Ejemplo de un problema dual

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Elena Pereyra Carrasco
hace 6 años
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1 Ejemplo de un problema dual El entrenador de un equipo de futbol americano, está interesado en preparar lo que ha bautizado como la Ensalada Vitamínica ("EV"), la cual puede integrarse a partir de cinco verduras básicas disponibles y definidas como 1, 2, 3, 4 y 5. Se desea que la EV contenga por lo menos diez unidades de vitamina A y veinticinco unidades de vitamina C. La información relevante del contenido vitamínico y costo de las verduras se proporciona en la tabla: Tabla de contenido vitamínico y costo de cinco verduras Verduras (unidades de vitamina por kg.) VITAMINA A C Costo ($/kg) El problema de la preparación de la EV que enfrenta el entrenador, puede resolverse mediante el modelo de PL que a continuación se formula: Minimizar: X 0 =100 x x x x x 5 Sujeta a: 2 x x x x 4 + x 5 10 x x x 3 + x x 5 25 x j 0 j = 1, 2,..., 5. donde x i son los kilogramos de la verdura "i", a utilizar en la elaboración de la EV. Suponga que el dueño de unos laboratorios farmacéuticos se entera de la EV y vislumbra la posibilidad de entablar un negocio con el entrenador al fabricarle pastillas de vitamina A y vitamina C. Por tanto, si logra convencerlo de que ingiriendo pastillas los jugadores obtendrán los requerimientos vitamínicos solicitados, y que el costo de las mismas es competitivo con respecto al de las verduras, es casi seguro que su idea será aceptada, sin embargo, cómo debe proceder el fabricante de vitaminas? A continuación se muestra cómo puede ayudarlo la PL. Diana Cobos 1

2 Básicamente el problema del fabricante consiste en determinar el precio competitivo que debe asignar a cada tipo de pastilla. Si se definen y 1 = precio de cada pastilla de una unidad de vitamina A y 2 = precio de cada pastilla de una unidad de vitamina C. su problema consiste en encontrar los valores de las variables y 1 y y 2. Nótese que para facilitar la explicación, se tomó arbitrariamente como base pastillas de una unidad de vitamina. Las limitaciones en el precio que puede asignar a las unidades de vitamina A y una unidad de vitamina C, por lo que el valor intrínseco del aporte vitamínico de esta verdura es: 2y 1 + y 2 y dado que su costo es de $100, el entrenador estaría dispuesto a pagar por tal aporte cuando mucho tal cantidad; por tanto, el fabricante debe considerar como una primer limitante a sus precios que 2y 1 + y (verdura 1) De la misma manera se elaboran las siguientes restricciones: 2 y 2 80 (verdura 2) 3 y y 2 95 (verdura 3) 4 y 1 + y (verdura 4) y y (verdura 5) Por otra parte, si el fabricante desea maximizar sus ventas totales y suponiendo que el entrenador sólo le compraría los requerimientos vitamínicos mínimos, su objetivo sería: Maximizar: y 0 = 10 y y 2 Sujeta a: 2 y 1 + y y y y y 1 + y y y y 1, y 2 0 Diana Cobos 2

3 en donde para convencer al entrenador debe encontrar y 1 y y 2 tal que Si ambos modelos se resuelven se llega a máximo y 0 mínimo x 0 x 3 5/ x 5 55/ x 0 = $6525/7 = $ y 1 65/ y 2 235/ y 0 = $ 6525/7 = $ La interpretación de estos resultados es como sigue: I. En primer lugar, el entrenador debe mezclar 0.71 kg. de verdura 3 y 1.85 kg. de verdura 5 para obtener su EV a un costo mínimo. II. En segundo lugar x 0 = y 0, lo que indica que el fabricante debe fijar como precio máximo $9.29 para la pastilla de vitamina A y $33.57 para la de vitamina B. Diana Cobos 3

4 El concepto de Dualidad Las reglas para derivar un problema dual a partir de otro se clasifican en: 1. Cuando el primo está en forma canónico. 2. Cuando el primo está en forma estándar. 3. Cuando el primo está en forma libre o general. El dual cuando el primo está en forma canónica El dual de un primo en forma canónica está también en forma canónica aunque con objetivos opuestos al canónico, es decir: i. El objetivo de un problema debe ser opuesto al del otro. ii. El problema de maximización debe tener todas sus restricciones del tipo de minimización del tipo. y el iii. Las variables de ambos deben ser no negativas. iv. Cada restricción en un problema tiene asociada una variable en el otro y viceversa. Diana Cobos 4

5 El dual cuando el primo está en formato canónico. Primo: Max X 0 = 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 sujeta a: 3x 1-2x 2 + 2x 3 9 y 1 2x 1 + 7x 2 + 8x 3 8 y 2 r 1 r 2 r 3 x 1, x 2, x 3 0 Para construir el dual del problema presentado se deben observar los siguientes aspectos: 1. El objetivo del problema dual debe ser Min ya que el problema primo tiene como objetivo Max. 2. El número de restricciones que deberá tener el problema dual es 3 puesto que el problema primo tiene 3 variables. 3. El número de variables que debe tener el problema dual es de 2 porque el problema primo tiene 2 restricciones. 4. Los coeficientes de la función objetivo del dual serán los elementos del vector de recursos en el primo. 5. El vector de recursos para el problema dual lo formarán los coeficientes de la función objetivo del problema primo. 6. Las variables del problema dual deben ser 0. Dual: Min Y 0 = 9 y y 2 y 1 y 2 Sujeta a 3 y y 2 2 r 1 2 y y 2 3 r 2 2 y y 2 5 r 3 y 1, y 2 0 Diana Cobos 5

6 El dual cuando el primo está en formato libre. Ej. Max X 0 = 3 x 1-2 x x 3 Sujeta a 3 x x x x 1-3 x x 3 = 9 6 x x x x x x 3 = 6 x 1 0 x 2 0 x 3 irrestricta Solución: 1. Asociar una variable dual a cada restricción del primo. 3 x x x 3 8 y 1 2 x 1-3 x x 3 = 9 y 2 6 x x x 3 7 y 3 5 x x x 3 = 6 y 4 2. Cada variable del primo genera una restricción del dual. x 1 3 y y y y 4? 3 x 2 2 y 1-3 y y y 4? -2 x 3 7 y y y y 4? 5 3. El objetivo del dual es opuesto al del primo y su función objetivo está integrada por el vector de recursos del primo. Primo max X 0 = 3 x 1-2 x x 3 Dual min Y 0 = 8 y y y y 4 Diana Cobos 6

7 Tabla para obtener el dual de un problema de PL en formato libre Maximizar Restricciones Minimizar Variables 0 = irrestricta 0 Variables 0 irrestricta = 0 Restricciones Ahora bien, según la tabla i. Como x 1 0 en maximizar, la restricción asociada debe ser. ii. Como x 2 0 en max, la restricción asociada debe ser. iii. Como x 3 es irrestricta en max, la restricción asociada debe ser =. iv. y 1 está asociada con una restricción en max y 1 0 v. y 2 y y 4 están asociadas con restricción = en max y 2, y 4 son irrestrictas. vi. y 3 en max y 3 0 Así el problema final dual es: Min x 0 = 8y 1 + 9y 2 + 7y 3 + 6y 4 Sujeto a 3y 1 + 2y 2 + 6y 3 + 5y 4 3 2y 1-3y 2 + 7y 3 + 5y 4-2 7y 1 + 4y 2 + 9y 3 + 6y 4 = 5 y 1 0, y 3 0, y 2, y 4 irrestrictas. Diana Cobos 7

8 Ejemplo: Dual cuando el primo está en formato libre. Max x 0 = 3x 1-3x 2 +5x 3 Sujeta a 3x 1 + 2x 2 + 7x 3 8 y 1 2x 1-3x 2 + 4x 3 = 9 y 2 6x 1 +7x 2 + 9x 3 7 y 3 5x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 6 y 4 x 1 0 x 2 0 x 3 irrestricta Dual Min y 0 = 8y 1 + 9y 2 + 7y 3 + 6y 4 Sujeta a 3y 1 + 2y 2 + 6y 3 + 5y 4 3 x 1 2y 1-3y 2 + 7y 3 + 5y 4-3 x 2 7y 1 + 4y 2 +9y 3 + 6y 4 = 5 x 3 y 1 0 y 3 0 y 2, y 4 irrestrictas. Diana Cobos 8

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