Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C.

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1 Maemáicas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables Elena Álvarez Sáiz Dpo. Maemáica Aplicada C. Compuación Universidad de Canabria

2 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables 1 Dada las superficies Se pide: (1) (a) Represenar las razas (b) Obener las curvas de nivel (c) Realizar un bosquejo de su gráfica Se raa de un paraboloide z= + () z = 4 9 Al corar por planos =ce: Parábolas z= ce+ Profesora: Elena Álvarez Sáiz

3 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación Al corar por planos =ce: Parábolas z= + ce Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 3

4 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Al corar por planos z=ce (curvas de nivel): Circunferencias Ce= + ( Ce> 0 ) 4 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

5 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación () Se raa de un hiperboloide Curvas =ce: Parábolas = Ce z 9 Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 5

6 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables z Curvas =ce: Hipérbolas Ce= 4 9 Curvas: z=ce: Parábolas = Ce 4 f, e = Represenar el dominio de la función + 6 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

7 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación {, /. 0, } El dominio es el conjuno de los punos R Domf = + es decir, los punos del plano comprendidos enre las recas =, =- salvo los de la reca =, gráficamene = Calcular 3 Se considera la función f(, ) e sen( ( 3) π) f (, 1), f ( 0,1 ), (, 1 ) f.,, f, f, f ( 0,1), Solución: f 1 = e + + π cos + 3 ( π) f = e + 3π cos + 3 f ( π) ( π) (( 3 ) π) = e sen + f 1 = e + e 6π sen + 3 f 0,1 = πcos 3π = π ( π) 4 Dada la función 4 4 f(, ) = = a) Hallar f ( 0,0) f ( 0,0 ) b) Calcule f (, ) f (, ) c) Es f ( 0,0) f ( 0,0) =? Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 7

8 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Solución: f(0 + h,0) f(0,0) a) f (0,0) = lim h 0 h 4 4 (0 + h)0 (0 + h) (0 + h) = lim = lim = 0 h 0 h h 0 4 h f(0,0 + h) f(0,0) f(0, 0) = lim h 0 h 4 4 0(0 + h) 0 (0 + h) (0 + h) = lim h 0 h 0 = lim = 0 h 0 4 h b) Supongamos ahora que (, ) con, enonces f f ( 4 )( + ) ( )(3 ) = 3 3 ( + ) (4 )( + ) ( )(3 ) = 3 3 ( + ) En los punos ( a, a) se endrá: (, ) (, ) (, ) lim f a+ h a f a a f a a = h 0 h 8 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

9 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación 4 4 ( a h)( a) ( a h) ( a) ( a+ h) + ( a) ( a+ h)( a) ( a+ h) ( a) = lim = lim h 0 h h 0 h a h a ( + ) + ( ) Como el numerador iende a a el denominador a cero ese límie no eise para a 0. f c) (0,0) f f f(0,0 + h) f(0,0) (0, 0) = (0, 0) = lim h o h ((0 + h) 4.0.( o + (0 + h) ) (0(0 + h) 0 (0 + h))(0) = lim h o 3 3 (0 + (0 + h) ) h 7 h = lim = 1 h o 7 h f (0,0) f f f(0 + h,0) f (0,0) (0, 0) = (0, 0) = lim h o h (4(0 + h)0 (0 + h) ).((0 + h) + 0 ((0 + h)0 (0 + h) 0)(0) = lim h o 3 3 (0 + (0 + h) ) h 7 h = lim = 1 h o 7 h Luego no se verifica que f (0,0)=f (0,0). 5 El precio de un piso P en función de la superficie S de la calidad de los maeriales C viene dado por una P P P S C. Es razonable que > 0? Es razonable que < 0? C S función (, ) Solución: P Si > 0 significa que a maor calidad de los maeriales aumena el precio de la C vivienda. Parece razonable. Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 9

10 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables P Si < 0 significaría que al aumenar la superficie del piso el precio disminuiría. S Eso no parece lógico. Funciones diferenciables. Diferencial de una función de dos variables 6 Sea f (, ) = + pruebe que es diferenciable en (0,0) Solución: Forma 1.- Uilizando la definición a) f (0,0) (0,0) (0,0) lim f + h = f h 0 h (0 + h) 0 h = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h b) (0,0) = 0 (análogo al aparado a) a que la función es simérica) c) f (0,0) (, ) f(0,0) (0,0). (0,0) (, ) ( + ) = ε ( ) + ( ) 10 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

11 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación Enonces ( ) + ( ) ( ) + ( ) f(, ) = ε(, ) + ε(, ) = = + Veamos si lim ε(, ) = 0 (, ) 0,0 Uilizando coordenadas polares: lim ε(, ) = lim ρ = 0 ρ (, ) 0,0 0 ϕ 0, π Luego la función es diferenciable. Forma.- Como en odos los punos del plano eisen las derivadas parciales además son coninuas la función es diferenciable en odo (, ) R. En paricular en el (0, 0). 7 Considere la función f(,) dada por:, ( (, ), ) f (0,0) = + 0, (, ) = (0,0) a) Halle ( 0,0) ( 0,0) b) Es f(,) diferenciable en (0,0)? c) Qué puede concluir de (a) (b) respeco a la diferenciabilidad de la función? Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 11

12 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Solución: a) Calculamos las derivadas parciales en el origen (0 + h) 0 0 f(0 + h,0) f(0,0) (0 + h) (0, 0) = lim = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h h 0 3 h 0.(0 + h) 0 f(0,0 + h) f(0,0) 0 + (0 + h) 0 (0, 0) = lim = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h h 0 3 h b) Usemos la definición de diferenciabilidad: f( (0,0) + (, ) ) = f(0,0) + (0,0) + (0,0) + ε(, ) ( ) + ( ), luego:. f(, ) = ε(, ) + enonces ε(, ) = ( ).( ) ( ) + ( ) ( )(. ) ( ) + ( ) ( )(. ) (( ) + ( ) ) lim = lim (, ) (0,0) (, ) (0,0) ( ) + ( ) 3, 1 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

13 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación pero calculando los límies radiales: lim ( )( ) (( ) + ( ) ) ( )( ) (( ) + ( ) ).. m = lim = (, ) (0,0) = m m = lim 0 m ( 1 m ) 3 + nos damos cuena que no eise ese límie. Por lo ano, la función dada, no es diferenciable en el (0,0) c) Podemos concluir que el hecho de que las derivadas parciales eisan en el (0,0) no asegura diferenciabilidad en el puno 8 Sea la función,(, ) (0,0) f(, ) = 4 + 0, (, ) = (0,0) 1. Halle (, ) (, ). En qué direcciones v eise Df v(0,0)? 3. Es f(,) diferenciable en (0,0)? Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 13

14 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Solución: a) Si (, ) ( 0,0 ) (, ) Así: 3 5 f = Si (,) = (0,0), enonces 4 ( + ) (0 + h) f(0 + h,0) f(0,0) (0 + h) (0, 0) = lim = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h h 0 5 h 3 5 si, 0, 0 (, ) = 4 ( + ) 0 Si (,) = ( 0,0 ) 6 si, 0, 0 0 Si (,) = ( 0,0 ) Análogamene (, ) = 4 ( + ) ( PRUÉBELO!!!) b) Sea v= ( a, b) al que v =1 f((0,0) + v) f(0,0) (0, 0) = lim = v 0 a b f( v) 0 f( a, b) 4 4 = lim = lim = lim a + b a b ( a b) a b a = lim = lim = lim = a + b a + b a + b b siempre que b sea disino de cero. En el caso de que b sea cero el vecor v será (1, 0) por lo ano f((0,0) + 1,0 ) f(0,0) (0, 0) = lim = v 0 0 f(,0) = lim = lim + = lim = Podemos concluir que la función posee derivadas direccionales en (0,0) en cualquier dirección. 14 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

15 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación c) Para saber si f (,) es diferenciable en (0,0), resula más sencillo en ese caso, analizar primero la coninuidad en (0,0). Veamos si eise camino = m = m lim f(, ) : omemos el (, ) (0,0) m m m lim = lim = lim = + + m 1 + m 1 + m (, ) (0,0) Como el límie depende de m (de la parábola) se puede concluir que f(,) no es coninua en (0,0) en consecuencia, f(,) no es diferenciable en (0,0). Noar que la eisencia de derivadas parciales derivadas diferenciabilidad. direccionales no implica 9 Esudia la diferenciabilidad de la siguiene función si f(, ) = + 0 si, = 0,0 (, ) ( 0,0) Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 15

16 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Solución: (a) Calculamos inicialmene las derivadas parciales en el origen: ( ) f,0 f 0,0 0 0 ( 0, 0) = lim = lim = por simería de la función 0,0 = 0. Uilizamos la definición para ver si es diferenciable. La función será diferenciable si f(, ) f( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) lim = 0 (, ) ( 0,0) + Se iene que f(, ) f( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) lim (, ) ( 0,0) ( ) + ( ) f(, ) = lim = lim (, ) ( 0,0 ) (, ) ( 0,0 ) + ( ) + ( ) = Ese úlimo límie no iende a cero (basa calcular los límies radiales o pasar a coordenadas polares). Por lo ano la función no es diferenciable en el origen. 16 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

17 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación Relación enre la diferencial la derivada direccional. Gradiene. 10 El conjuno de los punos (, ) con 0 5, 0 5 es un cuadrado colocado en el primer cuadrane del plano XY. Supongamos que se caliene ese cuadrado de al manera que (, ) T = + es la emperaura en el puno P(, ). En qué senido se esablecerá el flujo de calor en el puno (,5) P? o Indicación: El flujo de calor en la región esá dado por una función vecorial C(, ) porque su valor en cada puno depende de las coordenadas de ése. Sabemos por física que (, ) C será perpendicular a las curvas isoermas T(, ) = c donde c es consane. El gradiene odos sus múliplos verifican esa condición. En esa siuación nos dice la física que C = K T donde K es una consane posiiva (llamada conducividad érmica). Nóese que la razón del signo negaivo es que el calor flue desde punos de maor emperaura a punos de menor emperaura. Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 17

18 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Solución: Como T ( 3,4) = 5 el puno P esá en la isoerma de la circunferencia T, = 5, que es un cuadrane + = 5. Sabemos que el flujo de calor en P (,5) es Co= K To. Como T= i+ j se iene que To = 6i+ 8j. Así el flujo de calor en Po es: C = K 6i+ 8j. Como la conducividad érmica es posiiva se puede afirmar que o el calor flue en Po en el senido del vecor uniario: ( 6i+ 8j) 3 4 u= = i j 5 5 ( 6) + ( 8) o a+ b 11 Hallar a b para que la derivada direccional máima de la función ( 0,0 ) sea 3 en la dirección de la bisecriz del primer cuadrane e cos + z= 0 en el puno Solución.- a+ b La función z e cos( ) = + es coninua por ser composición de funciones coninuas es diferenciable por ser las derivadas parciales coninuas en odo R : z ae e sen a+ b a+ b z = = be + e sen + ' a+ b a+ b = = cos( + ) ( + ) ' cos Eso significa que la derivada direccional en un puno siguiendo una dirección se puede obener como el produco escalar de la dirección por el gradiene en el puno considerado. D f 0,0 = f 0,0, u = 3 u Por oro lado el gradiene nos marca la dirección donde la derivada direccional es máima que en ese caso es además la bisecriz del primer cuadrane luego en ese caso: 18 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

19 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación f 0,0 = 3 u 1 ( 0,0 ), = f = f 0,0 Calculando el gradiene en el origen: f = ai+ bj ( 0,0) se iene que cumplir que: a + b = 3 a b u=, =, a= b 3 3 Por lo ano, resolviendo el sisema formado por esas dos ecuaciones: a = b= Deerminar, si es posible, un vecor uniario u de modo que la derivada direccional de la 1 función f(,, z) = en el puno (1, 1, 1) en la dirección de u sea. z Punuación: 10 punos 3 En el puno (1, 1, 1) la función f es diferenciable por ener derivadas parciales primeras coninuas, luego la derivada direccional es: D f 1,1,1 = f 1,1,1, u = u Duf 1 = = = z z z z ( 1,1,1) = 1 ( 1,1,1) = 1 ( 1,1,1) = 0 z ( a b c) 1,1,1 = 1, 1,0,,, = Se raa de resolver el sisema: Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 19

20 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables a b= b= a a b c 1 c 1 a a ( a 1) + + = = = + < 0 NO Que no iene solución. Luego no es posible enconrar el vecor pedido. 1 De una función z f (, ) = diferenciable en odo R se sabe que el plano angene a (, ) f en el puno (1, ) es: z= 1. Se puede calcular con esos daos la derivada direccional de f en la dirección que une el puno (1, ) con el puno (3,4)? Jusificar la respuesa. La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es: v v 1 1 = ( 3 1,4 ) = (, ) u= =, v Como el plano angene en el puno (1, ) es z= z= (I) 4 4 que corresponde a la ecuación ( 1,)( 1) + ( 1,)( ) = z f( 1,) (II) se iene que cumplir que 1 3 ( 1,) = ( 1,) = 4 sin más que igualar los coeficienes en las dos epresiones (I) (II) Luego la derivada direccional pedida es: Du( f, ( 1,) ) = ( 1, ), ( 1, ), u =,,, = = Sea f : A R R definida por 0 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

21 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación 3 (, ) ( 0,0) = 0, = 0,0 f, ( ) A) Dibujar el conjuno de punos del plano donde f no esá definida. B) Calcular el límie direccional de la función en el origen a lo largo de la curva: C) Esudiar la coninuidad diferenciabilidad de f en el origen D) Calcular los valores de f ( 0,0) f ( 0,0 ) = + E) Deerminar en el puno P (,-1) el valor de la derivada en una dirección que forma 60º con el eje OX posiivo. Solución: A) f(, ) no esá definida en aquellos punos que anulen el denominador ± + 8 = 0 + = 0 = = Es decir, la función f no esá definida sobre las recas = e = -. B) El límie pedido es: lim f(, ) = lim = (, ) ( 0,0) = + 3 Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 1

22 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables 3 3 lim lim = = C) Si calculamos los límies radiales: 3 lim f(, ) = lim = lim = 0 (, ) ( 0,0) 0 0 m m = m m m m 1, Vemos que la función no es coninua en el origen a que aunque odos ienen el mismo valor no coincide con el límie según la dirección del aparado b)- Por no ser coninua, ampoco puede ser diferenciable, a que oda función diferenciable en un puno debe ser coninua en él. D) Calculamos las derivadas parciales pedidas: f(,0) f( 0,0) ' 1 f ( 0,0) lim lim = = = 0 0 Para calcular '' f ' ' debemos calcular primero f ( 0,0) (,0) ' f 3 (,0) ( 0,0) f 0,0 lim f = 0 f : f 0, f 0, , 0 = lim = lim = Ahora, ' f(, ) = = si, 0,0 f ' (,0) 1 = = 4 ' f 4 ( ) 1 f ' 0,0 f ' 0,0 0,0 lim lim 4 = = =± 0 0 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

23 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación '' luego no eise f ( 0,0) E) En P (,-1), f(, ) es diferenciable, a que se raa de una función racional con denominador no nulo. D f, 1 f, 1, u Podemos por ano calcular, ( ) = ( ) Calculemos f(, 1) u ( ) 3 ( + ) f ' (, ) = f ' (, ) = ( ) ( + ) f ' (, 1 ) = = f ' (, 1) = = u π π 1 3 = cos, sen =, 3 3 luego, D f u 4 1 3, 1 =,0,, = 9 9 Noa: También se puede recurrir a la definición de derivada direccional, pero lleva más operaciones. 14 Se considera la función real de dos variables si (, ) ( 0,0) f(, ) = + 0 si, = 0,0 (a) Esudia, mediane la definición, para qué vecores uniarios u eise la derivada direccional de f en el origen, D f ( 0,0) u. Calcula dicha derivada direccional. (b) Cuáno vale el gradiene de f en el origen? (c) Esudia la diferenciabilidad en el origen (d) A parir del valor obenido en (a) calcula el valor máimo de D f ( 0,0) que ( 0,0) D f es máima. u u, la dirección u de forma Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 3

24 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Solución: (a) Se considera el vecor uniario u ( cos ϕ, senϕ) = uilizando la definición D f u ( cos ϕ, ϕ) ( 0, 0) f sen f 0, 0 = lim = 0 ( cos ϕ+ senϕ) (b) ( 0,0) = ( 0,0) + ( 0,0) = lim = cos ϕ+ senϕ 0 f i i Calculamos las derivadas parciales Por lo ano, ( 0,0) 0 f(,0) f( 0,0) 0, 0 = lim = lim = lim = f( 0, ) f( 0,0) ( 0, 0) = lim = lim = lim 1= f = i + j Profesora: Elena Álvarez Sáiz

25 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación (c) La función no es diferenciable en el origen porque en caso de ser diferenciable se endría que D f 0,0 = f 0,0, u = i+ j,cosϕi+ senϕj = cosϕ+ senϕ u 3 3 por el aparado (a) la derivada direccional es D f( 0, 0) cos sen u = ϕ+ ϕ. 3 3 (d) La derivada direccional D f( 0, 0) cos sen h 3 3 cos sen u = ϕ+ ϕ es una función de ϕ, ϕ = ϕ+ ϕ, que es derivable, por lo ano, el valor más grande se alcanzará cuando h ' ϕ = 3cos ϕsenϕ+ 3senϕ cosϕ= ( sen ) = 3senϕ cosϕ cosϕ+ ϕ = 0 Como senϕ= 0 ϕ1= 0 ϕ= π π 3π h '( ϕ) = 0 cosϕ= 0 ϕ3= ϕ4= π 5π senϕ= cosϕ ϕ5= ϕ6= 4 4 ( ϕ) = ϕ( ϕ+ ϕ) ϕ( ϕ+ ϕ) + 3senϕ cosϕ( senϕ+ cosϕ) h '' 3cos cos sen 3sen cos sen se iene que los máimos mínimos relaivos son: π 5π h ''( 0) < 0, h '' < 0, h '' < 0 4 MAXIMO π 3π h '' > 0, h ''( π) > 0, h '' > 0 4 MINIMO El máimo absoluo es en la dirección del eje posiivo de las X o de las Y π π u= sen = ó u= sen = ( cos 0, 0) ( 1, 0) cos, ( 0,1) Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 5

26 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables cos(φ) 3 +sin(φ) φ La represenación de la función es: 15 Se considera la función: Se pide: sen si f(, ) = + 0 si, = 0,0 (a) Esudiar la coninuidad de f en odo puno del plano. (b) Calcular en odo R (, ) ( 0,0) 6 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

27 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación (c) Esudiar la derivada direccional de f en el origen en cualquier dirección (d) Es f diferenciable en el origen? Solución: (a) En los punos del plano disinos del origen la función es coninua por ser cociene de funciones coninuas con denominador no nulo. En el origen esudiamos el siguiene límie: ( lim ), ( lim sen cos cos, 0,0, ) ( 0,0) lim ρ ϕ sen ρ senϕ ϕ f = = = 0 + ρ ϕ 0,π ρ ( sen cos ) cosϕ ρ ϕ ϕ = lim = lim ρsenϕ cos ϕ= 0= f 0, 0 ρ senα α ρ 0 ρ 0 siα 0 ϕ 0,π ϕ 0,π donde en el úlimo límie se ha uilizado que el produco de un infiniésimo por una función acoada es cero. Por lo ano la función es coninua en odo R (b) Las derivadas parciales en punos disinos del origen son: En el origen: + cos( + ) sen sen = ( + ) ( + ) cos sen = ( + ) ( 0) sen 0 f( 0 +,0) f( 0,0) 0 0, 0 = lim = lim lim = sen 0 0 f( 0,0+ ) f( 0,0) 0 0, 0 = lim = lim lim = Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 7

28 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Por lo ano las derivadas parciales de primer orden eisen en odo R (c) Calculamos la derivada direccional en cualquier dirección u= ( cos ϕ, senϕ) la definición: uilizando D f u ( 0+ cos ϕ,0+ ϕ) ( 0,0) f sen f 0, 0 = lim = 0 ( ϕ cosϕ) cosϕ ( senϕ cosϕ) cosϕ sen sen 0 cos ϕ+ senϕ 0 = lim = lim = senϕ cos ϕ 0 0 Luego, la derivada direccional de la función f en el origen en la dirección u= ( cos ϕ, senϕ) Duf ( 0, 0) = cos senϕ ϕ es (d) Méodo 1: La función no es diferenciable en el origen porque la derivada direccional en el origen no es el produco escalar del gradiene en el origen por la dirección. Méodo : Uilizando la definición de diferenciabilidad: f, f 0, lim = lim = (, ) ( 0,0 ) (, ) ( 0,0) + + sen ( ) sen 3 ρ cos ϕ senϕ = lim = lim = lim cos ϕ senϕ (, ) ( 0,0) 3/ 0 3 ρ ρ ρ 0 + ϕ 0,π ϕ 0,π Como el úlimo límie no eise por depender de ϕ, el límie no es cero en consecuencia la función no es diferenciable en el origen. 16 Sea f : R R definida de la forma: (, ) Se pide: (a) Coninuidad en (0,0) e + 1 si f = + 1 si, = 0,0 (, ) ( 0,0) 8 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

29 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación (b) Diferenciabilidad en (0,0) (a) Coninuidad en (0,0) ρ + e 1 e 1 lim = lim = 1= f 0, 0 (, ) ( 0,0) 0 + ρ ρ ρ e 1 ρ loge ϕ 0,π) Noa: En el úlimo límie se puede aplicar ambién L Hopial ρ ρ e 1 ρe lim = lim = 1 ρ ρ ρ 0 ρ 0 (b) Diferenciabilidad en (0,0) f ( e ) 1 1 f( 0 +,0) f( 0,0) ( ) 0, 0 = lim = lim = ( ) ( e e 4 ) e e = lim = lim = lim = lim = L' Hopial L' Hopial f 0,0 = 0. Por simería Vemos si es diferenciable comprobando si se cumple: Como f(, ) f( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) lim = 0 (, ) ( 0,0) + Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 9

30 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables ( ) + ( e ) ( ) + ( ) ρ e 1 ρ lim = lim = 0 ( ) ρ 3 + ρ ϕ π), 0,0 0 0, la función es diferenciable en el origen. Noa: Ese úlimo límie es el mismo que el de cálculo de la derivada parcial. 17 Dada la función (, ) si f = + 0 si, = 0,0 (, ) ( 0,0) (a) Esudiar la coninuidad diferenciabilidad en R (10 punos) (b) Calcular la derivada direccional en el puno (0, 0) según el vecor v= ( 1,1), el vecor u= ( 1,0) el vecor u= ( 0,1). (5 punos) Solución: (a) Coninuidad en (0,0). 3 ρ cos ϕ senϕ lim f(, ) = lim = lim = lim ρ (, ) ( 0,0 ) (, ) ( 0,0) 0 0 cos ϕ senϕ= 0 + ρ ρ ρ ϕ 0,π ϕ 0,π inf iniésimo a coado como el valor del límie coincide con el valor de la función en el puno es una función coninua en el origen. En el reso de punos (,) disinos de (0,0) la función es coninua por ser cociene de funciones coninuas con denominador no nulo en dichos punos. (b) Diferenciabilidad en (0,0) En los punos (, ) disinos del origen la función iene derivadas parciales 30 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

31 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) 3 f, = = si, 0,0 f, = = si, 0,0 además son coninuas por ser cociene de funciones coninuas con la función del denominador no nula en esos punos (el denominador solo se anula si (, )=(0,0)). Por lo ano la función f es diferenciable en odos los punos disinos del origen. En el origen f f ( ) f,0 f 0, , 0 = lim = lim = ( ) f 0, f 0, , 0 = lim = lim = Uilizando la definición vemos si es diferenciable: f, f 0,0 f 0,0 f 0,0 + lim = lim = (, ) ( 0,0 ) (, ) ( 0,0) + + ( ) ( ) 3 ρ cos ϕ senϕ = lim = lim (, ) ( 0,0) ρ ρ ϕ 0,π ( ) + ( ) Que depende de ϕ, luego la función no es diferenciable en el origen. Noa: También se puede calcular el límie por radiales ver que depende de la pendiene de la reca por la que nos aproimemos al origen. (b) Derivadas direccionales: D f 0,0 f 0,0, u Al no ser la función diferenciable no es válida la epresión = que debemos aplicar la definición de derivada direccional u por lo v 1 1 v= ( 1,1 ) u= =, v luego: Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 31

32 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables D f u 1 1 f 0 +,0+ f( 0,0 ) 0, 0 lim = = = lim = lim = 0 0 La derivada direccional en la dirección (1, 0) es la derivada parcial respeco a la derivada direccional en la dirección (0, 1) es la derivada parcial respeco a calculadas aneriormene cuo valor en ambos casos es cero. Plano angene 18 De una función z f (, ) = diferenciable en odo R se sabe que el plano angene a (, ) f en el puno (1, ) es: z= 1. Se puede calcular con esos daos la derivada direccional de f en la dirección que une el puno (1, ) con el puno (3,4)? Jusificar la respuesa. La dirección en la que nos piden calcular la derivada direccional es: v v 1 1 = ( 3 1,4 ) = (, ) u= =, v Como el plano angene en el puno (1, ) es z= z= (I) 4 4 que corresponde a la ecuación ( 1,)( 1) + ( 1,)( ) = z f( 1,) (II) se iene que cumplir que 3 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

33 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación 1 3 ( 1,) = ( 1,) = 4 sin más que igualar los coeficienes en las dos epresiones (I) (II) Luego la derivada direccional pedida es: Du( f, ( 1,) ) = ( 1, ), ( 1, ), u =,,, = = Regla de la cadena. Derivación compuesa Sea u= + z + ϕ donde Calcular u s = 1+ rse = rs e z= r s sen cuando r=, s= 1, = 0 sabiendo que 3 ϕ' = 1 Solución.- u u u u z = + + = s s s z s = 4 ϕ' re z ϕ' rse + 3 z r sen Para r=, s=1, =0 se iene que =3, =, z=0. Susiuendo esos valores en la 3 epresión anerior, así como ϕ' u = 1, resula que = 758 s 0 z Considerando = r cos ϕ, = rsenϕ ransformar uilizando coordenadas caresianas, es decir, r ϕ epresar z en función de z, e sus derivadas parciales. r ϕ Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 33

34 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Solución: Aplicando la regla de la cadena, eniendo en cuena que = r cos ϕ, = rsenϕ (inversamene r= +, ϕ= arcg ) se puede escribir, z = z + z = z cosϕ+ z senϕ= z + z r r r + + z z z z ( rsen ) z ( r cos ) z = + = ϕ + ϕ = ( ) + z ϕ ϕ ϕ Derivando ahora respeco de r eniendo en cuena que e dependen de r ϕ r ϕ z z A A = = + = r ϕ r ϕ r r llamamos z A= ϕ z z z z z z = z z 1 z z z = Dada u g(, h(, ) ), f( ) = =, calcular la razón de cambio (derivada) de u respeco de. Solución.- Llamamos m h(, ) =, enonces el esquema de dependencia es u m Luego aplicando la regla de la cadena 34 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

35 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación u u m d = m d ): Uilizar la regla de la cadena para probar (a) h siendo h(, ) = f(, u(, ) ). Poner además un ejemplo de función h (6 punos). Solución: h u = = + u (, ) f(, u(, ) ) h Por ejemplo (, ) u= u = f(, u) = + u (, ) (, (, )) h = f u = + h u = + = + u= + = + u (b) Calcular d siendo h( ) f d g( ) g() ejemplo de función h (7 punos). = = + +, sen( ) =. Poner además un Llamamos u= + g + g() enonces: Y----u d d d du d = = f '( u) ( + g '( ) ) cos = f '( sen + g( sen) + g )( sen+ g '( sen) ) cos du d d Ejemplo: f( u) = u, g( ) = e = h = + e + e sen = h1( ) = ( sen ) + e + e Calcular la epresión de las derivadas parciales respeco a a de la función: ( ( ) h( ), g( ) h( ) ) ω= f g + Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 35

36 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Considerando que g h son funciones derivables que f es una función diferenciable. Se raa de calcular las derivadas parciales de f( u, v) ω= siendo u= g + h v= g h Aplicando la regla de la cadena: ω ω u ω v ω ω = + = g ' + g ' h u v u v ω ω u ω v ω ω = + = h ' + g h u v u v ' 1 = La emperaura de una placa viene dada por T(, ) (a) En qué dirección endríamos que desplazarnos desde el puno (1,1) para que la emperaura decrezca lo más rápidamene posible? Jusificar la respuesa. (b) En qué dirección desde el mismo puno la variación de la emperaura es ¼? Jusificar la respuesa. (c) Dada la curva en paraméricas ϕ ( ) = ( cos,1 sen) =0. (d) Calcular ( T ϕ)( ' 0). Qué represena dicho valor? + calcular el vecor angene a la curva en Solución: (a) Las derivadas parciales de T son ( ) ( ) T 1 T 1 + (, ) = (, ) = ( ) La dirección para que la emperaura decrezca lo más rápidamene es el vecor T u= T ( 1,1) ( 1,1) 36 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

37 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación Calculando el gradiene en el puno (1,1) luego T T 1 T( 1,1) = ( 1,1 ), ( 1,1) = 0, u= ( 0,1) (b) Como la función es diferenciable se raa de enconrar el vecor v ( cos ϕ, senϕ) manera que = de v (,( 1,1) ) ( 1,1 )(, cos ϕ, ϕ) D f = T sen = 1 4 sen ϕ = senϕ= ϕ= π óϕ= π π = π (c) El vecor angene a la curva en =0 es ( ) = ( sen ) ϕ = ϕ',cos ' 0 0,1 (d) Se iene que ( T ϕ)( ) = T( ϕ( ) ) por lo ano esa función evalúa la emperaura en los punos de la curva dada en paraméricas. ( T ϕ)( ' 0) calcula la variación de la emperaura respeco al parámero en el puno de la curva ( 0) ( cos 0,1 sen0) ( 1,1) ϕ = + =. La dependencia de las variables es: T=T(,) con =()=cos, =()=1+sen T Aplicando la regla de la cadena ( ) dt T d T d 1 1+ = + = sen + cos d d d Susiuendo =0, =cos0=1, =sen0=0 se iene que 1+ ( 1+ ) ( ) T ϕ ' 0 = 1 Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 37

38 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Derivación implícia F,, z = + + z + + z 1, se pide: 4 Dada A) deerminar si F(,, z ) = 0 define en el puno P (0,-1,0) a z como función implícia de e, es decir, z = f(, ) B) Enconrar las derivadas parciales de primer segundo orden de la función z=f(,) en el puno (0,-1) C) Hallar en (0,-1) el valor de dz d z cuando d = d = 0.. SOLUCION: A) F(,, z ) = 0 define a z = f(, ) en un enorno de P (0,-1,0) si El puno P es un puno de la superficie, es decir, F (0,-1,0) = 0. En efeco, F (0,-1,0) = 1-1 = 0 F, F, Fz son coninuas en un enorno de P. Es evidene a que F,, z = + F,, z = + 38 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

39 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación son funciones polinómicas F ( 0, 1, 0) 0. Como F ( z ) z F 0, 1, 0 = 0+ = z z F,, z = z+ z,, = z+ se iene B) Para calcular las derivadas parciales de primer orden derivamos implíciamene la función F(,, z ) = 0 : Respeco a : + (1) + z z+ + z = 0 z = z + Respeco a : () + + z z+ + z = 0 z = z + Para calcular las derivadas de segundo orden basa derivar (1) () respeco a e nuevamene: + z z + zz + z = 0 z = + ( z ) z+ zz + 1 z z+ zz+ 1+ z = 0 z = z+ zz+ 1 z z+ zz + 1+ z = 0 z = z+ + z z + zz + z = 0 z = + ( z ) z+ Susiuendo en (, )=(0, -1) (con z=0) se endrá. 1 z ( 0, 1) = z ( 0, 1) z 0, 1 = = = = 4 Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 39

40 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables z z ( 0, 1) = = 1= z ( 0, 1) + 1 0, 1 = = C) Para calcular la diferencial: dz 1 = z d + z d = ( 0, ) + 1 ( 0, ) = d z= z( d) + zdd+ z( d) = + ( 1) + ( ) = = = = * 5 TESTS 5 Supongamos que esamos sobre el puno P( 1, 5,8) en una colina cua ecuación es z= El eje Y señala hacia el nore el eje X hacia el ese, las disancias se miden en meros. (a) Para subir por la máima pendiene desde el puno P me engo que mover hacia el noroese (b) Para subir por la máima pendiene desde el puno P me engo que mover hacia el suroese (c) Para subir por la máima pendiene desde el puno P me engo que mover hacia el norese (d) Para subir por la máima pendiene desde el puno P me engo que mover hacia el surese N NO NE O E SO SE Solución.- S Se iene que: 40 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

41 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación ( 1, 5,8) verifica la ecuación z= (esá en la colina). Además z z = 7 ( 1, 5) = 35= 33 z z = 7 8 ( 1, 5) = 7 40= 33 Luego la dirección donde ha máima pendiene es: f 1,5 1 1 =, f 1,5 6 Sea f(, ), una función coninua con derivadas parciales primeras segundas coninuas en odo R, al que su polinomio de Talor de orden desarrollado en el puno (1, -1) es = + ( ) ( + ) + ( )( + ) P, Enonces la ecuación del plano angene a la gráfica de f en el puno (1, -1, ) es: z= (a) Falso, el plano angene iene como ecuación z= + ( 1) ( + 1) + 6( 1)( + 1) (b) Falso, pues no podemos calcular la ecuación del plano angene con los daos del problema. (c) Falso, pues no podemos deerminar si el puno (1,-1,) perenece a la gráfica de f. (d) Verdadero, a que f( 1, 1), f( 1, 1) ( 1, ) = =. Solución: (d) Por definición el polinomio de Talor de grado con derivadas parciales primeras segundas coninuas en odo R (se cumple por ano las hipóesis del eorema de Shwarz: f = f ) P(, ) = f( 1, 1) + ( 1, 1)( 1) + ( 1, 1)( + 1) + 1 f f f +! ( 1, 1)( 1) ( 1, 1)( 1)( 1) ( 1, 1)( 1) Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 41

42 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Además por ener las derivadas parciales primeras coninuas en el puno (1, -1) es diferenciable, en consecuencia se puede calcular el plano angene a la función en el puno (1, -1, f(1,-1))=(1, -1, ) 7 Sea (, ) f, una función con derivadas parciales primeras nulas en el puno (1, 1). Deermina la afirmación correca. (a) Por ener derivadas parciales en el puno (1, 1) eise la derivada direccional de f en el puno (1, 1) en cualquier dirección. (b) Por ener derivadas parciales en el puno (1, 1) es diferenciable en el puno (1, 1) (c) Por ener derivadas parciales en el puno (1, 1) no se puede concluir que es coninua en el puno (1, 1) (e) La ecuación del plano angene a la función f en el puno (1, 1) es un plano horizonal.. Solución (c). Se han viso en clase ejemplos de la falsedad de las afirmaciones (a), (b), (d) de la cereza de la afirmación (c). 1 w f z e +z 8 Sea (,, ) que: = = donde = +, 5 = + 1, z= +, enonces se verifica para =0 dw ( 0) = 0 d (a) Verdadero, aplicando la regla de la cadena enemos dw d d dz ( 0) = ( 0,0,0) ( 0) + ( 0,0,0) ( 0) + ( 0,0,0) ( 0) = = 0 d d d z d (b) Verdadero, pues aplicando la regla de la cadena enemos dw d d dz ( 0) = ( 0,1, ) ( 0) + ( 0,1, ) ( 0) + ( 0,1, ) ( 0) = = 0 d d d z d (c) Falso, a que w no es diferenciable en =0 por lo ano no podemos aplicar la regla de la cadena. (f) Ninguna de las respuesas aneriores es correca.. Solución (b) Para =0 se iene =0, =1, z=. Es aplicación inmediaa de la regla de la cadena. 4 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

43 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación 9 Sea z f(, ) arcg( 1 ) z= arcg( 1+ 0'1+ 0'1) es: (a) (b) = = + + uilizando la diferencial un valor aproimado de: 1 π π 1 1 (c) (g) Ninguna de las aneriores Solución: (c) Basa ener en cuena que: Como ( 0'1,0'1) ( 0,0) 0'1 ( 0,0) 0'1 ( 0,0) ( 0'1,0'1) ( 0,0) + 0'1 ( 0,0) + 0'1 ( 0,0) z = f f f + f f f f f f π = = 4 ( 0,0) arcg( 1) f 1 1 (, ) = f (, ) = Se iene que: π 0'1 arcg( 1+ 0'1 ) z= f, = se puede afirmar que los límies radiales de la función f en el Sea puno (1,-): (a) no eisen (b) son odos iguales valen cero. (c) son odos iguales valen 5/9 (h) dependen de la pendiene de la reca que se considere. Solución (d) m m lim = lim = (, ) ( 1, ) = m( 1) + ( + m( 1) ) + 8( + m( 1) ) + 9 Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 43

44 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables + 4+ m 1 4m m = lim = m 1 8m m m m 1 1+ m = lim = lim = + m m m Obener la ecuación de la reca angene a la curva C en el puno (1, ) siendo C la curva inersección de la superficie dada por z f(, ) = = el plano =1. (a) { = 1, = + λ, z= 3 4λ (b) { = 1 + λ, =, z= 3+ λ (c) { = 1, = + λ, z= 3 (d) ninguna de las aneriores Solución (a): Se raa de la ecuación que pasa por el puno (1,, f(1,))=(1,,-3) iene como pendiene la derivada parcial f ( 1,0) v= f ( 0,1, ( 1, ) ) Ya que f, =, la reca es:. Un vecor direcor de esa reca es { = 1, = + λ, z= 3 4λ 3 Sea z f(, ) = una función coninua con derivadas parciales coninuas en el puno (1, ) enonces si 1, = 1, 1, = 1 enonces (a) (b) la dirección de máimo crecimieno de la función en ese puno es la norma del gradiene. si desde el puno (1, ) nos vamos en la dirección del eje posiivo el valor de z aumena (c) sea S el plano angene a la superficie dada por z f(, ) ( 1,, f( a, b )), enonces un vecor normal a S en el puno ( 1,, (, )) (d) n= ( 1, 1,1) ninguna de las aneriores. = en el puno f a b es 44 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

45 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación Solución: ( 1,, (, )) Un vecor normal al plano angene a la superficie dada por z f(, ) f a b es: f f ( 1, ), ( 1, ), 1 = ( 1,1, 1) = en el puno El vecor n= ( 1, 1,1) es proporcional al anerior. 33 Supongamos que f es coninua iene derivadas parciales coninuas. Supongamos ambién que iene derivada direccional máima igual a 50 en P(1, ), que se alcanza en la dirección de P a Q(3,-4). Uilizando esa información calcula f( 1,) 1 3 1, =, (a) f (b) f 1, = , =, (c) f (d) ninguna de las aneriores Solución Como f es coninua iene derivadas parciales coninuas enonces es diferenciable en P. Por esa razón la derivada direccional se puede calcular como el produco escalar de la dirección el vecor gradiene. Además la derivada direccional máima se alcanza en la dirección del gradiene 1 Duf( 1,) = f( 1,) = 50 u= f 1, f El vecor que une el puno P Q es: PQ= (, 6) 1 3 Un vecor uniario en esa dirección es: u=, Por lo ano, f( 1,) = f( 1, ) u=, ( 1,) Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 45

46 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables 34 Sea C la curva de nivel que pasa por P(1, 1) de z f(, ) de la angene a la curva C. (a) -1 (b) 0 (c) 1 (d) ninguna de las aneriores = = +. Deermina la pendiene en P(1,1) Solución: La curva C es la curva de nivel decir, es la curva, K = + para valor de K f = 1,1 = =, es = + Derivando implíciamene, en el puno (1, 1) la derivada es: 0= + ' Sea z f( u) = una función derivable, ' = = 1 u= enonces la epresión (a) ' f (b) (c) no se puede calcular si no se conoce la función f (d) ninguna de las aneriores z z + + es Solución: Llamamos u =, enonces la dependencia de variables es z u Aplicando la regla de la cadena 46 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

47 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación Susiuendo, z dz u dz = = du du z dz u dz 1 = = du du z z dz dz + = + = 0 du du 35 Dada z= + en el puno (1, ) un vecor perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por el puno (1,) es (a) (6,) (b) Paralelo al eje X (c) Paralelo al eje Y (d) Bisecriz del primer cuadrane (e) Ninguna de las aneriores Sol.- (a) z z = siendo f una función no consane. Si + = 0 36 Sea z f( g( ) ) (a) g( ) = g '( ) (b) = g( ) (c) g( ') = g( ) (f) Ninguna de las aneriores enonces Sol.- (a) 37 Se considera la función (, ) si = f = + 0 si, = 0,0 (, ) ( 0,0) La derivada direccional de f en (0,0) siendo la dirección u= ( cos ϕ, senϕ) 3 3 (a) cos ϕ+ senϕ (b) cosϕ+ senϕ (b) 0 (d) Ninguna de las aneriores es Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 47

48 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables Sol.- (a) si = f = + 0 si, = 0,0 Sea (, ) (, ) ( 0,0). Elige la respuesa correca: (a) f(, ) es coninua en (0,0) a que odos los límies direccionales por =m son 0 (b) f(, ) es coninua en (0,0) porque eisen ( 0,0) ( 0,0) (c) f(, ) no es coninua en (0,0) porque aunque eisen ( 0,0) ( 0,0) (d) f(, ) es coninua en (0,0) porque para odo ε> 0 eise δ> 0 al que <δ (e) Ninguna de las aneriores no coinciden + < δ enonces Sol.- (d) si = f = + 0 si, = 0,0 Sea (, ) (, ) ( 0,0). Elige la respuesa correca: (a) f(, ) no es diferenciable en (0,0) a que ( 0,0) ( 0,0) (b) La derivada parcial de f respeco de no es coninua en (0,0) (c) Es diferenciable en (0, 0) porque la derivada parcial de f respeco de es coninua en (0,0) (f) Ninguna de las aneriores Sol.- (b) si = f = + 0 si, = 0,0 Sea (, ) (a) f 0,0 = 0 (, ) ( 0,0) (b) Se cumple f ( 0,0) = f ( 0,0). Elige la respuesa correca: 48 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

49 Ejercicios: Func. varias variables Ingeniería de Telecomunicación (c) No eise f ( 0,0) (d) Ninguna de las aneriores Sol.- (a) 41 El plano angene a la superficie gráfica de (, ) (a) No puede deerminarse con la información dada si = f = + 0 si, = 0,0 (, ) ( 0,0) (b) El plano angene no se puede calcular porque la función f no es diferenciable (c) Es el plano z=0 (d) Ninguna de las aneriores Sol.-. 4 Si coramos la superficie gráfica de la función z f(, ) cua pendiene en el puno (1,, 3) es = = + por el plano = se obiene una curva (a) (b) z z 1 Du f siendo u=, 5 5 (c) ( 0,0) (g) Ninguna de las aneriores Sol.- (a) 43 Sea f una función coninua en odo puno de (, ) ( 1, ) R al que para cualquier, R se iene que f = Enonces se verifica que f es diferenciable en odo puno de R además el valor máimo de la derivada direccional de f en el puno (0,0) se alcanza en la dirección del v= 1, vecor (a) Falso, de las hipóesis del enunciado no podemos deducir que f sea una función Profesora: Elena Álvarez Sáiz S 49

50 Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias variables diferenciable. (b) Falso, aunque f es diferenciable, sin embargo f (0,0) = f (0,0).(1.) = (1.).(1.) = 5 < f (0,0) = 6 (1,) (0,8) a que f(0,8)(0,0) = f (0,0).(8,0) = (1, ).(0,8) = 16 (c) Verdadero, f es diferenciable pues eisen las derivadas parciales de f son funciones coninuas en odo R. Además como f( 0,0) = ( 1,), enonces Dv f alcanza su valor máimo cuando v= ( 1,) (d) Ninguna de las aneriores Sol.- (c) 44 Sea z f(, ) u v = = + donde = e + e z z 0,0 = 0,0 = v derivadas parciales de z son u (a) Falso, pues aplicando la regla de la cadena = u + v. Enonces se verifica que para u=0 v=0 las z u z 0,0 = 0,0 = 0 v z ( 0,0) = ( 0,0) ( 0,0) + ( 0,0) ( 0,0) = 0 u u u z ( 0,0) = ( 0,0) ( 0,0) + ( 0,0) ( 0,0) = 0 v v v (b) Falso, a que no podemos aplicar la regla de la cadena a que no eise ( 0,0) (c) Verdadero, aplicando la regla de la cadena: z u z ( 0,0) = ( 1,0) ( 0,0) + ( 1,0) ( 0,0) = = u u u z ( 0,0) = ( 1,0) ( 0,0) + ( 1,0) ( 0,0) = = v v v (d) Ninguna de las aneriores Noa: Si en la solución de algún ejercicio crees que ha algún error pone en conaco con la profesora para su corrección. 50 Profesora: Elena Álvarez Sáiz

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