Funciones de dos o más variables. Gráficas. Curvas de nivel

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1 Funciones de dos o más variables. Gráficas. Curvas de nivel 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos 1 Introducción

3 Índice Introducción 1 Introducción

4 Introducción Hasta ahora hemos manejado únicamente funciones de una única variable independiente: y = f (x) Sin embargo, muchos problemas comunes vienen planteados en términos de funciones de dos o más variables. Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular recto, V (r, h) =πr 2 h es una función de 2 variables. O el volumen de un sólido rectangular es una función de 3 variables, V (l, w, h) =lwh.

5 La notación para las funciones de 2 o más variables es similar ala utilizada para una variable, z = f (x, y) =x 2 + xy w = f (x, y, z) =x +2y 3z

6 Índice Introducción 1 Introducción

7 Definición Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) end le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. ElconjuntoD es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) eselrecorrido de f. Para la función z = f (x, y), llamamos variables independientes a x e y, yvariable dependiente a z.

8 Definiciones análogas se aplican a funciones de 3, 4 o, en general, n variables. Los dominios estarán constituidos por conjuntos de valores (x 1, x 2,, x n ). Siempre restringiremos nuestro análisis al conjunto R. Al igual que para funciones de una variable real, el dominio es el conjunto de puntos para los que la ecuación que representa a la función tiene sentido. Por ejemplo, el dominio de la función dada por: f (x, y) =x 2 + y 2 es R. Sin embargo, el dominio de la función, es x y R +. f (x, y) =ln(xy)

9 Ejemplos Hayar el dominio de las funciones: x f (x, y) = 2 + y 2 9 x g(x, y, z) = x 9 x 2 y 2 z 2

10 Índice Introducción 1 Introducción

11 Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que las de una variable: Suma o diferencia: (f ± g)(x, y) =f (x, y) ± g(x, y) Producto: Cociente: (f g)(x, y) =f (x, y) g(x, y) f f (x, y) (x, y) = g g(x, y), g(x, y) 0

12 No se puede formar la composición de funciones de varias variables. Sin embargo, si g es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta, (g h)(x, y) =g(h(x, y))

13 Índice Introducción 1 Introducción

14 Al igual que ocurría con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una función de dos variables dibujando su gráfica. Definición de gráfica La gráfica de una función de 2 variables es el conjunto de puntos (x, y, z) quesatisfacenz = f (x, y), con (x, y) eneldominiodef. Puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. Ejemplo: Cual es el recorrido de f (x, y) = 16 4x 2 y 2? Describir la gráfica de f.

15 Índice Introducción 1 Introducción

16 Otra forma de visualizar una función de 2 variables consiste en utilizar las curvas de nivel o ĺıneas de contorno a lo largo de las cuales, el valor de f (x, y) es constante. Ejemplos de curvas de nivel conocidas, son las isobaras que marcan puntos de presión constante, o las isotermas, que marcan puntos de temperatura constante. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a ĺıneas de altura constante sobre el nivel del mar.

17 Los mapas de este tipo se llaman mapas topográficos. Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas significa que z varía lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy deprisa. Ejemplo: Dibujar un mapa de contorno para la superficie f (x, y) = 64 x 2 y 2, utilizando curvas de nivel f (x, y) =c.

18 Índice Introducción 1 Introducción

19 superficies de nivel Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de 3 variables y c una constante, la gráfica de la ecuación f (x, y, z) =c es una superficie de nivel de la función f. Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la función. f (x, y, z) =4x 2 + y 2 + z 2

20 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall. Paul Blanchard. Ecuaciones Diferencials. Ed. Thomson.

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