1. Sucesiones y series numéricas

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1 ITINFORMÁTICA GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS CÁLCULO INFINITESIMAL CURSO 00- Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3, 3 4, 3 4 5, c),, 6, 4, 0, d), 3, 3 5, 3 5 7, e), 4, 6, 8, 0, f),,,,,,, Determiar la covergecia o divergecia de la sucesió cuyo térmio -ésimo se da E caso de covergecia, determiar el límite a = 3/ a = c) a = d) a = l( ) e) a = cos π f) a =! g) a = p, (p > 0) e h) a = + i) a = j) a = E el estudio de la procreació de coejos, Fiboacci (hacia 75-50) ecotró la hoy famosa sucesió que lleva su ombre, defiida por recurrecia como Escribir sus primeros térmios a + = a + a +, a =, a = Escribir los 0 primeros térmios de la sucesió defiida por b = a + a, para

2 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00- c) Usado la defiició del apartado aterior, probar que b = + b d) Si lim b = α usar los apartados ateriores para verificar que α = + α Resolver esta ecuació e α (α se cooce como la secció áure 4 Si (a ) es ua sucesió de úmeros reales que tiee límite, lim a = l (fiito o ifiito) Probar que lim a + a + + a = l Hallar el valor del siguiete límite: lim l( 3 3 ) 5 Si (a ) es ua sucesió de úmeros reales que tiee límite, lim a = l (fiito o ifiito) Probar que lim a a a = l (se supoe a > 0) Hallar el valor del siguiete límite: lim! 6 Verificar que la serie dada es divergete c) d) e) =0 + ( ) (, 055) =0 + +! 7 Comprobar que las series siguietes so covergetes y calcular su suma c) d) e) f) g) (0, 9) =0 ( ) (Usar fraccioes simples) ( + ) 4 ( + ) ( + )( + 3) ( ) 3 ( ) + 4

3 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-3 h) Expresar cada decimal periódico como ua serie geométrica y escribir su suma e forma de cociete de dos úmeros eteros 0, , 55 9 Hallar dos series divergete a y b tales que (a + b ) sea covergete Si a coverge y b diverge, demostrar que (a + b ) diverge 0 Usar el criterio de comparació directa para saber si la serie coverge o o c) d) e) f) =0 = = l +! e =0 4 3 Usar el criterio de comparació e el límite para determiar si la serie es covergete o divergete c) d) e) = ( + ) k k +, k > ( ) tg Usar el criterio de comparació e el límite co la serie armóica para demostrar que la serie a (co a 0) diverge si lim a 0 Probar que la serie se( ) diverge Ayuda: Usa el apartado aterior

4 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso Probar que si P () y Q() so poliomios de grados respectivos j y k, la serie coverge si j < k y diverge si j k P () Q() 4 Aalizar si la serie dada es covergete o divergete, usado el criterio de series alteradas c) d) e) f) ( ) + se ( ) + ( ) + l( + ) + ( + )π ( ) ()! ( ) + e e 5 Determiar si la serie dada es codicioal o absolutamete covergete c) d) e) f) = = ( ) + ( + ) ( ) + + ( ) l ( ) 3 cos se[( )π/] 6 Demostrar que la serie armóica alterada geeralizada ( ) ( ) p coverge si p > 0 7 Probar que si a coverge, etoces a coverge Utiliza la serie ( ) 3/4 recíproco o es cierto para probar que el

5 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso Idetificar de qué tipo de serie se trata y, aplicado el criterio adecuado, determiar si la serie dada es covergete o divergete c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ) 3 ( ) + ( ) + ( + ) ( + ) ( ) 3 3 +! 3! 3 ( + ) ( ) +! 3 5 ( + ) e =0 ( ) 3! =0 cos ( 3) ( + ) a(a + )(a + ) (a + + ), a, b > 0 b(b + )(b + ) (b + + ) 9 Estudiar la covergecia de la serie siguiete y, e caso de ser covergete, aproximar su suma co u error meor que ϵ c) d) =0 ( ) + 3 co ϵ = 000 ( ) co ϵ = 000! co ϵ = 0 co ϵ = 000 5

6 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-6 e) 3! co ϵ = 00 0 Calcular el siguiete límite: lim Aproximar la suma de la serie covergete co u error meor que 000 ( + )3 Calcular el siguiete límite e fució del parámetro a : lim a, a 0 Aproximar la suma de la serie covergete co u error meor que 00! Determiar si la serie =0 fució del parámetro a Aproximar la suma de la serie covergete a!, a > 0 es covergete o divergete e ( + )( + ) ( + + ) ( ) + 4 co u error meor que 00

7 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-7 Series de potecias 3 Obteer el campo de covergecia de las series de potecias siguietes: ( 3) x + (x + 3) Desarrollar e serie de potecias las siguietes fucioes, calculado el radio y el itervalo de covergecia, e idicar dóde el valor de la fució coicide co el de la serie f(x) = ( + e x ) f(x) = ( + x)e +x c) f(x) = Ch x d) f(x) = Ch x e) f(x) = g) f(x) = x + 3x 4 h) f(x) = x0 x ( x ) x f) f(x) = xe x i) f(x) = 4x 3 + x 5 Usado la derivació y la itegració térmio a térmio, desarrollar e serie de potecias las siguietes fucioes, justificado lo que se haga: f(x) = arcse x f(x) = arctg x c) f(x) = l + x x d) f(x) = arctg x x 6 Utilizado los desarrollos e serie de potecias, calcular las itegrales siguietes, co la cota de error ε que se idica e cada caso: 0 se x x, ε < x e x, ε < 0 3 c) 0 e x, ε < Sumar las siguietes series: =0 3 5 ( ) 4 6 () + usado el desarrollo de arcse x ( + ) usado el desarrollo de f(x) = x ( + x) + x 8 Dada la serie de potecias ( ), hallar su campo de covergecia, así como el valor de la suma de la serie e los extremos e que coverja 9 Desarrollar e serie de potecias y calcular el campo de covergecia de las fucioes: f(x) = arctg x + x f(x) = x l + x x + arctg x

8 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso Hallar los campos de covergecia y las sumas de las series siguietes: + x 4 + x4 6 + x6 x3 + x x x Desarrollar e serie de potecias la fució f(x) = ( + x) l ( + x) x hallado su campo de covergecia A partir del desarrollo aterior, justificar la covergecia y calcular la suma de la serie umérica siguiete: ( ) 3 ( + )( + ) 3 Sea (a ) la sucesió de térmio geeral a = 0 l( + ) Probar que la serie a diverge Qué carácter tiee la serie Hallar los campos de covergecia de las series de potecias: ( ) a? a x y ( 3) a x c) Estudiar el carácter de la serie e fució de f(x) = a x y, si es posible, expresar el valor de su suma l( + ) 33 Hallar el campo de covergecia y la suma de la serie de potecias: Calcular la suma de la serie S (x) = c) Ecotrar el valor de: S (x) = + x + x 3 + x S = x Desarrollar e serie de potecias la fució f(x) = arctg + x, idicado dóde hay covergecia x putual Utilizado el desarrollo aterior, sumar la serie Dada la serie de potecias: se pide: S(x) = x + x3 3 + x

9 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-9 Estudiar la covergecia putual Hallar la suma S, cuado sea posible c) Es covergete la serie ? E caso afirmativo, hallar su suma Dada la serie de potecias: se pide: x3 4 + x7 8 x + Calcular el radio de covergecia y el valor de la suma de la serie Idicar dóde hay covergecia putual c) Estudiar el carácter de las series S = S = y calcular su suma e caso de ser covergetes 37 Calcular los desarrollos e series eteras de McLauri de Sh x y de Ch x a partir del desarrollo de e x Calcular sus radios de covergecia Probar que la serie es covergete y calcular su suma probado que puede ()! ()! A escribirse como ()! + B ( )! + C ( )! Ayuda: Recordar que Sh x = ex e x y Ch x = ex + e x 38 Estudiar la covergecia putual de la serie de fucioes: y sumarla cuado sea posible x + x + 3 x x + Utilizar el resultado obteido para estudiar la covergecia y, e su caso, hallar la suma de la serie: 39 Probar que la serie ( ) 0 3 ( ) x+ + coverge e [, ] Obteer la fució suma a la que coverge, dode sea posible Como aplicació de lo aterior, obteer la suma de la serie umérica 0 ( ) + 40 Sea la serie de potecias S(x) = x

10 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-0 Calcular el campo de covergecia de S(x) x Comprobar que su suma es S(x) = e el itervalo de covergecia ( x) ( Ayuda: Usar el desarrollo x = x válido para x ), y derivar =0 4 Sea la serie de potecias T (x) = a x, cuyos coeficietes verifica la recurrecia =0 a 4a + 4a = 0, a = a 0 = 0 Deducir que ( x) T (x) = x para cualquier x e el campo de covergecia de T (x) Calcular la fució suma de la serie de potecias T (x) c) Determiar la fórmula geeral del térmio a 4 Sea la serie de potecias S(x) = a x tal que =0 Calcular su radio y campo de covergecia a = ( ) ( + ) Calcular λ y µ que hace que los coeficietes a verifique la siguiete idetidad a + λa + µa = 0 siedo c) Cosiderar la serie de potecias que resulta del producto S(x)( + x + x ) y comprobar que es u poliomio de primer grado d) Deducir la expresió de la suma de la serie S(x) e el campo de covergecia Calcular la suma de la serie umérica ( ) + =0

11 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-3 Series de Fourier 43 Obteer la serie de Fourier de las siguietes fucioes, e los itervalos que se idica: 0 si π x < 0 f(x) = x, π x π f(x) = π si 0 x π c) f(x) = π si π x < 0 π si 0 x π d) f(x) = π x si π x < 0 π x si 0 x π 0 si π x < 0 e) f(x) = se x si 0 x π f) f(x) = x, π x π 44 Hallar la serie de Fourier de tipo coseo de f defiida e [0, ], por f(x) = x x si π x < 0 45 Obteer la serie de Fourier de f(x) = x si 0 x < π Calcular a partir de dicho desarrollo, ( ) y 46 Obteer los desarrollos e serie de Fourier de f(x) = x e (0, π), e seos e (0, π), e coseos 47 Desarrollar la fució f(x) = cos x e serie de Fourier de seos e el itervalo (0, π) 0 si L x < L 48 Desarrollar e serie de Fourier f(x) = si L x < L Obteer como cosecuecia que, π 4 = 0 ( ) + 49 Sea la fució π-periódica defiida por x + π π x < 0 f(x) = π x 0 x < π Probar que es ua fució par y obteer su serie de Fourier Estudiar la covergecia de la serie y probar la igualdad π 8 = { 0 x 50 Sea la fució f(x) = < x < 0, extedida por periodicidad a todo IR

12 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00- Hallar la serie de Fourier de esta fució y comprobar que f(x) satisface las codicioes de Dirichlet Haciedo uso de la serie de Fourier aterior, calcular la suma de la serie umérica ( ) + 4 ( )π 5 Sea S(f)(x) = 3 + pide: Calcular π π f(x)dx! cos x + b se x, el desarrollo e serie de Fourier de ua fució f(x) Se Sabiedo que f es cotiua e π, calcular el valor umérico de f(π) Si g : [ π, π) R es ua fució satisfaciedo las codicioes de Dirichlet etoces se tiee que: π g(x) dx = a 0 π π + a + b, () dode a 0, y a, b co so los coeficietes de Fourier de g { si π < x < 0 c) Calcular la serie de Fourier de g(x) = si 0 < x < π d) Calcular la suma exacta de usado la igualdad () ( ) 5 Suma la serie =0 ( ) + usado el desarrollo de f(x) = + x Partiedo del desarrollo e serie de Fourier de f(x) = x e [ π, π], obteer: y ( ) 53 Suma la serie Demostrar que π x = usado la serie x se(x), para 0 < x < π 54 Suma la serie =0 ( ) ( + )( 3) + usado el desarrollo de f(x) = + x Obteer la serie de Fourier de la fució f(x) = π 4 si π < x < 0 0 si x = π, 0, π π 4 si 0 < x < π Usado la codició de Dirichlet, justificar hacia qué fució coverge la serie aterior

13 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso Obteer el desarrollo e serie de Fourier de la fució { x si x [ π f(x) =, π ] 0 si x [ π, π ) ( π, π] A qué valor coverge la serie para x = π? Coicide co el valor de f( π )? Si hay otros putos e los que ocurra la misma situació determíalos y razoa la respuesta Usado el desarrollo aterior, obteer la suma de la serie umérica ( )) 56 Sea la fució f : IR IR defiida por f(x) = cos x π < x < π y extedida periódicamete fuera del itervalo Comprobar que esta fució satisface las codicioes de Dirichlet y obteer su serie de Fourier Ayuda: Hacer uso de la propiedad cos(mx) cos(x) = cos(m + )x + cos(m )x Hallar la suma exacta de la serie umérica 4 57 Dada la fució { 0 5 < x < 0 g(x) = 3 0 < x < 5 Calcular la serie de Fourier de g(t) = { 0 π < t < < t < π Calcular la serie de Fourier de g(x), sustituyedo t por πx e la serie de Fourier obteida e el 5 apartado aterior c) Cómo debe defiirse g(x) e x = 5, x = 0 y x = 5 para que la serie de Fourier coverja a g(x) para 5 x 5? 58 Sea la fució f : R R defiida por f(x) = π x < x = 0 < x < x = < x π y extedida periódicamete fuera del itervalo [ π, π] Se pide: Obteer la serie de Fourier de f(x) y estudiar su covergecia putual se Calcular la suma exacta de la serie umérica Ayuda: se a = se a cos a

14 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso Itroducció a las ecuacioes difereciales: EDOs de primer orde 59 Verifica si las fucioes que se da so solució de la ecuació diferecial idicada e cada apartado: Ecuació Solucioes xy y = x 3 e x y (x) = x y (x) = x ( + e x ) y + y 3y = 0 y (x) = e 3x y (x) = e x c) y + xy = x 4 (y ) y (x) = c + c x y (x) = l(x) 60 Determia el valor de k para que y = e kx sea solució de la ecuació diferecial y + y 6y = 0 6 Se sabe que y = Ase bx es ua solució de la ecuació diferecial y + 6y = 0 Ecotrar los valores de b 6 Comprueba que las fucioes y (x) = e x e y (x) = e 3x so solucioes de la ecuació diferecial y 5y + 6y = 0 Es y(x) = c e x + c e 3x solució de dicha ecuació diferecial, para cualquier valor real de las costates c y c? 63 Demuestra que y = c x + c x es la solució geeral de x y xy + y = 0, y halla la solució particular para la cual y() = 3, y () = 5 64 Halla la solució particular de las siguietes ecuacioes difereciales que satisface la codició iicial idicada ( y(x + ) + y = 0 y( ) = (d) y dx x dy = 0 y() = ( dy dx + + y3 xy = 0 y() = (e) y = x e x y(0) = (c) y se y = x y() = 0 (f) y l y dx x dy = 0 y() = e 65 La catidad de radio que se desitegra es proporcioal a la catidad total de radio presete e u istate cualquiera t Si la mitad de ua cierta catidad de radio desapareciera e 590 años Qué fracció se desitegrará durate el primer siglo? Y durate el décimo siglo? 66 Supogamos que el ritmo propagació de u rumor(velocidad de propagació del rumor) es proporcioal a la catidad de persoas que lo cooce e cada mometo Se sabe que había 00 persoas que coocía el rumor tras el segudo día y 300 tras el cuarto Estimar cuatas persoas coocerá el rumor pasados 0 días 67 Segú la Ley de Newto, la velocidad a que se efría ua sustacia al aire libre es proporcioal a la diferecia etre la temperatura de dicha sustacia y la del aire Si la temperatura del aire es 30, y la sustacia se efría de 00 a 70 e 5 miutos, hallar el istate e que su temperatura es de Itegrar las siguietes ecuacioes difereciales: ( dy dx + x y = 3x ( y + y = + e x (c) (y x 3 )dx = xdy (d) ( + x ) dy dx + xy = cotg x (e) xy + y = se x (f) dy = (x e x + y)dx (Ayuda: cotgxdx = l(sex) + C) 69 Hallar la solució particular de las ecuacioes siguietes, que pasa por el puto idicado: dy dx = 6x3 y x (, )

15 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-5 y + xy = 4x (0, ) c) y + y = e x (0, 075) 70 Itegrar mediate desarrollos e series de potecias: y = y y xy = 0 7 Resolver, mediate desarrollos e series de potecias, la solució particular de ( + x)y = py sujeta a la codició y(0) = 7 Exame Dada la ecuació diferecial ( + x)y = py, dode p es ua costate real cualquiera Se pide: ( Comprobar que la serie de potecias + p x + p(p )! x + + p(p ) (p + )! x + es la solució particular, válida e el itervalo (, ), de la ecuació de ( + x)y = py sujeta a la codició y(0) = ( Hallar, razoadamete (si usar la tabl, la suma de la serie de potecias del apartado aterior 73 Exame A partir de la serie de potecias f(x) = co radio de covergecia R fiito, defiamos la serie a x = (se supoe a 0 = a = 0 ) y g(x) = = a x () Hallar el radio de covergecia de g(x) Comprobar que g(x) satisface la ecuació diferecial g (x) g(x) x = x f(x) c) Supoiedo que f(x) = x, resolver la ecuació diferecial aterior y calcular la solució x particular que pasa por (, log ) d) Demostrar que el desarrollo (), cuado a = para todo, coicide co el desarrollo e serie de potecias de la solució obteida e el apartado c) e u determiado itervalo ( ) + Ayuda: log( + x) = x para todo x (, ]

16 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso Métodos uméricos de resolució de EDOs de primer orde 74 Exame --04Cosideremos el problema de valores iiciales y = 0, y(0) = 0 + x aplicar el método de Heu co paso h =, e el itervalo [0, ], para aproximar el valor de la solució e x = Justificar, previamete, que este PVI posee solució úica para x [0, ] 75 Dado el PVI y ( + x) = 0, y(0) = 0 Justifica que este problema tiee solució úica e el itervalo [0, ] Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h = 05 c) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h = 05 d) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = 76 Cosideremos el PVI y + x x + y = x ex, y(0) = Justifica que este problema tiee solució úica e el itervalo [0, ] Estima el valor de y() utilizado el método de Euler co paso h = paso h = y el método de Heu co 77 Utiliza u paso del método de Heu para aproximar e x = la solució de la ecuació y + x y = x que pasa por el puto P (, ), justificado previamete que este problema posee solució úica e el itervalo que os iteresa 78 Cosideremos el PVI xy y = 0, y() = Justifica que este problema tiee solució úica e el itervalo [, ] y aplica el método de Heu e dicho itervalo, tomado h =, para aproximar el valor de la solució, y(x), e x = 79 Dada la ecuació diferecial xy = y : Ecuetra su solució geeral Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada c) Resuelve el PVI xy = y co y = cuado x = d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [, 3] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = 3 f) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Euler co paso h = g) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Heu co paso h = 80 Dada la ecuació diferecial y y(x + ) = 0: Ecuetra su solució geeral

17 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-7 Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada c) Resuelve el PVI y y(x + ) = 0 co y = cuado x = 0 d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h = g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h = 8 Dada la ecuació diferecial y e x3 = 5x : Ecuetra su solució geeral Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada y c) Resuelve el PVI = 5x co y = cuado x = 0 e x3 d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h = g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h = 8 Dada la ecuació diferecial dy dx + + x y = 0: x Ecuetra su solució geeral Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada c) Resuelve el PVI dy dx + + x y = 0 co y = e cuado x = x d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [, 3 ] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = 3 f) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Euler co paso h = g) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Heu co paso h = 83 Dada la ecuació diferecial y + y = Ecuetra su solució geeral + e x : Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada c) Resuelve el PVI y + y = co y = 4 cuado x = 0 + ex d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h = g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h = 84 Dada la ecuació diferecial y se x + ycos x = xse x: Ecuetra su solució geeral Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada

18 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-8 c) Resuelve el PVI y se x + ycos x = xse x co y = cuado x = π d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [ π, 3π 4 ] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = 3π 4 f) Aproxima el valor de la solució e x = 3π 4 utilizado el método de Euler co paso h = π 4 g) Aproxima el valor de la solució e x = 3π 4 utilizado el método de Heu co paso h = π 4 85 Dada la ecuació diferecial x dy = (y xy x ) dx: Ecuetra su solució geeral Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada c) Resuelve el PVI x dy = (y xy x ) dx co y = cuado x = d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [, ] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h = g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h = 86 Dada la ecuació diferecial dy = (6xe x + xy) dx: Ecuetra su solució geeral Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada c) Resuelve el PVI dy = (6xe x + xy) dx co y = 5 cuado x = 0 d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ] e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h = g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h =

19 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso EDOs de segudo orde 87 Ecuetra la solució geeral de las siguietes ecuacioes homogéeas: ( y y + y = 0 ( 3y 8y + 4y = 0 (c) y + y + y = 0 (d) y y 6y = 0 (e) 3y + 4y = 0 (f) y + y + y = 0 88 Halla la solució del problema co valor iicial dado: y + y y = 0 y(0) = y (0) = y y + 5y = 0 y(0) = y (0) = 0 c) y + 6y + 9y = 0 y(0) = 0 y (0) = 89 Obté la solució del problema de valores iiciales siedo α 0 y + α y = x, y(0) = α 4 +, y (0) = 0, 90 Halla la solució geeral de: ( y + 9y = x + 4x + 7 ( y + y + 0y = 3x (c) y + 4y + 5y = 3e x (d) y + 4y + 3y = 0 (e) y + y = x + (f) y y = e x + e x 9 Demuestra que si y e y so dos solucioes de la ecuació o homogéea y +P (x)y +Q(x)y = R(x), etoces y = y + y uca es ua solució de esta ecuació Así mismo, demuestra que si y e y so solucioes respectivamete de las ecuacioes y + P (x)y + Q(x)y = R (x) e y + P (x)y + Q(x)y = R (x) y = y + y es siempre solució de y + P (x)y + Q(x)y = R (x) + R (x) Esto se cooce como pricipio de superposició Utiliza este pricipio para hallar la solució geeral de: y + 4y = 4 cos x + 6 cos x + 8x 4x y + 9y = se3x + 4sex 6e x + 7x 3 9 Exame Dada la ecuació lieal homogéea co coeficietes costates y + py + qy = 0 Se pide: ( Calcular los coeficietes p y q de la ecuació aterior sabiedo que ua solució particular de la misma es e x, y que las raíces de su ecuació característica so reales e iguales ( E las codicioes del apartado aterior, obteer la solució particular de la ecuació que satisfaga las codicioes iiciales siguietes y(0) = 0, y (0) = 93 Hallar la familia de curvas f(x) que so solució de la ED y y = 0 y además verifica lim f(x) = x Qué comportamieto tiee dichas curvas cuado x tiede a +? Calcular la solució geeral de y y = x usado el método de los coeficietes idetermiados

20 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00-0 c) Resolver el problema de valores iiciales: y y = x, y(0) = 0, y (0) = 0 94 Exame Hallar la solució geeral de la edo y 4y + 3y = 0e x y aalizar su comportamieto cuado cuado x 0 95 Hallar la solució geeral de ( + x )y + xy y = 0 e térmios de series de potecias e x Se puede expresar esta solució mediate fucioes elemetales? 96 La ecuació de Hermite es y xy + py = 0, dode p es ua costate Demostrar que su solució geeral es y(x) = a 0 y (x) + a y (x), dode: y (x) = x y (x) = p! x + p(p ) x 4 3 p(p )(p 4) x 6 + 4! 6! (p ) 3! Dode so covergetes estas series? x 3 + (p )(p 3) 5! c) Obteer los desarrollos limitados de Hermite para p = 0,,, 3, 4, 5 x 5 3 (p )(p 3)(p 5) x 7 + 7! 97 Sea k ua costate real k > 0 Se defie la sucesió (u ) por las relacioes u 0 = 0, u = y ku + ( + k )u + + ku = 0, para todo 0 Se cosidera la serie de potecias S(x) = 0 u! x Probar que S(x) satisface la ecuació diferecial de segudo orde ks (x) ( + k )S (x) + ks(x) = 0, co S(0) = 0 y S (0) = Resolver la ecuació diferecial del apartado aterior para todo valor de k c) Deducir del apartado aterior el valor del térmio geeral u e el caso k = 98 Exame Dada la serie de potecias f(x) = ( ) b x dode b 0 = b = 0, para, b = = Calcular su campo de covergecia y su fució suma Calcular el radio de covergecia de la serie F (x) = (( + )( + )b + ( )( + )b ) x = c) Ecotrar ua fució que sea solució de ( x )y xy + y = b + 6b 3 x + F (x) (3) Ayuda: Usa desarrollos e series de potecias El puto x 0 = 0 es u puto ordiario para (3) d) Hallar la solució geeral de la ecuació homogéea asociada a (3), sabiedo que y = x es ua solució de esta ecuació homogéea 4x Ayuda: x( x ) = x + x x, x ( x ) = x + / x + / + x

21 Cálculo Ifiitesimal ITIformática Gestió Curso 00- e) Hallar la solució geeral de (3) f) Teiedo e cueta que x 0 = 0 es u puto ordiario de la ecuació homogéea asociada a (3), resolver mediate desarrollos e series de potecias el problema de valores iiciales: ( x )y xy + y = 0, y(0) =, y (0) = 0 (4) Obteer el radio de covergecia de dicha serie solució o dar, justificadamete, ua cota iferior sigificativa del mismo g) Calcular la suma de la serie de potecias que es solució de (4)

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