Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Sistemas de Control. Análisis en el Dominio de la Frecuencia

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1 Aálisis e el Domiio de la Frecuecia Sistemas de Cotrol El desempeño se mide por características e el domiio del tiempo Respuesta e el tiempo es díficil de determiar aalíticamete, sobretodo e sistemas de orde superior Aálisis e el Domiio de la Frecuecia Domiio de la Frecuecia Se tiee u cojuto de métodos gráficos, o limitados a sistemas de orde bajo Las propiedades e el domiio del tiempo se puede deducir co base e las características e el domiio de la frecuecia El domiio de la frecuecia es mas coveiete para medicioes de sesibilidad al ruido del sistema Aálisis e el Domiio de la Frecuecia Aálisis e el Domiio de la Frecuecia Domiio de la Frecuecia Las pruebas de respuesta so secillas Se puede determiar experimetalmete las fucioes de trasferecia de sistemas complicados mediate pruebas de respuesta de frecuecia Respuesta de frecuecia Hace referecia a la respuesta de u sistema e estado estacioario ate ua etrada seoidal Se utiliza aálisis de frecuecia e cotrol por: Coveiecia Dispoibilidad de herramietas

2 Salida e estado estacioario para ua etrada seoidal Salida e estado estacioario para ua etrada seoidal r(t) R( T( y(t) Y( T( es la fució de trasferecia de u sistema SISO r(t) R( T( y(t) Y( T( es la fució de trasferecia de u sistema SISO R: Amplitud r( t) = Rsi( ω t) 0 ω : Frecuecia 0 Etoces Y: Amplitud y( t) = Ysi( ω0t + φ) φ: Corrimiet o de fase E el domiio de la frecuecia compleja: Y( = T( R( Para realizar el áalisis e régime seoidal permaete, se hace que s tieda a jω s jω lim Y( = lim T( R( s jω s jω Y( = T( R( Salida e estado estacioario para ua etrada seoidal Y( = T( R( Dode Y( = Y( Y( Cosiderado T( y R( complejos, teemos: Y( = T( R( y la relació de fase Y( = T( + R( Salida e estado estacioario para ua etrada seoidal Para las señales x(t) y y(t) descritas: La amplitud de la seoidal de salida está dada por: La fase de salida: Y = R T( jω ) 0 φ = Y( R( = T( φ = T( T( y el argumeto de T( describe el comportamieto e estado estable para ua etrada seoidal

3 Salida e estado estacioario para ua etrada seoidal La magitud y la fase de u sistema a lazo cerrado se puede utilizar para describir el comportamieto del sistema e estado estable, así como el trasitorio e el domiio del tiempo Respuesta e frecuecia de sistemas e lazo cerrado La magitud de T( es: G( G( T( = = + G( + G( La fase de T( es: ( G( j )) T ( = G( + ω Especificacioes e el domiio de la frecuecia Pico de resoacia (M r o T r ) Es el valor máximo de T(. Da idicació de la estabilidad relativa de u sistema estable a lazo cerrado Ligado al sobreimpulso máximo Frecuecia de resoacia (ω r ) Frecuecia a la cual ocurre el pico de resoacia Especificacioes e el domiio de la frecuecia Acho de bada (BW ) Frecuecia a la cual T( cae al 70.7% ( 3dB) de su valor a ω=0 (frecuecia de corte iferior) Da idicació de propiedades de la respuesta trasitoria, las características de filtrado de ruido y robustez del sistema Razó de corte Pediete de T( de frecuecias altas 3

4 Relació etre ω r,bw, M r y ζ, ω Frecuecia de resoacia ω = ω ζ ; para ζ < r T r Para valores de ζ> 0,707 la frecuecia de resoacia (ω r ) es cero y el pico de resoacia (T r ) es uo Pico de resoacia = ; para ζ < ζ ζ Relació etre ω r,bw, M r y ζ, ω Acho de Bada BW ω 4 ( ζ ) + 4ζ 4 + = ζ Para valores de ζ> 0,707 la frecuecia de resoacia (ω r ) es cero y el pico de resoacia (T r ) es uo T r es fució solamete de ζ Magitud e fució de la frecuecia ormalizada de u sistema de cotrol e lazo cerrado Fase ormalizada e u sistema de do orde referecia [3] (referecia [3]) 4

5 T r e fució de ζ e u sistema de do Orde u r e fució de ζ e u sistema de do Orde Correlació etre respuesta e frecuecia y respuesta e el tiempo de u sistema de do Orde Característica de la respuesta e frecuecia e forma gráfica T( está caracterizada por: Magitud Águlo de fase (referecia [3]) E geeral se utiliza tres represetacioes gráficas: Diagrama de Bode o Diagrama Logarítmico Diagrama de Nyquist o Diagrama Polar Diagrama de Nichols (Magitud log cotra la fase) 5

6 Resume de reglas para dibujar los diagramas de Bode Respuesta aproximada de frecuecia Gráfica asitótica logaritmica de G(. Resume de reglas para dibujar los diagramas de Bode Puesto que G( está expresada e decibeles etoces los factores multiplicativos y divisió se trasforma e sumas y restas Compuesta por dos curvas G( e decibeles respecto a log ω ó ω G( e grados como fució de log ω ó ω Resume de reglas para dibujar los diagramas de Bode E geeral G( = s Magitud ω G( j Fase K( + T ( + T (( + T ( + ζ s ω + ( s ω ) G( = K + ( + jωt) + ( a ) = 0log( G( ) = 0log( K) + 0log + jωt + 0log + jωt db ( + jωt a ) ( + j 0log jω 0log + jωta 0log + j( ω/ ω ) ζ ( ω/ ω ) + jωt) ( ( ω/ ω ) ζ ( ω/ ω ) ) Págias a cosultar ch/courses/me39/003/bodesketchi g.pdf eeve/ref/lpsa/bode/bodehow.html 6

7 Iformació que se obtiee de la respuesta de frecuecia a lazo abierto Regió de bajas frecuecias Idica comportamieto de estado estable del sistema a lazo cerrado Regió de frecuecias medias Estabilidad relativa Regió de altas frecuecias Da idea de la complejidad del sistema Aálisis del Sistema usado Gráficas de Bode La fució de trasferecia de u sistema SISO es: G( T( = + G( Fució de trasferecia a lazo abierto L( = KG( y lim L( = K G( s jω La ecuació característica del sistema es: s = + G( = + L( = 0 Idetificació de polos y ceros del sistema Polos de la fució de trasferecia a lazo cerrado so los ceros de +L( Los ceros de +L( so las raíces de la ecuació característica Codicioes de estabilidad () Estabilidad a lazo abierto Si los polos de L( está todos e el semiplao izquierdo del plao s Estabilidad e lazo cerrado U sistema es estable e lazo cerrado o simplemete estable si los polos de T( (ceros de +L() está e el semiplao izquierdo del plao s 7

8 Codicioes de estabilidad () El sistema es iestable si la magitud de la gaacia es mayor a uo, a ua frecuecia e la que la fase del sistema sea 80 Es decir, el sistema es iestable si: G( = > k y G( = 80 Codicioes de estabilidad (3) Marge de gaacia Es la catidad de gaacia e decibeles que se puede añadir al lazo ates que el sistema e lazo cerrado se vuelva iestable MG L( = 0 L( j ω ) = 80 Se defie como la gaacia de amplitud ecesaria para hacer L( = cuado L( es de 80 Codicioes de estabilidad (4) Marge de fase Es la diferecia hacia ±80 de la fase del sistema a ua gaacia de 0 db Si hay cruces múltiples de ±80 etoces el marge de fase es la meor de las posibilidades MF = 80 + L( L( = = 0 db Codicioes de estabilidad (5) Para que u sistema sea estable debe cumplirse que los MG y MF debe ser positivos segú las defiicioes MG es positivo y el sistema es estable si L( al cruce de fase (ω p ) es egativo e decibeles MF es positivo y el sistema es estable si L( es mayor que 80 e el cruce de gaacia (ω g ) 8

9 Marge de gaacia y Marge de fase [3] Vetajas de las gráficas de Bode Las gráficas se puede aproximar por segmetos de rectas Los cruces de gaacia y fase así como MG y MF se puede determiar fácilmete Para propósitos de diseño es fácil visualizar el efecto de añadir cotroladores y sus parámetros se visualiza fácilmete (mejor que sobre ua gráfica de Nyquist) (referecia [3]) Desvetajas de las gráficas de Bode Ejemplo (Marge de fase) Gráfica de Bode es útil sólo para estudios de estabilidad de sistemas co fucioes de trasferecia de fase míima 9

10 Ejemplo (Marge de Gaacia) Sistemas de fase Míima y No Míima Térmio proviee de las características de cambio de fase de tal sistema cuado está sujeto a etradas seoidales Sistema de fase Míima Si los polos y los ceros de u sistema se ecuetra todos e el semiplao izquierdo del plao s Sistemas de fase Míima y No Míima Sistema de fase No Míima El sistema tiee al meos u polo o u cero e el semiplao derecho del plao s Las gráficas de Bode de fucioes de trasferecia de trayectoria directa de fase o míima o debe utilizarse para el aálisis de estabilidad de cotrol e lazo cerrado Sistemas de fase Míima La mayoría de fucioes de trasferecia e procesos de cotrol de sistemas LTI so de fase míima Ua propiedad importate de los sistemas de fase míima es que sus características de magitud y fase está relacioadas de forma úica Para ua fució de fase míima co m ceros y polos (excluyedo los polos e s=0), cuado s jω y ω varía de a 0, la variació de fase total de G( es ( m)*90 0

11 Característica geerales Característica geerales Para u sistema de fase míima, MG y MF debe ser positivos co el fi de que el sistema sea estable Los dos valores delimita el comportamieto del sistema e lazo cerrado cerca de la frecuecia de resoacia Redimieto satisfactorio MF etre 30 y 60 MG mayor que 6 db Este requisito de MF e el diagrama de Bode sigifica que la pediete de la curva de L( db e la frecuecia de cruce de gaacia (ω g ) debe ser meor que 40dB/década Para estabilidad es coveiete ua pediete de 0dB e la frecuecia de cruce de gaacia Si la pediete es de 40dB el sistema puede ser estable o iestable Si la pediete es de 60dB o superior es muy probable que el sistema sea iestable Error de estado estacioario Respuesta e el tiempo El valor e db de los coeficietes de error (Kp, Kv y Ka, depediedo del tipo de sistema) se obtiee leyedo la itersecció de la recta e ω = co la asítota de la curva de magitud a ω = 0. Magitud (db) Bode Diagram Gm = If db (at If rad/sec), Pm = 45 deg (at.8 rad/sec) System: utitled System: utitled Frequecy (rad/sec): 0.0 Frequecy (rad/sec): 7.9 Magitude (db): 5.3 Magitude (db): e ss =/(+Kp) e ss =/(+8.4) e ss = 5.5% Amplitud System: utitled Rise Time (sec): 0.05 Respuesta ate escaló e ss System: utitled Fial Value: Kp db = 5.3 db Kp = 8.4 Fase (deg) MF= Frecuecia [rad/s] (rad/sec) tr Tiempo [s] (sec)

12 Referecias [] Dorf, Richard, Bishop Robert. Sistemas de cotrol modero, 0ª Ed., Pretice Hall, 005, España. [] Ogata, Katsuhiko. Igeiería de Cotrol Modera, Pearso, Pretice Hall, 003, 4ª Ed., Madrid. [3] Kuo, Bejami C.. Sistemas de Cotrol Automático, Ed. 7, Pretice Hall, 996, México.

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