Funciones de dos o más variables. Gráficas. Curvas de nivel

Transcripción

1 Funciones de dos o más variables. Gráficas. Curvas de nivel 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos 1 Introducción

3 Índice Introducción 1 Introducción

4 Introducción Hasta ahora hemos manejado únicamente funciones de una única variable independiente: y = f (x) Sin embargo, muchos problemas comunes vienen planteados en términos de funciones de dos o más variables. Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular recto, V (r, h) =πr 2 h es una función de 2 variables. O el volumen de un sólido rectangular es una función de 3 variables, V (l, w, h) =lwh.

5 La notación para las funciones de 2 o más variables es similar ala utilizada para una variable, z = f (x, y) =x 2 + xy w = f (x, y, z) =x +2y 3z

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7 Definición Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) end le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. ElconjuntoD es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) eselrecorrido de f. Para la función z = f (x, y), llamamos variables independientes a x e y, yvariable dependiente a z.

8 Definiciones análogas se aplican a funciones de 3, 4 o, en general, n variables. Los dominios estarán constituidos por conjuntos de valores (x 1, x 2,, x n ). Siempre restringiremos nuestro análisis al conjunto R. Al igual que para funciones de una variable real, el dominio es el conjunto de puntos para los que la ecuación que representa a la función tiene sentido. Por ejemplo, el dominio de la función dada por: f (x, y) =x 2 + y 2 es R. Sin embargo, el dominio de la función, es x y R +. f (x, y) =ln(xy)

9 Ejemplos Hayar el dominio de las funciones: x f (x, y) = 2 + y 2 9 x g(x, y, z) = x 9 x 2 y 2 z 2

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11 Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que las de una variable: Suma o diferencia: (f ± g)(x, y) =f (x, y) ± g(x, y) Producto: Cociente: (f g)(x, y) =f (x, y) g(x, y) f f (x, y) (x, y) = g g(x, y), g(x, y) 0

12 No se puede formar la composición de funciones de varias variables. Sin embargo, si g es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta, (g h)(x, y) =g(h(x, y))

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14 Al igual que ocurría con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una función de dos variables dibujando su gráfica. Definición de gráfica La gráfica de una función de 2 variables es el conjunto de puntos (x, y, z) quesatisfacenz = f (x, y), con (x, y) eneldominiodef. Puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. Ejemplo: Cual es el recorrido de f (x, y) = 16 4x 2 y 2? Describir la gráfica de f.

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16 Otra forma de visualizar una función de 2 variables consiste en utilizar las curvas de nivel o ĺıneas de contorno a lo largo de las cuales, el valor de f (x, y) es constante. Ejemplos de curvas de nivel conocidas, son las isobaras que marcan puntos de presión constante, o las isotermas, que marcan puntos de temperatura constante. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a ĺıneas de altura constante sobre el nivel del mar.

17 Los mapas de este tipo se llaman mapas topográficos. Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas significa que z varía lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy deprisa. Ejemplo: Dibujar un mapa de contorno para la superficie f (x, y) = 64 x 2 y 2, utilizando curvas de nivel f (x, y) =c.

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19 superficies de nivel Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de 3 variables y c una constante, la gráfica de la ecuación f (x, y, z) =c es una superficie de nivel de la función f. Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la función. f (x, y, z) =4x 2 + y 2 + z 2

20 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall. Paul Blanchard. Ecuaciones Diferencials. Ed. Thomson.