Apellidos y Nombre: Aproximación lineal. dy f x dx

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1 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 Aproximació lieal Defiició (Diferecial).- Sea y = f ( x) ua fució derivable e u itervalo abierto que cotiee al úmero x, - La diferecial de x es igual al icremeto de x, x = dx dy f x dx - La diferecial de y se defie como = ' La diferecial de y para u icremeto de x, dx, correspode el icremeto de la ordeada de la recta tagete correspodiete a ese icremeto. Diferecial 0 y=f(x) (xo+h,f(xo+h) 0 y=f(xo+h)-f(xo) dy 0 (xo,f(xo) Recta tagete alfa h Aproximació lieal Cosideremos la gráfica de ua fució y = f ( x) derivable e x = c. Si dibujamos la tagete e el puto c, f ( c ) vemos que, para u itervalo pequeño de x, cetrado e c, los valores de la fució casi coicide co las ordeadas de los putos de la curva. Por esta razó llamamos a la ecuació de la tagete a la gráfica de f e el puto x = c ua liealizació de la fució e ese puto. Teiedo e cueta que la ecuació de la recta tagete e el puto, pediete f ( c ) se tedrá que su ecuació es: c f c tiee por L(x)=f(c)+f (c)(x-c) f(c) L(x)-f(c)=f (c)(x-c) Profesora: Elea Álvarez Sáiz

2 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 y se llama a L( x) f ( c) f ( c)( x c) y f ( c) f ( c)( x c) y f c = f c x c = + = + la liealizació de f e c Hallar u valor aproximado de 4' utilizado la tagete a la curva 4 + x e el puto a=0 4' 0 + ' 0 0' 0 = 4 + 0' = '0 4 Solució: f f Obteer de forma aproximada los siguietes valores: 0.4 ( a ) log( 0.9) ( b) e ( c ) 70 ( d ) 8'0 0.4 Solució: ( a) log( 0.9) 0. b e c Utiliza la aproximació lieal de la fució ( x) aproximada 0.000,.009 d 8'0 + ' k + + kx para calcular de forma Solució: (.000) / Poliomios de Taylor Supogamos que f ( x ) es ua fució derivable veces e el puto x=a. Se defie el poliomio de Taylor de grado correspodiete a la fució f e el puto x=a como k = 0 ( k f a ( x a ) T f x ; a = = k! k '' (... f ' a f a f a = f ( a) + x a + x a + + x a!!! E el caso e que a=0 el poliomio se llama de MacLauri. Profesora: Elea Álvarez Sáiz

3 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 Defiició (Resto -ésimo de Taylor).- Sea f ua fució para la que existe T f ( x); a. Se defie el resto -ésimo de Taylor correspodiete a la fució f e el puto x=a, y lo escribiremos R f ( x); a como = R f x ; a f x T f x ; a La expresió + e el puto x=a. T f x ; a R f x ; a se llama fórmula de Taylor de f(x) de grado E las proximidades del puto x=a se verifica o sólo que el resto -ésimo es pequeño (ifiitésimo) sio que se hace pequeño e comparació co ( x a) (es u ifiitésimo de orde superior a ( x a) para x=a). Esto se expresa e el siguiete resultado TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable veces e el puto x=a y R f ( x); a correspodiete resto de Taylor etoces ( x a) R ; lim f x a = 0 x a es su EXPRESIONES DEL RESTO: Sea f es ua fució derivable (+) veces e u itervalo abierto I, que cotega al puto x=a. Si R f ( x); a correspodiete a la fució f e el puto x=a etoces: () Resto de Cauchy f t R f ( x) ; a =! siedo t u puto itermedio etre a y x. () Resto de Lagrage ( + ( x t ) ( x a ) ( + f ( t) ( x a ) +! R f x ; a = siedo t u puto itermedio etre a y x. + es el resto -ésimo de Taylor () Resto Itegral x ( + f ( t) R f ( x) ; a = ( x t ) dt! a defiido si la derivada (+) de f es itegrable e el itervalo I. Profesora: Elea Álvarez Sáiz

4 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 4 E u etoro de a = 0 se aproxima la fució y P( x) = + x, obteiedo.. Dar ua cota del error cometido. = + x mediate el poliomio Solució: error = < < < / 8 8 ( + t) ( 0 t ) Calcular, mediate la diferecial, ua aproximació de cos(º) y dar ua cota del error cometido. Solució: Error π < 6 x 6 (a) Obteer el poliomio de Taylor de grado de la fució y = log puto a= 0. (b) Obteer, mediate el poliomio aterior, u valor aproximado de log(0.). (c) Hallar ua cota del error cometido e dicha aproximació alrededor del Solució: T x x x 8 4 =, log error < 0. 7 Qué error se comete al sustituir sex e por + x + x? Solució: Error,7 < 6 x 8 Se cosidera la fució f x = + x (a) Calcula ua estimació del error de la aproximació de f ( x) = + x por su poliomio Profesora: Elea Álvarez Sáiz 4

5 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 de Taylor de grado e el puto a = 0 cuado x perteece al itervalo 0 x (b) Calcula para esta fució la diferecial e a = 0 e x 0.. Haz u bosquejo de esta fució y represeta el valor obteido. = (c) Puedes dar ua cota del error que se comete al aproximar por? Solució: Ejercicio resuelto. (a) Ua estimació del error es error = 7 6 (b) La diferecial es: dy = f '( 0) x = 0, = 0,. Recta tagete Diferecial 0. (xo,f(xo) alfa y=f(x) h y=f(xo+h)-f(xo) (xo+h,f(xo+h) dy < 0, (c) f f 9 Sea f ( x) xlog( x) = +. Se pide: (a) Escribir la fórmula de Taylor para f(x) e x=0 de orde co el resto de Lagrage. (b) Dar ua cota del error al aproximar grado. log mediate el poliomio de Taylor de 0 0 Solució: Ejercicio resuelto. Profesora: Elea Álvarez Sáiz

6 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 (a) (b) ( ) ( + f ( t) ( + )! + xlog + x = x x + x cotetre 0yx 4 Error < 0 0 Cosidera la fució f ( x) = x + x. (a) Determia la expresió del resto -ésimo del poliomio de Taylor de la fució e a=0 (b) Determia el grado del poliomio de Taylor de la fució f ( x) e a=0 que permite aproximar co u error meor que ua décima. Solució: Ejercicio resuelto. (a) f t x ( ) ( ) + ( t) ( t) ( ) ( x = t + +! + +! (b) Poliomio de Taylor de grado. + + (a) Calcular mediate el poliomio de Taylor co u error meor que ua décima el valor de e. (b) Represetar de forma aproximada la gráfica de la fució y del poliomio de Taylor obteido e el apartado aterior Solució: Ejercicio resuelto. El poliomio que se debe elegir es el de grado. Etoces: e 9 / = e Dada la fució: f ( x) x 4 = x e (a) Calcular el poliomio de Taylor de esta fució e de Lagrage. a = y obteer la expresió del resto (b) Calcular de forma aproximada f (.) co el poliomio de grado y dar ua cota de error.! Solució: T = 4( x ) ( x ) + ( x ) ( ) ( x ) Profesora: Elea Álvarez Sáiz 6

7 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 R (( + ) ( + ) + ( + 4) ) e t t = ( )! t + + ( ') 4 0' ( 0') ( 0') f + Ua acotació podría ser: ( + ) R < ( x ) ( + + ) 4 0' 4 ' 8 ' 4 4! t u puto itermedio etre y x. Se cosidera x + f x = log x. Se pide: (a) Represeta el domiio de la fució f ( x ) (b) Calcula el poliomio de Taylor de grado de f ( x ) e a = 4 y determia la expresió del resto eésimo de f ( x) e a = 4 (c) Calcula ua cota del error cuado queremos aproximar grado 6' log 6' por el poliomio de (d) Cuátos térmios es ecesario cosiderar del poliomio de Taylor de f ( x ) e a = 4 para aproximar 6' log 6' co u error meor que 0? (e) De qué orde es el resto del poliomio de taylor de grado de f ( x ) e a = 4? 6 6 Solució: (a) T = ( x 4 ) ( ) ( )! ( x 4) R ( ) = + ( t + ) ( t ) + + R < (b) 4 4 ( x 4) + (c) Se ecesita = térmios 4 (a) Calcular la derivada eésima de la fució f ( x) log ( x) =. (b) Calcular el cojuto de úmeros reales x de maera que el poliomio de MacLauri de log ( x) f x = de grado permita aproximar f(x) co u error meor que (c) Calcular de forma aproximada el valor de log ( ' ) ordeada de la recta tagete dado ua estimació del error 0 f x = co la aproximació de la Profesora: Elea Álvarez Sáiz 7

8 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 ( ( Solució: Ejercicio resuelto. (a) f x =! x f 0 =! log ' 0' (c). Ua cota del error puede ser: 0 error < La fórmula de Machi π = 4arctg arctg 4 9 puede usarse para aproximar los valores de π. Utilizar el desarrollo de Taylor de la fució arctg ( x ) hasta tercer orde y la fórmula de Machi para calcular el valor de π. Dar ua cota para el error de la aproximació justificado adecuadamete la respuesta. Solució: Ejercicio resuelto. π =.406 ± Poliomios de Taylor e Matlab Para mostrar esta herramieta teclear e la vetaa de comados >>taylortool Se abrirá la vetaa: Profesora: Elea Álvarez Sáiz 8

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