Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

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1 Física Geneal Poyecto PMME - Cuso 007 Instituto de Física Facultad de Ingenieía UdelaR TITULO DINÁMICA DEL RÍGIDO. AUTORES Emiliano Gacía, Juan Manuel Galasso, Valeia Rey INTRODUCCIÓN El siguiente ejecicio, tata sobe la mecánica de los cuepos ígidos. Más específicamente, hablaemos de la ama de la dinámica y sobe cómo influye, en las distintas aceleaciones, la vaiación de las masas y los adios que involuca el poblema. Luego de esuelto el ejecicio, gaficaemos algunos esultados impotantes y los analizaemos desde el punto de vista de los fenómenos físicos que nos inteesan. ) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA Sea un caetel fomado po discos de masa M y adio (cada uno) y un eje de adio de masa despeciable, una polea de adio y masa m, y una caja de masa m vinculados po un hilo inextensible de masa despeciable. El caetel se encuenta sobe una supeficie con ficción como se muesta en la figua. Plantea las ecuaciones que pemitiían calcula la aceleación del cento de masa del caetel. ) MARCO TEÓRICO Paa esolve el ejecicio es necesaio tene algunos conceptos claos, que pasaemos a desaolla..) Movimiento cicula: Los puntos que confoman al caetel, descibián un movimiento cicula especto al eje de gio del mismo. Se veá más adelante, que esto sucede puesto que existe ozamiento ente la supeficie y el ígido en cuestión. - -

2 En el movimiento cicula el adio es constante, entonces sus ecuaciones se deducen de la siguiente manea: cte x.î + y.ĵ x ( cos θ.î + senθ.ĵ).cos θ.î +.senθ.ĵ. V a + y d dt dv dt veso ( x.î ɺ + y.ĵ ɺ ) R.senθ. θɺ.î + R.cos θ. θɺ.ĵ Rθɺ ( senθ.î + cos θ.ĵ) ( ) ɺɺ( ) ɺ x.î ɺ + y.ĵ ɺ Rθ senθ.î + cos θ.ĵ + Rθ ( cos θ.î senθ.ĵ) Po lo cual podemos deduci las siguientes ecuaciones: êθ ê êθ R.ê V R. θɺ.ê a R. ɺɺ θ.ê θ θ R. θɺ.ê.) Rodadua sin desliza: Mientas el caetel ueda lo hace sin desliza, esto sucede ya que existe ozamiento ente el ígido, y la supeficie po la cual se desplaza. Po ejemplo: genealmente tatamos de no deja una maca de caucho de nuesto vehículo cuando conducimos. Esto es, tatamos de que los neumáticos ueden sin que su supeficie se esbale sobe el pavimento. Roda sin desliza significa que la velocidad elativa del piso y de la pate del objeto en contacto con él es 0. Po ejemplo, un caetel que ueda sin desliza, en el maco de efeencia del cento, el punto de contacto se mueve hacia la izquieda. La velocidad del cento del caetel con especto a la mesa es hacia la deecha. La suma de estas velocidades da como esultado 0, la velocidad del punto de contacto con especto a la mesa. - -

3 .3) Oto dato impotante que nos binda la leta es que la cueda que une el caetel y la masa es inextensible, esto quiee deci, que la velocidad en todos los puntos de la cueda es la misma en módulo y además que ésta ueda sin desliza en el caetel po lo que la velocidad instantánea de la cueda y los puntos de contacto de ésta con el caetel es la misma..4) Toque: Po último paa pode descibi el movimiento del caetel debemos habla de toque. Sabemos po expeiencia que el modo más fácil de abi una pueta es aplicando la fueza pependicula a la hoja, tan lejos de las bisagas como sea posible. El toque es el poducto vectoial de la distancia ente el eje de gio y el punto de aplicación de la fueza sobe el ígido, con la fueza que se le aplica al mismo. Descibe la eficacia de una fueza, po ejemplo, paa abi la pueta. La diección del toque y el sentido de otación que causa, se elaciona con la egla de la mano deecha. En esumen, el toque τ 0 que se ejece alededo del punto O, cuando se aplica una fueza F en la posición especto a O es igual al poducto vectoial de po F. τ0 F ecuación (.) Po oto lado sabemos que intevalos pequeños tomamos geomética W F. s dw F. ds Po lo tanto, paa.po la elación ds. dϕ dw F. d. ϕ dw τ NETO. dϕ. τ NETO Si deivamos obtenemos que Po ecuaciones del movimiento cicula es la sumatoia de los toques extenos: dω τ EXT I. I. α. i dt dw τ NETO. dϕ dw P τ NETO. ω dt W k y vemos que dw dk. en función del tiempo ; po teoema conocemos I. ω k y dk I. ω. dω τ EXT. ω. dt I. ω. dω i. Sabiendo que toque neto, y opeando se obtiene En conclusión τ I. α TOT. ecuación (.) - 3 -

4 3) RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 3.) Reconocemos las fuezas que intevienen en el movimiento (figuas 5 y 6). 3.) Comenzamos a plantea las ecuaciones espectivas de cada cuepo, sabiendo que contamos con toque y newton paa esolve el poblema. Newton bloque. i) No hay fuezas j) T g y ɺ ɺ ecuación (3.) Newton polea. No apota datos al poblema

5 Newton caetel. i )T FS M.xɺ j ) N M.g 0 ɺ ecuación (3.) ecuación (3.3) Toque polea. τ I total 0 T. T. I0. α T. T. m i.i 0. α ecuación (3.4) Toque caetel. Obsevación: la nomal y peso no hacen toque paa el eje elegido. τ I total 0 T. F S.R I0. α T. F S.R M.R m i.i M.R 0 ecuación (3.5) Condición de odadua sin desliza del caetel. V V Q Q 0 V V R.S.D. P p 0 V ABS,P VP,O + V 0 0 ( ω.r + x)î ɺ xɺ ω.r ɺɺ x α.r vista V de de P O V del sistema DERIVO ecuación (3.6)

6 Condición de odadua sin desliza en la polea. Con el mismo pocedimiento hallamos la siguiente ecuación: yɺ ω. ɺy α. DERIVO ecuación (3.7) Rodadua sin desliza de la cueda sobe el caetel. yɺ vp vp (xɺ + ω.)î yɺ (xɺ + ω.)î ɺɺ y ɺɺ x + α. DERIVO yɺ y.î ɺ ecuación (3.8) 3.3) A pati de las ecuaciones deducidas planteamos un sistema que nos pemitiá llega a las conclusiones finales. Llegamos a un sistema de 8 ecuaciones y 8 incógnitas ( ɺ x, ɺɺ y,,, T, T, F, N) T g ɺɺ y T FS. M. ɺɺ x N Mg 0 T. T.. α T. FS. R M. R. α ɺɺ x α. R ɺɺ y α. ɺɺ y ɺɺ x + α. α α S - 6 -

7 Con el pogama Deive 5.0 despejamos ɺ xɺ e ɺ yɺ :. R. g. ( R ) ( R ( M + m) R. + m ). ɺ ɺx 3. 3m R R. g. ( R ) ( ) + 6R M x. g. ( R. R. + ) ( R ( M + m). R. + m ) ɺ ɺy 3 3m R. g. ( R ) ( ) + 6R M y 4) ANÁLISIS Y CONCLUSIONES 4.) Si R 3. y M βm ( ) ( ) ( ). β. m.3.. g. 3. g. ɺɺ x 3m β m g 54.β ɺ yɺ 3..g. ( 3 ) 8,g. 8.g ( 3 ) + 6( 3). β.m β.m + 54β En ojo: ɺ x f ( β ) En vede: ɺ y f ( β ) Inmediatamente se puede obseva, que ambas aceleaciones consevaán sus espectivos signos, independientemente del valo de β. Lo que indica la anteio gáfica, y es significativo paa el estudio del poblema, es que al se la masa M consideablemente mayo que la masa m, ambas aceleaciones disminuyen su módulo, tendiendo a 0, peo el módulo de la aceleación ɺyɺ es siempe mayo a ɺ xɺ (esta última disminuye más buscamente, al aumenta β ). Paticulamente, paa valoes más pequeños la difeencia ente las aceleaciones, en valo absoluto, aumenta hasta el valo apoximado β 0. donde llegan a una difeencia máxima: 3.ɺxɺ ɺy. Recodemos que paa valoes 0 < β, M m ɺɺ x β 0 ɺɺ y. Cuando el valo de. Gaficando la difeencia ente el módulo de las aceleaciones, notamos - 7 -

8 que paa un valo cecano de cumpliía ɺ x > ɺy ɺ xɺ ɺy β y paa valoes menoes, se R. y M 3. m 4.) Si δ ɺ xɺ 3m ɺ y 3... δ. g( δ ) ( δ. ) + 6( δ. ).g. ( δ. ) ( δ. ) + 6( δ. ) 3m 3. g. ( δ δ ) ( δ ) + 8. δ. 3m 3..g( δ ) ( δ ) + 8. δ En ojo: ɺ x f ( δ ) En vede: ɺ y f ( δ ) Gáfico R >> Razonando análogamente con la gáfica anteio, tenemos que paa valoes, las aceleaciones aumentan en módulo, peo de foma muy paulatina. Cuando nos acecamos a valoes R, las aceleaciones, tienden a 0, a tal punto que en el caso R, la aceleación de ambas, seía 0. Paa 0 < δ, ɺ xɺ inviete su signo, es deci, desacelea lo cual significa que si patiea del eposo, el hilo se desenollaía del caetel. Existe un pequeño intevalo ente 0 y, en el que el valo de ɺ yɺ, seía mayo que ɺ xɺ. Obsevamos también que ɺ yɺ siempe conseva su signo negativo. Cuando las R <<, ɺ xɺ 0, peo desde los valoes negativos, mientas que ɺ yɺ, alcanzaía su máximo en módulo (apoximadamente 6,6 m ) BIBLIOGRAFÍA. RESNICK HALLIDAY KRANE. Física Geneal. LEA BURKE. Física Vol.: La natualeza de las cosas. s - 8 -