficio. Ejercicio : El tiempo, en minutos, que se tarda en fabricar cierto artículo es una variable aleatoria con función de densidad f ( ; f ( < < ; f ( ; f ( en otro caso a) Calcula la probabilidad de que se tarde en fabricar un artículo más de 5 minutos b) Si el proceso de fabricación de un artículo se inició hace 5 minutos, determina la probabilidad de que se tarde en fabricar el artículo más de 5 minutos.

23 c) Determina el tiempo máimo que se invierte en la fabricación del % de los artículos que menos tardan en fabricarse. d) Estudia si la distribución de es simétrica. e) Determina razonadamente la media y la mediana de la variable aleatoria f) Si el coste de fabricación de un artículo es de euros más céntimos de euro por cada minuto que tarda en fabricarse, determina razonadamente el coste de fabricación esperado de un artículo. Ejercicio : (Eamen Junio ) Un almacén recibe semanalmente de fábrica cierto producto perecedero que distribuye en eclusiva en una ciudad. La cantidad semanal demandada del producto, en miles de Kgs., es una variable aleatoria con función de distribución: m F ( ; F( < ; F( > n a) Determina razonadamente los valores de m y n utilizando las propiedades de la función de distribución. b) Eplica entre qué valores oscila la cantidad semanal demandada del producto. c) Si el almacenista quiere tener una confianza del 9% de que no se le agote el producto en una semana, qué cantidad debe pedir a la fábrica Ejercicio : (Eamen Septiembre ) El número de novelas en inglés que vende semanalmente una librería es una variable aleatoria con función masa de probabilidad 5 7 m,5,,,,,,5 a) Razona si la distribución de probabilidad de la variable es simétrica. b) Si el martes de cierta semana la librería ha vendido una novela en inglés, determina razonadamente la probabilidad de que en esa semana no venda más de tres. c) Si por cada novela en inglés que vende la librería obtiene un beneficio de euros, determina razonadamente el beneficio semanal que espera obtener la librería por la venta de novelas en inglés Ejercicio : (Eamen Junio ) La compañía de transporte urgente por carretera TUC ha determinado que el número de multas de tráfico por eceso de velocidad que recibe mensualmente es una variable aleatoria con función masa de probabilidad 6 7 m(,,,6,, a) Determina razonadamente la media, la moda y la mediana de la distribución de probabilidad y eplica si es una distribución simétrica. b) Si el primer día de un mes la empresa recibe dos multas por eceso de velocidad, determina razonadamente la probabilidad de que ese mes no reciba más multas por eceso de velocidad. Ejercicio 5: (Eamen Septiembre ) El peso, en cientos de gramos, de las doradas que se crían en la piscifactoría Mar Mediterráneo es una variable aleatoria con función de distribución n F ( ; F( m + < ; F( > 6 Determina razonadamente el peso mínimo del % de las doradas de mayor peso.

24 Ejercicio 6: (Eamen Septiembre ) El número mensual de casas que vende un agente inmobiliario es una variable aleatoria con función masa de probabilidad 6 5 m(,,7,,,7, a) Razona si es cierta la siguiente afirmación: La media y la mediana de la distribución de probabilidad de son iguales. b) Si el salario mensual del agente se compone de una retribución fija de euros más euros por cada casa vendida en el mes, determina razonadamente la media y la desviación típica de la variable Salario mensual del agente en miles de euros (Debes utilizar alguna propiedad de la media y la varianza)