TRANSFORMADA z Y DE FOURIER

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1 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales OBJEIVOS: RANSFORMADA Y DE FOURIER - Expoer los cocepos de fucioes discreas e cuao a la visió del proceso de raamieo de señales que pare de ua versió aalógica, la que a ravés de la coversió aalógica-a-digial, se coviere precisamee e ua discrea - Repasar los fudameos ecesarios para operar co la rasformació más popular que se aplica a las fucioes discreas (rasformada ) Eso es, si deeerse puualmee e las formalidades maemáicas, sio apuado a las propiedades más sigificaivas y a la mecáica de cálculo de esa rasformada - Repasar los fudameos ecesarios para operar co la rasformada de Fourier, puualiado propiedades y mecáicas de cálculo que permia el uso eficiee de esa herramiea - Operar adecuadamee co oras variaes ales como las Series de Fourier, aplicadas a fucioes periódicas, puualiado su solució de ipo discrea e el domiio de frecuecia, e coraposició a la rasformada que devuelve ua fució coiua e el domiio de la frecuecia - FUNCIONES DISCREAS Ua fució discrea, f (o f[]), es aquella que esá represeada por ua secuecia defiida para valores eeros del parámero E oras palabras, represeada dicha fució e u sisema recagular, sobre el eje de abscisas sólo habrá valores de ordeadas para puos aislados Para las ordeadas o rige esa resricció y los valores represeados so coiuos E defiiiva, f desigará ua secuecia de úmeros reales o complejos defiidos para odo eero La secuecia f será deomiada señal discrea y el ídice, iempo discreo Expresado gráficamee lo aerior (figura ): Dos fucioes muy uiliadas y que cosiuye u basameo hacia procesos más elaborados, so las llamadas Escaló y Dela U if( 0,, 0) if( 0,, 0) secuecia Escaló secuecia Dela rasformada y de Fourier

2 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Que se aprecia e las figuras y 3 Es coveiee aclarar que será comú exeder la oació a expresioes como la siguiee, que represea ua secuecia Dela desplaada k uidades hacia la derecha Aalíicamee se ve e () dode se ha aplicado la oació ípica de Mahcad e el segudo miembro, y gráficamee e la figura 4 De aquí e adelae y a modo de geeraliació, se cosiderará el iempo discreo y k u parámero cosae Eso esá dado u pié a lo que vedrá: Las señales co las que se habrá de rabajar y procesar a ravés de compuadoras digiales, provedrá de la coversió aalógica-adigial de señales aalógicas del mudo real El "formao" de las mismas será precisamee el de ua secuecia de iempo discreo Volviedo al ema, de () se puede aviorar ua muy imporae propiedad que es la siguiee: - f, ua secuecia arbiraria, se puede represear como ua suma de secuecias dela E oras palabras, es como si cada érmio de la secuecia arbiraria "modulara" a ua Dela co desplaamieo dado por el parámero correspodiee a dicho érmio Expresado eso maemáicamee, lleva a la ecuació () Ejemplo: Supógase que se quiere aplicar lo expueso a la siguiee secuecia (Figura 5) rasformada y de Fourier

3 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Aplicado () queda: f 3 Lo expresado se resume gráficamee e la figura 6 - RANSFORMADA La rasformada se usa para llevar señales e el domiio del iempo discreo al domiio de la frecuecia de variable compleja Juega u rol similar al que la rasformada de Laplace lleva a cabo e el domiio de iempo coiuo al como e el caso de Laplace, la rasformada abre uevos camios a la resolució de problemas y al diseño de aplicacioes e el domiio discreo La rasformada de ua señal discrea f esá dada por la ecuació () Dode es ua variable compleja La defiició de arriba es para ua señal o-causal (es decir, f es coocida para iempo egaivo, < 0 E muchos casos la señal será casual dado orige a la rasformada Uilaeral, e coraposició a () que es la Bi-laeral F( ) = 0 f U sisema es causal si su salida para cualquier valor de la variable idepediee depede úicamee del valor de la erada correspodiee a dicho valor (y a oros procedees) ambié se llama o aicipaivo, ya que la salida del sisema o aicipa valores fuuros de la erada rasformada y de Fourier 3

4 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Ejemplo de sisema causal: y() = x( - 0 ) Ejemplo de sisema o causal y() = x( + 0 ) Co el objeo de faciliar la compresió de la mecáica a uiliar para hallar la rasformada, se cosiderará varios ejemplos de señales discreas muy comues Ejemplo : Impulso uiario, () Esa señal iee la caracerísica de valer cero para cualquier, excepo para =0 dode vale Por lo ao, aplicado (): 0 F( ) = 0 f 0 Ua forma de oació a uiliar para señalar la rasformada de ua señal, que se uiliará e adelae es => Luego: () => Ejemplo : Impulso uiario co desplaamieo k, ( - k) Esa señal iee la caracerísica de valer cero para cualquier, excepo para =k dode vale Por lo ao, aplicado (): k Luego: F( ) = k ( - k) => -k F( ) Ejemplo 3: Combiació lieal de impulsos f 3 ( ) ( 5 ) Aplicado (): 3 ( ) ( 5 ) => 3 5 Ejemplo 4: Escaló uiario, () Esa señal iee la caracerísica de valer cero para cualquier < 0, y para >0(figura ) k Escaló desplaado, (-k) rasformada y de Fourier 4

5 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Escaló egaivo hacia iquierda, -(--) Aplicado () al escaló uiario: E ese puo del desarrollo, es coveiee deeerse para revisar u cocepo sumamee imporae y revelador e el cálculo de la rasformada de ua señal discrea Eso es la llamada serie geomérica Esa serie se caraceria por quedar defiida a parir de u érmio iicial (a 0 ) y ua raó (q) El segudo érmio, surge de muliplicar el primero por la raó (a =a 0 q); el ercero de muliplicar el segudo por la raó (a = qa = a 0 q ); y así siguiedo Si se acoa el úmero de érmios a, es posible hallar la suma de odos ellos como: Para el caso del escaló uiario, la suma de los primeros érmios es: y aplicado (), queda: Para hallar la rasformada, esa sumaoria debe compreder ifiios érmios E oras palabras: rasformada y de Fourier 5

6 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Esa es la suma de la serie Puede ser divergee (es decir, que ieda a ifiio e la medida que crece ) O puede ser covergee (iede a u valor fiio cuado crece idefiidamee), ese es el caso que realmee impora De la observació de la ecuació (3) se desprede la exisecia de dos érmios El primero de ellos o se modifica al omar el límie idicado e (4) por o depeder de E cambio, el segudo sí depede fueremee de esa variable, ya que la misma figura como expoee Es aquí dode se juega la suere la serie de ser covergee o o Evideemee la decisió esará e la variable compleja Para ediedo a ifiio, el segudo érmio se aula si > Y así la serie es covergee Bajo esas circusacias: F( ) Resumiedo: Si > ( ) <=== Si > (5) La variable compleja se represea e u sisema recagular de ejes: Im (ordeadas), Re (abscisas) La regió de covergecia es la grisada de la figura (): Ejemplo 5: Oro ipo de escaló uiario, - (- - ) Esa señal iee la caracerísica de valer 0 para cualquier > 0, y - para < 0(figura 3) Aplicado () y (): rasformada y de Fourier 6

7 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Para ediedo a ifiio, el segudo érmio se aula si < : F( ) Si < La regió de covergecia es la grisada de la figura: Resumiedo: ( ) <=== Si < (6) Ejemplo 6: érmio expoecial a () Aplicado () y (): Para ediedo a ifiio y siedo a/ meor que (eso es, > a) rasformada y de Fourier 7

8 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales = 0 Resumiedo: a a a a ( ) <=== a Si > a (7) Difereciado (7) respeco de a: Difereciado m veces respeco de a: Resumiedo: m a m ( ) C, <=== Válido para: > a ( a) m (8) 3 PROPIEDADES DE LA RANSFORMADA La rasformada iee muy imporaes y úiles propiedades que so beeficiosas a la hora de maipular y resolver problemas 3 Liealidad: Si X() es la rasformada de f y X() es la rasformada de f 3 Desplaamieo: Si F() es la rasformada de f, para cualquier eero m: f m <=== m F( ) Para el escaló desplaado: rasformada y de Fourier 8

9 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales 33 Covolució: Si F() es la rasformada- de f y F() es la rasformada- de f : f k f k <=== F( ) F( ) = 34 Secuecias Cojugadas: Si F() es la rasformada- de f, se iee <=== F( ) f f = 35 Fórmula de Parserval: Si X() es la rasformada- de x y si Y() es la rasformada- de y, eoces Corolario: Ejemplo 4 - MEODOS DE CÁLCULO DE LA RANSFORMADA INVERSA Hasa aquí se ha viso como hallar la rasformada de ua señal discrea, pero cómo se puede hacer para volver al domiio del iempo a parir del domiio de la variable compleja? Se ha desarrollado varios méodos para resolver ese problema, se expodrá aquí los más uiliados, a ravés de ejemplos pariculares Supógase que se desea hallar la rasformada Iversa de la siguiee fució: rasformada y de Fourier 9

10 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales F( ) 5 4 Divisió larga U procedimieo más secillo, es uiliar la llamada divisió larga Siguiedo co el mismo ejemplo aerior: Aplicado la propiedad del desplaamieo O bie, la fució e el domiio del iempo discreo queda: Co la codició de covergecia para F(): / <, eso es > ambié la divisió se puede plaear de la siguiee maera (se permua los érmios del divisor): rasformada y de Fourier 0

11 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales F( ) - 5 = = F( ) = 0 - Aplicado la propiedad del desplaamieo ( ) = - 5 = 0 - ( ) O bie, la fució e el domiio del iempo discreo queda: Co la codició de covergecia para F(): ½ <, o sea < 43 Uso de ablas E ocasioes e que se puede uiliar ablas de rasformada (como la que se muesra a coiuació), y luego se puede preparar la expresió para aplicar ese procedimieo Señal Discrea rasformada X() X( ) ( ) a ( ) a cos( ) ( ) a si( ) ( ) a ( ) a a cos( ) a cos( ) a a si( ) a cos( ) a a a ( ) a a ( ) a 3 a x ( ) a x ( ) a X ( ) a X ( ) rasformada y de Fourier

12 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales x( m ) m X( ) x ( ) * x ( ) X ( ) X ( ) a x( ) X a x( ) Ejemplo: F( ) 3 3 F( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) X( ) 44 Fraccioes parciales U méodo muy úil para resolver la rasformada Iversa es omado fraccioes parciales de X() De cada fracció parcial se iee la esperaa que se ecuere e ua forma a simple que se pueda hallar e ua abla de rasformadas de señales, la cual sumiisrará la secuecia correspodiee e el domiio del iempo Para ello se desarrolla F() e fraccioes simples y se emplea el par: 44 - Raíces simples Se hace uso el siguiee par: Sea la siguiee fució a la que se le quiere hallar la rasformada Iversa : F( ) 7 3 Siempre será coveiee hacer la coversió a fraccioes simples de la F() dividida por e ve de la F() sola F( ) 7 3 Descompoiedo e fraccioes simples rasformada y de Fourier

13 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Los coeficiees A, B y C se calcula por el Méodo de los Residuos Luego, la descomposició queda Pasado muliplicado al segudo miembro y airasformado 44 - Raíces múliples Se hace uso el siguiee par: Sea la siguiee fució a la que se le quiere hallar la rasformada Iversa : Los coeficiees A, B y C se calcula por el Méodo de los Residuos rasformada y de Fourier 3

14 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Pasado muliplicado al segudo miembro y airasformado, cosiderado que e el ercer érmio se debe aplicar la regla siguiee, dode m= y C,m = C, = f 4 ( ) ( ) 4 ( ) f 4 4 ( ) 45 - Variable Compleja Ese méodo usa iegració de cooro e la regió de covergecia dode la iegral es evaluada usado residuos Haciedo = exp(j) e la defiició de rasformada [ecuació (-)], queda: F e j = f e j Así pues e el círculo uidad, F() es ua fució periódica de co período */ y coeficiees dados por el desarrollo e Serie de Fourier (expoecial) f F e j j e d Forma Compleja: E el círculo uidad =e j d j e j dw d j d Dode c es el círculo Uidad 5 - INVERSA NO CAUSAL rasformada y de Fourier 4

15 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Dada ua fució F() como la siguiee: F( ) A i i i del ipo de las que puede descompoerse e fraccioes simples, la misma iee ua Iversa Causal f dada por: f ( ) i A i i siempre y cuado se la defia para valores de ubicados e la regió exera al círculo de radio = r = máx i O dicho e oras palabras, si los polos de la fució esá odos coeidos e el círculo del radio ciado E la figura 5 se observa el caso de ua fució co cuaro polos (,, 3, 4 ) dode 4 defie el radio de la circuferecia La oa > 4 (grisada) es la de covergecia de F() Vale decir, para que haya rasformada Iversa causal, odos los polos debe esar e el ierior del círculo o sobre él Se deermiará la iversa de F() supoiedo que R es u aillo arbirario Se había viso e (-6) la siguiee rasformació; rasformada y de Fourier 5

16 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales a ( ) <=== a para < a Difereciado la aerior m veces co respeco de a: C, m a m ( ) <=== Válido para: < a ( a) m Desigado por pi y si a los polos de F() que esá e el ierior y exerior de la regió R respecivamee p i < r s i > r Visa la fució como u odo, el oal de sus polos lo cosiuye los i, co lo que F() quedará y su correspodiee rasformada Iversa será: f ( ) A i i i Eso sería oalmee correco si odos los polos esuviera siuados dero de u círculo de radio mayor igual al máximo i e valor absoluo E cambio, si el radio puede ser cualquiera, habrá polos que quedará fuera de la regió que delimia ese círculo (s i ) y polos que quedará dero( p i ) F( ) i f ( ) B i C i p i s i i B i p i ( ) C i s i i i Ejemplo: Coviriedo a fracció parcial: queda: F( ) ( ) ( 3 ( 3) ) ( 3 ) o bie: rasformada y de Fourier 6

17 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales F( ) 3 3 co polos e = / y = 3 a) E la regió > 3 odos los polos so ieriores f 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) b) E la regió / < < 3 el polo p = / es ierior y el polo s = 3 es exerior f 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) c) E la regió < / odos los polos so exeriores f 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) 6 - RANSFORMADA CONINUA DE FOURIER La siguiee iegral permie la rasformació de ua fució e el domiio del iempo, f() e ora e el domiio de la frecuecia, F(): F( ) f( ) j e d (6-) La iegral (6-) debe ser ierpreada como el valor pricipal de Cauchy y se supodrá que exise para oda e las fucioes bajo cosideració El valor pricipal de Cauchy para (6-) es por defiició: f( ) e j d lim f( ) e j d Ejemplo: Dada la fució f(), hallar la rasformada de Fourier de la misma f( ) e U( ) dao f( ) if < 0, 0, e Aes de comear co el cálculo es ecesario hacer alguas acoacioes: rasformada y de Fourier 7

18 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales La fució U() represea el Escaló Uiario de iempo coiuo Se uiliará la omeclaura de Mahcad e las expresioes maemáicas, de modo que a ravés de esa herramiea se pueda verificar y experimear odos los cocepos veridos Así ambié como las graficacioes periees Aplicado (6-): F( ) e e j d e ( j ) d F( ) j para: 5, , FORMULA DE INVERSION La idea ahora es rescaar f() desde F() Eso se hace mediae la siguiee expresió: Demosració: Si se forma la fució rasformada y de Fourier 8

19 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales f ( ) F( ) e j d (7-) Se desea demosrar que: lim f ( ) f( ) Iserado (7-) e (7-): f σ ( ) σ = f ( τ) sic[ σ( - τ) ] dτ π - La iegral aerior es igual a la covolució de f() co el Kerel de la Iegral de Fourier, k(-), y iede a f() e odo puo de coiuidad de f() si iede a ifiio si[ σ( - τ) ] k( - τ) = = sic[ σ( - τ) ] σ( - τ) kerel Si f() es discoiua e u puo, eoces: Noa: Si f() es discoiua e = 0, e la vecidad de 0 la fució f () o se acerca a f() auque sea muy grade Al acercarse a 0, f () oscila rápidamee (Feómeo de Gibbs) Si embargo, para grade, el riado se cocera cerca de 0, o afecado a igú puo <>0 Ejemplo: Para hacer más didácico el proceso de cocepualiació de la rasformada Iversa, se cumplimeará los siguiees pasos: Se cosiderará u pulso de acho a y alura rasformada y de Fourier 9

20 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales A ese pulso se le hallará la rasformada de Fourier [F()] De modo que, e el proceso de iversió, se cooca el resulado exaco co el objeo de realiar comparacioes Fialmee se aplicará la Fórmula de Iversió (7-) para hallar f () Para hallar la rasformada de Fourier, se hace uso de (6-): Se requiere hacer el proceso iverso (Airasformada) f σ ( ) σ σ = f ( τ) sic[ σ( - τ) ] dτ π - σ Resolviedo el problema a ravés de Mahcad para: 5 5, 49 5 rasformada y de Fourier 0

21 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Si ahora se observa el gráfico resulae: 8 - PROPIEDADES DE LA RANSFORMADA CONINUA DE FOURIER E geeral, las fucioes f() y F() so complejas Al ser: f( ) f( ) j f( ) y F( ) R( ) j X( ) e j cos( ) j si( ) De (6-), al igualar pares reales e imagiarias: De (7-), al realiar el mismo proceso: rasformada y de Fourier

22 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales A parir de esos cocepos básicos, se aaliará los disios casos para rasformada de Fourier direca e iversa que se presea segú: 8 - Si f() es real, de (8-) y ya que f() = 0: R( ) f( ) cos( ) d X( ) de lo que se deduce: Ejemplo: R( ) R( ) X( ) X( ) F( ) F( ) f( ) si( ) d 8 - Si f() además de REAL es PAR, eso es f() = f(-) X() = 0 Por lo ao, la rasformada de Fourier de ua fució real y par es real E ese caso: F( ) R( ) f( ) cos( ) d f( ) cos( ) d Si f() además de REAL es IMPAR, eso es f() = - f(-) R() = 0 Por lo ao, la rasformada de Fourier de ua fució real e impar es imagiaria pura E ese caso: F( ) j X( ) j f( ) exp( ) fució par f( ) si( ) d j f( ) si( ) d 0 Para hallar la rasformada de Fourier se aplica la expresió (6-) rasformada y de Fourier

23 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales F( ) j j Como era de esperar, la rasformada es ua fució real Si F() es la rasformada de Fourier de f(), lo que se puede expresar como: f() <=== F( ) se cumple las siguiees propiedades: Simería: F( ) <=== f( ) Fucioes Cojugadas: f( ) <=== F( ) Escalado: f( a ) <=== a F a Desplaamieo: Para cualquier a real: f( a ) <=== e j a F( ) j a e f( ) <=== F( a ) Modulació: f( ) cos( 0 ) <=== ( F( 0 ) F( 0 ) ) Derivadas: ( j ) d f( ) <=== d eorema de Covolució: Si F( ) d d f( ) <=== ( j ) F( ) f( ) <=== F( ) y f( ) <=== F( ) eoces: f( ) * f( ) <=== F( ) F( ) Fórmula de Parseval: eoces: y() <=== Y() e y() <=== Y() y( ) y( ) d Y( ) Y( ) d eorema de la Eergía: rasformada y de Fourier 3

24 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Si y() es igual a y(): ( y( ) ) d ( Y( ) ) d 9 - SERIES DE FOURIER Dada ua fució f() periódica de período, es posible expresarla por medio de la siguiee Serie: a 0 f( ) k a k cos k b k si k = Dode los coeficiees a 0, a k y b k se deermia por las expresioes: a 0 0 f( ) d a k k f( ) cos d 0 b k k f( ) si d 0 A modo de ejemplo, supógase que se quiere deermiar el desarrollo e serie de Fourier de la siguiee fució (figura 9): período de la fució f( ) if <,, fució 0, 00 rago rasformada y de Fourier 4

25 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Es ecesario aclarar que la fució se esá represeado e u período compleo, pero la misma se repie ifiiamee hacia + y - Para calcular los coeficiees: N 0 úmero para el máximo ídice de coeficiees k 0 N rago para los coeficiees a 0 0 f( ) d a k k f( ) cos d 0 b k k f( ) si d 0 Recosruyedo f(), de acuerdo a la expresió de Fourier (se la pasa a llamar f() a los efecos de comparació poserior): f( ) a 0 N k = a k cos k b k si k El gráfico comparaivo se observa e la figura SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER Dada ua señal periódica f() de período, la misma puede ser represeada por ua serie expoecial compleja que respode a la forma: rasformada y de Fourier 5

26 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales Dode: f( ) X k k = X k exp j k f( ) exp j k 0 A modo de ejemplo, supógase que se quiere deermiar el desarrollo e serie expoecial de Fourier de la siguiee fució (figura 93): d período de la fució f( ) if <,, 4 0 fució 0, 00 rago Para calcular los coeficiees: N 5 úmero para el máximo ídice de coeficiees k 0 N rago para los coeficiees N k X k f( ) exp j d 0 f( ) N k = 0 N k X k exp j El gráfico comparaivo se observa e la figura 94 rasformada y de Fourier 6

27 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales rasformada y de Fourier 7 La Serie Expoecial de Fourier (ambié llamada Compleja) se obiee del desarrollo del párrafo, de la siguiee maera Cosidérese los dos primeros érmios desarrollado Llamado Geeraliado f ( ) a 0 a cos + b si + a 0 exp j 0 b exp j exp j - - j + a exp j exp j a 0 exp j 0 b j - exp j j exp j a exp j exp j a 0 exp j 0 exp j j - b a + + exp j - j b a + + c - j b a + c j - b a + a 0 exp j 0 exp j c + exp j - c + f ( ) - k c k exp j k =

28 Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales rasformada y de Fourier 8