Conjuntos numéricos. Intervalos. Operaciones en el conjunto de números reales.

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1 Fich Técnic Conjuntos numéricos Intervlos Operciones en el conjunto de números reles Índice de tems: Conjuntos numéricos Intervlos Operciones y propieddes Módulo o vlor bsoluto de un número rel

2 Conjuntos Numéricos El conjunto,,,,, design l conjunto de los números nturles Este conjunto surge por l necesidd que el hombre tení de contr, por ejemplo, contr pr sber cuántos ern sus bienes personles Dentro del conjunto de los números nturles está siempre definid l sum y el producto de dos números, y que l operr entre números nturles el resultdo siempre es un número nturl Es decir ests operciones son cerrds en No ocurre lo mismo con l rest y l división y que el resultdo de restr o dividir dos números nturles no necesrimente es un número nturl Por ejemplo: - = - y De igul form: : = 0, y 0, Si l conjunto de los nturles le gregmos el cero y los opuestos de los números nturles obtenemos el conjunto de los números enteros Este conjunto se simboliz,,,, 0,,,,, En este conjunto, demás de l sum y el producto entre números enteros, está definid l rest: -=- y El resultdo de restr dos números enteros siempre es un número entero No ocurre igul con el cociente: : = 0, y 0, Los números rcionles surgieron nte l necesidd de epresr divisiones no ects Al conjunto de los números rcionles se lo simboliz: Estos números se epresn como rzones entre números enteros, es decir, que todo número rcionl se puede escribir como el cociente de dos números enteros: donde b 0 b Recuerde que l división por 0 no es válid Ahor : = 0, y 0, En este conjunto son cerrds ls operciones de sum, producto, rest y división Otr crcterístic que poseen los números rcionles es que dmiten un epresión deciml finit o periódic Est epresión se obtiene l dividir por b Ejemplo: 0 Podrí pensr dos números rcionles entre y? Le dejmos un minuto pr pensr Pr encontrr un respuest posible bstrá con hllr el punto medio entre y, es decir y hor el punto medio entre y culquier de los números ddos, por ejemplo Esto muestr clrmente que entre dos números rcionles culesquier eisten otros infinitos números tmbién rcionles; cundo esto ocurre decimos que el conjunto es denso Por ello es posible que usted hy encontrdo otrs respuests

3 Ocurrirá lo mismo entre dos números enteros o nturles? Piensen números nturles entre y o números enteros entre - y 0 Hst hor definimos el conjunto de los números nturles, el de los enteros y el de los números rcionles Sin embrgo, podemos pensr en números como,, que demás poseen infinits cifrs decimles no periódics y por lo tnto no pueden epresrse como un rzón (o división) de dos números enteros, Estos números formn prte del conjunto de los números irrcionles (no rzón), el cul se denot con l letr y l igul que los rcionles formn un conjunto denso El conjunto de los números rcionles, con el conjunto de los números irrcionles formn el conjunto de los números reles, en símbolos Los números reles se pueden representr medinte puntos en l rect numéric A cd número rel le corresponde un único punto sobre l rect numéric y cd punto de l rect le corresponde un único número rel Esto nos dice que el conjunto de los números reles es un conjunto completo, l rect numéric qued complet (sin huecos), y denso, entre dos números culesquier reles eisten otros infinitos Intervlos Ejercicio pr pensr 9 i) Hllr todos los números nturles que son myores que - y menores que ii) Hllr todos los números enteros que son myores que - y menores que iii) Hllr todos los números reles que son myores que - y menores que L respuest los dos primeros puntos es muy sencill: En el primer cso será,, y en el ítem ii) l respuest es,0,,, En el ítem iii) nos encontrmos, debido l densidd del conjunto de los números reles, con l dificultd de que es imposible epresr l solución por enumerción Un form de subsnr dich dificultd es epresr el conjunto solución por compresión, es decir: : Otr posible form de epresr l solución es recurrir l concepto de intervlo Un intervlo es un subconjunto de los números reles Por ejemplo: El conjunto / b está integrdo por los números reles que son myores o igules que y menores o igules que b, se escribe,b y se conoce como intervlo cerrdo El intervlo, se grfic de l siguiente mner:

4 Por su prte, el conjunto / b está integrdo por los números reles entre y b, se escribe,b y se conoce como intervlo bierto Por ejemplo el intervlo,, se grfic: Utilizmos corchetes [ ] pr indicr que el etremo del intervlo está incluido en el conjunto y utilizmos préntesis ( ) pr indicr que el etremo no pertenece l conjunto Cómo epresrín el conjunto / utilizndo notción de intervlo? Perfecto!, Podemos decir que dicho intervlo es bierto izquierd o cerrdo derech Necesitmos tmbién considerr los conjuntos del tipo: / b A= B= / b C= / D= / Dichos conjuntos tmbién son intervlos y se escriben A, b, B, b, C, D, Ejemplos:,,, 0, Recordemos hor lguns operciones entre intervlos L intersección de intervlos es un nuevo intervlo formdo por los números que pertenecen l vez mbos conjuntos, 0 Vemos el siguiente ejemplo:

5 El conjunto solución es quel que qued pintdo en mbos colores, es decir el intervlo,0 Notemos que el etremo - no pertenece l intersección debido que no pertenece l primer intervlo, pero, por el contrrio, 0 pertenece l intervlo solución pues pertenece l vez mbos conjuntos Por este motivo, el intervlo es cerrdo por derech,, Ejemplo: En el dibujo podemos ver que no eisten elementos que pertenezcn mbos conjuntos l vez por lo cul l,, intersección es vcí y lo escribimos L unión de intervlos es el conjunto formdo por los elementos que pertenecen un intervlo o l otro (o mbos),, Ejemplo: En este cso, los elementos que pertenecen l menos uno de los dos intervlos formn el intervlo, Operciones y propieddes Recuerde Propieddes de los números reles pr l sum y l multiplicción Propiedd conmuttiv pr l sum y l multiplicción Propiedd socitiv de l sum y de l multiplicción Propiedd distributiv: L propiedd distributiv será muy útil cundo trbjemos con ejercicios donde prezcn letrs y números Como ls propieddes enuncids vlen pr tod tern de números reles, b y c, en prticulr vle tmbién pr el cso en que lguno se negtivo Ahor bien como l rest -b se define como l sum de + (-b), podemos ver que ls propieddes nteriores tmbién son válids pr l rest de números reles De l mism form l división puede definirse prtir de l multiplicción de l siguiente mner: represent el número inverso de b y b 0 b b donde b

6 Vemos otrs propieddes reltivs los números reles: Propieddes de los números reles siempre que y siempre que, y siempre que 7 siempre que, L últim propiedd es muy importnte debido que nos d ls condiciones pr poder simplificr Por ejemplo: Está bien simplificdo! Está MAL simplificdo! Puesto que en el numerdor no hy un producto sino un sum Anlicemos lgunos ejemplos pr plicr ests propieddes: Ejemplo : Clculr : :

7 7 Iniciremos los cálculos indicndo en cd pso qué propiedd fuimos plicndo Ustedes pueden seguir los psos en sus cudernos : : = : : = : = : 7 7 : (*) En este ejemplo quizás se podrí hber evitdo l plicción de est propiedd, debido que se podrí hber resuelto en primer lugr l sum y multiplicdo l resultdo por Sin embrgo l propiedd distributiv será indispensble pr operr en epresiones de l form con ls que trbjremos más en detlle en l próim unidd Ejemplo : Un de ls epresiones que siguen no es equivlente, encuéntrel y epliquen por qué no son epresiones equivlentes i) ii) iii) iv) Resolución: No olvidemos que: El producto tiene prioridd sobre l sum y l rest Es por esto que debe ser interpretdo como y no como Por lo tnto l respuest correct es l ii) Resolvemos l rest scndo denomindor común : Aplicmos propiedd distributiv: 7 (*)

8 Cómo justific ls restntes equivlencis? Ejemplo : Indique si ls siguientes igulddes son válids en los conjuntos indicdos y justifiquen: i) pr todo ii) pr todo iii) 8 8 pr todo 0 0 y 0 Resolución: i) pr todo 0 En l epresión podemos distribuir el denomindor respecto de l sum en el numerdor: = Si hor relizmos ls simplificciones correspondientes, propiedd 7 de números reles, y por lo tnto l iguldd es ciert, pero sólo pr 0 ii) pr todo 0 y Es importnte recordr que no es posible distribuir el numerdor respecto de un sum o rest en el denomindor, es decir Verificción: Por lo tnto, l iguldd es inválid = 8 8 iii) pr todo 0 8 Un error bstnte frecuente en l epresión es simplificr el que se encuentr en el denomindor con el que se encuentr en el numerdor c Esto está ml debido que, si nlizmos l regl, podemos ver que tnto en el numerdor como en el bc b denomindor está escrito como producto y en mbos csos uno de los fctores de ese producto es c, es por esto que dicho fctor puede cncelrse obteniendo sí el segundo término de l iguldd En l próim unidd trbjremos más en detlle con este tipo de epresiones 8

9 Trbjemos hor con eponentes y ríces: Definición: 0 Si es un número rel no nulo, entonces: Si es culquier número rel y n es un número nturl, entonces: n nveces Además si 0 entonces n n Propieddes de ls potencis Sen y b números reles y n y m nturles, entonces Producto de potencis de igul bse: Potenci de potenci: Cociente de potencis de igul bse siempre que Distributiv de l potenci respecto del producto: Distributiv de l potenci respecto del cociente: siempre que Cuiddo! L potenci no es distributiv respecto de l sum y l rest b Ante l situción de clculr b o b debemos recordr: no es equivlente b Binomio l cudrdo: (*) Binomio l cubo: (*) Est es l epresión l que debieron llegr en el ejercicio de áre plntedo el inicio de l unidd Es importnte observr que si bien en dicho ejemplo y b representbn constntes positivs, pues ern ls medids de los ldos, l fórmul de binomio cudrdo en válid pr todo número rel y b Recuerde que pueden obtener l epresión b b b, epresndo b relizndo ls distributivs correspondientes Vemos un ejemplo donde plicr lo prendido: como b b y 9

10 Ejemplo : Relice ls siguientes operciones: n i) con 0 n ii) y y con 0ey 0 Resolución: i) n n = Producto de frcciones Cociente de potencis de igul bse n n = n n = n y y = y y = = y y = y Cociente de potencis de igul bse Definición: Si, b son números reles y n es un número nturl impr, entonces: n b si y solo si b n Si y b son números reles positivos o nulos y n es un número nturl pr, entonces: n si y solo si b n Vemos lguns propieddes b si Recordr que si n es pr entonces y b deben ser reles myores o igules 0 Importnte!: Ls operciones entre números reles tienen solución únic: y no 0

11 Si, en cmbio, nos pidiern encontrr el o los número/s que elevdo/s l cudrdo dn, o se buscr: tl que, l respuest correct es - y, pues mbos números verificn que y En este cso no estmos resolviendo l operción ríz cudrd sino l ecución más delnte en nuestr unidd de ecuciones Este tem será retomdo Módulo o vlor bsoluto de un número rel Se define el módulo de un número rel como l distnci de l cero Notción: Entonces: Definición de módulo =, si es positivo =-, si es negtivo Es decir: = - =

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