ESTADÍSTICA INFERENCIAL. MUESTREO

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1 Tema 6: ESTADÍSTICA INFERENCIAL. MUESTREO Profesor: Fracisco J. Agudo García Curso Ídice 1. Itroducció. Muestreo 3 3. Distribució Normal Tipificació de la variable La distribució Biomial se aproxima a la ormal Estimació de Parámetros 8 5. Distribucioes muestrales Distribució muestral de medias Distribució muestral de proporcioes Estimació Putual Itervalos de Probabilidad Itervalo de probabilidad para la media muestral X Itervalo de probabilidad para la proporció muestral ˆp Estimació por itervalos Estimació de la media de ua població µ Estimació de ua proporció p Error máximo admisible Tamaño de las muestras

2 9. Actividades Fiales Aexo I: Tabla de la Distribució Normal Estadar 1 11.Aexo II 1.Aexo III: La Distribució Biomial 3 1. Itroducció La palabra Iferir sigica: Sacar ua cosecuecia de ua cosa. Sacar cosecuecia o deducir ua cosa de otra. La estadística es la ciecia o rama de las Matemáticas que se ocupa de recoger datos, aalizarlos y orgaizarlos, y tambié de realizar las prediccioes que sobre esos datos pueda deducirse, tiee dos vertietes básicas: Estadística descriptiva: Básicamete se ocupa de la 1 a parte, es decir, a partir de ciertos datos, aalizarlos y orgaizarlos. Es aquí dode tiee setido calcular la media, mediaa, moda, variaza, desviació típica, etc. Es la parte que estudiamos el año pasado. : Se ocupa de predecir y sacar coclusioes para ua població, tomado como base ua muestra (es decir, ua parte ) de dicha població. Teiedo e cueta que cualquier predicció siempre ha de hacerse bajo u cierto grado de fiabilidad o cofiaza. Esta vertiete de la estadística es la que estudiaremos e esta uidad didáctica y e la siguiete. E ocasioes el tamaño de la població es muy grade y frecuetemete o es posible estudiar todos sus elemetos (por razoes de tiempo, ecoomía, etc). Por eso lo que os iteresa es estudiar ua muestra y deducir o iferir las características de la població a partir de las características de la muestra: La estadística Iferecial se ocupa de deducir o iferir las características de la població a partir de las de la muestra. Podemos dividir la estadística iferecial e: Estadístiva Iductiva, cuyo objetivo es estimar los parámetros de ua població mediate u úico valor: estimació putual mediate u itervalo: estimació por itervalos Estadística Deductiva, cuyo objetivo es comprobar si la iformació que os proporcioa la muestra permite afirmar o o, ua suposició previa (hipótesis) formulada sobre la població, mediate el cotraste de hipótesis que trataremos e la siguiete uidad. Recordamos alguos térmios estadísticos: Població: es el cojuto de elemetos objeto del estudio estadístico. Idividuo: es cada elemeto de la població. Muestra: es el subcojuto o parte de la muestra que tomamos para hacer el estudio. IES Mar Serea Curso 09/10

3 Tamaño de la muestra: es el úmero de idividuos que la compoe. Es muy importate distiguir etre los parámetros poblacioales o simplemete parámetros, que so los ídices cetrales, de dispersió, etc, de TODA la població y que e la práctica o so calculables. Y los parámetros muestrales o estadísticos, que so los ídices cetrales, de dispersió, etc de la muestra, que so los que se calcula para estimar los parámetros. Los estadísticos que más vamos a utilizar so: La media muestral: x La desviació típica muestral: s. Muestreo Ya sabemos que ua població es el cojuto de idividuos sobre los que hacemos cierto estudio, y que ua muestra es u subcojuto de la població. Es evidete que los resultados de ua determiada ecuesta tedrá u mayor grado de fiabilidad si dicha ecuesta se realiza sobre la població completa. Si embargo, e la mayoría de las ocasioes esto o es posible, debido a múltiples razoes, como por ejemplo: Imposibilidad material Hacer ua ecuesta a los casi 41 milloes de españoles es imposible, o hacer u estudio sobre la fecha de caducidad de u producto. Si lo hacemos co todos los productos qué vedemos luego? Imposibilidad temporal Hacer u estudio sobre la duració de ua bombilla. Cuáto debemos esperar para saberlo?. Por tato, es habitual que tegamos que maejaros co muestras, de modo que es importate saber elegir bie ua muestra de la població, ua muestra que represete bie a dicha població y que os permita co u alto grado de fiabilidad iferir o predecir las características de la població. Hay muchas maeras de elegir ua muestra de ua població, Pero ates de pasar a aalizar dichas formas de extracció de muestras, lo que si hemos de dejar claro es que todas las muestras ha de cumplir varias codicioes idispesables. Es evidete que para que el estudio a realizar sea fiable, hay que cuidar mucho la elecció de la muestra, para que represete e la medida de lo posible a la poblacio de la que se extrae. Si la muestra está mal elegida, diremos que o es represetativa. E este caso, se puede producir errores imprevistos e icotrolados. Dichos errores se deomia sesgos y diremos que la muestra está sesgada. Ua de las codicioes para que ua muestra sea represetativa es que el sistema que se utilize para elegirla sea aleatorio, es decir, que todos los idividuos de la població tega las mismas posibilidades de ser elegidos, mietras que si la elecció de la muestra es subjetiva, es probable que resulte sesgada. Las distitas maeras de elegir ua muestra de ua població se deomia muestreos y básicamete hay dos tipos de muestreos: IES Mar Serea 3 Curso 09/10

4 1. Muestreo o probabilístico: El ivestigador o elige la muestra al azar, sio mediate determiados criterios subjetivos. Los idividuos de la població o tiee la misma probabilidad de ser icluidos e la muestra. E este tipo de muestreo suele ser muy escasa la represetatividad y por tato, poco válidas las iferecias que puede hacerse.. Muestreo probabilístico o aleatorio: Es el que se realiza teiedo e cueta que cada miembro de la població tiee la misma probabilidad de ser elegido e la muestra. Co este tipo de muestreo, las muestras suele ser más represetativas, es posible coocer los errores cometidos y puede hacerse iferecias estadísticas. E este caso podemos distiguir varios tipos: Muestreo aleatorio simple: Aquel e el que cada idividuo de la població tiee las mismas posibilidades de salir e la muestra. Muestreo sistemático: E el que se elige u idividuo al azar y a partir de él, a itervalos costates, se elige los demás hasta completar la muestra. Muestreo estratificado: Se divide la població e clases o estratos y se escoge, aleatoriamete, u úmero de idividuos de cada estrato proporcioal al úmero de compoetes de cada estrato. Muestreo por coglomerados: Si o dispoemos de la relació de los elemetos de la població, o de los posibles estratos, o podemos aplicar los muestreos ateriores. Aquí etra el llamado muestreo por coglomerados, dode e lugar de elegir idividuos directamete, se elige uidades más amplias dode se clasifica los elemetos de la població, llamados coglomerados. E cada etapa del muestreo e lugar de seleccioar elemetos al azar seleccioamos coglomerados. Los coglomerados debe ser ta heterogéeos como la població a estudiar, para que la represete bie. Luego se elegiría alguos de los coglomerados al azar, y detro de éstos, aalizar todos sus elemetos o tomar ua muestra aleatoria simple. No debemos cofudir estrato y coglomerado. U estrato es homogéeo (sus elemetos tiee las mismas características), mietras que u coglomeardo es heterogéeo (debe represetar bie a la població). E cualquier caso hemos de asumir que u error e el muestreo ocasioará que los resultados que proporcioe la muestra o coicida o esté alejados de los valores reales de la població. Puede darse dos tipos de errores: Error aleatorio muestral. Para reducir este error hay que aumetar el tamaño de la muestra. Error sistemático o Sesgo. Va asociado al proceso de selecció de la muestra y se reduce mejorado esta selecció. Veamos la diferecia de estos muestreos mediate el siguiete ejemplo: Imagiemos que hemos de recoger ua muestra de 0 alumos de etre los de u 600 istituto. Muestreo aleatorio simple: Elegiríamos u alumo al azar (probabilidad de elegirlo 1 ). 600 Lo devolvemos a la població y se elige otro (probabilidad de elegirlo 1 ), y así hasta Observa que si o devolviésemos al alumo, etoces, la probabilidad de escoger al o alumo sería 1, y ya o todos tedría la misma probabilidad de ser elegidos. 1 El 599 problema es que etoces permitimos que se pueda repetir idividuos. 1 Recuerda las extraccioes co y si reemplazamieto IES Mar Serea 4 Curso 09/10

5 Muestreo sistemático: Como hemos de elegir 0 alumos de 600, es decir, 1 de cada 30, se procede así: Se ordea los alumos y se umera, se elige uo al azar, por ejemplo el alumo 7, y luego los demás se elige a partir de este a itervalos de 30 alumos. Escogeríamos por tato a los alumos: 7,57,87,117,147,177,07,37,67,97,37,357,387,417,447,477,507,537,567,597 Muestreo estratificado: Como queremos que la muestra sea represetativa, lo mejor será coocer cuátos alumos de cada curso hay, es decir, si hay 00 alumos de 3 o ESO, 150 de 4 o ESO, 150 de 1 o Bachillerato y 100 de o Bachillerato, procederíamos así: Como de 600 e total hemos de elegir a 0, de 00 de 3 o de ESO hemos de elegir x 0 = x x = = 6, 6 7 alumos de 3o ESO De igual maera, utilizado ua regla de tres, podemos calcular los alumos correspodietes a los demás cursos: 7 alumos so de 3 o, 5 alumos de 4 o, 5 alumos de 1 o y 3 alumos de o. Por último, para la elecció de cada alumo detro de cada curso utilizamos el muestreo aleatorio simple. Muestreo por coglomerados: Para ver este muestreo, hemos de cambiar el ejemplo. Supogamos que queremos extraer ua muestra aleatoria de los estudiates uiversitarios del país. Necesitariamos ua lista co todos ellos para poder realizar algú muestreo del tipo de los 3 ateriores, lo cuál es muy difícil de coseguir. Si embargo, los estudiates esta clasificados por Uiversidades, Facultades y Clases. Podemos seleccioar e ua primera etapa alguas Uiversidades, después alguas facultades al azar, detro de las facultades alguas clases y detro de las clases, alguos estudiates por muestreo aleatorio simple. Los coglomerados e cada etapa sería las diferetes Uiversidades, las diferetes facultades y las diferetes clases. Como vemos los coglomerados so uidades amplias y heterogéeas. Ejercicio 1: E ua població de 1500 jóvees, 7500 adultos y 1000 aciaos, se hace ua ecuesta a 00 persoas para coocer sus actividades de ocio preferidas. Si se utiliza u muestreo estratificado, qué tamaño muestral correspode a cada estrato?. 3. Distribució Normal E este puto vamos a recordar la distribució de probabilidad ormal que es fudametal para compreder los putos siguietes. La campaa de Gauss, curva de Gauss o curva ormal es ua fució de probabilidad cotiua y simétrica, cuyo máximo coicide co la media µ. Esta curva fue descrita por el matemático alemá Carl F. Gauss, que llegó a ella estudiado los errores que se comete al medir reiteradamete ua cierta magitud. Al efectuar ua misma observació astroómica o geodésica repetidas veces, obteía valores diferetes debido a errores humaos y a errores de los aparatos de medida. Para resolver este problema formuló la teoría de míimos cuadrados, de gra utilidad práctica. IES Mar Serea 5 Curso 09/10

6 La gra importacia de esta distribució se debe a la eorme frecuecia co que aparece e las situacioes más variadas, etre las muchas variables que se distribuye ormalmete podemos citar: Caracteres morfológicos como peso, talla, etc Caracteres fisiológicos, como por ejemplo el efecto de ua misma dosis de u fármaco. Caracteres sociológicos, como por ejemplo el cosumo de ciertos productos por idividuos de u mismo grupo humao. Caracteres físicos, como por ejemplo la resistecia a la rotura de piezas aparetemete idéticas. Y e geeral cualquier característica que se obtega como suma de muchos factores Figura 1: Distribució Normal µ es la media, σ es la desviació típica Si X es ua variable aleatoria que sigue la Distribució Normal, etoces es suficiete co coocer su media µ y su desviació típica σ para que quede completamete determiada. Se dice etoces que X = N(µ, σ). La distribució Z = N(0, 1) se cooce como ormal estadar( µ = 0 y σ = 1 ). Se ecuetra tabulada y resulta secillo calcular probabilidades que se correspode co las áreas ecerradas bajo la curva. La tabla la tiees e el epígrafe Aexo I Tipificació de la variable Cuado ua variable ormal X o sigue la distribució estadar N(0, 1) sio ua N(µ, σ) etoces hay que tipificar la variable, es decir, trasformarla e ua variable estadar. Para ello se hace el cambio de variable: Z = X µ σ Co lo que el cálculo de probabilidades se reduce a: ( X µ P (X a) = P σ a µ ) ( = P Z a µ σ σ ) IES Mar Serea 6 Curso 09/10

7 y éstas se ecuetra e la tabla. Por ejemplo, e ua distribució X = N(14, 4) hallar P (X 0) ( X 14 P (X 0) = P 4 ) 0 14 = P (Z 1, 5) = 0, Como ya habrás observado (y recordarás del curso pasado), e la tabla sólo ecotramos los valores correspodietes a P (Z a) co a 0. E los demás casos hemos de usar propiedades de la curva ormal, como la simetría, para llegar al resultado. E el epígrafe Aexo II tiees ejemplos de todos los casos posibles. 3.. La distribució Biomial se aproxima a la ormal E el curso aterior estudiamos las distribucioes biomiales B(, p) aexo III. So distribucioes de probabilidad discretas 3, que respode a la fució de probabilidad: ( ) P (X = k) = p k q k r siedo la media µ = p y la desviació típica σ = p q. ( ) El cálculo de expresioes de la forma p r k q k, resulta muy laborioso y complicado sobre todo cuado es grade. El matemático Abraham de Moivre ( ) demostró el siguiete resultado que, bajo ciertas codicioes, permite aproximar la distribució biomial por ua distribució ormal: Teorema 1 Si X es ua variable discreta que sigue la distribució biomial X = B(, p), etoces la variable X se aproxima a ua variable ormal Y = N( p, p q) B(, p) N( p, p q) La bodad de la aproximació 4 es mayor cuato mayor es y cuato más próximo está p a 0,5. Ejercicio : Se efectúa 15 lazamietos de ua moeda. Calcula la probabilidad de que: a)salga exactamete 9 caras. b)salga etre 8 y 1 caras, ambas iclusive. Nota a teer e cueta: Correcció de Yates Cuado aproximamos ua distribució Biomial mediate ua Normal, estamos covirtiedo ua variable discreta e variable cotiua. Para variables cotiuas la probabilidad de que la variable tome u valor fijo es ula, P (X = a) = 0. Para evitar este problema, e la aproximació de los valores fijos, estos se corrige sustituyédolos por u itervalo cetrado e el valor y de amplitud la uidad. Así para X = a se cosidera a 0, 5 X a + 0, 5. Utiliza la correcció de Yates para resolver el ejercicio propuesto. 3 So aquellas e las que la variable sólo toma u úmero fiito o umerable de valores 4 Esta aproximació está especialmete idicada cuado es mayor que 10, ya que las tablas biomiales ofrece valores hasta =10 IES Mar Serea 7 Curso 09/10

8 4. Estimació de Parámetros Como el objetivo pricipal de la estadística iferecial es el estudio de la població y realizar prediccioes acerca de ella (pero a partir de ua muestra de ella, o de la població etera), e pricipio tedremos que estimar los ídices de la població a partir de los ídices correspodietes para la muestra. E ua primera aproximació, parece lógico pesar que si por ejemplo, queremos determiar la media de ua cierta població, si hemos cogido ua muestra represetativa la media de la muestra (que es fácilmete calculable porque teemos los datos) será muy parecida a la de la població y por tato os sirva para estimarla. Por tato debemos distiguir etre: 1. Parámetros poblacioales: Que so los ídices cetrales y de dispersió que defie a ua població. Represetaremos la media poblacioal µ y la desviació típica poblacioal σ. E el caso de proporcioes, la proporció de població que tiee ua determiada característica la deotaremos por p y la proporció que o la cumple por q = 1 p (como e la Distribució Biomial). Estadísticos poblacioales: So los ídices cetrales y de dispersió que defie a ua muestra. Represetaremos la media muestral por x y la desviació típica muestral por s. E el caso de proporcioes, la proporció de muestra que tiee ua determiada característica la deotaremos por ˆp y la proporció que o la cumple por ˆq = 1 ˆp. Cuál es el problema de la estimació etoces?. Como vamos a dispoer de ua muestra, lo que podemos calcular es x y s (o bie ˆp y ˆq), y a partir de estos itetar estimar quiees tiee que ser µ y σ (o bie p y q), los reales para la població. Para ello hemos de coocer cuál es la relació etre u estadístico y el correspodiete parámetro. Es ecesario coocer la distribució muestral de estos estadísticos. 5. Distribucioes muestrales 5.1. Distribució muestral de medias Comezamos por la situació de obteer coclusioes sobre la media de la població a partir del estudio de medias obteidas de las muestras. Si teemos ua població de parámetros descoocidos µ y σ, y tomamos ua muestra, podemos calcular la media muestral, x 1, que tedrá cierta relació co µ. Podríamos tomar otra muestra, de igual tamaño, y calcular de uevo su media muestral x, que tambié estará relacioada co µ. Así sucesivamete, podemos cosiderar ua variable aleatoria X, que asiga a cada muestra su media y podemos estudiar etoces su distribució deomiada distribució muestral de medias. IES Mar Serea 8 Curso 09/10

9 Teorema Si la població sigue ua distribució ormal N(µ, σ), dode µ y σ so descoocidos, si elegimos todas las muestras de cierto tamaño (), de forma que sea represetativas, etoces: La media de las medias muestrales de todas las muestras posibles, es igual a la media poblacioal, es decir: x = x 1 + x + + x k = µ k La desviació típica de las medias muestrales posibles es: s x = σ Coclusió: Las medias de las muestras de tamaño extraídas de ua població de parámetros µ y σ, se aproxima por ua distribució: X N ( µ, ) σ siempre que sea suficietemete grade. E la práctica se cosidera que es suficietemete grade si 30. Notas importates a teer e cueta: 1. Este resultado se cooce como Teorema cetral del límite. Si la població es ormal, el resultado se cumple para muestras de CUALQUIER tamaño (icluso meor que 30). 3. E la práctica suele ocurrir que σ es descoocida. E estos casos el resultado sigue siedo válido aproximado σ por la desviació típica muestral s, siempre que sea suficietemete grade ( 100). Ejercicio 3: La altura de los estudiates de cierta població se distribuye segú ua ormal de media 167 y desviació típica 3,. a) Calcula la probabilidad de que u estudiate mida meos de 165 cm. b) Se toma ua muestra de 10 estudiates. Calcula la probabilidad de que la media muestral sea meor que 165 cm. Ejercicio 4: Los pesos de los torillos que fabrica cierta máquia se distribuye segú ua N(14, 3, 8, 5) (medidas e gramos). Se toma muestras de 5 torillos. Calcular: a) Distribució que sigue las medias de esas muestras. b) Probabilidad de que ua muestra elegida al azar de 5 torillos tega u peso medio superior a 144,6 gramos. c) La misma preguta si la muestra es de 100 torillos. Ejercicio 5: Ua máquia ha fabricado piezas de precisió co u peso medio de 150 gr. y ua desviació típica de 0 gr. Calcular la probabilidad de que ua muestra de 80 piezas tega u peso medio de más de 155 gr. (Solució: 0 019) IES Mar Serea 9 Curso 09/10

10 Ejercicio 6: Sabemos que el gasto mesual e electricidad (por familia) se distribuye ormalmete co media 14,3 e y desviació típica 8,5 e. a) Halla la probabilidad de que ua muestra de 5 familias elegidas al azar, tega u gasto medio superior a 144,6 e. b) Realiza el mismo cálculo si la muestra que se toma es de 100 familias. 5.. Distribució muestral de proporcioes Cuado e ua població estudiamos cierta característica que sólo puede tomar dos valores: sí (éxito) o o (fracaso) os ecotramos co la distribució biomial. Nos plateamos ahora determiar qué proporció de ua població posee u cierto atributo, por ejemplo si es fumador o o fumador, si tiee ordeador o o, si tiee alergia o o,etc... El estudio de este tipo de proporcioes es equiparable al de ua distribució biomial (dode sólo hay dos posibilidades). Cada ua de las muestras que extraigamos tedrá u porcetaje de idividuos co esa misma característica. Llamamos p al parámetro poblacioal, que es la proporció de uo de los valores que preseta la variable aleatoria e la població y q al parámetro poblacioal para el otro valor (q = 1 p). Si extraemos muestras de tamaño, para cada muestra tedremos u estadístico proporció muestral que llamamos ˆp. La distribució que asocia a cada muestra su proporció es la distribució muestral de proporcioes. Como para poblacioes grades sabemos que la biomial se aproxima a ua ormal, aplicado razoamietos similares a los del apartado aterior se tiee el siguiete: Teorema 3 Las proporcioes muestrales de tamaño 30, extraídas de ua població e la que la probabilidad de éxito es p, se ajusta a ua ormal N ( p, ) p q E la práctica se cosidera que la aproximació es buea para 30, p 5 q 5. y E la práctica habitualmete ocurre que las proporcioes poblacioales p y q so descoocidas. E estos casos se aproxima por las respectivas de ua muestra ˆp. Esto se puede hacer por ser ˆp u estimador isesgado, como veremos e el epígrafe siguiete. Ejercicio 7: Ua fábrica de pasteles fabrica, e su producció habitual, u 3 % de pasteles defectuosos. U cliete recibe u pedido de 500 pasteles de la fábrica. a) Probabilidad de que ecuetre más del 5 % de pasteles defectuosos. b) Probabilidad de que ecuetre meos de u 1 % de pasteles defectuosos. Ejercicio 8: De ua població de 10 alumos, hay 48 que tiee o más hermaos. Si de dicha població se toma muestras de tamaño 40. a) Qué distribució sigue las proporcioes muestrales?. b) Cuál es la probabilidad de que se ecuetre e dicha muestra ua proporció de más del IES Mar Serea 10 Curso 09/10

11 55 % de alumos co o más hermaos?. Ejercicio 9: E u saco mezclamos judías blacas y pitas e la relació de 14 blacas por cada pita. Extraemos u puñado de 100 judías. Calcula la probabilidad de que la proporció de judías pitas esté compredida etre 0,05 y 0,1. Ejercicio 10: Ua població está formada por los elemetos 1,, 4 y 6 a) Obté todas las muestras co reemplazamieto de tamaño y calcula la proporció de cifras pares de cada muestra. b) Calcula la media y la desviació típica de la distribució muestral de proporcioes. c) Compara los resultados co los que coocemos teóricamete (Teorema 3). 6. Estimació Putual Comezamos este tema estudiado la teoría de muestras y hemos visto cómo la estadística iferecial trata de iferir iformació sobre ua població, utilizado muestras extraidas aleatoriamete de esa població. Detro de la estadística iferecial está la estadística iductiva, que trata de estimar parámetros poblacioales a partir de sus correspodietes estadísticos muestrales. Esta estimació puede hacerse de dos formas: Estimació putual Estimació por itervalos Por ejemplo si decimos que la estatura media de los españoles es de 1,75 m. estamos haciedo ua estimació putual, mietras que si decimos que la estatura media está etre 1,7 y 1,78 m. estamos haciedo ua estimació por itervalos. Por tato la estimació putual cosiste e estimar mediate u úico valor el parámetro poblacioal descoocido. Las estimacioes putuales so más precisas que las estimacioes por itervalos, que veremos e el epígrafe 8, si embargo, so meos fiables. E la estimació putual el estadístico que usamos para la estimació se llama estimador putual. Éstos puede ser: Isesgados: Si la media de la distribució muestral del estadístico coicide co su correspodiete parámetro poblacioal. Segú hemos visto e el puto aterior: La media muestral ˆx es u estimador isesgado de la media poblacioal µ La proporció muestral ˆp es u estimador isesgado de la proporció poblacioal p Sesgados: Si la media de la distribució muestral del estadístico NO coicide co su correspodiete parámetro poblacioal. E geeral siempre debemos escoger estimadores isesgados 5 5 Si hay más de u estimador isesgado para u mismo parámetro, se escoge el más eficiete, e el setido de que su distribució muestral tega meos dispersió IES Mar Serea 11 Curso 09/10

12 7. Itervalos de Probabilidad E ua variable ormal cualquiera N(µ, σ), se verifica que: 1. E el itervalo (µ σ, µ + σ) está el 68 6 % de la població.. E el itervalo (µ σ, µ + σ) está el % de la població. 3. E el itervalo (µ 3 σ, µ + 3 σ) está el % de la població. Figura : Porcetajes de població e los diferetes itervalos simétricos de la ormal estadar N(0, 1). Es evidete que a medida que el itervalo se amplía, hay mayor porcetaje de la població e él. E geeral, dado u porcetaje del N %, siempre es posible ecotrar u itervalo simétrico respecto de la media de forma que dicho itervalo cotega a dicho porcetaje de població. Más explicitamete, se deomia itervalo de probabilidad a aquel itervalo para el cuál se sabe que hay ua seguridad del N % de que los parámetros muestrales ( x o ˆp) se ecuetre e dicho itervalo. La seguridad N viee fijada previamete. Se deomia Nivel de cofiaza al úmero: 1 α = N 100 y llamaremos Nivel de sigificació al valor α. Nota: El ivel de cofiaza vedrá explicitado e las codicioes del problema, por ejemplo: Si queremos que el 85 % de la població esté e el itervalo, el ivel de cofiaza será 1 α = = 0, 85 mietras que el ivel de sigificació será α = 0, IES Mar Serea 1 Curso 09/10

13 7.1. Itervalo de probabilidad para la media muestral X Si la població sigue ua distribució de parámetros µ y σ, y las muestras so de tamaño 30 (o bie la població es ormal y las muestras puede ser de cualquier tamaño), sabemos que la media muestral x sigue ua distribució: X N σ µ, Se trata de ecotrar el valor de k como e la figura: Figura 3: Buscamos el valor de k que deje e el itervalo (µ k, µ + k) al (1 α) 100 % de la població. Razoemos ahora sobre la ormal Z N(0, 1) que es la que se ecuetra tabulada: Si queremos que el itervalo buscado cotega a la media muestral co ua cofiaza de 1 α, etoces fuera del itervalo el área tiee que ser de α, y como la curva es simétrica, e cada ua de las ramas fuera de la regió sombreada teemos u área de α. Llamaremos zα al puto situado e eje x que separa la regió sombreada de la otra. Figura 4: E la tabla de la N(0, 1) buscamos el valor z α de modo que e el itervalo ( z α, z α ) esté el (1 α) % de la població. IES Mar Serea 13 Curso 09/10

14 Ahora bie, este valor correspode a ua Normal N(0, 1), como osotros maejamos ua ) σ N (µ, debemos tipificar: Y despejado ecotramos el valor buscado: k µ σ = z α k = µ + σ z α De modo que, dado el ivel de sigificació α o el de cofiaza 1 α, podemos determiar el itervalo de probabilidad para la media muestral, que será: µ σ z α, µ + σ z α Veamos algú ejemplo: Sabiedo que la població de recié acidos sigue ua ormal de media µ=3100 gr. y desviació tipica σ=150 gr.calcular el itervalo de probabilidad co u ivel de cofiaza del 95 % para la media de ua muestra de 100 recié acidos. Solució: Para u ivel de cofiaza del 95 %, el ivel de sigificació es α = 0.05 y e cada zoa fuera de la regió queda α = 0.05 Debemos buscar e la tabla de la N(0, 1) el valor z 0,05, es decir, el valor que deja a su derecha u área de 0.05 P (Z z 0,05 ) = 0,05 = P (Z z 0,05 ) = 0,975 = z 0,05 = 1,96 }{{} mira e la tabla Figura 5: Obteció del valor z para u ivel de cofiaza del 95 % Sabemos que la media muestral sigue ua distribució: ( ) 150 N 3100, 100 Por tato el itervalo buscado es : ( , , ,96 ) = (3070,6, 319,4) IES Mar Serea 14 Curso 09/10

15 Esto sigifica que el 95 % de las muestras de tamaño 100 tedrá su media compredida etre estos dos valores: (3070,6, 319,4). Nota: Como es el resultado tambié sería cierto icluso si el peso de los recie acidos fuera ua variable que o siguiera ua distribució ormal. Ejercicio 11: Las otas de ua població de 150 alumos sigue ua distribució de media 5,5 y variaza σ = 4,1616. Extraemos muestras de tamaño 36. Calcula el itervalo de probabilidad para u ivel de cofiaza del: a)75 % b) %, e iterpreta los resultados. 7.. Itervalo de probabilidad para la proporció muestral ˆp Razoado de maera aáloga podemos llegar a obteer u itervalo para la proporció muestral ˆp co u ivel de sigificació α. ( p q p z α, p + z α p q ) dode p y q so las proporcioes poblacioales y 30. Ejercicio 1: Sabiedo que la proporció de alumos co teléfoo móvil de ua població de 10 alumos es de p = 0, 7. Halla el itervalo de probabilidad para la proporció de: a) las muestras de tamaño 30 co ua cofiaza del 75 %. b) las muestras de tamaño 49 co ua cofiaza del 90 %. c) las muestras de tamaño 49 co ua cofiaza del 99 %. 8. Estimació por itervalos Si queremos estimar la estatura de u jugador de balocesto y decimos 1,85 metros estamos haciedo ua estimació putual que o dice ada sobre la seguridad o duda de que esto sea cierto, si embargo si decimos: estoy casi seguro que mide etre 1,80 y 1,90, etoces teemos u cierto grado de cofiaza de que eso sea cierto. Es por esto que la estimació putual se utiliza poco, pues o teemos datos suficietes que os idique el grado de fiabilidad del dato muestral que hemos tomado. Lo que tiee más setido platearse es cúal es la probabilidad de que la media o proporció poblacioal perteezca a u itervalo determiado. Logicaméte cuato mayor sea el itervalo mayor será el grado de cofiaza que podamos teer, auque tambie será mayor el error que cometamos al hacer la estimació. IES Mar Serea 15 Curso 09/10

16 8.1. Estimació de la media de ua població µ La media µ de ua població es descoocida y deseamos coocerla. Para ello, basádoos e los itervalos de probabilidad, sabemos que si la població tiee parámetros µ y σ, la media muestral x sigue ua distribució: siedo el tamaño de la muestra. X N σ µ, Sabemos tambié que el itervalo de probabilidad para x co u ivel de cofiaza (1 α) es: µ σ z α, µ + σ z α De dode se tiee que: µ σ z α x µ + σ z α Ahora despejado µ e la primera desigualdad: y despejado e la seguda desigualdad: µ x + σ z α µ x σ z α Por lo que: x σ z α µ x + σ z α Coclusió: El itervalo de cofiaza para la media µ descoocida es: x σ z α, x + σ z α Notas: Este resultado es cierto siempre que tegamos la certeza de que la població objeto de estudio sigue la distribució ormal, o bie, que el tamaño de las muestras sea suficietemete grade ( 30). Recuerda el teorema. Cuado la desviació típica poblacioal σ es descoocida, e su lugar se usa la desviació típica muestral s, co lo que el itervalo queda: x s z α, x + s z α Al valor σ se le llama Error típico IES Mar Serea 16 Curso 09/10

17 Ejercicio 13: Para estimar la media de los resultados que obtedría al resolver u cierto test los alumos de 4 o de E.S.O. de la Comuidad de Adalucía, se les pasa el test a 400 alumos escogidos al azar, co los resultados de la siguiete tabla: Putuació Número de alumos Estima co u ivel de cofiaza del 95 % el valor de la media poblacioal. Ejercicio 14: De ua variable estadística coocemos la desviació típica 8, pero descoocemos la media. Para estimarla, extraemos ua muestra de tamaño 60 cuya media es 37. Estimar la media poblacioal co ua cofiaza del 99 %. 8.. Estimació de ua proporció p Si para ua poblacio se descooce la proporció p de idividuos que posee cierta propiedad, y deseamos dar u itervalo de cofiaza para el valor de p, como el itervalo de probabilidad para la proporció muestral, ˆp, para el ivel de cofiaza 1 α e ua muestra de tamaño es: ( p q p z α, p + z α p q Razoado igual que e el caso aterior ecotramos que el itervalo de cofiaza para p co u ivel de sigificació α es: ( p q ˆp z α, ˆp + z α p q Y como además o se cooce i p i q se utiliza e su lugar ˆp y ˆq, quedado: Notas: ˆp z α ˆp ˆq, ˆp + z α Para poder aplicar este resultado es ecesario que 30 Habitualmete e las ecuestas se suele utilizar esta fórmula co el valor p = q = 0, 50 porque es la situació más desfavorable. Ejercicio 15: Determia el itervalo de cofiaza, co ua sigificació del 0,05 para la proporció poblacioal de fumadores etre los jóvees meores de 18 años, a partir de ua muestra de tamaño 900, cuado o se cooce valores de p ateriores. Cosidera los dos casos ateriores (usado ˆp y usado p = q = 0, 5). La proporció de fumadores e la ecuesta ha sido de ˆp = 0, 3. IES Mar Serea 17 Curso 09/10 ˆp ˆq ) )

18 8.3. Error máximo admisible Al estudiar los itervalos de cofiaza hemos visto que su amplitud depede del factor: z α σ p q o z α E el caso de la media se tiee: µ x = z α σ E el caso de la proporció: p ˆp = z α p q Se llama Error máximo admisible para la estimació de medias o de proporcioes, respectivamete a: E = z α σ p q o E = z α Observamos que: El error es mayor al aumetar el ivel de cofiaza, ya que el valor z α podemos observar e la tabla: aumeta como Cofiaza = 1 α z α 0,90 1,645 0,95 1,960 0,99,575 Al aumetar el tamaño muestral dismiuimos el error porque dividimos por u úmero mayor: Por tato: Para reducir el error o hay que aumetar la cofiaza, sio el tamaño de la muestra elegida Tamaño de las muestras Hemos visto que el tamaño de las muestras es iversamete proporcioal al error admisible E. A partir de la expresió del error admisible podemos despejar el valor del tamaño de la muestra : Para la estimació de medias: = Para la estimació de proporcioes: ( Z α σ ) E = Z α p q E Ejercicio 16: Al medir u tiempo de reacció, u psicólogo sabe que la desviació típica del mismo es 0,5 segudos. Cuál es el úmero de medidas que deberá realizar para que co ua cofiaza del 99 %, el error de estimació o exceda de 0,1 segudos?. IES Mar Serea 18 Curso 09/10

19 Ejercicio 17: Se sabe que el tiempo de dedicació de los jóvees al ocio sigue ua distribució ormal de media 400 miutos y desviació típica 63 miutos. Halla el tamaño míimo de la muestra de jóvees que garatiza co ua probabilidad de 0,95 que el tiempo medio de ocio está etre 38 y 418 miutos. Ejercicio 18: Para 96 familias españolas elegidas al azar se ha determiado que la TV permaece ecedida e la casa ua media de 17 miutos diarios, la desviació típica de la muestra fue de 40 miutos. a) Para ua fiabilidad del 95 % qué error se asume cuado se da por bueo ese dato para el total de las familias españolas?. b) Qué tamaño muestral sería ecesario para reducir ese error a la mitad?. NOTA IMPORTANTE Diferecia etre itervalos de probabilidad y de cofiaza E u itervalo de probabilidad lo que coocemos es la media y desviació típica poblacioales, y damos el itervalo dode se ecotrará (para u cierto ivel de cofiaza) la media muestral o la proporció muestral. Si embargo, e u itervalo de cofiaza etramos ya e el terreo de la estimació, es decir: NO coocemos la media poblacioal (y e ocasioes tampoco la desviació típica poblacioal) i la proporció poblacioal, sio que sólo coocemos, o podemos calcular, la media muestral o la proporció muestral, y de lo que se trata es de dar u itervalo e el que se ecuetre la media poblacioal (o la proporció poblacioal). 9. Actividades Fiales 1. Supogamos que ua població se compoe de iños de edades, 3, 6, 8 y 11 años. Cosidera todas las muestras posibles de 3 iños (co reemplazamieto) que puede formarse. Halla: a) La media y la desviació típica de la població. b) La media y la desviació típica de la distribució muestral de medias. c) Qué relació hay etre los resultados obteidos e a) y b)?. Supoiedo que las putuacioes de u test de iteligecia se distribuye segú ua Normal N(100,15). a) Calcula la probabilidad de que ua muestra de tamaño 49, extraida de esa població, tega ua media iferior a 98. b) Calcula la probabilidad de que ua muestra de tamaño 81, extraida de esa població, tega ua media superior a 105. IES Mar Serea 19 Curso 09/10

20 3. Se supoe que la estatura de los jóvees de 18 años de cierta població sigue ua distribució ormal de media 16 cm y desviació típica 1 cm. E ua muestra tomada al azar de 100 de esos jóvees: a) Cuál es la probabilidad de que la media esté etre 159 y 165 cm?. b) Cuátos de esos jóvees tiee su estatura etre esos valores?. 4. E ua determiada població se sabe que el 0 % de las persoas usa gafas graduadas y el resto o. Tomamos ua muestra de 56 persoas. Cuál es la probabilidad de que el porcetaje de persoas ecuestadas que usa gafas esté etre el 15 % y el 5 %? 5. E ua muestra aleatoria de 1000 persoas, está a favor de que el miisterio de ecoomía matega la presió fiscal el 65 %. Halla el itervalo de cofiaza del 99 % para la proporció. E ua ecuesta realizada u año ates había resultado u 68 % favorable al mateimieto de la presió fiscal, cae este valor detro del marge de cofiaza de la ueva ecuesta?. Qué podemos decir sobre el cambio de opiió de la població de u año a otro? 6. Se sabe que la desviació típica del peso de los idividuos de cierta població es 6 kg. Calcula el tamaño de la muestra que se ha de cosiderar para, co u ivel de cofiaza del 95 %, estimar el peso medio co u error iferior a 1 kg. 7. E ua ecuesta de opiió, durate ua campaña electoral e ua ciudad, se pregutó a ua muestra aleatoria de 400 persoas a cuál de los dos cadidatos pesaba votar. Declararo 160 que votaría a u determiado partido. Obté u estimador putual y u itervalo de cofiaza del 95 % para la proporció de ciudadaos que votará a ese partido e las eleccioes. 8. La edad media de esperaza de vida de ua població es 50 años, co ua desviació típica de 10 años. Ua compañía de seguros quiere determiar el tamaño de ua muestra para que la estimació difiera del valor 50 e al meos % de este valor, tomado como ivel de cofiaza el 95 %. Calcula el tamaño de dicha muestra. 9. Deseamos coocer el úmero de persoas mayores de edad, que sería ecesario icluir e ua muestra acioal, para estimar su proporció co u error de E=0,04 y u ivel de cofiaza del 99,73 %. Se dispoe de u valor p = 0, 45 del último ceso. 10. La desviació típica de los habitates de cierto país es 10 cm. Calcula el tamaño míimo que ha de teer ua muestra de habitates de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea iferior a 1 cm co u ivel de sigificació α = 1 %. 11. La estatura media de los iños de 10 años e España es de 135 cm, co ua variaza de 64 cm. Calcula el tamaño de muestra ecesario para que el itervalo de cofiaza al 95 % de la media muestral tega ua amplitud de cm. 1. Segú ua ecuesta electoral, la iteció de voto a cierto partido político está etre el 4 % y el 48 %. Se trata de u itervalo de cofiaza, pero e la ficha técica o aparece el ivel de cofiaza, sólo aparece el tamaño de la muestra = 1056 idividuos. Obté el ivel de cofiaza. IES Mar Serea 0 Curso 09/10

21 10. Aexo I: Tabla de la Distribució Normal Estadar IES Mar Serea 1 Curso 09/10

22 11. Aexo II IES Mar Serea Curso 09/10

23 1. Aexo III: La Distribució Biomial Se cooce como experimeto de Berouilli a u experimeto aleatorio que sólo tiee dos resultados posibles, que so complemetarios etre sí y se deomia: éxito y fracaso. Cosideramos u experimeto aleatorio co las siguietes características: 1. Cada prueba del experimeto es ua prueba de Berouilli, es decir, sólo so posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su cotrario A (fracaso).. El resultado obteido e cada prueba es idepediete de los resultados obteidos e las pruebas ateriores. 3. La probabilidad del suceso A es siempre costate y o varía de ua prueba a otra. P (A) = p y P (A) = q = 1 p. Defiimos la variable aleatoria X como el úmero de éxitos obteidos e pruebas. Etoces X es ua variable aleatoria discreta que sigue la deomiada como distribució de probabilidad biomial. Ua distribució biomial queda caracterizada por dos parámetros: El úmero de pruebas realizadas y la probabilidad del suceso éxito p y se represeta por B(,p). IES Mar Serea 3 Curso 09/10