Tema 10 Funciones elementales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

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1 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato TEMA 0 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN EJERCICIO : Indica cuáles de las siuientes representaciones corresponden a la ráica de una unción. Razona tu respuesta: En una unción, a cada valor de le corresponde, a lo sumo, un valor de. Por tanto, es unción, pero no lo es. EJERCICIO : La siuiente ráica corresponde a la unción (): Cuál es su dominio de deinición? Indica los tramos en los que la unción es creciente en los que es decreciente. c) En qué punto tiene la unción su máimo? [0, ] Es creciente en [0, 6] decreciente en [6, ]. c) El máimo está en el punto (6, ). EJERCICIO : Dadas las unciones: Di si son continuas o no. Halla la imaen de para cada una de las cuatro unciones. Solo es continua la II). I) II) III) no está deinida. IV) EJERCICIO : Dada la ráica: Di si () es continua o no. Razona tu respuesta. Halla (), (0), () (). No es continua, puesto que en no está deinida. () ; (0) 0; () no eiste; ()

2 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato EJERCICIO : Halla (), (0) (), siendo: () () (0) 0 () DOMINIO si si si < > EJERCICIO 6 : A partir de la ráica de estas unciones, indica cuál es su dominio su recorrido: c) d) e) ) Dominio R { } Recorrido R {-} d) Dominio (0, ) Recorrido R Dominio [ 0, ) Recorrido [0, ) e) Dominio R {-} Recorrido R {} c) Dominio R Recorrido (0, ) ) Dominio (-,] Recorrido [0, ) { 0} EJERCICIO 7 : Halla el dominio de deinición de las siuientes unciones: c) d) e) 6 ) ) h) 6 i) j) k) l) 9 o) p) ± 6 ± m) n) q) Dominio R {, } 0 Dominio, c) 0 ± ± Dominio R d) 0 0 Dominio 0, [ ) e) 0 para todo R Dominio R {, } ñ)

3 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato ) > 0 > Dominio, ) 0 ( ) 0 ( ) 0 Dominio R { 0, } h) Dominio [, ) i) ( ) 0 Dominio R { } j ) 0 Dominio, k) 9 0 l) 0 m) ± Dominio Dominio 9 ± [, ) R { 0 } [ ) Dominio R n) 0 Dominio, ñ) > 0 Dominio 0, o) Dominio 0, R p) 0 Dominio,, { } ( ] [ ) ( ) 0 { } q) Dominio R {, } EJERCICIO 8 : Tenemos una hoja de papel de base 8,8 cm altura 0 cm. Si recortamos por una línea paralela a la base, a dierentes alturas, enrollamos el papel, podemos ormar cilindros de radio cm altura : El volumen del cilindro será: V π 8,6 Cuál es el dominio de deinición de esta unción? puede tomar valores entre 0 0 cm.por tanto, Dominio ( 0, 0). EJERCICIO 9 : De un cuadrado de lado 0 cm se recorta una tira de cm en la base otra de la misma lonitud en la altura, obteniéndose un nuevo cuadrado de lado (0 ) : A 0 Cuál es el dominio de deinición de esta unción? El área de este nuevo cuadrado será: puede tener valores entre 0 0 cm.por tanto, Dominio ( 0, 0). EJERCICIO 0 : Vamos a considerar todos los rectánulos de 0 cm de perímetro. Si llamamos a la lonitud de la base, el área será: ( ) A Cuál es el dominio de deinición de esta unción? puede tomar valores entre 0 cm.por tanto, Dominio ( 0, ).

4 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato FUNCIONES LINEALES EJERCICIO : Representa ráicamente: 0,, c) d) ( ) c) d) EJERCICIO : Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) (, ). ( ) La pendiente de la recta es: m 7 7 La ecuación será: ( ) EJERCICIO : Escribe la ecuación de las rectas cuas ráicas son las siuientes: 7 7 Vemos que la recta pasa por los puntos (, ) (, ). Su pendiente será : La ecuación será: ( ) m Observamos que la recta pasa por los puntos ( 0, 0) ( 0, 80). Su pendiente será : 6 Por tanto, su ecuación es: 0 EJERCICIO : Halla la ecuación de la recta que pasa por (, ) cua pendiente es. Escribimos la ecuación puntopendiente: ( ) m

5 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato FUNCIONES CUADRÁTICAS EJERCICIO : Representa ráicamente las unciones: ( ) c) d) ( ) Hallamos el vértice: b a Punto (, ). Puntos de corte con los ejes: Con el eje Con el eje ± 6 X 0 0 ± 0,7 Punto ( 0,7 ; 0),7 Punto (,7; 0) Y 0 Punto 0, Tabla de valores alrededor del vértice: La ráica es: X 0 Y - - b Hallamos el vértice: - Punto ( -, ). a Puntos de corte con los ejes: Con el eje X Con el eje ± 8 0,7,7 Y 0 Punto 0, Hallamos alún otro punto: X Y Punto Punto ( 0,7; 0) (,7; 0) La ráica es: b 0 c) Hallamos el vértice: V -0 a Punto ( 0,). Puntos de corte con los ejes: Con el eje X 0 0 ± (, 0) (,0) ± Puntos Con el eje Y 0 Punto (0,) Hallamos alún otro punto: La ráica es: X Y 0 0

6 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 6 b a d) El vértice de la parábola es: Punto (, ) Puntos de corte con los ejes: Con el eje X 0 0 ( ) 0 0 Punto ( 0, 0) 0 Punto (, 0) Con el eje Y 0 0 Punto (0,0) Hallamos alún otro punto: La ráica es: X - 0 Y RECOPILACIÓN RECTAS Y PARÁBOLAS EJERCICIO 6 : Representa ráicamente: Halla el vértice de la parábola: 0 8 Hallamos dos puntos de la recta: La ráica será: 0 b 0 La abscisa del vértice es: a 9 La ordenada es: El vértice es el punto,. EJERCICIO 7 : Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) (, ), represéntala. Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola. La pendiente de la recta es: m La ecuación será: ( ) Con los dos puntos que tenemos la podemos representar:

7 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 7 Puntos de corte con los ejes: Con el eje X: 0 0 ( ) 0 0 Punto Punto (0, 0) (, 0) Con el eje Y: 0 0 Punto (0, 0) Los puntos de corte con los ejes son el (0, 0) el (, 0) EJERCICIO 8 : Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I) 0 II) 0 III) Representa ráicamente: I) pendiente II) pendiente III) pendiente 0 Hallamos el vértice: Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 0 Punto (0.0) Con el eje X 0 0 ( ) 0 Tabla de valores alrededor del vértice: X 0 / Y / - 0 9, 0 Punto Punto (0, 0) (, 0) La ráica sería: EJERCICIO 9 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) tiene pendiente. Representa ráicamente: La ecuación será: - ( ) El vértice es el punto (0, ). Los puntos de corte con los ejes son: Con el eje Y 0 Punto (0, ) Con el eje X 0 0 Tabla de valores alrededor del vértice: X Y 0 0 EJERCICIO 0 ; Representa ráicamente: 0 Halla el vértice de la parábola: 8 Despejamos : Hallamos dos puntos de la recta la representamos. Punto (, 0) Punto (, 0) La ráica sería:

8 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 8 b 8 La abscisa del vértice es: a La ordenada es: El vértice es el punto (, 6). FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA EJERCICIO : Representa ráicamente las siuientes unciones: c) Dominio de deinición: R {-} Tabla de valores X Y Las asíntotas son la recta 0 la recta. Dominio de deinición: R {} X - - Y - -, , - Las asíntotas son las rectas e. c) Dominio de deinición: R {} X Y Las asíntotas son las rectas,. FUNCIÓN RADICAL EJERCICIO : Representa ráicamente las siuientes unciones: c) Dominio de deinición: (-,0] Hacemos una tabla de valores: X Y - - -, -0,7 -

9 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 9 Dominio de deinición:, Hacemos una tabla de valores: X / Y 0,,,8 c) Dominio de deinición:, Tabla de valores: X -/ - / Y - 0 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS EJERCICIO : Dibuja la ráica de las siuientes unciones: lo c) lo d) La unción está deinida es continua en R. e) La ráica es: Hacemos una tabla de valores: X Y 8 ½ 0 Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores: La ráica es: 0 X X 0 6 ¼ /6 Y c) Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores. La ráica será: X 0 X 0 ¼ ½ Y 0 - -

10 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 0 d) La unción está deinida es continua en R. Hacemos una tabla de valores: La ráica será: X Y ¼ /6 /6 /0 0 e) La unción está deinida es continua en R. Hacemos una tabla de valores: La ráica es: X Y 0 / 9 7 EJERCICIO : Consideramos la ráica: Halla la epresión analítica de la unción correspondiente. Cuál es el dominio de dicha unción? c) Estudia la continuidad el crecimiento. Es una unción eponencial de base maor que, que pasa por los puntos (0, ), (, )... Su epresión analítica es. Dominio R c) Es una unción continua creciente. EJERCICIO : Considera la siuiente ráica: Escribe la epresión analítica de la unción correspondiente. Estudia la continuidad el crecimiento de la unción e indica cuál es su dominio de deinición. Es una unción loarítmica con base menor que, que pasa por los puntos (, 0), (, ), (, ),, Su epresión analítica es : lo Es una unción continua. Es decreciente. Dominio 0,

11 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato EJERCICIO 6 : Cuál es la epresión analítica de la unción correspondiente a esta ráica? Indica cuál es el dominio de deinición estudia la continuidad el crecimiento de la unción. Es una unción eponencial con base menor que, que pasa por los puntos (, ), (, ),, Su epresión analítica será: Dominio R Es continua. Es decreciente. EJERCICIO 7 : Halla la epresión analítica de la unción cua ráica es: Estudia los siuientes aspectos de la unción: dominio, continuidad crecimiento. Es una unción loarítmica que pasa por los puntos (, 0), (, ), ( 9, )... Su epresión analítica será: lo Dominio, Es continua. Es creciente. ( 0 ) FUNCIONES A TROZOS EJERCICIO 8 : Representa ráicamente: si < si c) si si > La ráica es: Si <, tenemos un trozo de parábola. (V 0) Si, Tabla de valores: tenemos un trozo de recta. X Y 8 8 ( ) / si si > La ráica es:

12 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato Si, es un trozo de parábola. (V 0) Si >, es Tabla de valores: un trozo de recta horizontal. X Y c) Si, es un trozo de recta. Si >, es un trozo de parábola. (V 0) La ráica es: Tabla de valores: X Y, FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO EJERCICIO 9 : Representa ráicamente la unción (), sabiendo que la ráica de () es la siuiente: c) d) e) c) d) e) EJERCICIO 0 : Deine como unciones "a trozos": - c) d) e). si < si < si < c) si si si si < d) e) si si si <

13 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato FUNCIONES ARCOS EJERCICIO : Obtén el valor de estas epresiones en rados: arcsen arccos arcsen arccos arcsen arccos arccos arccos arct arct ( ) RECOPILACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO : Representa ráicamente las siuientes unciones: 6 Sobre la recta 6, hallamos su valor absoluto: Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y 0 /8 ¼ ½ 0 EJERCICIO : Obtén la ráica de las siuientes unciones: Sobre la recta, hallamos su valor absoluto : Hallamos el vértice de la parábola: 0 Punto (, 0) Puntos de corte con los ejes: b a

14 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato Con el eje X 0 Con el eje Y 0 ± Tabla de valores alrededor del vértice: X - 0 Y 0 - -/ 0 -/ - Punto Punto 0 (, 0) ( 0, ) La ráica sería: EJERCICIO : Representa las ráicas de las unciones: El vértice de la parábola está en ( 0, ) Puntos de corte con los ejes: Con el eje X Puntos 0 (, 0) (, 0) 0 ( 0 ) Con el eje Y 0 Punto, Tabla de valores alrededor del vértice: 0 ± La ráica sería: X Y - 0 ¾ ¾ 0 - Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y / /9 /7 EJERCICIO : Representa ráicamente: Sobre la recta, hallamos su valor absoluto :

15 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y ½ ¼ 0 EJERCICIO 6 : Dibuja la ráica de las siuientes unciones: ( ) Es una parábola con vértice en (, ). Puntos de corte con los ejes: Con el eje X 0 Con el eje Y 0 Tabla de valores alrededor del vértice: X Y ( ) No corta al eje X. Punto ( 0, ) La ráica sería: Dominio: D R Hacemos una tabla de valores: La ráica sería: X Y 7 9 / 0 EJERCICIO 7 : Asocia cada una de estas ráicas con su correspondiente ecuación: c), 0,7 d) I) II) III) IV) III I c) II d) IV EJERCICIO 8 : Asocia a cada una de estas ráicas una de las siuientes epresiones analíticas: c) d) I) II) III) IV)

16 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 6 II I c) IV d) III EJERCICIO 9 : Asocia a cada una de estas ráicas su ecuación: c) d) I) II) III) IV) IV III c) I d) II EJERCICIO 0 : Asocia cada ráica con su correspondiente ecuación: c) d) I) II) III) IV) III II c) I d) IV EJERCICIO : Asocia cada una de las siuientes ráicas con su epresión analítica: c) lo d) lo I) II) III) IV) III IV c) II d) I EJERCICIO : Asocia a cada ráica su ecuación: c) lo d) lo

17 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 7 I) II) III) IV) I IV c) II d) III PROBLEMAS EJERCICIO : En alunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los rados centírados que son los rados Farenheit. Sabiendo que 0 C 0 F que 60 C 0 F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F. Llamamos a la temperatura en rados centírados e a la temperatura en rados Farenheit. La unción que buscamos pasa por los puntos (0, 0) (60, 0). Será una recta con pendiente: m La ecuación es: 0 ( 0) EJERCICIO : En un contrato de alquiler de una casa iura que el coste subirá un % cada año. Si el primer año se paan 700 euros (en recibos mensuales): Cuánto se paará dentro de año? Y dentro de años? Obtén la unción que nos dé el coste anual al cabo de años. Dentro de año se paarán 700,0 7 euros. Dentro de años se paarán 700,0 790,88 euros. Dentro de años se paarán: 700,0 euros. EJERCICIO : Con 00 metros de valla queremos acotar un recinto rectanular aprovechando una pared: 00 m Llama a uno de los lados de la valla. Cuánto valen los otros dos lados? Construe la unción que nos da el área del recinto. ( 00 ) 00 Área 00 EJERCICIO 6 : Una barra de hierro dulce de 0 cm de lara a 0 C se calienta, su dilatación viene dada por una unción lineal I a bt, donde l es la lonitud (en cm) t es la temperatura (en C). Halla la epresión analítica de l, sabiendo que l()0,000 cm que I()0,00 cm. Representa ráicamente la unción obtenida.

18 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 8 l l 0,000 a b 0,000 0,00 a b 0,00 Restando a la seunda ecuación la primera, queda: b 0,000 b 0,000 a 0,000 b 0,000 0,000 0 Por tanto: l 0 0, 000t EJERCICIO 7 : En un cuadrado de lado cm, consideramos el área de la parte que está coloreada: Halla la ecuación que nos da el valor de dicha área,, en unción del lado del cuadrado,. Representa ráicamente la unción obtenida. El área del triánulo es El área del cuadradito es Por tanto, el área total será:.. EJERCICI 8 : Un tendero tiene 0 k de manzanas que ho venderá a 0 céntimos de euro/k. Cada día que pasa se estropeará k el precio aumentará 0 céntimos de euro/k. Escribe la ecuación que nos da el beneicio obtenido en la venta,, en unción de los días que pasan hasta que vende las manzanas,. Representa la unción obtenida, considerando que puede tomar cualquier valor 0, Si pasan días: Tendrá (0) k los venderá a (00) céntimos de euro cada uno. Por tanto, obtendrá un beneicio de: ( 0 )( 0 0)

19 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 9 TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES EJERCICIO 9 : La siuiente ráica corresponde a la unción ( ) A partir de ella, representa: (La ráica de transormación). () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la EJERCICIO 0 : A partir de la ráica de ( ) construe las ráicas de: ( ) (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación). EJERCICIO : Sabiendo que la ráica de () es la siuiente: construe, a partir de ella, las ráicas de:

20 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato 0 (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación). EJERCICIO : Esta es la ráica de la unción (). Representa, a partir de ella, las unciones: ( ) (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación). EJERCICIO : La siuiente ráica es la de (). Representa, a partir de ella, las unciones: (La ráica de () no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transormación).

21 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato COMPOSICIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO : : halla Dadas las siuientes unciones :, [ ] [ ] [ ] [ ] EJERCICIO : : Calcula están deinidas por Las unciones. [ ] [ ] [ ] [ ] EJERCICIO 6 : Sabiendo que: Eplica cómo se pueden obtener por composición, a partir de ellas, las siuientes unciones: q p q p EJERCICIO 7 : Eplica cómo se pueden obtener por composición las unciones p() q() a partir de () (), siendo:,, q p q p EJERCICIO 8 : Las unciones están deinidas por:. Eplica cómo, a partir de ellas, por composición, podemos obtener: q p q p INVERSA DE UNA FUNCIÓN EJERCICIO 9 : Esta es la ráica de la unción ():. 0 Calcula. de la ráica de a partir Representa en los mismos ejes

22 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato a ) 0 porque 0 porque EJERCICIO 60 : Dada la ráica de la unción (): ( 0). Calcula Representa ráicamente en los mismos ejes a partir de la ráica de ( )., 0 porque ( 0) ( 0) porque 0 EJERCICIO 6 : A partir de la ráica de (): Calcula. Representa, en los mismos ejes, ( ). porque porque EJERCICIO 6 : Esta ráica corresponde a la unción (): A partir de ella: Calcula ( 0). Representa, en los mismos ejes, la unción ( ).

23 Tema 0 Funciones elementales Matemáticas I º Bachillerato porque 0 0 porque EJERCICIO 6 : Halla la unción inversa de: c) d) e) 7 Cambiamos por, despejamos la : Por tanto: Cambiamos por despejamos la : Por tanto: c) Cambiamos por, despejamos la : Por tanto: d) Cambiamos por, despejamos la : Por tanto: e) Cambiamos por despejamos la : Por tanto: 7