1 CONCEPTOS BASICOS. Una relación de A en B puede no ser función, los siguientes gráficos ilustran esta situación.

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1 Funciones Reales CONCEPTOS BASICOS FUNCION Deinición Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, en los cuales se deine una relación de A en B Decimos que esa relación es una unción, si y sólo si, todo elemento de A se relaciona con un único elemento en B En otras palabras, para que una relación entre los conjuntos A y B sea una unción, es necesario que por medio de ella todo elemento del conjunto A esté asociado con un único elemento del conjunto B La unción de A en B se denota por : A B Una relación de A en B puede no ser unción, los siguientes gráicos ilustran esta situación A B A h B Esta relación no es unción pues eiste un elemento de A relacionado con dos elementos de B En este caso no es unción puesto que un elemento de A no está relacionado con ningún elemento de B Si : A B es una unción y es un elemento cualquiera de A, entonces eiste un elemento y que pertenece a B, que está relacionado con mediante la unción, a tal elemento y se le llama imagen de mediante y se denota por y La epresión y, se lee y es la imagen de mediante o y es el valor de la unción en Ella representa la regla de asociación que permite asignar a cada elemento del conjunto A, su correspondiente imagen Ejemplo ilustrativo Consideremos los conjuntos A {-, -, 0,, } y B { 0,,,, }, y la unción : A B donde

2 Funciones Reales La regla y nos permite encontrar la imagen de cada elemento del conjunto A, la unción la podemos representar mediante un gráico o como un conjunto de pares ordenados { -,, -,, 0,0,,,, } A B 0 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Figura Sea una unción tal que :A B con y El conjunto A se llama dominio de la unción y se denota por Dom Es decir Dom A y al conjunto B se le llama codominio de Al subconjunto de B, conormado por todos los elementos relacionados con elementos del dominio mediante la unción, lo llamaremos rango de la unción y lo denotaremos por Rag Es decir Rag {y B: y para algún A} En el ejemplo ilustrativo el dominio es el conjunto A, el codominio es B y el rango es el conjunto ormado por las imágenes Rag { 0,, } Diagrama ilustrativo ADominio A Conjunto de salida o dominio B Conjunto de llegada o codominio C conjunto imagen o rango C está contenido en B Figura C B Observaciones Si la unción esta deinida de A en B entonces, el dominio de dicha unción es el conjunto A y el codominio es el conjunto B Todos los elementos del dominio de una unción deben estar relacionados con algún elemento del codominio conjunto de llegada Pueden eistir elementos en el codominio de una unción conjunto de llegada que no son imagen de elemento alguno del dominio No puede eistir ningún elemento del dominio de una unción que posea más de una imagen en el conjunto de llegada codominio

3 Funciones Reales Imagen Recíproca Sea una unción de A en B Denominaremos imagen reciproca del elemento b B, al conjunto de todos los elementos de A que según tienen por imagen al elementos b Correspondencia Recíproca Sea una unción de A en B Llamaremos correspondencia recíproca de a la relación de B en A tal que b estará relacionado con a si y sólo si b es la imagen de a mediante Observaciones La correspondencia recíproca no deine en todos los casos una unción de B en A Para una unción cualquiera quedará deinida su correspondencia recíproca que denotaremos por, y en caso de ser unción la llamaremos unción inversa de Igualdad de unciones Sean y g dos unciones cualesquiera, se dice que las unciones y g son iguales g sí y sólo sí: i Dom Dom g ii g, para toda perteneciente al dominio de ambas iii Codominio de es igual a codominio de g Observación Si se cumplen las dos condiciones i y ii se tendrá, en consecuencia, un mismo conjunto imagen rango para ambas unciones CLASIFICACION DE FUNCIONES SEGÚN SU NATURALEZA De acuerdo a la orma como se relacionan los elementos del dominio con los elementos del conjunto de llegada, clasiicaremos a las unciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, sin embargo una gran mayoría de las unciones no pertenecen a ninguno de estos grupos Función inyectiva Son unciones inyectivas aquellas en que a elementos dierentes del dominio le corresponden distintas imágenes en el conjunto de llegada Epresando esto de otra manera tendremos: Sea : A B, diremos que es inyectiva sí y sólo sí para cualesquiera a y b pertenecientes a A a b a b elementos dierentes entonces imágenes dierentes se tiene que: Observación Debe ser obvio que si las imágenes se toman iguales, en una unción inyectiva, los elementos que las generan resultarán también iguales esto es: a b a b Función Sobreyectiva Denominaremos unciones sobreyectivas a aquellas unciones en las que el conjunto de llegada codominio coincide con el rango o conjunto imagen En otras palabras son aquellas unciones en las que todos los elementos del conjunto de llegada poseen imagen recíproca De otra orma:

4 Funciones Reales Sea : A B, diremos que es sobreyectiva sí y sólo sí: y B, A tal que y Función Biyectiva Son biyectivas todas aquellas unciones inyectivas y sobreyectivas simultáneamente Ejemplo ilustrativo Consideremos las unciones, g, h e i, las cuales se visualizan mediante un diagrama conocido como una representación sagital A B A g C A h D A i B Figura De acuerdo a las deiniciones anteriores vemos que: a no es inyectiva, ya que dos elementos dierentes del dominio tienen la misma imagen tampoco es sobreyectiva, ya que el elemento del codominio, no es imagen de ningún elemento del dominio b g es inyectiva, pues, no eisten elementos dierentes del dominio con la misma imagen Pero, g no es sobreyectiva, ya que el elemento del codominio, no es imagen de ningún elemento del dominio c h no es inyectiva, dos elementos dierentes del dominio tienen la misma imagen En cambio, h es sobreyectiva, por ser todos los elementos del codominio imágenes de algún elemento del dominio d Es inmediato que i es inyectiva y sobreyectiva En el ejemplo ilustrativo anterior observamos que, los dos tipos de unciones, a saber, las inyectivas y las sobreyectivas, pueden aparecer combinadas de dierentes maneras, en una misma unción Esto es, dada una unción, podemos encontrar una de las siguientes condiciones:

5 Funciones Reales 5 a No es inyectiva ni sobreyectiva b Es inyectiva, pero no sobreyectiva c Es sobreyectiva, pero no inyectiva d Es inyectiva y sobreyectiva a la vez De estas cuatros combinaciones, la última es de gran importancia Según la deinición, una unción biyectiva queda caracterizada por las propiedades siguientes: a Cada par de elementos dierentes del dominio tiene imágenes dierentes b Todo elemento del codominio es imágen de algún elemento del dominio Lo descrito, es lo que comunmente se conoce como unción biunívoca, nombre que también identiica a las unciones biyectivas Observaciones Las únicas unciones cuya correspondencia recíproca es también unción son las biyectivas Por lo tanto, para que una unción admita inversa, debe ser biyectiva En algunos casos, aun cuando la unción dada no es biyectiva, pueden acotarse los conjuntos de salida y de llegada para deinir otra unción, con imágenes iguales a las de la unción dada para los elementos del nuevo dominio La nueva unción deinida será ahora biyectiva y por lo tanto admitirá la unción inversa El acotamiento reerido en la observación anterior no es único, y eisten dierentes posibilidades para lograr una unción similar a la dada con dierentes dominios y conjuntos de llegada que se biyectiva Mas adelante retomaremos este tema En lo sucesivo se trataran unciones en las cuales, tanto el dominio como el codominio están constituidos por números reales son subconjuntos de R Tales unciones se llaman unciones reales de variable real Ejemplo Decida si la unción deinida por: : R R es biyectiva Solución Para determinar si es biyectiva o no, debemos recurrir a la demostración matemática, apoyados en las deiniciones dadas de unción inyectiva y sobreyectiva Veamos si y, se cumple que: es inyectiva Dados dos números cualesquiera del dominio, digamos

6 Funciones Reales 6 Esto es, imágenes iguales corresponden a preimágenes iguales, y así queda demostrado que es inyectiva es sobreyectiva En eecto, si despejamos de la ecuación y, y obtenemos y Por lo tanto, como R para todo número real y, se cumple que Rag R Esto es, el rango y el codominio de la unción coinciden biyectiva Siendo una unción inyectiva y sobreyectiva a la vez, podemos concluir que es Cuando se trabaja con unciones reales en la mayoría de los casos se considera que el codominio es R, por lo que, es habitual deinir unciones indicando solo el dominio A veces no se presenta eplícitamente el dominio y el codominio de una unción, por ejemplo: es una unción tal que con, se entiende que Dom R-{} También puede abreviarse escribiendo es la unción tal que En estos caso si el dominio no se especiica, se sobreentiende que está ormado por todos los números reales para los cuales es un número real Es decir Dom { R: R } Ejemplo Decida si la unción es biyectiva Solución Primero que nada, veamos si es inyectiva Para dos números cualesquiera y del dominio de se tiene que Es decir, si dos números del dominio de la unción tienen la misma imagen, entonces los dos números son iguales, o uno es el inverso multiplicativo del otro y ½ tienen la misma imagen Así, no es inyectiva Por lo tanto, tampoco es biyectiva Se deja como ejercicio, determinar si la unción es o no sobreyectiva

7 Funciones Reales 7 Obtención del dominio de una unción real de una variable real En vista de que el dominio de una unción real y es el conjunto ormado por números reales tales que resulta un número real, lo importante es obtener el conjunto de todos estos valores de, tomando en consideración las restricciones de la eistencia en R, que son básicamente: - Las raíces de índice par resultan valores reales, solamente cuando la cantidad subradical es no negativa Es decir: restricción n g R con n par, sí y sólo sí g 0 Si n es impar no hay - Los cocientes resultan ser valores reales siempre que el denominador no sea nulo Esto es: g R R, g R y g 0 - Los logaritmos resultan ser valores reales solamente cuando la cantidad operada es positiva En otras palabras: log R > 0 a - Las epresiones arcseno y arcocoseno resultan ser valores reales solamente cuando la arcsen y cantidad operada sea mayor o igual a y a la vez menor igual a Es decir: arccos son valores reales sí y sólo sí ó equivalente Ejemplo Hallar el dominio y el rango de la unción deinida por determinar si ella es inyectiva o sobreyectiva, además Solución Se tiene que Dom R : R De allí se obtiene que Dom si y solo si - 0, pues la división por cero no está deinida Así que Dom R-{-, } Por otra parte, tenemos que: Rag y R : y para algún R {, } Este conjunto lo determinamos despejando de la epresión y y y y para y 0 tenemos entonces que ± y y Para que eistan los en R-{-, }, se debe cumplir y 0 y y y La segunda condición se cumple para todo y 0, puesto que y y y La primera condición se satisace sólo si y, ] U 0,

8 Funciones Reales 8 Por lo tanto Rag, ] U 0, Puede observarse ácilmente que - por lo que la unción no es inyectiva y como el codominio no se ha indicado debemos suponer que es R, el cual no es igual al rango encontrado por tanto no es una unción sobreyectiva Ejercicio Hallar el dominio y el rango de la unción g deinida por veriicar que no es inyectiva ni sobreyectiva g y Respuesta: Domg [, ] y Ragg [ 0, ] REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES REALES Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas, y una unción real de variable real tal que : A B y A cada elemento, de, le podemos asociar un punto del plano cartesiano como se ilustra en la igura El conjunto de todos los puntos del plano, que se asocian con los elementos de, se denomina representación gráica de la unción Y, E n este eje colocam os lo s elem en to s del rang o E n este eje colocam os lo s elem en to s del do m in io Figura X Ejemplo Trazar la representación gráica de la unción tal que Solución Si asociamos a cada uno de los pares, un punto en el plano cartesiano y sabiendo que todos los pares, están sobre la recta cuya ecuación es y Se concluye que tal recta es la representación gráica de la unción Figura 5

9 Funciones Reales 9 Ejemplo 5 Trazar la representación gráica de la unción g deinida por g Solución Si trazamos algunos pares de la orma, obtenemos una imagen como la de la igura 6 Y Y -, -,,, X X Todos los pares, conocida con el nombre de parábola F i g u r a 0 F i g u r a Figura 6 Figura 7 están sobre una curva como la que se ve en la igura 7, esta curva es Ejemplo 6 Trazar la representación gráica de la unción tal que, < Solución La regla de correspondencia que permite identiicar los elementos de esta unción es la misma que se consideró en la unción g deinida en el ejemplo 5, pero, el dominio de la unción es el intervalo,] y el de la unción g es R Luego, la representación gráica de Figura 8 es una parte de la de g o - 9 Y Figura 8 X El círculo vacío en uno de los etremos de la curva deja eplícito que el punto -, no pertenece a la representación gráica, y el círculo relleno en el otro etremo indica que ese punto pertenece a la representación gráica y que dicha representación no se prolonga en ése etremo Partiendo de la representación gráica de una unción, se puede decidir si es inyectiva: la condición para signiica que ninguna recta horizontal corta a la representación gráica de dos veces o más

10 Funciones Reales 0 Y y Y y X X Función inyectiva Función que no es inyectiva Figura 9 El procedimiento de obtención de las representaciones gráicas nos conduce a un dibujo aproimado, lo cual es suiciente por los momentos, hasta que dispongamos de herramientas como la derivada, que nos permitirá llegar a dibujos más precisos Y Y X X a b Y Y X X c Figura 0 Figura d La representación gráica de una unción no puede contener dos puntos situados sobre una misma vertical Esta conclusión se desprende inmediatamente de la deinición de unción: dos puntos sobre la misma vertical corresponden a pares de la orma a, b y a, c y, por deinición, una unción no puede contener los pares a, b y a, c si b c Viceversa, si un conjunto de puntos del plano tiene la propiedad de que no hay dos puntos situados sobre la misma vertical, entonces dicho conjunto corresponde a la representación gráica de una unción Así, los dos primeros conjuntos de la igura 0 no son representaciones gráicas de unciones y los dos últimos si lo son

11 Funciones Reales Estudio y representación gráica de las unciones más usadas Se trata de conocer la orma de las curvas correspondientes a las unciones más comunes, para que cuando sea necesario graicarlas baste con una pequeña tabla de valores para conseguir una buena aproimación a la representación eacta Función constante Y Todos los elementos del dominio poseen la misma imagen Su epresión matemática tiene la orma b b constante Dominio R Rango { b } Su representación es una recta horizontal que pasa por el punto 0,b La unción no es inyectiva ni sobreyectiva b yb X Función Identidad Todo elemento del dominio es idéntico a su imagen Epresión matemática: Y a Dominio R Rango R Su representación es una recta que orma 5 con la dirección positiva del eje, y pasa por el origen Puede deducirse ácilmente que esta unción es biyectiva a X Función Aín Las imágenes se obtienen multiplicando a los elementos del dominio por una constante y sumando otra Y Epresión matemática: a b ab b α tagαa Dominio R Rango R sí a 0, Rango { b } X Su representación gráica es una recta de pendiente a y ordenada en el origen b las unciones constante e identidad, son casos particulares de la unción aín, ya que pueden obtenerse para valores especíicos de a y b Es biyectiva salvo en el caso a0 Función Potencia Las imágenes se obtienen elevando a una potencia natural los elementos del dominio n Epresión matemática: N Dominio R Rango?depende del valor de n n

12 Funciones Reales De cualquier orma pueden deducirse ácilmente que para n impar el rango es R y para n par es [0, La representación gráica también depende de n, y veremos aquí algunos casos Cuando n, es la unción identidad ya estudiada Cuando n, es la unción potencial de segundo grado, y su gráica es una parábola No es inyectiva pues - Cuando n, es la unción cúbica o unción potencial de tercer grado, y su gráica se muestra en el gráico siguiente: Es biyectiva Es necesario hacer la Demostración en clase Y X y 5 Función Polinómica Toda unción cuya regla de correspondencia entre los elementos del dominio y sus n n imágenes sea de la orma an an a ao es una unción polinómica En la deinición anterior se debe tomar en cuenta: i n es un entero positivo ii a i, i 0,,,,n son constantes reales iii a i, i 0,,,,n se les denomina coeicientes del polinomio y al entero positivo n, se le llama grado del polinomio por supuesto a n 0 iv Dominio R Observaciones: Son unciones polinómicas todas las unciones estudiadas hasta ahora constante, identidad, aín y potencial, de donde puede deducirse que la representación gráica y el rango de una unción polinómica dependen de su grado y de sus coeicientes Entre las unciones polinómicas conviene destacar la de segundo grado cuadrática, por ser de particular importancia la estudiaremos aparte 6 Función Cuadrática o Trinomio de Segundo grado Es una unción cuadrática aquella cuya regla de correspondencia entre los elementos del dominio y las imágenes es de la irma a b c, donde a, b y c son constantes reales y a 0 Raíces del trinomio de segundo grado a b Las raíces del trinomio c son los valores de que hacen que 0 Por lo tanto, dichas raíces se obtienen resolviendo la ecuación: a b c 0 b b a c b b a c Cuyo resultado son las raíces buscadas: y a a esta órmula conocida popularmente como la resolvente cuadrática puede deducirse usando la técnica de completación de cuadrados, inténtelo

13 Funciones Reales Naturaleza de la raíces Denominaremos discriminante a la cantidad subradical que interviene en el cálculo de las raíces b a c i Raíces reales distintas, sí 0, entonces las raíces de un trinomio de segundo grado pueden ser: > ii Raíces reales iguales, sí 0 iii Raíces complejas conjugadas, sí < 0 Signo de a b c cuyas raíces son y a Caso Raíces reales dierentes El signo de a b c es el mismo signo de a, ecepto en los valores y 0, y en el intervalo, donde tiene signo contrario Esto puede ser utilizado para resolver inecuaciones cuadráticas, como veremos en la página b Caso Raíces reales e iguales El signo de a b c es el mismo signo de a, ecepto en ya que 0 c Caso Raíces imaginarias El signo de a b c siempre es el mismo signo de a, sin importar cual sea el valor de Valor máimo y mínimo de un polinomio de segundo grado Mediante la técnica de completación de cuadrados, todo polinomio de segundo grado puede epresarse de la orma a h k i Sí > 0 donde a, h y k son constantes reales Entonces: a, la unción a h k valor mínimo cuando es el valor mínimo de la unción ii Sí < 0, donde a, h, y k son constantes, tomará su h, y será igual a h k En estas condiciones diremos que k a, la unción a h k mayor valor máimo cuando diremos que k es el valor máimo de la unción, donde a, h, y k son constantes, tomará su h, y será igual a h k En estas condiciones Representación Gráica de una unción polinómica de grado Sea a b c, donde a,b,c son constantes i y son las raíces del polinomio ii El discriminante b a c La gráica de la unción dependerá de los signos de a y de, pero conviene siempre escribir la ecuación en la orma a h k para obtener las coordenadas del punto mínimo o máimo que denominaremos vértice Las ormas del las gráicas, dependiendo de los signos de a y es la siguiente:

14 Funciones Reales Y Y 0 a>0 Y <0 a<0 >0 a>0 X X X En todos los casos la curva es una parábola Método práctico para graicar trinomios de grado Si se quiere una buena aproimación de la gráica de un trinomio conviene seguir el método que se da a continuación: Se epresa la unción dada en la orma a h k determinar el vértice, ya que h k V,, lo que permitirá Se hace una tabla de cuatro valores adicionales, tomando como valores de a: h, h, h y h de tal manera que la tabla tomará la siguiente distribución: h h h h - h - y k ka ka ka ka Se ubican estos puntos en la recta real y se unen con trazos continuos, recordando que la curva es una parábola con vértice h, k en Observación La recta yk representa la tangente a la parábola en el punto h, k su vértice Y ya-h k ka h- h h h- h ka yk X Método Gráico para resolver inecuaciones cuadráticas Si tenemos que resolver una inecuación cuadrática como a bc 0 Es suiciente con graicar la correspondiente unción a bc y observar para que valores de, 0, que

15 Funciones Reales 5 equivale a observar cuál es la parte del gráico que está por encima del eje X Veamos un ejemplo Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de la inecuación La igura anea muestra la gráica de la unción --5 Puede observarse que --5 0, para los -, -] [ 5 /, También puede verse que la solución de --5 < 0 es -, 5 / 7 Función Valor Absoluto o módulo Denominamos unción valor absoluto de, a la unción que asigna a cada número real el número no negativo valor absoluto de, que se deine mediante: sí 0 sí < 0 Su representación gráica consiste de una línea quebrada ormada por las rectas y e y- de acuerdo a la deinición, la gráica será: la parte correspondiente a la recta y situada en el primer cuadrante y la parte correspondiente a la recta y - en el segundo cuadrante Y Dominio: R Rango: R U { 0 } X Propiedades del valor absoluto: i ii 0, R, 0 0 iii iv v y y desigualdad triangular Función valor absoluto generalizada Considérese la unción g, donde Entonces, de acuerdo a la deinición de valor absoluto tendremos: es una unción cualquiera

16 g sí sí 0 < 0 Funciones Reales 6 Si de conoce la gráica de la gráica g es la misma que la de ecepto en los puntos donde es negativa, en los cuales se debe cambiar el signo a la ordenada Veamos lo antes dicho: y y 5 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES Sean y g dos unciones reales tales que D Dom Domg φ La suma de y g es la unción g tal que g g con D La dierencia de y g es la unción -g tal que -g -g con D El producto de y g es la unción g tal que g g con D El cociente de y g es la unción / g tal que / g / g con D-{ : g 0 } Algunas propiedades de la suma, la dierencia, el producto y el cociente de unciones reales, son consecuencias inmediatas de las propiedades de sumas, dierencias, productos y cocientes de números reales Por ejemplo, si, g y h son unciones tal que D Dom I DomgI Domh, entonces g h g h, g g, g h g h, g g y g h g h La gran mayoría de las unciones que trataremos se pueden epresar en términos de suma, dierencia, producto, cociente o raíces de unciones polinómicas Tales unciones se llaman unciones algebraicas El siguiente ejemplo ilustra como hallar el dominio de una unción algebraica Ejemplo 7 Hallar el dominio de la unción deinida por Solución Consideremos las unciones g, h, i y j tales que

17 Funciones Reales 7 g h i j, 6 5 5, - y Así, se tiene que g h i j Por lo tanto { } 0 / Dom Dom Dom Dom Dom j j i h g Veamos cual es el dominio de las unciones, g, h, i y j Como g e i son unciones polinómicas, entonces Domg Domi R Sabemos que la raíz cúbica esta deinida para todo número real, por lo tanto { } R R R h / Dom Para la unción j se tiene que 0 R j / Dom Esto es 5 5,, Domj Además { } 5 5 0, / R j Por lo tanto, el dominio de es ,,, Dom R R R R 5 5,, El manejo de epresiones como las eectuadas en el ejemplo ilustrativo siguiente son de mucha utilidad para ormar nuevas unciones Ejemplo ilustrativo Dada la unción deinida por 5 no se debe encontrar diicultad para comprobar que h h - h y 6 COMPOSICION DE FUNCIONES Sean A y B subconjuntos de R y consideremos las unciones y R A : y y g R B g :

18 Funciones Reales 8 Supongamos que Rag B, entonces eiste A tal que B Ver igura, así, a este elemento le podemos aplicar g para obtener g A Rag B g Ragg g Figura Consideremos una unción h dada por h g, la cual se ilustra en la igura A R a g g h g Figura Esta unción h manda directamente al elemento el nombre de unción compuesta de y g A en el elemento g y recibe La unción h que acabamos de deinir se denota por h go La cual se lee: h es igual a g compuesta con El símbolo o corresponde entonces a una nueva operación entre unciones que llamaremos composición de unciones, cumpliéndose que go es la unción tal que go g, D A donde D Dom go { A/ B} { Dom / Domg} Ejemplo 8 Sean y g dos unciones tales que Hallar: i Dom y Domg ii go y og Solución i Es inmediato que Dom R y Domg [ 0, ii go g g y og g iii Dom go { Dom / Domg} y g iii Domgo y Dom og { R 0} g / g Dom {, / R} 0, / [,] y Domog { Dom } [ 0 [ go En el ejemplo anterior se observa que go og En general se tiene que og Esto es, la composición de unciones no es conmutativa Además se tiene que, aún

19 Funciones Reales 9 cuando og - y el dominio de una unción polinómica es R, Dom og [ 0, causa de esto es que se están usando dos unciones y g para obtener una nueva unción denotada por og La mayor parte de las unciones con que trabajaremos en la práctica resultan de la composición de otras unciones Por ejemplo, sea h una unción tal que h y consideremos las unciones, g, i y j deinidas como siguen: Vemos que: joiogo h En eecto o, g, i, j joiog j i g j i g j i j h En la igura se ilustra esta composición La g i h j Figura 7 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS En cálculo, con recuencia se requiere epresar una situación práctica en términos de una relación uncional La unción obtenida representa un modelo matemático de tal situación En esta sección se dan ejemplos que muestran el procedimiento eplícito en la obtención de algunos modelos matemáticos Ejemplo 9 Un cilindro circular recto de radio r y de altura h está inscrito en un cono de altura y radio de la base, como se muestra en la igura Solución i Eprese el volumen del cilindro como unción del radio r ii Cuál es el dominio de la unción resultante? entonces v i Sea v el volumen del cilindro, π r h Observemos en la igura que los triángulos ACD y ABE son semejantes, por lo tanto h r AC CD Esto es AB BE 5 Figura h A B C r E D

20 Funciones Reales 0 Para epresar v en unción de r, despejamos h de 5, obteniendo luego se sustituye h en, dando como resultado v r π r r h - r ii El menor valor que r puede tomar es 0 y el mayor valor es, pues, ese es el radio de la base del cono De allí que r debe estar en el intervalo cerrado 0, Luego Domv 0, Para ciertas aplicaciones es necesario epresar una variable y como unción de una variable t Con el siguiente ejemplo se ilustra que a veces es más ácil introducir una tercera variable como unción de t ; esto es, gt A continuación se epresa a y como una unción de ; esto es, y y inalmente se orma la unción y g t Ejemplo 0 Un globo de aire caliente sube verticalmente conorme se suelta una cuerda atada a su base a razón de m/seg La polea que suelta la cuerda está a 8 metros de la plataorma en la que los pasajeros abordan el globo Eprese la altura del globo en unción del tiempo Solución Sea la cantidad de cuerda suelta a los t segundos y h la altura del globo, cuando la cantidad de cuerda suelta es En la igura 5 se ilustra la posición del globo a los t segundos Inicialmente la cantidad de cuerda suelta es 8 m, pues, esa es la distancia de la polea a la plataorma donde se encuentra el globo en ese momento Entonces, después de t seg, la cantidad de cuerda suelta es: 8 t t Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC se tiene que h 6 g Figura 5 A 8 C B h Así, La altura h del globo en unción de t es h g g t 8t t Es decir h 8t t que es lo que queríamos determinar EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar el dominio de cada una de las siguientes unciones a d b e c g 9 h

21 Funciones Reales Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes unciones c b a e d h g Hallar el rango de cada una de las siguientes unciones ] 6 R b R a, :, : ] R c } {, : Para cada una de las siguientes parejas de unciones: g ii i g g iii g iv g g vi v determinar: a La regla de correspondencia de las unciones: g, -g, g, g, og y go b El dominio de cada una de las unciones dadas en a 5 Dada la unción deinida por 0 0 si si, hallar: 0 c - d b a 6 Si es una unción deinida por, hallar: b h h a 7 Dada la unción h deinida por h, hallar: Domh 8 Dada la unción deinida por a Cuál es el dominio de? b Cuál es el dominio de o?

22 Funciones Reales 9 Sea una unción deinida de la orma 5 Eistirá una unción g tal que og para todo número real? Si así uera, Cuántas unciones habrán? 0 Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, siendo, g, y h unciones reales Si es verdadera demuéstrela, si es alsa orezca un contraejemplo a g g d g h g h b g g e og go c g h g h o goh og oh Epresar la longitud L de la diagonal de un cuadrado como unción de su área A Epresar el área A de una circunerencia como unción de su longitud L Un abricante de envases construye cajas sin tapas utilizando láminas cuadradas de 7 cm de lado, a las cuales recorta un pequeño cuadrado de cada esquina y dobla las aletas para ormar los lados de la caja Si es la longitud del lado del pequeño cuadrado que recorta: a Epresar el volumen de la caja en unción de b Hallar el dominio de la unción resultante Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 000 cm El material para la construcción de la caja cuesta $ el centímetro cuadrado a Eprese el costo de la caja en unción de la longitud del lado de la base de la caja b Hallar el dominio de la unción resultante 5 Esbozar las representaciones gráicas de las siguientes unciones, trazando un número de puntos suicientes para obtener una buena idea del aspecto general a, R b, R c, 0 d, 0 6 Indicar cuales de las iguras que se muestran a continuación corresponden a la representación gráica de una unción Y Y Y X X o X a b c Y Y X X X d e

23 Funciones Reales EJEMPLOS DE FUNCIONES El presente capítulo nos proporcionará criterios adicionales para la construcción de representaciones gráicas de ciertas unciones algebraicas Estas unciones adquieren relevancia, dada la recuencia con que aparecen en aplicaciones prácticas FUNCION AFIN De la geometría analítica sabemos que la ecuación y a b representa una recta de pendiente a que corta al eje Y en el punto 0, b Por esto, la unción Aín a b es llamada por algunos autores unción lineal Una recta en el plano queda determinada por dos puntos distintos, por lo cual, para trazar la representación gráica de una unción aín basta con conocer dos elementos de tal unción Ejemplo Representar gráicamente la unción - Solución La representación gráica de la unción es una recta de pendiente que corta al eje Y en el punto 0, - En eecto Necesitamos otro punto Lo habitual es determinar el punto de intersección de la recta con el eje X, el cual corresponde a un punto de la orma c, 0 Así, Como c, 0 pertenece a, entonces c 0 c - 0 c, 0 es el punto de corte con el eje X Luego, la representación gráica de la unción es la que se muestra en la igura anea No es diícil demostrar que Rag R La unción identidad caso particular de unción aín con a y b0 se presenta con recuencia y algunas veces se denota con I, más aún, si el dominio de la unción identidad es designar por unción tal que I A : A A I A Figura Si b 0, entonces la unción aín a tiene como representación gráica una recta que pasa por el origen A R, esta unción se suele I A en vez de I Esto es, I A es una Si y es una unción lineal de, entonces y a b para algunas constantes a y b, y se dice que e y están relacionadas linealmente Las relaciones lineales entre variables aparecen recuentemente en las aplicaciones El siguiente ejemplo es una ilustración de ello

24 Funciones Reales Ejemplo La relación entre la temperatura t del aire en ºF y la altitud h en metros sobre el nivel del mar es aproimadamente lineal La temperatura a nivel del mar es de 60ºF Si la altitud aumenta 500 metros, la temperatura del aire decrece alrededor de 8 ºF a Eprese t como unción de h b Cuál es la temperatura del aire a una altitud de 500 metros? Solución a Como t es una unción lineal de h, entonces tahb para algunas constantes reales a y b Dado que la temperatura del aire a nivel del mar es de 60ºF, entonces t60 cuando h0 Por lo tanto, sustituyendo estos valores en se obtiene b 60 Luego tah 60 Por otra parte, cuando la altitud aumenta 500 metros, la temperatura del aire decrece alrededor de 8ºF, esto es, t 60-8 cuando h 500 Sustituyendo estos valores en 9 9 se obtiene a Por lo tanto t h h b Como t500 6, entonces la temperatura del aire a una altitud de 500 m es de 6ºF FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES Veamos un ejemplo que ilustra el trazado de la representación gráica de una unción que no está deinida mediante una única órmula algebraica para todo número de su dominio Ejemplo Trazar la representación gráica de la unción deinida por si < si si > Solución Se tiene que Dom, [, ], R Podemos determinar el valor de la unción para cualquier de su dominio de deinición, por ejemplo 5, pues, 5 <, 0 0 pues, - 0, pues > Consideremos las unciones g, h y j tales que g, < h, j, >

25 Funciones Reales 5 Si trazamos la representación Y gráica de cada una de estas g unciones en un mismo plano cartesiano obtenemos el h gráico que se muestra en la X igura, el cual corresponde a - la representación gráica de la Figura F ig u ra Ejemplo Trazar la representación gráica de la unción deinida por Solución De acuerdo a la deinición de valor absoluto, se tiene que Esto es si si < si si 0 - < 0 Luego, la representación gráica de la unción es la que se muestra en la igura Y X Figura 6 Y X Figura 7 Figura Figura Ejemplo 5 Trazar la representación gráica de la unción tal que Solución Se tiene que [ ] si 0 si < 0

26 Funciones Reales 6 Es decir 5 si si > con lo cual se veriica que la representación gráica de la unción es la que se muestra en la igura TRASLACIONES VERTICALES Y HORIZONTALES DE LA REPRESENTACION GRAFICA DE UNA FUNCION En esta sección veremos algunos criterios que permiten obtener la representación gráica de nuevas unciones a partir de la representación gráica de otras Ejemplo 6 Sea una unción tal que, trazar la representación gráica de las unciones g y h deinidas como g y h - Solución Para obtener la representación gráica de la unción g hay que aumentar en unidades la ordenada de cada uno de los puntos de la representación gráica de, como se muestra en la igura 5 Esto equivale a trasladar la representación gráica de hacia arriba unidades Y X Figura 59 g h Para obtener la representación gráica de la unción h disminuimos en unidades la ordenada de cada uno de lo puntos de la representación gráica de Así, la representación gráica de la unción h se muestra en la igura 5 unción En este ejemplo se ilustran las traslaciones verticales de la representación gráica de la En general, si es una unción cualquiera y c una constante real positiva, entonces Para trazar la representación gráica de la unción g deinida por: g c g - c Traslade la representación gráica de la unción c unidades hacia arriba c unidades hacia abajo

27 Funciones Reales 7 Podemos obtener reglas similares para las traslaciones horizontales Ejemplo 7 Sea una unción tal que, trazar la representación gráica de las unciones g y h deinidas por g y h - Solución Se tiene que si g y si < h si si < Así en la igura 6 se muestran las representaciones gráicas de las unciones, g y h Observe que la representación gráica de g es una traslación de unidades a la derecha de la representación gráica de y, la de h, es una traslación de unidades a la izquierda de la representación de la misma unción Y g X Figura 60 h En general, si es una unción cualquiera y c una constante real positiva, entonces Para trazar la representación gráica de la unción g deinida por: g c g - c Se traslada la representación gráica de la unción c unidades a la izquierda c unidades a la derecha Podemos aplicar traslaciones verticales y horizontales simultáneamente para trazar la representación gráica de una unción Y X FFigura 7 g

28 Funciones Reales 8 Ejemplo ilustrativo La representación gráica de la unción g deinida por g, es una traslación de tres unidades a la derecha y unidades hacia arriba de la representación gráica de la unción dada por La gráica de g se muestra en la igura 7 Ejemplo 8 Trazar la representación gráica de la unción dada por, y hallar el: dominio, rango y valor mínimo o máimo que toma dicha unción Solución Es inmediato que Dom R y que la representación gráica de corresponde a una parábola Completando cuadrado en la ecuación y con respecto a obtenemos Así, el vértice de la parábola es 9, y Como a > 0, la parábola abre hacia arriba El punto de corte con el eje Y es 0, - Las raíces de la ecuación 0 son y, por lo tanto, la parábola corta al eje X en los puntos, 0 y -, 0 9 Con toda la inormación anterior se concluye que la representación gráica de la unción es la parábola que se muestra en la igura 8 Es inmediato que Rag 9, y que tiene un valor mínimo, el cual es 9, y se obtiene cuando Y X Figura Figura 8 Algunos problemas aplicados pueden resolverse encontrando valores mínimos o máimos de unciones cuadráticas, como se ilustra en los siguientes ejemplos

29 Funciones Reales 9 Ejemplo 9 Cada punto P, y del segmento de recta cuyos etremos son 0, y, 0, determina un rectángulo con las dimensiones e y, como se ilustra en la igura 9 Encuentre las coordenadas del punto P que permiten obtener el rectángulo de área máima Y P, y X Figura 5 9 Solución Sea A el área del rectángulo determinado por el punto P, y, entonces A y Tenemos que epresar A en unción de una de las dimensiones, digamos Como el punto P, y pertenece a la recta que pasa por los puntos, 0 y 0,, y entonces satisace la ecuación Despejando y de se tiene y -, la cual se sustituye en obteniéndose: A que corresponde a una unción cuadrática Como a - < 0, entonces A tiene un valor máimo en Esto es, la abscisa del punto P, que permite obtener el rectángulo de área máima, es Para encontrar la ordenada, sustituimos este valor de en, obteniéndose y Así, las coordenadas del punto P son, Ejemplo 0 Se calcula que asistirán 000 personas a un juego de baloncesto en el cual se tendrá un precio de admisión de 5000 Bs Por cada 500 Bs que se le aumenten a las entradas, la asistencia disminuirá en 80 personas a Epresar el ingreso en taquilla, en unción de la cantidad de veces que se agregan los 500 Bs b Qué precio de las entradas producirá el máimo ingreso en la taquilla? c Cuántas personas se calcula que asistirán al juego si el precio de admisión es de 7000 Bs? Solución a Sea I el ingreso en la taquilla y, la cantidad de veces que se agregan los 500 Bs Observe que Si Si Si 0, entonces I ,, " " I I En general, tenemos que I

30 Funciones Reales 0 Es decir I b El máimo ingreso en la taquilla se obtiene cuando 0 Esto es, cuando se agregan 0 veces 500 Bs Así, el precio de las entradas que producirá este máimo ingreso es , es decir 5000 Bs c Si el precio de admisión es de 7000 Bs, entonces se agregaron 000 Bs al precio original; esto es, se agregaron veces 500 Bs Por lo tanto, el número de personas que se calcula que asistirán es , es decir 880 personas FUNCION RACIONAL Deinición Sean y g dos unciones polinómicas, llamaremos unción racional a toda unción h, deinida de la orma h, g 0 g Esto es, una unción racional es el cociente de dos unciones polinómicas Trazaremos las representaciones gráicas de algunas unciones racionales particulares Ejemplo Trazar la representación gráica de la unción deinida por Solución Si asociamos, a cada uno de esos pares de la orma, un punto en el plano cartesiano nos daremos cuenta que el conjunto de todos los puntos generan una curva como la que se muestra en la igura Dicha curva corresponde a la representación gráica de la unción y recibe el nombre de hipérbola equilátera De acuerdo a la orma como está deinida la unción y observando su representación gráica podemos sacar las siguientes conclusiones: i Como 0 para todo número real, la curva no corta al eje X ii Como 0 no eiste, la curva no corta al eje Y iii Dom Rag R { 0}

31 Funciones Reales iv Conorme le damos valores a cada vez más pequeños, a través de valores mayores que cero, los valores de crecen sin límite v Conorme le damos valores a cada vez más grandes, a través de valores mayores que cero, los valores de decrecen sin límite vi Si crece, los valores de se aproiman a cero vii Los ejes X e Y son asíntotas de la curva Ejemplo Trazar la representación gráica de la unción deinida por 8 9 Solución Observe que 0 punto 8 0, Además, 9 gráica no corta al eje X La epresión 5 se puede escribir como, por lo tanto, la representación 9 gráica de la unción es una traslación vertical, 9 unidades hacia la izquierda, de la representación gráica de la unción g En la cual se observa que el eje X y la recta cuya ecuación es 9 son asíntotas de la curva 8, luego la representación gráica corta al eje Y en el para todo número real, por lo tanto, la representación 9 a En general, La representación gráica de la unción deinida por, siendo a, b y b c c constantes reales dierentes de cero, es una traslación vertical a representación gráica de la unción g deinida por g En eecto b a a c g b c c b b b c b 5 unidades de la

32 Funciones Reales 5 OTRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS Mostraremos a continuación que el estudio de las cónicas puede reducirse a menudo al estudio de unciones reales Ejemplo ilustrativo Consideremos la circunerencia dada por la ecuación y 9 6 Si despejamos y, de la ecuación 6, obtenemos y ± 9 7 La ecuación 7 no representa a y como unción de, pues, para un sólo valor de pueden obtenerse dos valores para y Sin embargo, las epresiones 9 y 8 g 9 y 9 si representan unciones cuyo dominio es { R / 9 0} es decir { R / 7} Las representaciones gráicas de las unciones y g son, respectivamente, las semicircunerencias superior e inerior de centro, 0 y radio En la igura se ilustran dichas curvas y 9 y g 9 Observe que Rag 0, y Ragg -, 0 Se dice que las epresiones 8 y 9 deinen eplícitamente a las unciones y g, respectivamente, y la ecuación 6 deine implícitamente a las mismas unciones y g h y k r En general, si de la ecuación h k y ± r, se despeja la y se obtiene: Esta ecuación no representa una unción ya que para un solo valor de pueden eistir dos valores de y Sin embargo, considerando las ecuaciones:

33 Funciones Reales r h k e y r h k y Tenemos ecuaciones que representan unciones cuyo dominio es el intervalo [ h r h r ],, en cuanto a la representación gráica se puede comprobar ácilmente que las curvas correspondientes a y e y son respectivamente las semicircunerencias superior e inerior de centro h, k y radio r Ejemplo La epresión y 0 deine implícitamente a una o mas unciones de la orma y Hallar tales unciones y trazar la representación gráica de cada una Solución Despejando y de la epresión 0 se obtiene y ± 8 Así, La epresión 0 deine implícitamente a dos unciones y g de la orma 8 y g 8 El dominio de cada unción es { R / } La epresión 0 representa una parábola, la cual se muestra en la igura La representación gráica de las unciones y g son, respectivamente, la rama superior e inerior de esa parábola y 8 X Es inmediato que Rag [, y Rag g,] y- 8 En general, sea la parábola de vértice en h, k y ecuación: a y k h parábola de eje horizontal ya que las de eje vertical ya se estudiaron en la unción cuadrática Si se despeja y, se obtiene: h y ± k a que no representa una unción, ya que para un solo valor de pueden eistir dos valores de y Sin embargo, las ecuaciones: h h y k e y k a a

34 Representan unciones, cuyo dominio es el intervalo, h, sí > 0 Funciones Reales a, ó,h sí a < 0 En cuanto a la representación gráica puede comprobarse que las curvas correspondientes a y e y son respectivamente las partes superior e inerior de la parábola de vértice h, k y ecuación a y k h Ejemplo Trazar la representación gráica de la unción deinida por Solución El dominio de la unción es Dom { R / 0} Es decir Dom, 0] [, Aplicando operaciones algebraicas y el método de completación de cuadrado a la ecuación y obtenemos que corresponde a la ecuación de una hipérbola de centro, 0 y eje ocal, el eje X Como la unción siempre toma valores positivos, su representación gráica es la rama de la hipérbola que está por encima del eje X En la siguiente igura se ilustra dicha representación Observe que Rag [ 0, y 6 FUNCION PARTE ENTERA La parte entera de un número real, denotado por, es el mayor entero menor o igual a, es decir, n n < n donde n es un entero Así Deinición, pues <,5, ", 5 < 0, 5, " - -0,5 < 0 Llamaremos unción parte entera a la unción tal que [ ] Observe que [ ] < [ ] < 0, R [ ] 0 0 < [ ] < [ ] <

35 Funciones Reales 5 Así, se tiene que si - < - si < 0 [ ] 0 si 0 < si < si < Luego, la representación gráica de la unción parte entera se muestra en la igura Se tiene que: Dom R y Rag Z Los principios de traslaciones pueden aplicarse para obtener las representaciones gráicas de g a b c unciones deinidas de la orma [ ] Podemos usar las operaciones con unciones dadas en el capítulo, para obtener las representaciones gráicas de otras unciones a partir de unciones cuyas representaciones gráicas conocemos Ejemplo 5 Obtener la representación gráica de la unción deinida por Solución La unción puede entenderse como la unción suma de las unciones g y h, tales que g y h En eecto g h g h g R y Domh R 0 Dom R 0 Observe que: Dom { }, por lo que { } La representación gráica de las unciones g y h se muestran en la igura y y/ y/ Se tiene que g h, / R { 0} Por lo tanto, para dibujar la representación gráica de, basta sumar las distancias dirigidas al eje X desde los puntos, g y, h Así, se obtiene la representación gráica de la unción Veamos dos ejemplos de trazados de representaciones gráicas de unciones que no están deinidas mediante una única epresión algebraica para todo número de su dominio, pero, involucran todas las unciones deinidas anteriormente

36 Funciones Reales 6 Ejemplo 6 Trazar la representación gráica, hallar el dominio y el rango de la unción deinida por si si > Solución La unción se puede epresar como si < si si > Luego, la representación gráica de la unción se muestra en la igura Observando dicha representación y la orma como está deinida la unción, se concluye en orma inmediata que Dom R y Rag 0, ] Ya hemos tratados dierentes problemas donde se requiere epresar una situación práctica en términos de una relación uncional pero, en todos ellos, la unción obtenida está deinida por una única epresión algebraica para todo número de su dominio El siguiente ejemplo diiere en ese sentido Ejemplo 7 En el proyecto de una caetería se calcula que si hay de a 0 asientos, la ganancia diaria sería de 50 Bs Por cada asiento Sin embargo, si hay más de 0, la ganancia diaria bruta de cada asiento disminuirá en 75 Bs por cada asiento ecedente Epresar la ganancia diaria en unción del número de asientos Solución Sea la cantidad de asientos y p la ganancia diaria bruta en bolívares Cuando 0, la ganancia por asiento es de 50 Bs, por lo tanto p 50 Cuando > 0, la ganancia por cada puesto es Por lo tanto p [ ] Es decir p Como la ganancia por asiento no puede ser negativa, entonces Esto es, Además, como representa número de lugares, entonces toma valores enteros, por lo que

37 Funciones Reales 7 Así, se tiene que la unción p se deine como: { } < p R Z p si si / : EJERCICIOS PROPUESTOS Trazar la representación gráica y, determine el dominio y el rango de cada una de las siguientes unciones e d c b a h g i 5 5 l k j > < q p n si si si si si Bosqueje la representación gráica de cada una de las siguientes unciones haciendo uso de las traslaciones 5 b a 5 j i e d c b a Sea una unción cuya representación gráica es la siguiente Y X Representar gráicamente de las unciones c - y y i y h y g y y e y d y b y a

38 Funciones Reales 8 Epresar cada unción sin barras de valor absoluto y trazar la representación gráica correspondiente a cada una t t a b t t 5 Cada una de las ecuaciones siguientes deinen eplícitamente a una o más unciones de la orma y Hallar tales unciones y trazar la representación gráica de cada una a d y 9 y y b 6 y e 9y 0 6 c 9y 6 y y 0 6 Bosqueje las representaciones gráicas de las unciones y g deinidas por y g usando los mismos ejes coordenados, después bosqueje la representación gráica de g mediante adición de ordenadas 7 Sea una unción tal que : [ 0, ] {, } si si 0 < a Trazar la representación gráica de b Describir el dominio de la unción g deinida por g y dibujar su representación gráica c Describir el dominio de la unción h deinida por h - y dibujar su representación gráica d Describir el dominio de la unción k deinida por k y dibujar su representación gráica 8 Hace 5 años la población p de una pequeña comunidad era de personas Debido al desarrollo industrial, la población creció a 0000 Suponiendo que la población está relacionada linealmente con el tiempo t, epresar a p como unción de t Cuándo llegará la población a 0000 personas? 9 Cuando un jugador de basket-ball salta verticalmente para encestar, su altura t en pies, desde el suelo y después de t segundos, está dada por t g t 6t a Si g pies / seg Cuál es el número de segundos que el jugador está suspendido en el aire? b Determine el salto vertical del jugador, es decir, calcule la máima distancia entre sus pies y el piso c En la luna g 6 jugador en la luna pies / seg, calcule nuevamente la parte a y b para un 0 Se desea construir una pista de carrera de 00 metros de perímetro, la pista debe estar ormada por un rectángulo con dos semicírculos localizados en dos lados opuestos del

39 Funciones Reales 9 rectángulo Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si se quiere que el área de este sea máima? Un supermercado vende melones a Bs 850 el Kg Para aligerar las ventas hace la siguiente oerta a cada cliente: con los primeros 5 Kg de compra no hace ningún descuento; por los siguientes 5 Kg hace un descuento de 00 Bs por cada Kg que eceda a 5, y por los restantes descuenta 00 Bs por cada Kg que eceda a 0 a Hallar una unción que eprese el ingreso del supermercado, en unción de la cantidad de Kg de melón que el cliente compre b Cuánto paga el cliente por la compra de 6 Kg de melón? FUNCIONES INVERSAS Hemos estudiado distintas ormas de obtener nuevas unciones a partir de otras unciones conocidas suma, multiplicación, división y composición En el presente capítulo empezaremos a construir nuevas unciones mediante procedimientos más elaborados RESTRICCION Y EXTENSION DE UNA FUNCION Deinición Sean y g dos unciones, si se cumplen las siguientes condiciones: i Dom Dom g con Dom Domg ii g Dom Decimos que es una restricción de g y que g es una etensión de Ejemplo La unción deinida de la orma,, es una restricción de la unción g dada por g,, En orma análoga, se dice que la unción g es una etensión de la unción Las restricciones de unciones serán de mucha utilidad para obtener la inversa de una unción, especialmente en aquellos casos donde la unción no es inyectiva FUNCION INVERSA Sea una unción, tal que : A B y Supongamos que eiste una unción h, donde h: B A h y y satisace las siguientes condiciones: i h, A lo cual es equivalente a decir que ho I A Esta condición se muestra gráicamente en la siguiente igura