f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0

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1 FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas /o fenómenos que provienen del mundo real. Una función polinomial f es una función de la forma: f()=a n n +a n-1 n-1 +a n-2 n a 2 2 +a 1 1 +a 0 Donde n es un entero no negativo a n 0, los coeficientes a n, a n-1... a 1, a 0 son números reales. El grado de un término es el eponente de en dicho término epresión es igual al del término de maor grado. el grado de toda la Entre las funciones polinomiales se encuentran; la función constante, la función lineal, la función cuadrática, la función cúbica entre otras funciones de grado maor a tres. =f()=a 0 es una función polinomial de grado cero corresponde a la función constante. =f()=a 1 +a 0 (=m+b) es una función polinomial de grado uno corresponde a la función lineal. =f()=a 2 2 +a 1 +a 0 (=a 2 +b+c) es una función polinomial de grado dos corresponde a la función cuadrática. En este apartado nos concretaremos al estudio de las funciones polinomiales de grado maor a dos.

2 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL. La gráfica de = f () intercepta al eje en el punto (0, c). La gráfica de = f () intercepta al eje en los puntos cuas abscisas son las raíces de la ecuación. La función polinomial es una función continua. RAÍCES DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL. Para determinar los ceros de una función polinomial, es decir, las intersecciones con el eje de las, se considera que a n n +a n-1 n-1 +a n-2 n a 2 2 +a 1 1 +a 0 =0 se busca para qué valores de se cumple esta condición. El método que utilizaremos para encontrar las raíces de una función polinomial es el método de la división sintética. DIVISIÓN SINTÉTICA. La división sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio P() = a n n + a n - 1 n - 1 +a n-2 n a 1 + a 0 de grado n, esto es a n 0, entre un polinomio lineal ( a). Antes de iniciar este procedimiento deberás de atender las siguientes recomendaciones: Que el dividendo esté ordenado en potencias decrecientes de una literal. Si no aparece un término en una determinada potencia literal, éste deberá de representarse usando al cero como su coeficiente numérico. El divisor será siempre de la forma -a. Los valores de a para el divisor, son algunos de factores en los que se puede descomponer el término independiente del polinomio a factorizar, siempre que el coeficiente de la potencia de maor grado en el polinomio sea 1. Si el coeficiente de la potencia de maor grado en el polinomio es >1, los valores de a serán fraccionarios, los cuales se obtendrán mediante la epresión q p (q 0), donde p son los factores del término independiente (a 0 ) q son los factores del coeficiente de la potencia de maor grado en el polinomio ( a n ).

3 El procedimiento para realizar esta división es mu simple, primero se toman todos los coeficientes del polinomio P() la constante a, con éstos se construe una especie de ''casita'' que audará en el proceso. Lo primero es ''bajar'' el coeficiente a n, a este coeficiente también lo denotamos por b n - 1, luego se multiplica por la constante a, el resultado se coloca en la segunda columna se suma al siguiente coeficiente a n - 1, al resultado lo denotamos b n 2. a ab n-1 ab n-2 a a n ab n-1 +a n-1 b n-1 b n-2 Este último resultado se multiplica nuevamente por a se le suma al coeficiente a n - 2 el proceso se repite hasta llegar a a 0. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por... b n - 1, b n - 2,, b 1, b 0 (se inicia con b n - 1 pues el cociente tiene un grado menos que el dividendo), el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de esta forma lo que se obtiene es: ab n-1 ab n-2 a a n ab n-1 +a n-1... ab 1 +a 1 ab 0 +a 0 b n-1 b n-2 b 0 r Así, el cociente de la división de P() por - a es b n - 1 n b n - 2 n b b 0 con un residuo r, en donde los coeficientes se detallan de la siguiente manera: b n - 1 = a n b n - 2 = cb n a n - 1 b n - 3 = cb n a n - 2 b 1 = cb 2 + a 2 b 0 = cb 1 + a 1 r = cb 0 + a 0

4 GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES. Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Construir la gráfica de la siguiente función = f() = 3-2, para cualquier valor de positivo o negativo, establecer su dominio, su rango encontrar sus raíces. Solución: = f() = 3-2 (, ) -3 (-3)(-3)(-3) -2(-3)= -27+6= -21 (-3,-21) -2 (-2)(-2)(-2) -2(-2)= -8+4= -4 (-2, -4) -1 (-1)(-1)(-1) -2(-1)= -1+2= 1 ( -1, 1) 0 (0)(0)(0) -2(0)= 0+0= 0 (0, 0) 1 (1)(1)(1) -2(1)= 1-2= -1 (1, -1) 2 (2)(2)(2) -2(2)= 8-4= 4 ( 2, 4) 3 (3)(3)(3) -2(3)= 27-6= 21 (3, 21) Dominio + Rango + Para encontrar las raíces aplicaremos el método de factorización. En la ecuación = 3-2 la igualamos a cero nos queda. 3-2=0 sacamos a como factor común, quedando: ( 2-2)=0. Las raíces son los valores que podemos asignar a para que la ecuación se haga cero, por lo que: 1 =0, 2 =+ 2 3 =- 2 Los valores de las raíces se pueden observar en la gráfica.

5 Ejemplo 2. Construir la gráfica de la siguiente función = f() = , para cualquier valor de positivo o negativo, establecer su dominio, su rango encontrar sus raíces. Solución: =f() = (, ) -3 (-3) 3-3(-3) 2-13(-3)+15= =0 (-3, 0) -2 (-2) 3-3(-2) 2-13(-2)+15= =21 (-2, 21) -1 (-1) 3-3(-1) 2-13(-1)+15= =24 ( -1, 24) 0 (0) 3-3(0) 2-13(0)+15=+15 (0, 15) 1 (1) 3-3(1) 2-13(1)+15= =0 (1, 0) 2 (2) 3-3(2) 2-13(2)+15= =15 ( 2, 15) 3 (3) 3-3(3) 2-13(3)+15= =-24 (3, -24) Dominio + Rango + Para encontrar las raíces utilizaremos el método de división sintética, por lo que habrá que factorizar la siguiente epresión Por lo que los posibles valores de a son: 1 ±, ± 3, ± 5, 15 ±. Si suponemos que a= (-a) 1-3= = = -15 a=-3 -(-3)= El polinomio se puede representar como ( 2-6+5)(+3) 6+5)(+3), pero lo podemos factorizar como se vio en el bloque 2, entonces 2-6+5=(-- 5)(- 1) el polinomio =(- 5 )(- 1) (+3)=0, por lo que sus raíces son: 1 =5, 2 =1 3 =-3

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