5n la Unidad 4 hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones;

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1 UNIDAD Fucioes trigoométricas y úmeros complejos la Uidad hemos estudiado las razoes trigoométricas de u águlo y sus relacioes; E e esta vamos a estudiar las fucioes circulares a que da lugar las mecioadas razoes. Se profudizará e los coceptos de periodicidad y acotació ya estudiados e Secudaria. Tambié se preseta las fucioes iversas arco seo, arco coseo y arco tagete. Cotiuamos co el estudio de las ecuacioes trigoométricas, dode aplicamos tato los coocimietos sobre las fucioes trigoométricas como las relacioes etre las razoes trigoométricas estudiadas e la Uidad aterior. La trigoometría os ayuda a estudiar u uevo cojuto umérico, cuyos elemetos se llama úmeros complejos. Supoe la ampliació del cojuto de los úmeros reales, de modo que e dicho cojuto se puede calcular raíces cuadradas de úmeros egativos, así como efectuar todas las demás operacioes de los úmeros reales. Esta ampliació es posible gracias a la itroducció del úmero i, ombre que el matemático suizo Leohard Euler (707 78) dio a la uidad imagiaria y que se defie como i =. Leohard Euler (Wikimedia Commos) Si los úmeros reales se represeta e ua recta que llea (recta real), su cojuto ampliado ecesita u plao para su represetació (plao complejo). Veremos las diferetes formas de escribir u úmero complejo, así como las operacioes que podemos realizar co ellos (suma, resta, multiplicació, divisió, poteciació y radicació). E esta Uidad didáctica os propoemos alcazar los objetivos siguietes:. Maejar co soltura las propiedades de las fucioes circulares y de sus iversas.. Recoocer las gráficas de las fucioes circulares y de sus iversas.. Maejar co soltura las relacioes etre razoes trigoométricas de águlos e la resolució de ecuacioes trigoométricas.. Recoocer las diversas formas de expresar u úmero complejo y pasar de ua a otra segú covega e la aplicació.. Realizar co soltura operacioes co úmeros complejos utilizado e cada caso la forma de expresió adecuada. 6. Determiar y represetar e el plao las raíces eésimas de u úmero complejo.

2 Fucioes iversas: arco seo, arco coseo y arco tagete Ecuacioes trigoométricas Fucioes trigoométricas: seo, coseo y tagete FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS Números complejos Forma biómica de u úmero complejo Formas trigoométricas y polar de u úmero complejo Represetació gráfica. Plao complejo Operacioes: producto, divisió y potecias Operacioes: suma, resta, producto, divisió y potecias Raices -simas de u úmero complejo: represetació gráfica ÍNDICE DE CONTENIDOS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O CIRCULARES ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA Notació polar de u úmero complejo Notació trigoométrica de u úmero complejo Operacioes RADICACIÓN

3 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS. Fucioes trigoométricas o circulares Vamos a costruir las fucioes que asocia a cada águlo, medido e radiaes, el valor de su seo, coseo y tagete. Para ello, recuerda que las coordeadas del puto de corte del segudo lado de u águlo cetral co la circuferecia goiométrica so P (x, y) = P (cos α, se α). Además, como la tagete del águlo es el valor del segmeto AB de la figura, resulta que la circuferecia de radio uidad será u auxiliar valioso para estudiar las fucioes circulares. E la tabla siguiete aparece los valores de las fucioes seo, coseo y tagete de alguos águlos. GRADOS 0º º 90º º 80º º 70º º 60º RADIANES 0 7 se Co estos datos se dibuja las fucioes cos 0 0 tg y = se x; y = cos x ; y = tg x e las que la variable águlo medido e radiaes es la abscisa x, y la ordeada y es la razó trigoométrica correspodiete. Estas fucioes so las llamadas fucioes trigoométricas o circulares. E la primera figura las coordeadas de P(cos α, se α) iforma que el seo y el coseo o puede ser mayores que, i meores que pues so los catetos de u triágulo cuya hipoteusa es la uidad. Podemos escribir por tato que: a se α a, a cos α a, y, además, cuado el seo vale ó, el coseo ha de valer 0, y a la iversa, cuado el coseo vale ó, el seo vale 0. Y x se x O' O x / / X - 6

4 Y x cos x O' O x / / X - Y x tgx O' O x / / X - - E cambio, la tagete o está acotada. Observa que para rad se obtedría por la defiició, lo que os 0 lleva a decir que tg, auque co las precaucioes pertie = tes, pues depediedo de cómo os acerquemos a (por su izquierda o por su derecha) podemos ir a ó. Lo mismo sucede e Fucioes trigoométricas defiidas e R E las gráficas ateriores se ha represetado las fucioes trigoométricas sólo e el itervalo [0, ]. Si embargo, el águlo, iterpretado como giro, tiee setido para valores superiores a, e icluso giros egativos. Para el estudio de las fucioes fuera del itervalo [0, ] tedremos e cueta que para los valores de los águlos superiores a 60º ó rad, se verifica que: x = x + 60º (x y x medidos e grados) x = x + (x y x medidos e radiaes) La coicidecia de los águlos ateriores implica que sus razoes trigoométricas coicide. Dado que los valores de las fucioes trigoométricas se x y cos x se repite periódicamete e cada itervalo de logitud, decimos que so fucioes periódicas de período. Abreviadamete: se (α + ) = se α; cos (α + ) = cos α.. 7

5 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS se x - - O - cos x - - O - Se observa que la gráfica de la fució coseo tiee la misma forma que la del seo auque empieza valiedo uo (está desplazada _ rad co respecto al seo). La tagete o se parece a igua de las ateriores: tg x _ Vale cero siempre que lo vale el seo. A medida que os acercamos a _ por la izquierda (águlos del primer cuadrate) el coseo se acerca a cero co úmeros positivos y el seo a uo, por lo que la tagete tederá a. Si os acercamos a _ por la derecha (águlos del segudo cuadrate), el coseo se acerca a cero pero co úmeros egativos y el seo se acerca a, por lo que la tagete tiede a. Por lo tato, x = _ es ua asítota vertical de la tagete. 7 Igual le sucede e x =, x =, x =, es decir, la tagete tiee ifiitas asítotas verticales e los putos cuya abscisa vale x = ± ( + ) (múltiplos impares de ). Como las asítotas verticales va, por ejemplo, de a, el período de la tagete es de = = rad. El siguiete paso es defiir las fucioes trigoométricas se x, cos x y tg x, ésta última como tg x = Las fucioes respode a ua abstracció de las razoes trigoométricas y coserva las propiedades que tiee dichas razoes, que so: se cos x x. 8

6 ( ) + El domiio de las fucioes seo y coseo es R, y el de la tagete R ±, pues hay que excluir los putos cuya abscisa sea múltiplo impar de /. Por ello, las tres so cotiuas e sus respectivos domiios. se x + cos x = a seα a, a cosα a Las fucioes seo y coseo está acotadas superiormete por e iferiormete por, mietras que la fució tagete o está acotada. Se dice que la amplitud del seo y del coseo vale. Las tres fucioes so periódicas; seo y coseo tiee de período rad y la tagete rad: se (x + ) = se x; cos (x + ) = cos x, tg (x + ) = tg x. Estas fucioes se usa para la descripció de feómeos periódicos debido a sus propiedades. Podemos cambiar la amplitud si multiplicamos seo y coseo por algú úmero distito de y de. Por ejemplo, la amplitud de cos x es, pues verificará que a cos x a. cosx cosx / / - Podemos desplazarlas a izquierda y a derecha si más que sumar o restar ua catidad e el argumeto. Por ejemplo, cos (x ) está desplazado rad hacia la derecha e relació co cos x. cosx cos(x ) - - / 0 / / - Podemos modularla (cambiarle el período T ) multiplicado o dividiedo el argumeto por u úmero. Por ejemplo, se x tiee u período de = rad, ya que x crece el doble de lo que lo hace x, por lo que se x tardará la mitad e repetirse; cos x x tiee u período de 6 = ( ) rad, pues crece la tercera parte de lo que lo hace x, por lo que cos x tardará tres veces más e repetirse. E geeral, el se kx o cos kx tiee por período T = rad. k 9

7 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS Cómo podremos despejar x e la ecuació se x =? Para hacerlo ecesitamos defiir las fucioes iversas de las fucioes circulares. Teemos tres, ua para cada fució, que so: arc se x, habitualmete si e la calculadora, es la iversa del seo; se lee arco cuyo seo vale x o, abreviadamete, arco seo de x. Como el seo está acotado por y, o admite que x sea mayor que o meor que. arccosx, e la calculadora cos, es la iversa del coseo; se lee arco cuyo coseo vale x o, abreviadamete, arco coseo de x. Tampoco e este caso x puede ser mayor que o meor que. arctgx, e la calculadora ta, iversa de la tagete; se lee arco cuya tagete vale x o, abreviadamete, arco tagete de x. Como la tagete o está acotada, tampoco lo estará los valores que podemos poer e el arco tagete. Para saber más... Las fucioes iversas si, cos, ta, opera directamete e alguas calculadoras cietíficas, auque geeralmete lo hace presioado la tecla INV o Shift y a cotiuació la fució directa correspodiete. _ se x Al itroducir u valor, estas tres fucioes devuelve u águlo. El problema es que o devuelve uo sio ifiitos, porque las fucioes de las que so iversas so x x x x periódicas y, por lo tato, se repite idefiidamete. Auque evitemos la repetició periódica restrigiédoos al itervalo - [0, ], estas fucioes iversas os devuelve más de u valor, lo que e rigor les quitaría el título de fucioes. Por ejemplo, e la ecuació del pricipio sex = sabemos que existe dos águlos x que tiee ese valor del seo, uo e el primer cuadrate (0º) y otro e el segudo cuadrate (0º), auque la calculadora sólo os dará ua: la del primer cuadrate (fíjate e el gráfico adjuto). Lo mismo le ocurre a la ecuació cos x = 0,7: la calculadora os dará ua úica solució (la del primer cuadrate) y omitirá la que hay e el º cuadrate (prueba co la gráfica del coseo para comprobarlo). La forma de despejar x e se x = es la siguiete: x = arc se, que como sabemos tiee dos valores; x = 0º = rad o bie x = 0º = rad. 6 6 Co la calculadora se cosigue x mediate las secuecias siguietes e grados o radiaes: a) : = Shift si DEG y aparece e patalla 0º b) : = Shift si RAD y aparece e patalla Las patallas idica respectivamete 0º y 0,9877 rad (que so _ 6 rad), pues la calculadora sólo aporta u valor para x, el del primer cuadrate. 0

8 De la misma forma se despeja x e cos x = 0,7 x = arccos 0,7. Co la calculadora se cosigue x mediate las secuecias siguietes e grados o radiaes: a) 0.7 Shift cos y aparece e patalla DEG.096 b) 0.7 Shift cos RAD y aparece e patalla Las patallas idica respectivamete,096º y 0,777 rad, la solució del primer cuadrate; la del cuarto cuadrate se determia a partir de las secuecias siguietes: DEG.096 DEG Mi 60 MR = RAD Mi x = MR = RAD.6009 Las patallas aporta las solucioes 8,90779º =,6009 rad. Gráficas de las fucioes iversas Se costruye las fucioes iversas de las fucioes circulares a partir de las restriccioes impuestas, que so ecesarias para que la fució circular asocie u solo águlo a cada úmero. A cotiuació aparece las restriccioes que se impoe a cada fució circular para defiir su iversa y su gráfica. Fució arco seo: Se restrige la fució seo al itervalo, dode es creciete, tiee por recorrido el itervalo [, ] y sus valores o se repite (ver la gráfica adjuta). Su iversa es la fució y = arc se x. Tabla de valores para se x: x y = se x 0 0 _ se x O - _ La fució y = arc se x tiee como domiio [, ] y por recorrido,. Tabla de valores para y = arc se x: arc se x _ x y = arc se x _ Fució arco coseo: Se restrige la fució coseo al itervalo [0, ] dode es decreciete, tiee por recorrido el itervalo [, ] y sus valores o se repite (ver la gráfica adjuta). Su iversa es la fució y = arc cos x. Tabla de valores para cos x: x 0 y = cos x 0 - O _ cos x

9 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS La fució y = arc cos x tiee como domiio [, ] y por recorrido [0, ]. Tabla de valores para y = arc cos x: x y = arc cos x Fució arco tagete: Se restrige la fució tagete al itervalo recorrido el itervalo [, ] y sus valores o se repite (ver gráfica adjuta). Su iversa es la fució y = arc tg x. Tabla de valores para tg x: x 0 0 y = tg x 0 0, dode es creciete, tiee por - tg x O _ La fució y = arc tg x tiee como domiio [, ] y por recorrido,. Tabla de valores para y = arc tg x: x 0 y = arc tg x 0 arc tg x _ O - _ Ejemplos. Idica la amplitud, el período y el desplazamieto lateral, si lo hubiera, de las siguietes fucioes: a) y = se ( x+ ); b) y = cos x; c) y = cos x. Solució: a) El seo o está multiplicado por igú úmero, por lo que su amplitud o cambia y vale. E el argumeto x está multiplicada por, por lo que o cambia el período, valiedo T = rad; como teemos +, la fució está desplazada radiaes hacia la izquierda, porque al resolver la ecuació x + = 0 x =. b) Como el coseo está multiplicado por, su amplitud valdrá ; e el argumeto sólo aparece x, lo que idica que i se modifica el período, que sigue valiedo rad, i hay desplazamieto lateral. c) La amplitud vale ; el período valdrá T = rad y habrá u desplazamieto lateral que se obtiee de resolver la ecuació x = 0 x = x = rad. 6

10 ( ). Calcula la iversa de la fució y = se x. Solució : x y x x x x = se ( y ) se ( y )= ( y )= arc se y = + arc se y x x + arc se y x x = = + arc se f ( x) = + arc se. x. Halla la iversa de la fució y = tg +. Solució : x y y y x y x = + y x + tg tg = + = x y x x arc tg = arc tg y = arc tg x f ( x) = arc tg.. Idica la amplitud, el período y el desplazamieto lateral, si lo hubiera, de las fucioes: x a) y = 7cos x; b) y = se x+ ; c) y = 6se. Solució : a) La amplitud es 7; o hay desplazamieto lateral, pues o hay igua catidad sumado o restado e el argumeto; el período será T = = rad. b) La amplitud es ; el período o cambia porque el úmero que multiplica a x es y hay u desplazamieto lateral de rad hacia la izquierda, que se obtiee al resolver la ecuació x+ = 0 x = rad. c) La amplitud vale 6, porque el sigo lo úico que hace es dar la vuelta a la fució respecto al eje X (pasa lo positivo a egativo y lo egativo a positivo); o hay desplazamieto lateral y el período valdrá T = = rad. Actividades. Calcula la iversa de y = se (x ) +. Idica la amplitud, el período y el desplazamieto lateral de las fucioes siguietes: x + a) y = cos ( x+ ); b) y = se ; c) y = se ( 8x 7).. Averigua las solucioes que tiee e el primer cuadrate las ecuacioes siguietes, tato e radiaes como e sexagesimal: a) se x = 0,; b) tg x = ; c) cosx + =.

11 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS. Ecuacioes trigoométricas So ecuacioes e las que la icógita aparece e el argumeto de ua razó trigoométrica. La solució se puede dar e grados o radiaes, auque es preferible usar radiaes, que es la uidad de medida de águlos del Sistema Iteracioal. Existe ua eorme variedad de ecuacioes trigoométricas y para resolverlas es preciso recurrir a todo el cojuto de fórmulas que se obtuviero e la Uidad, empleado la más adecuada e cada problema. Es especialmete importate la comprobació de las solucioes, pues o es raro que aparezca solucioes aómalas al resolver este tipo de ecuacioes. Ejemplos. Resuelve la ecuació se x =. Solució : Coforme vimos e el apartado aterior, lo primero es buscar el águlo del primer cuadrate que cumple la ecuació: x = arc se x = 0 º, e radiaes x = rad. 6 Pero el seo es positivo e el primero y segudo cuadrate, recordado la Uidad aterior teemos que: x = 80º 0º = 0º ; e radiaes, x = =. 6 6 x = 0º, o e radiaes, x = 6 Las solucioes e el itervalo [ 0, ] so:. x = 0º, o e radiaes, x = 6 Como la fució seo tiee por período la solució geeral será: se x = x = 0º + 60º o, e radiaes, x = + 6, dode es u úmero etero. x = 0º + 60º o, e radiaes,x = + 6 A partir de este ejemplo las solucioes se dará úicamete e radiaes. 6. Resuelve cos x+ se x = 0. Solució : E el águlo aparece x y x. Para que sólo aparezca x se usa la relació: cos x = cos x se x Se sustituye cos x e la ecuació: cos x se x+ se x = 0 cos x = 0 cos x = 0. x = rad x = + rad Las solucioes e el itervalo 0 so: [, ]. La solució geeral será:, Z. x = rad x = + rad ( E este caso particular la solució geeral se puede escribir e ua sola expresió: x = + rad, Z)

12 7. Resuelve se x = cos x. Solució : Se procede como e el ejemplo aterior para dejar el águlo solo e fució de x. se x = (cos x se x) se x = ( se x) se x se x+ se x = 0. Se trata de ua ecuació de ( ) segudo grado e se x, cuyas solucioes so: se x = ± = ± =. x = + rad 6 Si se x =, Z; si se x = x = + rad, Z. x = + rad 6 Actividades. Resuelve las siguietes ecuacioes: a) se x + = 0; b) cos x + se x = ; c) tg x se x = 0; d) cos x = cos x.. Resuelve la ecuació se x cosx + cos x =. 6. Resuelve la ecuació cos x + cos x =. Para saber más... Idetidades trigoométricas Llamamos idetidades trigoométricas a las igualdades etre expresioes trigoométricas que se cumple para cualquier valor de la variable. Para demostrar que dos expresioes so iguales se recurre al cojuto de fórmulas que se ha estudiado e la Uidad, empleado la más adecuada e cada caso. Como muestra vamos a demostrar la idetidad (cos x+ se x)cos x = + se x. cos x se x Solució: El método cosiste e trasformar la primera expresió, que es más compleja, e la seguda. Como esta última es más secilla, podemos decir que simplificamos. Recordamos la fórmula del coseo del águlo doble: cos x = cos x se x = (cos x + sex)( cosx se x). (cos x+ se x)cos x (cos x+ se x)(cos x+ se x)(cos x se x) Sustituimos y simplificamos = = (cos x+ se x) = cos x se x cos x se x = cos x+ se x+ cos xse x = águlo doble Otras veces el problema cosiste directamete e la simplificació. Por ejemplo, simplifica la expresió se x cos x + se x cos x. Solució: Recordamos la fórmula del seo de ua suma: se x cos x+ se x cos x = se x cos x+ cos x se x = se( x+ x)= se x. fórmula fudametal + se x.

13 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS. Defiició de úmero complejo Al itetar resolver la ecuació x x + = 0, la aplicació de la fórmula da como solucioes: x = ± = ± 6 = ± 6. E la Uidad decíamos que la ecuació o teía solució porque los úmeros egativos o tiee raíz cuadrada real. Para dar solució a este tipo de problemas se itroduce la llamada uidad imagiaria i =. De este modo se puede cotiuar co la resolució de la ecuació de la siguiete maera: i i x = ± 6( ) = ± 6 = ± 6 = ± 6 = ± i. Se amplía así los úmeros coocidos hasta el mometo, creado los llamados úmeros complejos e la forma a + bi. Estos úmeros los deotaremos por la letra C: C = {z = a + bi / a, b R}. La expresió z = a + bi de los complejos se llama forma biómica, porque tiee dos compoetes: a es la compoete o parte real (Re(z)) y b es la compoete o parte imagiaria (Im(z)). Los úmeros reales so complejos co la parte imagiaria ula z = a + 0i: R C. Los úmeros imagiarios tiee la parte imagiaria distita de cero; por lo tato, u úmero complejo es real o imagiario. Los úmeros imagiarios puros tiee la parte real ula z = 0 + bi. Dado u úmero complejo z = a + bi se llama opuesto del mismo al complejo z = a bi. Dado u úmero complejo z = a + bi se llama cojugado del mismo al complejo z _ = a bi. Ejemplos 8. Calcula las solucioes de las ecuacioes: a) x + = 0; b) x 6x + 0 = 0; c) x + x + = 0. Solució: a) x + = 0; x = ; x =± =± i ; so dos solucioes imagiarias puras y cojugadas. b) i x = ± = ± = ± 6 = ± = ± i. Solucioes: x = + i, x = i, complejos cojugados. Las solucioes de las ecuacioes de segudo grado, que o so úmeros reales, so úmeros complejos cojugados. c) Se realiza el cambio: x = y, x = y. Se obtiee la ecuació de segudo grado: y + y + = 0. + Se resuelve esta ecuació e y : y = ± = = ± =. = De y = x =, se obtiee las solucioes, x = i y x = i. De y = x =, se obtiee las solucioes, x = i y x = i. La ecuació propuesta tiee cuatro solucioes complejas cojugadas dos a dos. 6

14 9. Escribir los opuestos y los cojugados de los siguietes úmeros complejos: a) z = + i ; b) z = i ; c) z = ; d) z = 6 i. Solució: a) El opuesto de z = + i es z = i. Su cojugado es z _ = i. b) El opuesto de z = i es z = + i. Su cojugado es z _ = + i. c) El opuesto de z = es z =. Su cojugado es z _ =. d) El opuesto de z = 6 i es z = 6 i. Su cojugado es z _ = 6i. Para saber más... El cojuto C de los úmeros complejos cotiee al cojuto R, ya que todo úmero real es u complejo co la parte imagiaria ula b = 0 ; los imagiarios puros tiee la parte real ula a = 0 ; el resto de los úmeros complejos so imagiarios; estos resultados se expresa mediate el diagrama siguiete: COMPLEJOS (a + bi) REALES R (b = 0) IMAGINARIOS PUROS 7 (a = 0, b 0) i 7 i i IMAGINARIOS (b 0) + i + i Represetació gráfica Los úmeros estudiados hasta ahora (aturales, eteros, racioales y reales) se represeta sobre ua recta. Los úmeros reales llea la recta, ya que a cada úmero real se le asiga u puto de la recta y viceversa. Al teer los úmeros complejos dos compoetes, ecesitaremos ua recta para represetar cada ua de las compoetes; estas dos rectas o ejes determia el plao complejo. El complejo a + bi se puede expresar por la pareja de úmeros reales (a, b), que represeta los putos del plao e el que se ha situado uos ejes cartesiaos. El eje X es el eje real y el Y, el eje imagiario; el puto que represeta al úmero a + bi se llama afijo. Y EJE IMAGINARIO a + bi b i 0 a X EJE REAL Ejemplo 0. Represeta gráficamete los úmeros: a) + i; b) + i; c) i; d) i. + i i + i Solució: i i Actividades 7. Obté las solucioes de las siguietes ecuacioes: a) x + 8 = 0; b) x x + = 0; c) x x + 0 = 0; d) x 6x = Escribe los opuestos y los cojugados de los siguietes úmeros complejos: a) z = 6i; b) z = 9i, c) z = i, d) z =. 9. Represeta el afijo del complejo + i, su opuesto, su cojugado y el opuesto de su cojugado. 0. Comprueba que el opuesto del cojugado del úmero complejo de la actividad aterior coicide co el cojugado del opuesto. 7

15 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS. Operacioes co úmeros complejos e forma biómica Suma y resta La suma o resta de dos úmeros complejos es otro úmero complejo que tiee por parte real la suma o la resta de las partes reales de los sumados y por parte imagiaria la suma o la resta de las partes imagiarias de los sumados. (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i Ejemplo. Realiza las siguiete operacioes co úmeros complejos: a) ( i) + ( + i); b) (7 i) ( + i). Solució: a) ( i) + ( + i) = ( +) + ( + )i = i, b) (7 i) ( + i) = (7 ) + ( )i = 6 6i. Para saber más... El úmero complejo que resulta de sumar dos úmeros complejos es la diagoal del paralelogramo que se forma co los sumados y las rectas trazadas por los extremos y paralelas al otro sumado. Es idético a la suma de vectores usado la regla del paralelogramo. Para restar hay que teer e cueta que se suma al miuedo el opuesto del sustraedo. O z = + i z + z = + i z = + i Producto El producto de dos úmeros complejos es otro úmero complejo que se obtiee al multiplicar los complejos como biomios y teer e cueta que i = : (a + bi) (c + di) = a c +a di + bi c + bdi = (ac bd) + (ad + bc)i El producto de u úmero complejo por su cojugado es u úmero real: (a + bi) (a bi) = a a bi + bi a b ( ) = a + b Ejemplo. Calcula co úmeros complejos: a) ( i) ( + i); b) ( + i) ( i); c) ( + i) ( i). Solució: a) ( i) ( + i) = + i i i i = + i i + 8 = +0i. b) ( + i) ( i) = i + i + i i = ( ) + ( +0)i = + 7i. c) Se trata del producto de u úmero complejo por su cojugado: (+ i) ( i) = 6 i + i i =6+=. 8

16 Propiedades de la suma de úmeros complejos Es asociativa: z + (z + z ) = (z + z ) + z = z + z + z. Es comutativa: z + z = z + z. El elemeto eutro es el cero 0 : z + 0= 0+ z = z. Todo úmero complejo z tiee opuesto z: z + ( z) = ( z) + z = 0. Propiedades de la multiplicació de úmeros complejos Es asociativa: z (z z ) = (z z ) z = z z z. Es comutativa: z z = z z. El elemeto eutro es el uo, : z = z = z. Todo complejo z = a +bi, salvo el cero, tiee iverso =. z a + bi Los complejos tambié tiee la propiedad distributiva del producto respecto de la suma: z (z + z ) = z z + z z. Gracias a estas propiedades, los complejos se puede operar de la misma forma que los reales. Ejemplos. Calcula el poliomio de segudo grado que tiee por raíces + i y i. Solució: [x ( + i)] [x ( i)] = [(x ) i] [(x ) + i] suma por diferecia = = diferecia de cuadrados (x ) (i) = x 6x = x 6x +.. Calcula el valor de x para que ( xi)(8 xi) sea imagiario puro. Solució: ( xi)(8 xi) = 6 xi 8xi + (xi) = (6 x ) 0xi Para que este complejo sea imagiario puro, la parte real será ula. 6 x = 0 x = o. Divisió El cociete de dos úmeros complejos es otro úmero complejo que resulta de multiplicar el umerador y el deomiador de la fracció por el cojugado del deomiador. Se trata de ua racioalizació (recuerda que i = ). a+ bi = c+ di ( a+ bi) ( c di) ( c+ di) ( c di) = + ac bd ( bc ad) + i c + d c + d Ejemplo. Dividir i etre i. Solució: i = i i i ( )( + i) ( )( + ) = + + i i 8i + ( 8)i = = i 7 7 9

17 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS Potecias de i Calculemos las potecias sucesivas del úmero i: i = i; i = ; i = i; i = ; i = i Como i =, las potecias de i repite su valor e bloques de. Por lo tato, para calcular el valor de cualquier potecia de i basta dividir el expoete etre cuatro y el valor de la potecia será i elevado al resto obteido. Ejemplo 6. Calcula: a) i 7, b) (i i ). Solució: a) 7 = 6 + ; i 7 = i 6. + = (i ) 6 i = i = i = i b) (i i ) = ( i + ) = ( i) + ( i) + 9 = + 9 6i = 8 6i. Actividades. Efectúa las siguietes operacioes: a) (6 i) + ( + i) (7 i); b) ( + 7i) ( + 9i) + ( i); c) ( i)( 6i); d) ( i)( i).. Obté los siguietes productos: a) ( i) ( + i); b) ( + i) ( i).. Halla a para que (a + i) ( i) sea: a) u úmero real; b) u imagiario puro.. Efectúa y simplifica las operacioes siguietes: + i i 6+ i a) ; b) ; c) ; d) + i + i + i. Calcula y simplifica: 8 + i + i + i + i a) ; b) ; c) ; d). 6i + i i i + bi 6. Halla b para que sea: i a) u úmero real; b) u imagiario puro. ( i) i i ( ) m+ 9i 7. Halla m y para que sea igual a i. + i 8. Calcula las siguietes potecias: a) (i), b) ( i). 9. Obté el valor de las siguietes potecias de i: a) i ; b) i ; c) i 0 ; d) i Obté las siguietes potecias: a) ( i), b) ( + i), c) ( + i), d) ( i).. 0

18 . Números complejos e forma polar y trigoométrica.. Notació polar de u úmero complejo b O α La represetació gráfica de los úmeros complejos e forma biómica os sugiere otra forma de escribirlos que llamaremos forma polar de u úmero complejo. La logitud del vector que represeta al úmero complejo z = a + bi = (a, b) es, de acuerdo co el teorema de Pitágoras, z = r = a + b. Esta logitud recibe el ombre de módulo del úmero complejo y se represeta por r. El águlo α que forma el vector que determia el úmero complejo z co el eje real se llama argumeto del úmero complejo y su tagete vale tg α = b a. b Usado el módulo r = a + b y el águlo α = arc tg, escribimos el úmero complejo z = a+ bi e forma a polar z r. = α z = a + bi a Ejemplo 7. Represeta y pasa a forma polar los complejos z = i, z = i y z =. Solució : α β Iz I = r z = -- i = º 7' 8, 7'' z = º 7 ' 8 ''. El complejo z Los cálculos de los otros dos so imediatos. z = i = ; z = = 90º 80º = i se ecuetra e el cuarto cuadrate. z = r = + ( ) = 6+ 9 = = ; = tg β β = 6, º α = 60º + β =, 00º = z z.. Notació trigoométrica de u úmero complejo a cos α = a = r cosα E la gráfica observamos que: r b z = a+ bi = r cos α + ir seα se α = b= r seα r podemos escribir z = r(cosα + ise α), que es la forma trigoométrica de u úmero complejo. Esta forma os permite hacer el paso de polar a biómica de modo secillo y averiguar fórmulas para las operacioes etre úmeros complejos. O r α a b

19 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS Ejemplo 8. Obté la forma biómica de los complejos: a) z = 90º ; b) z = 80º ; c) z = 8 0º ; d) z = 6 0º. Solució: Pasamos por la forma trigoométrica, sustituimos el valor de las razoes trigoométricas y operamos: a) z = 90º = (cos 90 + i se 90 ) = (0 + i) =i. b) z = 80º =(cos 80º + i se 80º) = ( + i 0) =. c) z = 8 0º = 8(cos 0º + i se 0º) = 8 + i = + i. d) z = 6 0º = 6(cos 0º + i se 0º) = 6 i = i... Operacioes El módulo y el argumeto de la suma o la resta de dos úmeros complejos o se relacioa co facilidad co el módulo y el argumeto de los sumados; por eso, o se usa las formas polar y trigoométrica para sumar y restar. Si embargo, estas formas preseta grades vetajas para efectuar el producto, el cociete, la poteciació y la radicació de complejos. Producto El producto de dos úmeros complejos e forma polar es otro complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argumeto es la suma de los argumetos. Dados z = r α y z = r β, su producto es z z = r α r β = (r r ) α + β. Demostració: z = z z = r α r β = r(cos α + i se α) r (cos β + i se β) = r r [(cos α cos β se α se β) + i(cos α se β + + se α cos β)] = r r [cos (α + β) + ise (α + β)] = ( r r ) α + β. Se aplica las fórmulas del coseo y seo de la suma estudiadas e la Uidad. Ejemplo 9. Calcula los productos z z, co: a) z = º, z = 8 º ; b) z = 0º, z = 6 60º. Solució: a) z z = º 8 º = ( 8) º + º = 0º. b) z z = 0º 6 60º = ( 6) 0º + 60º = 0 90º = 0 60º +0º = 0 0º. Si el argumeto resultate sobrepasa los 60º grados, se reduce a u águlo meor de 60º mediate divisió.

20 Producto por u complejo de módulo uo Al multiplicar el úmero complejo z = r α por β, z gira el águlo β e toro al orige: z β = r α β = r α + β Poteciació Puesto que la potecia de expoete atural de u úmero es el producto de dicho úmero por sí mismo veces, al elevar u úmero complejo z a se obtiee otro complejo cuyo módulo es el módulo de z elevado a (pues se multiplica por sí mismo veces) y cuyo argumeto es el argumeto de z multiplicado por (pues se suma veces cosigo mismo). Dado z = r α,su potecia eésima será (z) = (r α ) = r α. E el caso de r = la potecia eésima de α os da la fórmula de Moivre: Divisió Ejemplo ( α ) = α (cos α + i se α) = cos α + i se α 0. Calcula: a) (0º ) ; b) ( i ) Solució : a) (0º ) = 0º = 680º. b) E forma biómica hay que usar el biomio de Newto y calcular cada potecia: ( ) = i ( ) + 0 ( ) + + ( ) 0 0 ( i) ( i) ( i ) ( i ) = = ( ) + ( i)+ ( )+ i = 9i + i = 8 i. cuad E forma polar: z = i r = ( ) + ( ) = º, α = arctg = 0º z = z = ( ) = = 8 = 8 = 8i. 0º 0º 990º 70º 0º ; El cociete de dos úmeros complejos e forma polar es otro complejo cuyo módulo es el cociete de los módulos y cuyo argumeto es la diferecia de argumetos. Dados z = r α y z = r β, su cociete es z : z = r α : r β = (r : r ) α β. Demostració: z rα r(cos α + i se α) r α + i se α)(cos β i se β) = = = = z r ' β r'(cos β + i se β) r ' (cos β + i se β)(cos β i se β) cos r α cos β + se α se β) + i(se α cos β cos α se β) = r ' (cos cos β + se β se r r = [ cos( ) + i se( )]= r ' α β α β r ' α β eo de la diferecia Si el argumeto resultase egativo, lo trasformaremos e u águlo positivo sumádole 60º grados. = o de la diferecia

21 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS Ejemplo ( ) 6º 80º 0 0º 7º º 80º. Calcula: a) ; b) ; c) ; d). º 090º 6º 60º Solució : 6º a) = 80º 0º 000º 07º = 0º ;b) = = 0º ; c) = 7º º = ( 0º) = 0º + 60º = 0º ; º 6º º 090º 090º 6º ( º ) 80º 77º 80º 69º 6 d) = = = = 6 º + 60º = 60º. 6 0º 0º 0º ( º) Actividades. Escribe e forma polar los úmeros complejos: a) ; b) + i; c) + i; d) i.. Expresa e forma polar los siguietes complejos: a) 7; b) 6i; c) + i; d) i.. Expresa e forma biómica: a) 80º ; b) 9 70º ; c) 0º ; d) º ; e) 80º.. Efectúa: a) 0º 6 0º ; b) 7 60º 6 0º ; c) 0º 70º ; d) 0º 7 0º.. Calcula los siguietes cocietes: a) 60º : 0º ; b) 60º : 90º ; c) ( 90º 0º ) : 6 0º. 6. Calcula las siguietes potecias: a) ( 0º ) ; b) ( 0º ) 6 ; c) ( 0º ). Para saber más... La fórmula de Moivre puede usarse para demostrar alguas de las fórmulas trigoométricas ya coocidas. Por ejemplo, el seo y el coseo del águlo doble: (cos x + ise x) = (cos x se x) + icos x se x (desarrollo del biomio) (cos x + ise x) = cos x + i se x (fórmula de Moivre) Ambos resultados debe coicidir, por lo que, igualado las partes reales e imagiarias de los segudos miembros se obtiee: cos x = cos x se x; se x = cos x se x El método utilizado puede geeralizarse para obteer los seos y coseos de los múltiplos de x e fució del seo y coseo de x. Iteta expresar cos x y se x e fució de se x y cos x.

22 6. Radicació La radicació es la operació iversa a la poteciació, es decir, para el cálculo de M, siedo M u úmero complejo. Teemos que α α b = a a = b. Aplicamos esta relació m = M m = M Mα = mβ ( m β) = Mα mβ = Mα α β = α β = α Así, la raíz -sima de u úmero complejo tiee por módulo m = M y por argumeto β =. Si embargo, teiedo e cueta que los argumetos que defie el mismo úmero complejo Mα so de la forma α + k 60º, α + k 60º tedremos que los posibles valores para β será βk =, co k = 0,,,...,. Si k =, α α β = + 60º, que es el primer águlo que tomamos. U úmero complejo z = Mα tiee raíces simas co módulo m = M α + k 60º βk =, siedo k = 0,,,...,. y argumeto E los ejemplos siguietes calcularemos las raíces de u úmero complejo y las represetaremos gráficamete. E dichas represetacioes veremos que los afijos de las raíces sima ( >) de u úmero complejo forma los vértices de u polígoo regular de lados co cetro e el orige de coordeadas. Ejemplos. Obté las raíces cúbicas de z = 8 y represétalas. Solució : 00º Se pasa el úmero a forma polar z = 8= 8 80º. Módulo de las raíces: m = 8 =. Argumetos de las raíces: 80º + k 60º βk = = 60º + k 0º; k = 0,, k = 0 β0 = 60º k = β = 60º + 0º = 80º k = β = 60º + 0 º = 00º Solucioes: z = 8 º = º, º, 00 º

23 UNIDAD FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y NÚMEROS COMPLEJOS. Obté las raíces cuartas de z = + i y represétalas. Solució : Se pasa z a forma polar, teiedo e cueta que su afijo está e el segudo cuadrate. Solucioes: =,,,. 0º 0º 0º 0º 00º M = + = + = z = + i z = º cuad tg α = = α = 0º Módulo de las raíces: m = =. Argumetos de las raíces: β = Los afijos se ecuetra e los vértices de u cuadrado. k 0º + k 60º = 0º + k 90º; k = 0,,, k = 0 β0 = 0º k = β = 0º + 90º = 0º k = β = 0º + 80º = 0º k = β = 0º + 70º = 00º 0º. Actividades 7. Calcula 6i y exprésalas e forma biómica. 8. Halla 8 y exprésalas e forma biómica. 9. Dibuja las solucioes de la actividad aterior y comprueba que los afijos de las raíces so los vértices de u polígoo regular co cetro e el orige y co tatos lados como el ídice de la raíz. 0. Calcula las raíces cuartas de z = i y represétalas. 6

24 Recuerda ü Fucioes trigoométricas o circulares. So fucioes defiidas a partir de las razoes trigoométricas seo, coseo y tagete. Asiga a cada águlo e radiaes el valor de la correspodiete razó trigoométrica. Se simboliza así: y = se x; y = cos x ; y = tg x. ü Fucioes trigoométricas defiidas e R. Las fucioes coserva las propiedades que tiee las razoes: ( + ) El domiio de las fucioes seo y coseo es todo R y el de la tagete R ±. Seo y coseo está acotadas: a se x a ; a cos x a, pero o la tagete. So fucioes periódicas: seo y coseo de período rad, y tagete de período rad: se (x + ) = se x, cos (x + ) = cos x, tg (x + ) = tg x. ü Fucioes iversas de las fucioes circulares. So y = arc se x, y = arc cos x e y = arctg x. ü Ecuacioes trigoométricas. So ecuacioes e las que la icógita aparece como argumeto de algua razó trigoométrica. ü Números complejos. Para coseguir que los úmeros reales egativos tega raíz cuadrada se defie la uidad imagiaria i =. De este modo se crea los úmeros complejos que se represeta por la letra C: C = {a + bi / a, b R}. ü Forma biómica de u úmero complejo. Es la expresió z = a + bi, dode a es la parte o compoete real y b es la parte o compoete imagiaria. Los úmeros reales so de la forma z = a + 0i. Los úmeros imagiarios tiee la parte imagiaria distita de cero. Los úmeros imagiarios puros so z = 0 + bi. El opuesto de z = a + bi es z = a bi. El cojugado de z = a + bi es _ z = a bi. ü Represetació gráfica. Los úmeros complejos z = a + bi se puede expresar mediate la pareja (a, b) y se represeta e el llamado plao complejo. El eje X se llama eje real, el Y eje imagiario y el puto que represeta al úmero a + bi se llama afijo. ü Operacioes co úmeros complejos e forma biómica. Suma y resta. (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± di). Producto. (a + bi) (c + di) = a c +a di + bi c + b di = (a c b d) + i(a d + b c). a+ bi ( a+ bi) ( c di) ac bd bc ad Divisió. = i. c+ di ( c+ di) ( c di) = + ( ) + c + d c + d Potecias de i. i = i; i = ; i = i; i = ; i = i Las potecias de i repite su valor e bloques de. ü Forma polar de u úmero complejo. Es la expresió z = r α, dode r = a + b es el módulo y α = arc tg b el a argumeto. ü Forma trigoométrica de u úmero complejo. Es la expresió z = r (cosα + iseα), dode r = a + b es el módulo y α = arc tg b el argumeto. a ü Operacioes e forma polar. Producto. Dados z = r α y z = r β, su producto es z z = r α r β = (r r ) α + β. Potecia. Dado z = r α,su potecia sima será (z) = (r α ) = r α. Co r = la potecia sima os proporcioa la fórmula de Moivre: (cos α + i se α) = (cos α + i se α) Divisió. Dados: z = r α y z = r β, su cociete z : z = r α : r β = (r : r ) α β. k α + 60º Radicació. Mα tiee solucioes co módulo m = M y argumetos β k = ; k = 0,,,...,. 7