MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO. 1.- ANÁLISIS (1ª PARTE).- Límites, Continuidad, Derivadas y aplicaciones.

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1 MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO.- ANÁLISIS ª PARTE.- Límits, Continuidad, Drivadas y aplicacions..- MODELO DE PRUEBA a Concptos d unción continua n un punto y drivada d una unción n un punto. b Estudiar, a partir d la dinición, la continuidad y drivabilidad d la unción: n l punto d abscisa y calcular la unción drivada n su dominio d dinición. Razona las rspustas. a Pud vrs n los apunts d toría. b Rcordmos para mpzar, qu la unción valor absoluto s din n dos trozos: < si si Y por tanto, simpr qu n cualquir otra unción aparzca l valor absoluto, abrá qu dinirla a trozos. En nustro caso, < si si Vamos si s continua n l punto d abscisa. Como admás, concluimos qu la unción s continua n. Vamos si s drivabl n l punto qu nos indican; para llo, studimos sus drivadas latrals: Como las drivadas latrals son distintas n l punto d abscisa, la unción no s drivabl n dico punto. En los dmás puntos, a la izquirda y a la drca dl cro, la unción s drivabl y su drivada s obtin drivando n : < > si si

2 .- JUNIO i Intrprta razonadamnt l concpto gométrico d drivada. ii Como aplicación dl apartado antrior y sin calcular la prsión analítica d, obtnr la rprsntación gráica d sindo la gráica d la qu puds vr n la igura d al lado. Nota: l símbolo d la gráica, quir signiicar qu la unción no stá dinida n. Razona las rspustas. i Est apartado, pud vrs plicado n los apunts. ii La rprsntación gráica d la drivada, s la qu pud vrs n la igura. Epliqumos por qué: En primr lugar ntr y, la unción s una rcta; la pndint por tanto s constant y n st caso val, ya qu la unción crc dos unidads cada vz qu la variabl aumnta una. Por tanto su drivada n s - intrvalo, srá la unción constant y. Por la misma razón, n l intrvalo, la drivada s la - unción constant y - rcta dcrcint, pndint ngativa; y como dcrc dos unidads cada vz qu la variabl aumnta dos, la pndint srá Dl mismo modo s plica qu la drivada n l intrvalo,, sa la unción constant y. Por último, dbmos prcisar qu n los puntos d abscisa y, no ist drivada pusto qu las drivadas latrals son distintas la unción ac picos. En l punto, la unción no ist, así qu diícilmnt va a istir su drivada. Y n los trmos - y, no ay drivada, porqu n l primro no ist drivada por la izquirda y n l sgundo no ist por la drca. Fura dl intrvalo [-, ] no stá dinida la unción, por tanto no tin sntido ablar d..- SEPTIEMBRE a b Dada la unción: s pid: a b i Dtrminar a y b, sabindo qu la unción prsnta una discontinuidad vitabl n l punto d abscisa ii Dinir una unción g qu sa continua n y qu coincida con n l dominio d dinición d ésta. Razona las rspustas. i La unción, s una unción racional cocint d dos polinomios; para qu aya discontinuidad vitabl n l punto d abscisa, db istir l, pro no star dinida la unción. Aora bin, para qu una unción racional no sté dinida n un punto, db anulars l dnominador n dico punto; n st caso por tanto, l dnominador db anulars n, para lo cual a d sr: a b a b -. Por otra part, si sólo us cro l dnominador pro l numrador us distinto d cro, Pro como qurmos qu so no ocurra, pusto qu s límit db istir, ay qu obligar también al numrador a valr cro n, s dcir qu: a b Rsolvamos pués l sistma ormado por las dos cuacions qu acabamos d obtnr: a b a b a b la unción por tanto, s: - 8

3 Esa unción, dsd lugo qu no stá dinida n, ya qu l dnominador s anula; vamos si tin 8 8 límit n dico punto: 8 7 S trata n l primr límit, d una indtrminación dl tipo /, qu dsacmos n l paso quitando la raíz n l numrador y dnominador, utilizando la rgla d Ruini. 8 La unción por tanto, tin límit n l punto :. En conscuncia, para sos valors d a y b, ay discontinuidad vitabl n l punto. D co, vitaríamos la discontinuidad acindo qu 8/. 8 7 ii Obsrvmos stas dos uncions: g 7 La prsión algbraica qu din la sgunda, s obtin d simpliicar n la prsión d la primra. Parc razonabl a primra vista dcir qu sas dos uncions son iguals, pro no!. Hay un punto, sólo un punto, n l qu istn cirtos problmas: l punto ; n él, la primra no stá dinida, pusto qu s anula l dnominador y la sgunda n cambio, sí lo stá: g 8/. Por tanto, la primra no s continua n s punto y la sgunda, si. Para todos los dmás valors d la variabl indpndint, las dos uncions son iguals. Podmos pus concluir, qu la unción qu nos pidn s: g 7.- SEPTIEMBRE Hallar los coicints d la cuación y a b c d para qu la curva corrspondint prsnt n l punto, una inlión con tangnt paralla al j OX, pasando dica curva por l orign d coordnadas. Calcular l ára dl rcinto itado por la curva y la rcta qu un l orign con l punto d inlión. Razona las rspustas. y a b c Hallmos las drivadas primra y sgunda d sa unción: y 6a b Impongamos aora las condicions dl problma y no olvidmos qu con cada condición, obtndrmos una cuación y qu si tnmos cuatro incógnitas a, b, c, d, ncsitamos cuatro cuacions. Para qu pas por l orign,, dbmos sustituir n la cuación, y d Para qu tnga inlión n, la drivada sgunda db anulars n s punto ab Para qu tnga tangnt orizontal n, la drivada primra db anulars n dico punto abc Para qu pas por l punto,, Dbmos sustituir n la cuación, y 8abcd a a b 8 Pusto qu d, s trata d rsolvr l sistma: a b c cuyas solucions son : b 8a b c c La unción pdida, s por tanto: y. 8 Dl sgundo apartado d st problma, ablarmos cuando studimos la part corrspondint al Cálculo Intgral.

4 5.- JUNIO 5 i Esbozar la gráica d una unción qu cumpla, a la vz, qu: n - tnga una discontinuidad vitabl, n - tnga una discontinuidad d salto admita límits latrals initos distintos, n tnga una discontinuidad asintótica con, y admás. ii Obtnr la prsión analítica d una d tals uncions. Razona las rspustas. i Para mpzar, digamos qu con las caractrísticas qu nos pidn, ay mucas uncions para sr acto, tantas como quramos. Aquí construirmos una. La gráica d una d sas uncions, podría sr la qu vmos n la igura. ii Para vr cómo sría la prsión analítica d sa unción, tngamos n cunta las trs condicions qu nos pon l problma: n -, la unción db tnr límit, pro no star dinida. n - los límits latrals dbn sr distintos, pro initos. - - n l límit db sr, tanto por la izquirda, como por la drca. Cuando tind a ininito, la unción s stabiliza acia l. si < Esta sría la prsión analítica : si < < si 6.- SEPTIEMBRE 5 i Obtnr, d orma razonada, la gráica d una unción continua y qu cumpla las siguints condicions: - ; - ; -; - ; < para < ; > para < < ; - para > ; < para - < <; > para < <. ii Eist algún punto dond no sa drivabl? Cuáls son los máimos y los mínimos rlativos d?. Admit asíntotas?. Justiica todas las rspustas. i Impongamos con ordn todas las condicions dl problma, y vayamos trayndo d cada una la inormación qu nos srá ncsaria para dibujar una unción con sas caractrísticas. Pusto qu -, db cortar al j d abscisas n los puntos:, -, y, Pusto qu -, tndrá máimo o mínimo n los puntos d abscisa: - y. Y como la drivada sgunda n - s ngativa y n positiva, l primro srá un máimo y l sgundo un mínimo. Tnindo por in n cunta qu - y -, concluimos qu ay máimo n l punto -, y mínimo n l, -. Como < para < s dcir, n l intrvalo -,, la unción s dcrcint n él. Como > para < <, s dcir n los intrvalos -,- y,, la unción s dcrcint n llos. Como < n l intrvalo -,, srá cóncava acia abajo n dico intrvalo. Como > n,, srá cóncava acia arriba n s intrvalo. Como - para > s dcir, n los intrvalos, y,, rsulta qu n sos intrvalos la unción tin pndint constant por tanto, srá una rcta d pndint -.

5 Por último, dbmos tnr n cunta qu s trata d una unción continua: no db tnr saltos y db star simpr dinida. La gráica, con sos datos, podría sr la d la igura: ii No s drivabl n los puntos d abscisa y -, ya qu n sos puntos la curva tin tangnts distintas por la izquirda y por la drca; o si lo prrimos, n cada uno d sos dos puntos las drivadas latrals son dirnts: por un lado la drivada primra val - y por l otro no nos dicn cuánto val, pro sabmos qu s positiva. En sos puntos, como podmos vr n la gráica, la unción tin "picos". Los máimos, stán n los puntos d abscisa - y. El primro, sabmos qu s un máimo porqu n él s anula la drivada primra y s positiva la sgunda. Sin mbargo, s critrio no nos sirv para l sgundo punto; n él, sabmos qu ay máimo apart d qu s obvio sólo con mirar la gráica, porqu la drivada primra s positiva a la izquirda y ngativa a la drca s dcir, qu la unción s crcint a la izquirda y dcrcint a la drca; n conscuncia, db d abr un máimo n s punto. En dinitiva: los máimos son los puntos: -, y.. Los mínimos, razonando d orma parcida, sabmos qu stán n los puntos -, y,-. Hablmos por in d las asíntotas. Dsd l punto, n adlant, la unción s una rcta d pndint -, por tanto su cuación s: y-. Podmos considrarla como asíntota d sí misma. Por la misma razón, asta l punto -, la unción s una rcta d pndint -; su cuación s y -- y también podmos considrarla como asíntota. Las asíntotas son por tanto las rctas: y - y JUNIO 6 i Dibujar la gráica d la unción ln, atndindo a los siguints puntos: dominio d dinición, cort con los js, asíntotas vrticals, intrvalos d monotonía intrvalos d concavidad. ii A partir d la gráica antrior, stablcr razonadamnt cómo srían las gráicas d las uncions: a ln b ln c ln. Nota: ln s l logaritmo npriano d i Vayamos por parts dsarrollando los puntos qu nos indica l nunciado dl problma: Dom R : El dominio d la unción, srá l conjunto d los númros rals positivos, pusto qu no tin ningún sntido ablar dl logaritmo d númros ngativos. Nota: l cro, no s considra positivo ni ngativo Los corts con los js srán: Y a Con l j OX: y ln Corta al j OX, n l punto,. b Con l j OY: yln.como no ist l logaritmo d cro, no ay cort con l j OY Asíntotas: Cuándo s ac ininitamnt grand positivo o ngativo l logaritmo?. X Sabmos qu s ac tan ngativo como quramos, a mdida qu nos acrcamos al cro s dcir, ln. por tanto, la rcta l j d ordnadas, srá la asíntota vrtical. Por otra part, ln, lugo no ay asíntotas orizontals. Analicmos la drivada primra para vr dónd s crcint o dcrcint sta unción. y ln y. Como la unción sólo stá dinida para los númros positivos, la drivada primra simpr s positiva y por tanto, la unción simpr s crcint. No ay ni máimos ni mínimos

6 Para studiar la concavidad, analicmos la drivada sgunda: y. Como podmos vr, simpr s ngativa, lugo la unción, s simpr cóncava acia abajo. Con todos stos datos y tnindo admás n cunta qu ln s dcir, sabmos qu pasa por l punto,, stamos ya n condicions d construir su gráica, qu s la qu podmos vr n la página antrior. ii Hagamos una brv rlión sobr cada una d las trs uncions qu nos dan, ants d dibujar sus gráicas: yln, s una unción qu stá dinida también n los númros ngativos, ya qu s simpr positivo. Admás ln ln lugo s una unción par s dcir, simétrica con rspcto al j d ordnadas. En los positivos, s actamnt lo mismo qu la unción yln. y ln. Su gráica s como la d yln, pro acindo qu los valors ngativos qu toma la ordnada, s convirtan n positivos. Dico d otro modo: qu la part ngativa d la unción, s rlj n l j d abscisas. Por último, y ln -, s una unción cuya gráica s obtin sgún sabmos, trasladando dos ntros a la drca la gráica d y ln. X Y Y - X X y ln X y ln y ln SEPTIEMBRE 6 Dada la unción: i Estudiar, a partir d la dinición, la continuidad y drivabilidad d n los puntos -, y. ii Dtrminar l dominio y la prsión d la unción drivada. Razona las rspustas. i Para rsolvr st apartado, tngamos dos cosas n cunta: si La unción "valor absoluto", stá dinida n dos trozos dl siguint modo: si < -, s positivo cuando s mayor qu ó mnor -. Y s ngativo, cuando stá ntr - y. Para vr sto qu acabamos d dcir, basta rprsntar la parábola y -, y obsrvar para qué valors d la toma la ordnada valors ngativos o positivos. Por tanto, podrmos dinir a trozos la unción qu nos dan, y dibujar su gráica dl siguint modo: 6

7 si si si si < < > Y - X Esa unción s simpr continua como pud vrs n la igura. Para dmostrarlo d un modo riguroso a partir d la dinición d continuidad, bastaría calcular los límits latrals d la unción n los puntos "conlictivos" qu nos indican: -,, y comprobar qu coincidn con l valor d la unción n cada uno d llos: ; ; ; ; ; ; La unción, no s drivabl n los puntos -,,. En la igura, vmos claramnt cómo la unción tin "picos" n sos puntos y por tanto, n cada uno d llos tin dos tangnts dirnts, una por la izquirda y otra por la drca. Para dmostrarlo d orma rigurosa aplicando la dinición d drivada, calculamos las drivadas por la izquirda y por la drca n cada punto: ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] ; [ ] Como sas drivadas latrals son dirnts n cada uno d llos, la unción no s drivabl n ninguno. ii En los dmás puntos d la Rcta ral, la unción admit drivada; al in y al cabo s, n cada trozo, una unción linal y sin más qu drivar n la prsión d qu tnmos scrita más arriba, podmos obtnr la prsión d su drivada: si si si si < < < < < >.- JUNIO 7 El propitario d un inmubl, dispon d apartamntos para alquilar. Pinsa qu podría alquilarlos todos si l prcio dl alquilr us d 5. pts. mnsuals por cada uno d llos, pro qu si l prcio ura suprior, l qudarían algunos apartamntos sin alquilar. Por princia, sab qu por cada.5 pts. qu aumnt l prcio dl alquilr d cada apartamnto, alquilará un apartamnto mnos. Cuál db sr l prcio dl alquilr d cada apartamnto para consguir la máima ganancia?. Justiica la rspusta. Suponindo qu alquila "" apartamntos, la unción qu nos da la ganancia, s: [ ] Epliqumos brvmnt cómo s obtin sa unción: Si alquila apartamntos, dja d alquilar - y como cada uno qu no alquila s conscuncia d abr subido n.5 pts l prcio sobr las 5., concluimos qu l prcio dl alquilr por 7

8 apartamnto s d: pts. Si por in multiplicamos l númro d apartamntos alquilados por l prcio d cada uno, obtnmos la unción qu nos da la ganancia. Optimicmos sa unción n st caso, calculémosl un máimo Para obtnr la máima ganancia, db alquilar apartamntos y por tanto, l prcio dl alquilr d cada uno, db sr d pts.- SEPTIEMBRE 7 i Dinir mínimo rlativo y mínimo absoluto. ii Como aplicación, dmostrar qu para cualquir valor positivo d, s vriica la dsigualdad:. razona la rspusta. i Dirmos qu una unción tin un mínimo rlativo n l punto d abscisa a, cuando ista un ntorno d dico punto, n l cual la unción toma simpr valors mayors qu a. Por otra part, dirmos qu alcanza un mínimo absoluto n l punto d abscisa b, cuando b s l valor más pquño qu toma la unción n todo su dominio. ii Dmostrar qu, R, s como dmostrar qu, R. Considrmos la unción: a b X mínimos rlativos mínimo absoluto Es dcir, Esa unción, como pud vrs ácilmnt, cumpl lo siguint:.-.- > En todos los númros rals positivos distintos d Esto quir dcir qu la unción y, tin si considramos únicamnt los númros Rals positivos un mínimo absoluto n l punto,. Por consiguint,, R, qu s lo qu quríamos dmostrar. NOTA: con R rprsntamos los númros rals positivos sin incluir l cro, por supusto.- JUNIO 8 i Calcula para qué valor d α, la unción α cos tin un trmo n l punto d abscisa. D qué tipo d trmo s trata? ii Para l valor d α calculado, dtrmina los corts d la curva con los js y los dominios d monotonía i α cos α sn cos Para qu aya un trmo máimo o mínimo n l punto, a d anulars n él la primra drivada. Aora bin, n s punto, la primra drivada val: - α. Por tanto, a d sr - α α. Para sabr si s trata d un máimo o un mínimo, acudimos a la sgunda drivada. Como - >, podmos concluir qu: Cuando α, la unción tin un mínimo n l punto d abscisa. ii Cuando sa α, la unción srá: cos. Para ncontrar los puntos d cort con l j OY, acmos cos 8 Y

9 El punto d cort con st j, srá l, Para ncontrar los puntos d cort con l j OX, acmos y cos. Aora bin, sa cuación no tin solución pusto qu si la tuvira, dbría sr cos - s dcir, l cosno ngativo; lo cual obligaría al ángulo a star n l π sgundo cuadrant: > >, Pro si s mayor qu,57..., como l cosno d un ángulo nunca s mayor qu ni más pquño qu -, s imposibl qu cos valga cro. En conscuncia, no ay puntos d cort con l j OX. Para ncontrar los dominios d monotonía s dcir, aqullos intrvalos n los qu la unción simpr s crcint o simpr dcrcint, acudimos a la primra drivada y vmos cuándo s positiva o ngativa - sn. Si nos ijamos n las gráicas d las uncions y y sn, nos damos cunta d qu para los valors positivos d la, la primra stá por ncima d la sgunda y por tanto la dirncia ntr la primra y la sgunda srá simpr positiva. Sin mbargo n l smij ngativo, la primra stá por dbajo d la sgunda y por tanto, la dirncia s ngativa. En conscuncia: Para >, s positiva y para <, ngativa Por tanto, la unción cos s crcint n l intrvalo, y dcrcint n,. En l punto, tin un mínimo como ya dijimos n l primr apartado dl problma..- SEPTIEMBRE 8 i Rprsnta gráicamnt las uncions: y g ii Utiliza las gráicas antriors para obtnr las d las uncions: y g y g i La gráica d la unción polinómica d sgundo grado - srá, como bin sabmos, una parábola. Para rprsntarla, nos intrsa conocr su vértic y los puntos d cort con los js. Para calcular l vértic, qu srá un mínimo ya qu la parábola abr acia arriba por sr positivo l coicint d, drivamos igualamos a cro y rsolvmos la cuación qu rsulta: ; y como, l vértic stará n l punto V, Corts con l j OX: Hacmos y rsolvmos la cuación obtnida. - [, ]. Por tanto, la parábola corta al j d abscisas n los puntos:, y,. Corts con l j OY: acmos y rsulta. Lugo al j d ordnadas, lo corta n l punto,. La gráica d la unción, srá por tanto la qu podmos vr a la izquirda d la igura n la siguint página y ysn,,, V,- - g

10 si Por otra part, la unción g s la conocida unción valor absoluto: g si < Qu s una unción dinida n dos trozos y cuya gráica pud vrs n la igura. ii Para vr cómo s la gráica d la unción compusta y o g [o lo qu s igual y g basta vr cómo son las gráicas d las uncions y g y dars cunta d qu primro opra g y lugo. o - - -,-,- Dl mismo modo, para vr cómo s la gráica d la unción compusta y go [o lo qu s igual y g ] basta vr cómo son las gráicas d las uncions y g y dars cunta d qu primro opra y lugo g. NOTA: Aunqu l problma no nos lo pid, digamos qu dsd l punto d vista analítico, las uncions o g g son d la orma: go g g.- JUNIO Sa i Dtrmina los corts con los js. ii Calcula los dominios d monotonía. iii Analiza los máimos y mínimos. iv Calcula y v Esboza la gráica d la unción. i Sa y la unción. Cortará al j d abscisas, cuando y valga cro, pro so nunca pud ourrir, ya qu l numrador d la racción nunca val cro. Lugo no ay puntos d cort con l j OX. Para ncontrar los puntos d cort con l j d ordnadas, acmos y. Nustra unción corta al j OY, n l punto,. ii Pusto qu y l dnominador d la primra drivada d la unción, s simpr positivo por tanto, su signo, sólo dpnd dl numrador. En conscuncia:

11 y > < s crcint n R y < > s dcrcint n R iii y Habrá por tanto un máimo o mínimo, n l punto d abscisa. Como a la izquirda la unción s crcint y a la drca dcrcint, s trata d un máimo no ncsitamos aplicar l critrio d la sgunda drivada. Por tanto, ist un máimo n l punto, y no ay ningún otro máimo ni mínimo. iv Esos dos límits, son vidntmnt cro, pusto qu l numrador prmanc constant val, mintras qu l dnominador s ac tan grand como quramos. v Pusto qu l dnominador d la unción nunca s anula, Dom R. Los corts con los js, l máimo y los intrvalos d monotonía, los calculamos n apartados antriors. Por otra part, la unción s par, ya qu -. En l apartado antrior, qudó claro qu ay una asíntota orizontal s dcir, l j d abscisas. Y no ay ninguna asíntota vrtical, pusto qu al no anulars l dnominador, la unción nunca tndrá límit ininito. Solo qudan por conocr los puntos d inlión y los intrvalos d concavidad. 6 y ; y 6 ± Como l dnominador d y s simpr positivo, l signo d sa sgunda drivada dpnd sólo dl numrador. y > n los intrvalos :, y, s cóncava acia arriba n sos dos intrvalos. y < n l intrvalo :, s cóncava acia abajo n s intrvalo Habrá dos puntos d inlión n los puntos d abscisa ±, 58 s dcir, n los puntos:, y, La gráica d la unción, s la qu pud vrs n la igura. -,58,58.- SEPTIEMBRE Dtrmina las mdidas d los lados d un rctángulo d ára, d modo qu la suma d las longituds d trs d sus lados sa mínima. San "" "y", las mdidas dl rctángulo qu nos pidn. y y y Aora bin, como nos dicn qu la suma d las longituds d trs d sus lados db sr mínima, mos d ncontrar un mínimo para la unción S,y y si scogiéramos la unción S,y y, l rsultado sría l mismo. Pro la unción S,y y, tin dos variabls y sólo sabmos trabajar con uncions d una variabl. Pusto qu y, sustituyndo n S,y, obtnmos la unción d una variabl: para la cual dbmos ncontrar un mínimo:

12 ; Por tanto ± Evidnt mnt, un lado d un rctángulo no pud tnr una mdida ngativa, lugo la única solución para la s. Por tanto, y Las dimnsions dl rctángulo, dbn sr: y 5.- JUNIO Sa : R R vriicando qu: > R. i Analiza l crciminto d la unción g ii Tin algún trmo rlativo la unción?. Justiica las rspustas. i Drivamos la unción g, utilizando la Rgla d la Cadna, con l in d analizar sus intrvalos d monotonía: g. Como s simpr positiva y también, g s simpr positiva y por tanto g s simpr crcint. ii Aplicamos d nuvo la Rgla d la Cadna para drivar la unción :. Como la ponncial nunca s anula y s simpr positiva, no pud anulars nunca y por tanto, la unción no tin máimos ni mínimos

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16 .- JUNIO a Estudia la continuidad y drivabilidad d la unción: a 5 si 5 b si < b Dtrmina los valors d a y b para qu sa continua y drivabl n todo númro ral. a La unción s continua y drivabl a la izquirda y a la drca d, pusto qu n los dos casos s trata d uncions polinómicas. El problma, s prsnta únicamnt n l punto. Para studiar la continuidad, vamos los límits latrals d la unción n l punto: a 5 a 8 5 b 5 b La unción srá continua n, simpr qu a 8 5 b Para qu la unción sa drivabl n, a d sr continua y por tanto, a 8 5 b. Pro admás, las drivadas latrals dbn d coincidir: a 5 a 8 a 5 b 5 b 5 La unción srá drivabl n, cuando admás d sr a 8 5 b, sa también a5. b Por tanto, para qu la unción sa continua y drivabl: a 8 5 b a 5 b a.- SEPTIEMBRE Sa. S pid: a Dominio d d dinición. b Intrvalos d crciminto y dcrciminto. c Comprobar si la unción s continua n. d Calcular l límit d la unción cuando tind a -. a Tngamos n cunta qu: 6 6 Hay dos puntos n los qu no stá dinida: y -. Por tanto, Dom R {, } b Est apartado lo studiarmos n l próimo tma. c En, la unción no s continua pusto qu no stá dinida; no obstant, sí tin límit: 6 S trata por tanto d una discontinuidad vitabl. d vamos cómo son los límits latrals cuando tind a -. En l punto - no ay límit pusto qu los límits latrals son distintos. En s punto, ay una discontinuidad invitabl d salto ininito. NOTA: Obsrva qu la unción qu nos dan, s igual qu la unción g En todos los puntos salvo n, dond la primra no stá dinida y la sgunda toma l valor /. 6

17 .- JUNIO. Sa la unción y a Indica su dominio, intrvalos d crciminto y dcrciminto, puntos d inlión y asíntotas. b Raliza una rprsntación gráica d la misma. a y Dominio R tal qu >, ] y. Como l dnominador d la drivada primra s simpr positivo n l dominio d la unción, la drivada primra s ngativa n, ], lugo la unción s dcrcint n todo su dominio. 6 y y allmos los puntos d inlión: y 6 6 Como no s un punto dl dominio d la / unción, l único punto d inlión s P,,5,,5 La unción tndrá asíntotas vrticals, cuando y s aga ininito y so ocurrirá, cuando s anul l dnominador s dcir, n. s la asíntota vrtical. o Obsrva qu sólo podmos acr qu tinda a cro por la drca, pusto qu a la izquirda no stá dinida la unción. Como l domino d la unción s sólo l intrvalo, ], no tin sntido acr qu la variabl tinda a ininito y por tanto, no abrá asíntotas orizontals ni oblicuas. La gráica d la unción s la qu puds vr n la igura..- SEPTIEMBRE Dtrmina los puntos d la curva y qu stán a distancia mínima d,. La curva qu nos dan s la parábola d la igura, qu s corrspond con las gráicas d las uncions y, y una s la rama d arriba y otra la d abajo. Fijémonos primro n la d arriba. Los puntos d sa gráica son d la orma P,. S trata d ncontrar un mínimo para la unción: d P, A Como simpr, para allar l mínimo d sa unción tnmos qu ncontrar los puntos n los qu s anula la primra drivada. ;. 6 Por tanto, l punto qu stá a la distancia mínima d A, srá, P. La distancia d P a A, s actamnt d d P, A,6 u. Hacindo lo mismo para la rama d abajo, ncontramos otro punto Q, mínima. La distancia d P a Q como puds comprobar s la misma:, 6 u. P, A, y y, n l qu también la distancia s 7

18 . JUNIO Dadas las uncions, g y sn calcula los siguints límits: g a b c g [ ] a sn sn sn cos Aplicamos la Rgla d L Hôpital, Aunqu también podríamos abr considrado n l paso antrior, qu n l punto las uncions y sn son quivalnts, con lo qu:. sn b g g c [ ] sn sn Rcurda qu n l punto, las uncions y sn son quivalnts y por tanto, podmos sustituir una por la otra sin qu varí l valor dl límit. Así pus, dond ponía sn podmos ponr. Podíamos también abr rsulto la indtrminación dl paso aplicando la Rgla d L Hôpital así: sn sn cos cos sn. JUNIO Dibuja aproimadamnt la gráica d la unción calculando su dominio d dinición, sus asíntotas, sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, sus máimos y mínimos, sus intrvalos d concavidad y convidad y sus puntos d inlión. Pusto qu, Podmos scribir la unción d sta otra orma: Dom R { } Tin una asíntota vrtical: -, ya qu y Tin una asíntota orizontal: y ya qu y Para l studio qu armos a continuación d sus máimos y mínimos, sus intrvalos d concavidad y convidad y sus puntos d inlión, ncsitamos conocr la primra y sgunda drivadas. Si nos ijamos n la primra drivada nunca s anula y por tanto, la unción no tin máimos ni mínimos. Esa primra drivada simpr s positiva, así qu la unción simpr srá crcint. Fijémonos aora n la sgunda drivada. Nunca s anula tampoco, así qu no abrá puntos d inlión. Aora bin, sa sgunda drivada s unas vcs positiva y otras ngativa, dpndindo dl signo d. > < Es dcir : > < s cóncava acia abajo < > Es dcir : < > s cóncava acia arriba 8

19 Por tanto la unción s cóncava acia arriba n l intrvalo, y cóncava acia abajo n l intrvalo,. En l punto - cambia la concavidad, así qu podríamos pnsar qu s trata d un punto d inlión, pro rsulta qu n s punto no stá dinida la unción y por tanto, como ya dijimos, no tin puntos d inlión. La gráica d la unción s aproimadamnt la qu podmos vr n la igura 5. SEPTIEMBRE Sa la curva dscrita por la unción para valors d >. Calcula: a La rcta tangnt a la gráica n l punto P d la curva d abscisa. b El punto d cort ntr sa rcta tangnt y la asíntota orizontal a la curva. a El punto d abscisa, s l punto P, 7. La rcta t, tangnt a la gráica n s punto, tndrá por cuación: t y 7 m Como bin sabmos, la pndint m s la drivada d la unción n s punto. 5 5 Por tanto, la cuación d la tangnt qu nos pidn s: t y 7 5 o si s prir, t 5 y b Tnindo n cunta qu, la unción tin una asíntota orizontal qu s la rcta y. Para ncontrar l punto d cort d la asíntota con la tangnt dl apartado antrior, rsolvmos l sistma 5 y dtrminado por sus cuacions: El punto d cort s Q 6, y y 6. SEPTIEMBRE Con 6 cm. d alambr s construyn dos triángulos quilátros cuyos lados midn y. Qué valors d y acn qu la suma d las áras d los triángulos sa mínima? Vr apunts. Página 7, problma nº 5 y 7. JUNIO 5 S dispon d una tla mtálica d mtros d longitud para vallar una rgión como la d la igura. Cuáls son los valors d y qu acn qu l ára ncrrada sa máima? y Como s vidnt, y y. El ára d s rcinto, s la suma d las áras d un rctángulo y d un triángulo quilátro.

20 El ára dl rctángulo s: y. Para allar l ára dl triángulo quilátro d lado, mpzamos allando su altura.. Por tanto, l ára dl triángulo srá:. La unción a la qu ay qu calcular un máimo, 6 srá la siguint: Como simpr, allamos la drivada, igualamos a cro y rsolvmos la cuación.. 5 5, m. y,85 m. 6 y / 8. JUNIO 5. si < Sa la unción a a si a Dtrmina los valors d a qu acn continua la unción n. b Dtrmina los valors d a qu acn drivabl la unción n. a Para qu la unción sa continua n l punto, los límits latrals n s punto an d coincidir. [ ] s continua n para cualquir valor d a. [ a a] a a b Para qu sa drivabl n, las drivadas latrals n s punto an d coincidir. [ ] [ ] [ a a] [ a ] a s drivabl n si y sólo si: a a. JUNIO 5 sn Sa cos Calcula: a Su dominio d dinición. Sus máimos y mínimos n l intrvalo [, π ]. a Esa unción stará dinida simpr qu l dnominador no s anul. cos cos. Como l cosno d un ángulo nunca pud sr mayor qu, sa cuación no tin solución por tanto, Dom R. Para allar los posibls máimos y mínimos, vamos a la primra drivada y n qué puntos s anula: cos cos sn sn cos cos sn cos cos cos cos

21 Rcurda qu sn cos sn cos. Tnindo aora n cunta qu una racción s anula si y sólo si s anula l numrador, π / cos cos En l int rvalo [, π ] 5π / Para vr cuál s l máimo o l mínimo, acudimos a la drivada sgunda: sn cos cos sn cos sn cos sn cos cos cos sn sn cos cos π / < 5π / > π Habrá máimo n l punto / M, π /, / / 5π Y mínimo n l punto / N, 5π /, / /. SEPTIEMBRE 5 S dispon d una tla mtálica d m. d longitud para vallar una rgión rctangular. Cuáls son los valors d y, dimnsions dl rctángulo, qu acn qu l ára dl romboid ormado por la unión d los puntos mdios d los lados, sa máima? y Como bin sabmos, l ára dl rombo s calcula multiplicando las dos diagonals y dividindo l rsultado ntr dos n ralidad, l rombo pud dscomponrs n dos triángulos iguals, cada uno d los cuals tin como bas una d las diagonals y como altura la mitad d la otra. y En nustro caso pus, la unción qu dbmos optimizar s, y. Aora bin, sa unción tin dos variabls así qu vamos a ponr una n unción d la otra. Sabmos qu y y 5 y Por tanto, la unción a la qu mos d calcular un máimo s. Para llo, procdmos como simpr: drivamos igualamos la primra drivada a cro y El rctángulo, a d sr un cuadrado d lado 5 m.. SEPTIEMBRE 5 Dibuja aproimadamnt la gráica d la unción calculando su dominio d dinición, sus asíntotas, sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, sus máimos y mínimos, sus intrvalos d concavidad y convidad y sus puntos d inlión. S trata d una unción racional, lugo stará dinida n todos aqullos puntos n los qu l dnominador no s anul. Dom R {, }

22 Para studiar sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, analizarmos l signo d la primra drivada. Como podmos vr, sa primra drivada s ngativa para cualquir valor d. Por consiguint, la unción s dcrcint n todo su dominio d dinición, y no tndrá máimos ni mínimos. Para studiar la concavidad, analizarmos l signo d la sgunda drivada. Esa sgunda drivada, sólo s anula cuando s anul l numrador y so sólo ocurr cuando, ya qu la cuación no tin solucions rals. Por tanto, si ubis algún punto d inlión, staría n l,. Pro, como ya dijimos ants, analicmos l signo d sa sgunda drivada para studiar la concavidad. El signo d no dpnd para nada dl actor qu simpr s positivo, sino qu dpnd dl signo d y dl signo d. Rsolvr la incuación > s lo mismo qu rsolvr la incuación >. Prscindimos dl cubo, porqu y son positivos y ngativos n los mismos intrvalos. Habida cunta d qu los puntos críticos d sa incuación son los puntos -,, analizando l signo d n los intrvalos,,,,, y, concluimos qu s positiva o - - ngativa, n los siguints intrvalos: - En conscuncia, la unción s cóncava acia arriba n los intrvalos, y, y s cóncava acia abajo n, y,. La razón por la qu n los puntos - y, aunqu cambia la concavidad no ay punto d inlión, s muy sncilla: la unción no stá dinida n sos puntos. El único punto d inlión s l,. Para trminar l studio d la unción, vamos dónd tin asíntotas. Pud abr ASÍNTOTAS VERTICALES n aqullos puntos n los qu s anul l dnominador. s una asíntota vrtical s una asíntota vrtical Para vr si ay ASÍNTOTAS HORIZONTALES, calculamos los límits n ininito y mnos ininito. y s la síntota orizontal. No ay ASÍNTOTAS OBLICUAS, pusto qu

23 . JUNIO 6 El triángulo isóscls dscrito n la igura, mid cm. d bas y cm. d altura. a Cuál s la cuación d la rcta r sñalada n la igura, qu contin l lado dl triángulo? b Dado l rctángulo inscrito cuya bas mid a, calcula las coordnadas d los puntos B y C n unción d a. c Halla l valor d a qu ac máima l ára dl rctángulo., a La rcta r, pasa por los puntos A, y D 5, a/ Su pndint s m y su cuación y 5 a a b Las coordnadas dl punto B, son: 5,, El punto C stá n la rcta r, cuya cuación conocmos dl apartado antrior. Por tanto, las coordnadas d C son: a a a,, a c El ára dl rctángulo, vin dada n unción d a dl siguint modo: a a a a a. Para allar un máimo d sa unción, drivamos igualamos a cro la drivada: a a a a a ; a a a 5 Está claro qu s trata d un máimo, pusto qu la drivada sgunda n s punto s ngativa: si. JUNIO 6.- Sa la unción si < a cos si > a Estudia su continuidad n toda la rcta ral n unción d a. b Estudia su drivabilidad n toda la rcta ral n unción d a. c Para a, az un dibujo aproimado d su gráica. a La unción s continua n toda la Rcta Ral, salvo quizá n los puntos d abscisa - y. Estudimos la continuidad n sos dos puntos: 8 Para - : s continua n -. Para : [ s continua n a ] a cos a b La unción s drivabl n cada trozo y aí, sabmos cuál s su drivada. El problma, como n l antrior apartado, s planta n los puntos d abscisa - y. [ 6] 6 s drivabl n - [ a sn] no s drivabl n, indpndintmnt dl valor qu tom a. C B r D 5,,

24 c La gráica aproimada d la unción para a, s la d la igura π/ π / 5π / -. SEPTIEMBRE 6 Un campo tin orma d trapcio rctángulo. Las bass, mnor y mayor, midn m y m. rspctivamnt. S orman n l trapcio dos campos rctangulars C y C. Situando l campo n l orign d coordnadas como pud vrs n la igura, calcula: a La cuación d la rcta r qu contin l lado inclinado dl trapcio. b El ára d los campos C y C n unción d la ancura dl sgundo. c S quir smbrar maíz n l campo C y trigo n l campo C. El bnicio dl maíz s d, uros por m y l dl trigo d uro. Cuáls son las dimnsions d los campos qu acn máimo l bnicio? a La rcta r pasa por los puntos A, y B, por tanto, su vctor dirctor s AB r 6, 5 y su pndint m. 6 La cuación d la rcta, srá: r 5 y r 5 y b El punto C, y stá n la rcta r, por tanto sus coordnadas an d vriicar la cuación obtnida n - 5 l apartado antrior: 5 y y Por tanto: - 5 Las dimnsions dl campo C son: d largo, por d anco Y su ára: A Las dimnsions dl campo C son: d largo, por y d anco. Pro como y, l anco srá: - y El ára dl campo C s: A 6 c La unción qu nos da los bnicios, vndrá dada n unción d : 5, 6 8 Nos pidn qu ncontrmos un máimo para sa unción. Procdmos como simpr, drivando igualando a cro la primra drivada Es vidnt qu s trata d un máimo, pusto qu la sgunda drivada s ngativa -6. Las dimnsions qu acn máimo l bnicio son: C 5 y C : 5., : C C B -y C, y y r A

25 5. SEPTIEMBRE 6 a cos Calcula: a b sn cos sn cos a sn sn cos 5 cos sn Por tratars d una indtrminación dl tipo, aplicamos la Rgla d L Hôpital, pusto qu s cumpln las condicions. Volvmos a aplicar la Rgla d L Hôpital, por la misma razón d ants. b S trata d una indtrminación dl tipo y sabmos qu: a 6. JUNIO 7 [ ] y g g a vr apunts, página a a a Calcula: b 8 S trata d una indtrminación dl tipo. Multiplicamos y dividimos por l conjugado dl numrador. 8 b L L S trata d una indtrminación dl tipo. Aplicamos la Rgla d L Hôpital. No olvids qu para dividir potncias d la misma bas s rstan los ponnts º d ESO. 7. JUNIO 7 Un río dscrib la curva y con [,]. En l punto A, ay un publo. a Eprsa la unción distancia ntr un punto cualquira dl río y l publo, n unción d la abscisa. b Cuáls son los puntos d s tramo dl río qu stán más aljados y más crcanos al publo? Sugrncia: Estudia los máimos y mínimos dl cuadrado d la unción allada n l apartado antrior c Hay algún punto dl río qu sté a una distancia mnor qu dl publo?,. a Sa P un punto cualquira d la parábola, n l intrvalo [ ] Las coordnadas d P son:, La unción qu nos pidn, s: d A, P 6 6 A,, y -,,

26 6 b Como bin nos indica l problma, studiamos los máimos y mínimos n la drivada dl cuadrado d la unción antrior: Para vr cuáls son máimos o mínimos, sustituimos n la drivada sgunda y nos ijamos n l signo. El primro s ngativo, y los otros dos positivos. Por tanto: Los puntos dl río más crcamos al publo son,, P y P,y l más aljado, O, c Ningún punto dl río pud star a una distancia mnor d dl publo, porqu los puntos más crcanos qu allamos n l antrior apartado, stán a una distancia mayor d 8 8, > P A d 8. SEPTIEMBRE 7 Dada la unción d c b a dtrmina las constants a, b, c, d d manra qu simultánamnt : a Su gráica pas por l orign d coordnadas y por l punto,. b La unción tnga un punto d inlión n. c La unción tnga un mínimo n. Impongamos las condicions dl nunciado dl problma: 8 8 d c b a c a c a c b a b b d c b a d. SEPTIEMBRE 7 Dada la unción a Calcula los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la unción. b Halla, si istn, los máimos, mínimos y puntos d inlión. c Dibuja aproimadamnt su gráica. Pusto qu abrá qu tratar dl crciminto y la concavidad d una unción, d sus máimos, mínimos y puntos d inlión, ants d mpzar l jrcicio vamos a ncontrar d la orma más simpliicada posibl, su primra y sgunda drivadas. 8 Y aora, vamos a ijarnos n un par d dtalls. En primr lugar, no olvidmos qu para sabr dónd s crcint o dcrcint una unción, lo único qu nos intrsa s l signo d la primra drivada y para sabr dónd s cóncava o conva, l signo d la sgunda. Por otra part, para sabr dónd ay máimos o mínimos, nos intrsa sabr dónd s anula la primra drivada lo cual no quir dcir qu aí los aya sguro y para sabr dónd ay puntos d inlión, dónd s anula la sgunda drivada lo cual no quir dcir qu podamos asgurar qu ay punto d inlión.

27 En dinitiva, qu tanto d la primra como d la sgunda drivadas, lo único qu nos intrsa s sabr su signo y los puntos n los qu s anulan Y l otro dtall, s st: s positivo para cualquir valor qu l dmos a la variabl Y n ningún caso pud valr cro!. también s positivo para cualquir valor qu l dmos a la variabl, pro val cro para. Empcmos pus con l problma. a Estudimos l signo d la primra drivada. > < > < > < 7 > >, < <,, Por tanto: la unción s crcint n l intrvalo, y dcrcint n, U, b D lo dico n l apartado antrior, podmos concluir qu sa unción tin,,,6 N,, máimo n l punto M y mínimo n Para vr si tin puntos d inlión, analicmos la concavidad d la gráica d sa unción. Como ya dijimos, la concavidad s studia analizando l signo d la sgunda drivada: > < 8 8 > < 8 > 8 < Por tanto, La unción s cóncava acia arriba n 6, 8 > 6 >, 6, 8 < 6 <,, y cóncava acia abajo n,6 Y pusto qu stá dinida n los puntos d abscisa y 6, no l quda más rmdio qu tnr dos P,,,6 y Q 6, 6 6,, puntos d inlión: c Para Dibujar su gráica, obsrvmos qu cuando la variabl s ac muy grand, La unción s ac muy pquña: En todos los casos aplicamos la Rgla d L Hôpital para rsolvr la indtrminación / Eso quir dcir, qu l a rcta y s dcir, l j d abscisas, s una asíntota orizontal d la unción. Cuando tind a mnos ininito no ay asíntota, porqu Y tampoco mos d buscarl asíntotas vrticals a sa unción, porqu n la prsión ya mos dico qu l dnominador no s anula para ningún valor d. La gráica s la qu puds vr n la igura.. JUNIO 8 S dispon d m. d tla mtálica, y s dsa vallar un rcinto ormado por un rctángulo y dos smicírculos como indica la igura. Dtrmina las dimnsions d y para qu l ára ncrrada sa máima. π El ára dl rcinto, vndrá dada n unción d y: Ára y π y * Como ay dos variabls, pongamos una n unción d la otra utilizando l dato qu nos da l problma. π El prímtro dl rcinto mid m y por tanto: y π y Llvando l rsultado antrior a * obtnmos la unción qu dbmos optimizar. y 6

28 π π π Para ncontrar l máimo d sa unción, drivamos igualamos a cro la drivada como simpr. π π π π y π π En conscuncia, sa igura tndrá ára máima cuando sa un círculo d diámtro m. π si <. JUNIO 8. S considra la unción si a Dtrmina su dominio d dinición, studia su continuidad y alla las asíntotas. b Esboza una gráica d la unción. c Halla los puntos dond la rcta tangnt s paralla a la rcta r y a Esa unción no stá dinida cuando l dnominador s anul y admás, n s punto abrá asíntota vrtical porqu la unción tndrá límit ininito pusto qu l numrador s distinto d cro. Por otra part, únicamnt tndrá problmas d continuidad n porqu no stá dinida y tin límit ininito y n qu s dond s juntan los dos trozos d la unción. En dinitiva: Dom R { } n ay una discontinuidad d salto ininito s continua n La unción s continua n toda la rcta ral, salvo n l punto dond prsnta una discontinuidad d salto ininito. Hay una asíntota vrtical, qu s la rcta b Pud vrs la gráica d la unción n la igura. c La rcta y tin pndint m. La unción qu nos dan, sólo tin pndint ngativa para < s dcir, dond. S trata d ncontrar los puntos n los qu. Tnindo n cunta qu. Como stamos n l trozo d unción para l qu <, l punto qu buscamos s P, -. SEPTIEMBRE 8 S dispon d una capa d acro qu pud rprsntars por la rgión dl plano dtrminada por la parábola y y la rcta y. a Rprsnta gráicamnt la capa. b Dtrmina las dimnsions dl rctángulo d ára máima qu s pud obtnr a partir d dica capa con la condición d qu uno d los lados sté n la rcta y. 8

29 y P, y FIGURA FIGURA a Vr igura. b Supongamos qu l rctángulo pdido, sa l sombrado n la igura, obtnido a partir dl punto P, d la parábola. La unción qu nos da l ára bas por altura d s rctángulo, srá la siguint: 6 S trata d allar un máimo para sa unción. Como d costumbr, drivamos igualamos a cro la drivada. 6 6 ± Por tanto, las dimnsions dl rctángulo qu nos pidn srán. S trata d un cuadrado d ára u.. SEPTIEMBRE 8. a - Halla los siguints límits: a * b b * - * S trata d indtrminacions dl tipo. Aplicamos la Rgla d L Hôpital.. JUNIO. S dsa construir un prisma rcto d bas cuadrada cuya ára sa d 6 m. Dtrmina las dimnsions dl lado d la bas y la altura, para qu l volumn sa máimo. Llammos al lado d la bas y a la altura dl prisma. La unción qu nos da l volumn dl prisma, y a la qu ay qu allar un máimo, dpnd d dos variabls:, y y Vr la igura n página siguint Para ponr una variabl n unción d la otra, utilizamos l dato dl problma: y 6 y 6 y Sustituimos aora s valor d y n, y y obtnmos la unción qu dbmos optimizar: y 6 Dsprciamos la solución, porqu no tin sntido qu la longitud d una arista sa ngativa. Por tanto: l prisma d mayor volumn con los datos dl problma, s un cubo d arista m.

30 JUNIO. Sa a Dtrmina l dominio d dinición, los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos y puntos d inlión. b Halla las asíntotas y rprsnta aproimadamnt la gráica d la unción. Hagamos un studio analítico d la unción. Dom R { } Hallmos su primra y sgunda drivadas para studiar su crciminto y concavidad Vamos dónd tin los máimos y mínimos, y cuáls son sus intrvalos d crciminto. > ay mínimo n l punto, 6 8 < ay máimo n l punto, La unción crc n los intrvalos, y, y d crc n, y, n no stá dinida Si miramos la sgunda drivada, podmos darnos cunta d qu nunca s anula. Sin mbargo, su signo cambia s dcir, qu la unción cambia d concavidad. El signo d dpnd clusivamnt dl signo d - > > ; s cóncava n, Por tanto: < < ; s conva n, El punto n l qu cambia la concavidad, s. No s un punto d inlión porqu como ya dijimos, n s punto no stá dinida la unción. 5 7 tin una asíntota vrtical vidnt, la rcta, pusto qu No tin asíntotas orizontals, porqu 5 7 Pro sí tin un asíntota oblicua y m n. cuyos coicints m y n allamos a continuación. 5 7 m la asíntota oblicua s y n [ m] La gráica d la unción puds vrla a continuación n la igura.

31 6. SEPTIEMBRE. a 6 si Dado a R, s considra la unción si Dtrmina los valors d a para los qu la unción s continua. < Para qu sa continua n, qu s l único punto n l qu pudira sr discontinua, los límits latrals dbrían sr iguals iguals a 8, qu s l valor qu la unción para. Ha d cumplirs qu: 8 Aora bin: 8 Sin mbargo, l límit por la izquirda no lo sabmos porqu dpnd dl valor qu tom a. a 6 Dbmos allar a para qu 8 Cuando tind a, l dnominador d sa unción tind a cro. Si l numrador no tndis a cro, l límit sría ininito o mnos ininito pro nunca podría sr 8. Por tanto, l numrador stá obligado a valr cro para a 6 8 a 6 6 indt. a 8 Para s valor d a, la unción s continua. a. En dinitiva: 6 7. SEPTIEMBRE. S considra la unción a Estudia su dominio d dinición y alla la cuación d sus asíntotas. b Estudia los intrvalos d crciminto, dcrciminto, concavidad y convidad. c Halla los máimos, mínimos y puntos d inlión. d Esboza la gráica d la unción. a Dom R { } Asíntotas vrticals: s asíntota vrtical Horizontals: y s asíntota orizontal Oblicuas: no ay asíntota oblicua b c 6 Crciminto: El signo d dpnd d,, s crcint n, y dcrcint n - -

32 Máimos y mínimos: En cambia la unción d dcrcint a crcint, pro como no stá dinida n s punto, no ay mínimo. Sin mbargo, n l punto M, la unción stá dinida y s crcint a la izquirda y dcrcint a la drca, así qu tin máimo. Concavidad - 6 EL signo d dpnd sólo d La unción s cóncava acia arriba n, y cóncava acia abajo n, Por tanto, y como para la unción stá dinida, abrá punto d inlión n P, d La gráica d la unción pud vrs n la igura 8. JUNIO a b si < S considra la siguint unción 5sn cos si a Dtrmina l valor d b para qu la unción sa continua n l punto. b Calcula l valor d a y b para qu la unción sa drivabl n l punto. a s continua n a b 5sn cos b b Para qu sa drivabl n a d sr por lo mnos, continua, por tanto: b -. Pro admás, sus drivadas latrals an d sr iguals: a b 5sn cos a 5cos sn a 5. Así qu: s drivabl n a 5 y b. JUNIO. S considra la unción y a Dtrmina sus asíntotas. b Halla, si istn, sus máimos, mínimos y puntos d inlión. c Dibuja aproimadamnt su gráica. a En - s anula l dnominador, y los límits latrals son: Por tanto: Hay asíntota vrtical: -. No ay asíntotas orizontals, ya qu y m Vamos si ay asíntota oblicua y m n: n y m La asíntota oblicua, s la rcta y

33 b Para allar los máimos y mínimos, vamos n qué puntos s anula la primra drivada. ; Analicmos l signo d la primra drivada, qu nos indicará los intrvalos d crciminto abrá máimo n P-, - y mínimo n Q, c La gráica d la unción s la qu puds vr n la igura. 5. JUNIO La ipotnusa d un triángulo rctángulo mid cm. Halla las dimnsions d los cattos d orma qu l ára dl triángulo sa máima. Los cattos mdirán y; aora bin: y. La unción, a la qu dbmos allar un máimo, s la qu da l ára dl triángulo: ; 5 y 5 Dsprciamos la solución ngativa porqu no tin sntido Para qu l ára dl triángulo sa máima, los cattos an d sr iguals y mdir 5 5 u. cada uno. ln si > 5. JUNIO. S considra la unción a b c si Dtrmina los valors d a, b y c para qu la unción sa continua, tnga un máimo n - y la tangnt n - sa paralla a la rcta y Nota: ln dnota l logaritmo npriano d Para qu sa continua: L a b c c L L Aplicamos la Rgla d L Hôpital, pusto qu s trata d una indtrminación dl tipo. Para qu tnga un máimo n -: a b a b Y para qu la tangnt n - sa paralla a la rcta y, a d tnr d pndint : a b a b Rsolvmos aora l sistma qu acabamos d obtnr imponindo las condicions qu l problma nos da:

34 c a b a b a b c 5. SEPTIEMBRE. Dada la unción y 5 a Calcula los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la unción. b Halla, si istn, sus máimos, mínimos y puntos d inlión. c Dibuja aproimadamnt su gráica. a Para studiar l crciminto d la unción, vamos l signo d su drivada y Como sabmos, s positivo para cualquir valor qu tom. Por tanto, l signo d la drivada dpnd únicamnt d Signo d y : Crciminto d y: La unción s dcrcint n l intrvalo, y crcint n, b Hay mínimo n l punto 5 P,,,68, ya qu la unción s a la izquirda dcrcint y a la drca crcint. Para vr si ay puntos d inlión, analicmos l signo d la sgunda drivada para ncontrar los intrvalos d concavidad. y s positivo para cualquir valor qu tom. Por tanto, l signo d y dpnd únicamnt d Signo d y : Concavidad d y: La unción s conva n l intrvalo, y cóncava n, Por consiguint, prsnta n Q,,,5 un punto d inlión convo cóncavo. c La unción pasa por l punto, obviamnt, y ya qu n los apartados antriors ncontramos l mínimo y l punto d inlión, para dibujarla mos d darnos cunta d qu no tin asíntotas vrticals ni oblicuas, pro sí 5 No ay asíntota cuando una asíntota orizontal : 5 cuando la asíntota sl j d abscisas y La gráica d la unción s la siguint: si < 5. SEPTIEMBRE. S considra la unción k si a Dtrmina l valor d k para qu la unción sa continua n l intrvalo [, ] b Suponindo qu k, alla la cuación d la rcta tangnt n l punto d abscisa.

35 5 a La unción s, a la izquirda dl una unción linal, y a la drca una ponncial; por tanto, s continua para cualquir valor qu tom la variabl, salvo quizás para. Si qurmos qu n s punto sa continua, dbmos asgurarnos d qu los límits latrals son iguals: ± k k k k k b Si k, > < < si si si si Por tanto, la cuación d la rcta tangnt n l punto d abscisa, srá: y t 5. SEPTIEMBRE. Calcula S trata d una indtrminación dl tipo y sabmos qu si y g son dos uncions tals qu g y a a ntoncs: [ ] [ ] g g a a Aplicando la Rgla d L Hopital, Otra orma d acrlo: 55. SEPTIEMBRE. Sabindo qu > si si a Estudia su continuidad n l punto b Usando la dinición d drivada calcula, si ist, la drivada d la unción n a Como, podmos concluir qu s continua n. b Para vr si s drivabl n s punto, vamos si las drivadas latrals son iguals o no. Las drivadas latrals son iguals, lugo la unción s drivabl n, y

36 cos 56. SEPTIEMBRE. Calcula π cos cos π π cos cos cos cos π cos 6 π S trata d una indtrminación dl tipo y sabmos qu si y g son dos uncions tals qu g g [ ] a y g ntoncs: [ ] a a a Otra orma d acrlo: Llammos A al límit qu nos pidn, qu como ya mos dico, s una indtrminación ponncial dl tipo. Como no sabmos rsolvrla, intntmos transormar sa potncia n un producto utilizando logaritmos: A π π cos cos cos cos LA L cos L cos L cos cos L π cos π π sn cos π sn π cos Y aora qu ya sabmos lo qu val LA, podmos allar A: π cos cos LA A cos Aplicamos la Rgla d L Hôpital 57. JUNIO S dsa disñar un libro d orma qu cada página tnga 6 cm d suprici. Sabindo qu los márgns suprior inrior son d cm. cada uno y los latrals d cm. calcula las dimnsions d cada página para qu la suprici imprsa sa máima. Si llamamos y a las dimnsions d la página, - y-8 son las dimnsions dl tto imprso. 6 Sabmos qu: y 6 y Qurmos optimizar la unción qu nos da la suprici dl tto scrito:, y y 8 Ponmos la variabl y n unción d, y sta srá la unción para la qu dbmos ncontrar un máimo: Como simpr, allamos la drivada, igualamos a cro y rsolvmos la cuación. 8 6 ; 8 7, y,6 8 7, Hmos tomado la raíz positiva, porqu la raíz ngativa qu corrspondría a un mínimo no tin ningún sntido n l contto dl problma. Por tanto, las dimnsions d la página an d sr: 7,,6 cm. 58. JUNIO si < Sa : R R la unción dinida por: m n si < si a Calcula m y n para qu sa continua n todo su dominio. b Para sos valors allados, calcula l ára dl rcinto itado por la gráica d y la rcta y

37 7 y a Los únicos puntos n los qu pud sr continua son: y. Impongamos las condicions qu an d cumplirs para qu sa continua n sos dos puntos. n n m m m n m 5. JUNIO Calcula: tg b a a 7 5 b S trata d una indtrminación dl tipo, así qu tomamos logaritmos. Llammos A al límit qu nos pidn. cos cot sn sn sn g L L tg L L tg L tg L L LA A tg tg tg Por tanto: A LA tg Indtrminación dl tipo / qu rsolvmos aplicando la Rgla d L Hôpital. Indtrminación dl tipo / qu rsolvmos aplicando la Rgla d L Hôpital. 6. JUNIO Una vntana rctangular tin un prímtro d m. Calcula las mdidas d los lados dl rctángulo para qu l ára d la vntana sa máima. San y las dimnsions anco y alto d la vntana. y y y 6 6 La unción para la qu dbmos ncontrar un máimo s la qu da la suprici d la vntana: y Aora bin, sabmos qu y 6 por tanto la unción srá: 6 6 Como simpr, para allar l trmo d una unción, drivamos, igualamos a cro y rsolvmos la cuación y Por tanto, si qurmos qu la vntana tnga l máimo d luz, a d sr cuadrada y d dimnsions. m 6. JUNIO. S considra la unción < 7 si b a si a Dtrmina los valors d a y b para qu la unción sa drivabl n todo su dominio.

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