Última Guía de Matemáticas 2...Recargada

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1 Última Guía de Matemáticas 2...Recargada Programa de Bachillerato. Uiversidad de Chile. Verao, Ley de Efriamieto de Newto: Puede observarse que si se itroduce u objeto caliete e u ambiete (grade comparado co el objeto) frío, la razó a que el objeto se efría es proporcioal a la diferecia de la temperatura del objeto τ y la temperatura del ambiete T. Modele este feómeo (es decir, ecuetre la temperatura del objeto τ(t) e cada istate t). Escriba ua ecuació diferecial que modele este problema y resuélvalo e total geeralidad. 2. Ley de Hooke: La fuerza que u resorte ejerce sobre ua masa adosada a él es directamete proporcioal al desplazamieto de la masa, pero e setido opuesto al movimieto. Muestre que la ecuació del movimieto es de la forma x = w 2 x dode w es ua costate. Muestre que cualquier fució de la forma A se(wt) + B cos(wt) es solució de la ecuació. 3. Pédulo Simple: Cosidere ua masa m que está colagada del techo de ua habitació por u hilo de largo l. Desprecie el roce y la masa del hilo. Si se mueve u águlo θ desde el puto de equilibrio, esta masa comezará a oscilar. Muestre que la ecuació de movimieto del problema es de la forma θ = w 2 se(θ) dode w es ua costate. Haciedo ua aproximació de primer orde, es decir para águlos pequeños se(θ) θ, se tiee que la ecuació de movimieto es de la forma θ = w 2 θ, la misma que se obtiee segú la Ley de Hooke.

2 4. Ecuació Logística: La siguiete ecuació diferecial y = py(m y) se llama ecuació logística. Ecuetre dos solucioes costaes de la ecuació logística. Iterprete esas solucioes si es que la ecuació logística modela crecimietos poblacioales. Muestre que para pequeños valores de y la fució y se comporta como ua fució expoecial. Resuelva la ecuació logística y comprube sus cojeturas. Grafique las solucioes. Iterprete las costates. 5. Ua represa cotiee actualmete 200 milloes de galoes de agua fluorada, que cotiee 600 libras de fluor. La solució fluye de la represa a u ritmo de 4 milloes de galoes por día y se reemplaza al mismo ritmo por agua pura. Cuál es la catidad de fluor existete e la represa e cada istate?. Existe u mometo dode la catidad de fluor e la represa es cero?. 6. Ua efermedad cotagiosa se propaga co ua velocidad que depede proporcioalmete del producto etre la catidad de gete ifectada y de la o ifectada. a) Escriba ua ecuació diferecial que describa la situació del euciado. b) Si la costate de proporcioalidad es, Qué puede decir del desarrollo de la efermedad al largo plazo, si el cotagio comezó a partir de ua persoa ifectada? 7. Supoga que f es solució de y + a(x)y = 0 () dode a(x) es ua fució real. Supoga además que g es solució de y + a(x)y = b(x) (2) dode b(x) es ua fució real. Muestre que f + g es solució de (2). Muestre que si h es solució de (2) etoces g h es solució de (). Muestre que cualquier solució de (2), se puede escribir e la forma f + g dode f es solució de() y g es ua solució particular de (2). 8. Cosidere la ecuació y + 4y t = 5 2. (3) Muestre que f(t) = (200 + t) es ua solució de (3). Resuelva e 2 geeral el problema. y + 4y t = 0 (4) 2

3 9. Resuelva el problema y y = e x y(0) = 0. Resuelva el problema dy dx = 2 3y y() =. Resuelva el problema dy dx 2. Resuelva el problema = 2(y )(y + 2) y(0) = 2 dy dx = y2 4 y(0) = 2 3. Si f es solució del problema y + y = se(x), y(0) = 0 ecuetre todas las derivadas de f e Resuelva la siguiete ecuació diferecial 5. Grafique la fució f tal que xe y se(x)dx 2dy = 0 f (x) = f + x y f(0) = 6. Si f es solució de y y = 2, etoces muestre que e x f(x) es solució de y 2y = 2e x. 7. La diámica de cierta població está modelada por la ecuació diferecial ( dp =, 2P P ) dt 4200 a) Para qué valores de P la població crece? b) Para qué valores de P la població decrece? c) Resuelva la ecuació. 3

4 8. Ua solució de glucosa es admiistrada itraveosamete a razó costate r. Como la glucosa es asimilada, esta es covertida e otros elemetos y removida del flujo saguieo a ua razó que es proporcioal a la cocetració de glucosa que hay e ese istate. Etoces u modelo de cocetració de la solució de glucosa es: C (t) = r kc(t) dode k es ua costate. a) Supoga que la cocetració e el istate t = 0 es C 0. Deter- la cocetració e cualquier istate t. (Ayuda: La itegral mie kc (t)dt tiee ua forma bastate coocida.) r kc(t) b) Asuma que C 0 < r, ecuetre lím C(t). k x 9. Sea y(t) y V (t) la altura y el volume de u taque de agua e el istate t. Si el agua comieza a caer por acció de la gravedad, por u orificio de área a e el fodo del taque, etoces la ley de Torricelli dice que dv dt = a 2gy dode g es la aceleració de gravedad. a) Supoga que el taque es cilídrico de altura 80 cm y radio 30 cm y el orificio es circular de radio cm. Escriba la ec. diferecial e y y resuélvala, supoiedo que al iicio el taque estaba lleo de agua. b) Cuato tardará e vaciarse el taque? 20. Sea P (t) el ivel de desempeño de alguie aprediedo algua tarea e fució del tiempo t de etreamieto. EL gráfico de P le llama curva de apredizaje. Alguos psicólogos ha propuesto el siguiete modelo para P dp = k(m P ), dt dode k es ua costate positiva. Grafique diferetes curvas de apredizaje, para M fijo y modificado k, P Sea a 0 = 2 y a + = a + 2 para cada N. Es (a ) acotada? Es creciete? Es covergete? 22. Es cierto que si a a etoces cos(a ) cos(a)? 23. Ecuetre u cojuto fiito de térmios de la sucesió a = 3 + π, que cotega a todos los térmios de la sucesió que está fuera del itervalo (3 0 6, ). 4

5 24. Calcule el límite de las siguietes sucesioes: a) a = b) a = c) a = l(). d) a = se(). e) a =!. f ) a = 3!. g) a = l( ) h) a = (. ) i) a = ( ) j ) a = ( + 2 ) E cierto modelo geético, el promedio de u ge perjudicial se relacioa co la serie ifiita: + 2r + 3r 2 + 4r 3 + = kr k para 0 < r <. k= Pruebe que esta serie coverge y ecuetre su suma. 26. Pruebe que si es ua serie de térmios positivos y covergete etoces la serie (b ) 2 es covergete. b 27. Sea (a ) ua sucesió de térmios positivos tales que 8 a + a < 7 8 para cualquier valor de N. Demuestre que coverge. k= a 5

6 28. A u paciete se le admiistra ua iyecció de 0 uidades de cierta medicia cada 24 horas. El paciete elimia el 20 % de la medicia que tiee e el cuerpo diaroiamete. Si la medicia supera el umbral de las 60 uidades e el cuerpo, la droga se vuelve peligrosa para el paciete. El tratamieto se puede cotiuar idefiidamete si riesgo para el paciete? 29. Decida cual(es) de las siguietes series coverge(). a) b) c) d) e) f ) g) h) i) ( ) 2 ( + )( + 2) =3!! l()! j ) k) l) m) ) ñ) o) p) q) =3 =2 3! si() si() 2 ( ) l() 3 2 3! ( ) si ( ) 3 6

7 30. Describa co u dibujo los siguietes cojutos. a) C = {z C/ z 2 + i = 2} b) D = {z C/0 < z } c) A = {z C/0 < Arg(z) < π 4 } d) A = {z C/ z 2} e) T = {z C/ z 4, Im(z) 0} 0 f ) L = {z C/Re(z) + Im(z) = 5} g) I = {z C/z D}, dode D es del literal b). h) E = {z C/ z + z + = 4} i) C = {z C/z 2 S } j ) F = {z C/ < Re(z) < } k) C = {z C/Im( z) < 0} 3. Calcule: a) i 003 c) ( + i) 004 b) ( i) 003 d) ( e) ( 3 + i 3) i) 600 f ) ( 2 i 2) Ecuetre todas las ésimas raíces de z, dode y z so dados e cada caso. a) z = + i, = 6 b) z = i, = 5 c) z =, = 4 d) z = 3 + i, = 3 e) z = 0, = 4 f ) z = 6, = Cuáles so los úmeros complejos que so iguales a su cojugado? 34. Elija z C, cualquiera, grafique z, z, z, z, 2z, z 2 y z. 35. Si ζ es ua raíz de la uidad, muestre que ζ está e S. Es cierto que todo elemeto de S es ua raíz de la uidad? 36. Cosidere la fució f : C C defiida por f(z) = z, describa esta fució geométricamete. 37. Cosidere u úmero complejo de orma, digamos w = cos(θ) + ise(θ), cosidere la fució f : C C defiida por f(z) = wz. Describa esta fució geométricamete. 7

8 38. Pruebe que si z C satisface z 2 + z + = 0, etoces z es ua raíz cúbica de la uidad. Describa a z e su forma polar y cartesiaa. 39. Pruebe que si z C satisface z 6 + z 3 + = 0, etoces z es ua raíz ovea de la uidad. Describa a z e su forma polar y cartesiaa. 40. U dodecágoo regular se iscribe e la circusferecia de radio y cetro e el orige, de forma tal que uo de sus vértices es. Cuátos de los vértices del dodecágoo so raíces cuartas de la uidad? y raíces sextas de la uidad? 4. Sea ξ ua raíz ésima de la uidad, etoces pruebe que ξ k = 0 k=0 42. Es cierto que si ζ = etoces su cojugado satisface la misma relació? es cierto que su iverso multiplicativo tambié satisface la misma relació? 43. Es cierto que z + w z + w? 44. Sea p(x) u poliomio co coeficietes reales, y sea z u úmero complejo que es raíz de p(x), verifique etoces que z es tambié ua raíz de p(x). 45. Pruebe que todo elemeto de C es u cuadrado e C. 46. Si ζ satisface la ecuació x + = 0 y ζ, etoces pruebe que 0 k=0 ( ) k ζ k = Grafique las sextas potecias de Sea z C tal que z =. Demuestre que z = z. 49. Muestre que ζ = cos(2πθ) + ise(2πθ) es u elemeto de orma. Muestre que si θ Q etoces ζ es raíz de la uidad. 50. Sea ζ S, describa la fució f : C C defiida por f(z) = ζ z. 8