APUNTE N 3 : FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICOS APROXIMADOS

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Asunción Beatriz Vera Méndez
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1 APUNTE N 3 : FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICOS APROXIMADOS FACTOREO FACTORIZAR O FACTOREAR un polinomio, al igual que un número, es expresarlo como un producto de polinomios primos. El número 20 se puede expresar como 2.10 = 4.5 = pero sólo el último producto es su factoreo (todos los factores son números primos). Hay varios procedimientos para factorizar una expresión algebraica, uno de ellos es el factor común. Factor Común: Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego, para encontrar el factor que va entre paréntesis se divide cada término por el factor común. Ejemplo 1 P(x) = 2x 2 4x P(x) = 2.x.x 2.2.x P(x) = 2.x.(x 2) 2.x 2.x es es el el factor factor común común de de los los dos dos términos, la indeterminada sale como factor común con el menor exponente. Expresión factoreada de P(x) a través del factor común Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por el factor común, en este ejemplo 2x Ejemplo 2 P(x) = -12x 6 + 6x 5 15x 3 P(x) = x 3 x x 3.x x 3 P(x) = 3.x 3. (- 4x x 2-5) Expresión factoreada de P(x) a través del factor común Ejercicio 1 Factorizar los siguientes polinomios: a) P(x) = 2x 4 + 5x 3 3x 5 = d) P(x) = 24x 2-36x + 48 b) P(x) = 18x x 2 12x 4 e) P(x)= - 20x 7 25x 5 15x 8 c) P(x) = x 6 x 10 + x 7 x 4 f) P(x) = Factor común en grupos Se aplica el factor común en grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos y que además el número de términos es par. Ejemplo1 P(x) = x5 2x4 3x + 6 P(x) = (x5 2x4) + ( 3x + 6 ) P(x) = x4. (x 2) - 3. (x 2) P(x) = (x 2). ( x4 3) Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal que en cada uno de ellos halla un factor común. Luego se aplica nuevamente factor común entre los dos términos.

2 Ejercicio 2 Factoriza los siguientes polinomios aplicando factor común en grupos a) P(x) = 3x 3 + 3x 2 + 2x +2 d) P(x) = 4x 3 2x 2 + 6x 3 b) P(x) = x 4 x 3 + x 1 e) P(x) = x 6 + 2x 5 + x 4 + 2x 3 + 2x + 4 c) P(x) = 2x 5 x 4 + 6x 3 3x 2 + 8x 4 Trinomio cuadrado perfecto Se aplica cuando es un polinomio de tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos y coincide con el desarrollo del Cuadrado de un binomio: = Ejemplos: P(x ) = x 2 + 6x + 9 P(x) = (x + 3) 2 Cuadrado de un binomio Verificación : 2.x.3 = 6x P(x) = (x+3).(x+3) Expresión factorizada P(x) = x 4 8x Verificación : 2.x 2.(- 4) = - 8x 2 P(x) = (x 2-4) 2 Cuadrado de un binomio P(x) = (x 2 4). (x 2 4) Expresión factorizada Ejercicio 3: Expresa cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio. a) P(x) = 4x 2 4x + 1 c) P(x) = b) P(x) = d) P(x) = x 6 + 4x Cuatrinomio cubo perfecto Se aplica cuando es un polinomio de cuatro términos, dos de ellos son cubos perfectos y coinciden con el desarrollo del Cubo de un binomio: (a + b) 3 = Ejemplo: P(x) = x 3 + 6x x + 8 P(x) = Cubo de un Binomio P(x) = Expresión factorizada 3. x 2. 2 = 6x 2 3. x. 2 2 = 12x Ejercicio 4: Expresen cada cuatrinomio cubo perfecto como el cubo de un binomio. a) P(x) = x x x c) P(x) = b) P(x) = d) P(x) = x 3 12x x 64 Diferencia de Cuadrados Se aplica en el caso de un binomio, entre ellos hay una resta y ambos son cuadrados perfectos. Si partimos del producto (a +b).(a-b) = aa + ab ba bb = a 2 b 2 propiedad distributiva Conclusión: a 2 b 2 = (a +b).(a - b) Ejemplo : x 2 4 = x = (x + 2).(x 2)

3 Ejercicio 5: Indicar cuáles de los siguientes polinomios son diferencias de cuadrados y factorebarlos. Si no lo son justificar. a) P(x) = 4x 4 9 e) P(x) = 100x 4-25x 6 b) P(x) = f) P(x) = x 2 9 x 4 c) P(x) = x 5 g) P(x) = x 8-49 d) P(x) = h) P(x) = Teorema de Gauss El teorema de Gauss se aplica cuando no se puede aplicar ninguno de los otros casos de factoreo. Ejemplo P(x) = x 3 3x + 2 Pasos: 1) Busco los divisores del término independiente: en el ejemplo los divisores de 2 son: 2, 1, -2 y -1 2) Especializo el polinomio con los divisores hasta obtener cero de resultado ( recordemos que la raíz de un polinomio es el valor de x que anula el polinomio, es decir que busco en este paso las raíces reales) P(2) = = 4 P(1) = = 0 entonces 1 es raíz 3) Se divide el polinomio que tenemos que factorizar por (x raíz), para ello se utiliza la regla de Ruffini (completando el polinomio P(x) = x 3 + 0x 2 3x + 2 Coeficientes del polinomio ordenado y completo Raíz del polinomio divisor ) Luego escribimos el resultado (x 3-3x + 2) : ( x 1) = x 2 + x 2 5) El polinomio factorizado es x 3 3x + 2 = (x 2 + x 2).(x 1) Factoreo de una ecuación de segundo grado En el caso de las ecuaciones de segundo grado que responden a la fórmula ax 2 + bx + c (Ejemplo x 2 4x -5) para factorizar se procede de la siguiente forma: 1) Se iguala a cero y se aplica la fórmula resolvente para hallar las raíces. x 2 4x -5 = 0 siendo a = 1, b= -4 y c = -5 luego aplicando la fórmula Expresión factorizada X 1 = X 1 = 5 X 2 = X 2 = -1 2) Se escribe la expresión factorizada de acuerdo a la fórmula a.( x x 1 ).(x x 2 ) En nuestro ejemplo P(x) = 1(x 5).(x+1)

4 Ejercicio 6 Reconoce en los siguientes polinomios Gauss o cuadrática y factoriza a) P(x) = x 3 + 2x 2 4x - 8 e) P(x) = 2x 3 + 3x 2 1 b) P(x) = x 3 8 f) P(x) = x 5-32 c) P(x) = x 4 + 6x 3 + 8x 2 6x 9 g) P(x) = x 3 + 5x 18 d) P(x) = - 2x 2 + 2x + 12 h) P(x) = x 2 x - Ejercicio 7 Completa la siguiente tabla Polinomio Desarrollado T(x) = 3x 2 + 6x -24 N(x) = x 3 6x x 8 A(x) = x 8 16 Polinomio Factorizado M(x) = (x + 6).(x -6) P(x)= 4x 3.(2x 2 x + 5) B(x) = 3.(x -5).(x + 4) Combinamos los casos: Se debe tener en cuenta que un polinomio puede factorearse más de una vez por distintos casos o por el mismo. Se debe tener en cuenta que los monomios no se factorean y que los binomios de grado uno no corresponden a ningún caso. Hay polinomios de cualquier grado y de cualquier número de términos que no pueden factorearse. Dado un polinomio lo primero que debemos buscar es si tiene un factor común, luego la cantidad de términos y el grado del polinomio nos va a indicar qué caso es el que se debe aplicar. Ejercicio 8: Factorear combinando casos a) x 3 39x + 70 = k) 5x 4 5 = b) 3x 3 3x 2 + 6x 6 = l) x 5 4x 3 + 8x 2 32 = c) 2x 4 32 = m) x x + 7x = d) 27x 4 36x 3 +12x 2 = n) x 3 2x 2 3x = e) 4x 3 32 = o) 81x 4 16 = f) 2x 7 162x 3 = p) x 3 19x 30 = g) x 5 9x 3 27x = r) 3x 7 48x 3 = h) x 3 3x = s) 7x 3 7 = i) x 3 + 2x 2 5x 6 = j) x 4 4x 3 5x 2 = Multiplicidad de las raíces Un polinomio tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores iguales; el orden de multiplicidad de la raíz está dado por el exponente del factor. Polinomio factorizado Raíces Multiplicidad P(x) = 2.(x + 1).(x + ½).(x 3) x 1 = -1, x 2 = -1/2 y x 3 = 3 Tres raíces simples A(x) = (x + 1) 2 = (x+1).(x+1) x 1 = x 2 = -1 Una raíz doble B(x) = (x - 2) 3 = (x -2).(x-2).(x-2) x 1 = x 2 = x 3 = 2 Una raíz triple C(x) = (x+2) 2. (x-1) 3 x 1 = x 2 = -2 y x 3 =x 4 =x 5 = 1-2, raíz doble y 1 raíz triple D(x) = x 3. (x+3) = x.x.x.(x+3) x 1 = x 2 = x 3 = 0 y x 4 = -3 0, raíz triple y -3 raíz simple Gráfico aproximado de una función polinómica Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se deben seguir los siguientes pasos: 1) Se busca hallar la ordenada al origen o corte de la función con el eje y para lo cual se reemplazan todas las x por cero. 2) Se buscan las raíces o cortes de la función con el eje x para lo cual es necesario factorear el polinomio aplicando todos los procedimientos anteriormente explicados. 3) Se completa el grafico haciendo una tabla de valores donde se eligen valores de x que estén en los intervalos determinados por las raíces y se reemplazan en la función obteniendo el valor de y.

5 Raíces pares o impares Si la raíz es impar (simple, triple, quíntuple, etc) el gráfico atraviesa el eje x Si la raíz es par ( doble, cuádruple, etc.) el gráfico rebota en el eje x Ejemplo 1 P(x) = x 3 + 2x 2 5x -6 o y = x 3 + 2x 2 5x -6 1) Corte con el eje y y = = 6 Se debe marcar en el gráfico el punto ( 0;6 ) 2) Corte con el eje x se factoriza el polinomio, en este caso se plica Gauss Divisores de -6 son: 1,2, 3, 6, -1, -2, -3 y -6 pruebo con -1 P(-1) = (-1) (-1) 2 5.(-1) 6 = 0 Luego -1 es raíz aplico Ruffini Entonces P(x) = ( x + 1). (x 2 + x - 6) Aplico la fórmula resolvente para hallar las raíces de (x 2 + x - 6) Luego P(x) = ( x+1).(x 2).(x + 3) lo igualamos a o ( x+1).(x 2).(x + 3) = 0 x 1 = -1, x 2 = 2 y x 3 = -3 son tres raíces simples luego son impares y atraviesan el eje x 3) Para completar el gráfico, ordenamos las raíces de menor a mayor y se toman valores a los lados de las raíces y entre ellas ) Construímos la tabla con los valores elegidos y hallamos el valor de y los puntos obtenidos los señalamos en el sistema de ejes cartesianos, donde previamente marcamos la ordenada y las raíces. x y = x 3 + 2x 2 5x - 6 (x; y) -4 y= (-4) 3 + 2(-4) 2 5(-4) 6 = - ( - 4 ; -18) 18-2 y= (-2) 3 + 2(-2) 2 5(-2) 6 = ( - 2 ; 4) 4 y = = 24 ( 3 ; 24) 5) Se realiza el grafico uniendo de manera de obtener una curva.

6 Análisis de una función polinómica Se determina el dominio, la imagen, la ordenada al origen y el conjunto de ceros, conjunto de positividad y de negatividad. El conjunto de ceros (C o ) está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es nula, es decir por las raíces. El conjunto de positividad (C + ) está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es positiva. El conjunto de negatividad (C - ) está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es negativa. Ejercicio 9 Graficar aproximadamente. Indicar: raíces, orden de multiplicidad, ordenada al origen, C 0, C + y C -. a) y= x 4 4x 3 + 4x 2 g) y= x 3 x 2 2x b) y= x 5 2x 4 + x 3 h) y = x 5 2x 4 x 3 + 2x 2 c) y= x 3 2x 2 11x + 12 i) y= x 3-8 d) y = x 4 + x 3 j) y= x 4 6x 3 12x x + 96 e) y = 2x 3 6x 4 f) y= x 3 + 1

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